PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA

Transkripsi

1 PEUBAH ACAK DAN DISTRIBUSINYA MA3181 Teori Peluang 8 September 2014 Utriweni Mukhaiyar 1

2 Pemetaan (Fungsi) O Suatu pemetaan / fungsi O Kategori fungsi: 1. Fungsi titik 2. Fungsi himpunan A A B B 2

3 Peubah Acak O Peubah acak, yaitu pemetaan X : S R X x Ruang Sampel, S Himpunan Bil.Riil, R 3

4 Mengapa Peubah Acak Perlu? O Merepresentasikan masalah ke dalam titik real. O Dapat dipetakan. O Lebih mudah dalam penulisan O Memudahkan dalam perhitungan numerik O Ruang sampel yag berbeda dapat dipetakan ke nilai peubah acak yang sama 4

5 Contoh O Percobaan pelantunan sebuah dadu S = {,,..., } X = { 1, 2,, 6 } 5

6 Jenis Peubah Acak O Peubah Acak Diskrit himpunan terhitung atau tak berhingga, dan x1, x2,..., berhingga s : X ( s) xi E S Peubah Acak Kontinu peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x)) merupakan fungsi kontinu untuk semua x є R 6

7 Contoh Peubah Acak X Tipe Banyak klaim yang datang dalam 1 hari X = 0, jika tidak ada klaim dalam 1 hari = 1, jika terjadi 1 klaim dalam 1 hari = 2,, jika terjadi 2 klaim dalam 1 hari dst Diskrit Besar klaim yang diajukan (dalam juta rupiah) X = [0, 1], jika besar klaim paling besar 1 juta X = (1, 5], jika besar klaim antara 1 juta sampai 5 juta X = (5, 10], jika besar klaim antara 5 juta sampai 10 juta Kontinu X = (10, 20], jika besar klaim antara 10 juta sampai 20 juta dst 7

8 Fungsi peluang P(X = x) dan f(x) Diskrit P(X = x), Sering juga disebut sebagai fungsi massa peluang (f.m.p). Kontinu f(x), Sering juga disebut sebagai fungsi kepadatan peluang (f.k.p). Pada kasus kontinu, fungsi peluang tidak bisa ditulis sebagai P(X = x) karena peluang di satu titik adalah sama dengan nol, meskipun nilai fungsinya belum tentu nol. 8

9 X : S R Diskrit Kontinu 1. P(X=x) 0 2. x x 1 P X 3. P(a< X b) = 4. P(Xb) - P(Xa) f t F x P X x tx 1. f(x) 0, xr P(a<Xb) = 4. f xdx 1 b a f x dx F x P X x f t dt x Pada prinsipnya kedua tipe di atas bermakna sama, hanya berbeda dalam hal penulisan dan cara menghitungnya. 9

10 Contoh Grafik Fungsi Peluang P(X=x) Diskrit f(x) Kontinu 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Jumlah peluang untuk semua titik = 1 0.1, x 1 0.3, x 2 P X x 0.4, x 3 0.2, x 4 0, x lainnya x Luas di bawah grafik = 1 x, 0 x1 f ( x) 2 x, 1 x 2 0, x lainnya 10 x

11 Fungsi Distribusi O O Fungsi distribusi kumulatif, F dari peubah acak X Sifat-sifat 1. F fungsi yang monoton tidak turun, lim Fx ( ) 1 x lim Fx ( ) 0 x 4. F kontinu dari kanan. lim F( x) F( a) xa 11

12 Contoh 1 Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori, sebut baik dan tidak. Maka pasangan mahasiswa tersebut akan memberikan ruang sampel S sebagai berikut: S = {,,, }, Dimana = baik, = tidak. Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya mahasiswa yang moodnya baik, tentukan: a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga gambarkan 12

13 Ilustrasi Contoh P (T = t) T ¼ ½ Ruang Sampel 13

14 Jawab a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa yang moodnya sedang baik, maka: T = {0, 1, 2} dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah: 1/ 2, t 1 P( T t) 1/ 4, t 0,2 0, t yang lain 14

15 b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai riil. Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0 Ambil t = 0, maka F(0) = P(T 0) = P(T < 0) + P(T = 0) = P(T = 0), peluang di T<0 bernilai 0 = ¼ Ambil 0< t <1, maka F(t) = P(T< t) = P(T < 0) + P(T = 0) + P(0 < T < t) = 0 + ¼ + 0 = ¼ 15

16 Ambil t = 1, maka F(1) = P(T 1) = P(T 0) + P(0<T<1) + P(T=1) = ¼ ½ = ¾ Ambil t = 2, maka F(2) = P(T 2) = P(T 1) + P(1<T<2) + P(T = 2) = ¾ ¼ = 1 16

17 Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai berikut : 0, t 0 1/ 4, 0 t 1 Ft () 3/ 4, 1 t 2 1, t 2 Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik di F(t) bawah ini: 1 ¾ ½ ¼ t 17

18 Contoh 2 Misalkan besar laba dari investasi suatu perusahaan (dalam ratusan juta rupiah) berkisar antara -½ dan ½ (laba positif adalah untung sedangkan negatif adalah rugi). Dianggap bahwa besar laba (positif negatif) tidak akan melebihi nilai 50 juta rupiah. Jika Y adalah peubah acak yang menyatakan laba yang diperoleh perusahaan dari sebuah investasi, tentukan : a. Peluang bahwa perusahaan memperoleh laba dari minus 25 juta rupiah sampai 20 juta rupiah, b. peluang memperoleh untung lebih dari 20 juta rupiah, dan c. Fungsi distribusi F(y) beserta gambar. 18

19 Jawab : Diketahui Y menyatakan besar laba (ratusan juta rupiah) , y f( y) 2 2 0, y yang lain a P Y PY PY / 2 1/5 0 dy 1 dy 0 dy 1 dy 1/

20 b. c. 0,2 1 P Y 0,2 P Y F y y 1 PY dy f ( y) dy dy Fungsi distribusi : 1 0, y F y y, y , y y 0 dy dy F(y) 1 y 1 2 -½ ½ 20 y

21 Latihan Soal

22 Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and Statistics, London : Springer, Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, Hogg, et.al., Intro. to Mathematical Statistics 6 th ed., Pearson: New Jersey, Wackerly, et.al., Mathematicsl Statistics and Its Application 7 th Ed., USA: Thomson, Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc.,