Uji Hipotesis. MA2081 STATISTIKA DASAR Utriweni Mukhaiyar

Transkripsi

1 Uji Hipotesis MA081 STATISTIKA DASAR Utriweni Mukhaiyar 8 Maret 01

2 Pengertian Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannyaa Hipotesis adalah suatu anggapan yang mungkin benar atau tidak mengenai satu populasi atau lebih yang perlu diuji kebenarannya 1. Hipotesis nol (H 0 ) ; pernyataan yang mengandung tanda kesamaan (=,, atau ) ). Hipotesis tandingan (H 1 ) ; tandingan hipotesis H 0, mengandung tanda, >, atau <.

3 Galat (error) H 0 ditolak H 0 benar P(menolak H 0 H 0 benar) = galat tipe I = α H 0 salah keputusan benar H 0 tidak ditolak keputusan benar P(tidak ( d k menolak H 0 H 0 salah) = galat tipe II = β yang dimanfaatkan dalam pokok bahasan ini 3

4 Skema Umum Uji Hipotesis i Hipotesis Statistik??? Hipotesis yang ingin diuji Memuat suatu kesamaan (=, atau ) Dapatp berupa H 0 - hasil penelitian sebelumnya - informasi dari buku atau - hasil percobaan orang lain H 1 Hipotesis yang ingin dibuktikan Disebut juga hipotesis alternatif Memuat suatu perbedaan (, > atau <) Keputusan mungkin terjadi Kesalahan H 0 ditolak H 0 tidak ditolak Tipe II 4 Kesimpulan H 1 benar Kesimpulan Tidak cukup bukti untuk menolak H 0 Menolak H 0 padahal H 0 benar P(tipe I) = α = tingkat signifikansi

5 Statistik Uji dan Titik Kritis Statistik uji digunakan untuk menguji hipotesis statistik yang telah dirumuskan. Notasinya berpadanan dengan jenis distribusi yang digunakan. Titik kritis membatasi daerah penolakan dan penerimaan H 0. Diperoleh dari tabel statistik ti tik yang bersangkutan. H 0 ditolak jika nilai statistik uji jatuh di daerah kritis. 5 daerah kritis = / titik kritis daerah daerah penerimaan H 0 daerah daerah kritis = / penerimaan H 0 kritis 1 - titik kritis 0 diperoleh dari tabel statistik 1 - titik kritis

6 Uji Rataan Satu Populasi uji dua arah 1. H : = vs H 1 : H 0 : = 0 vs H 1 : > 0 3. H 0 : = 0 vs H 1 : < 0 uji satu arah 0 adalah suatu konstanta yang diketahui 6

7 Statistik Uji untuk Rataan Satu Populasi 1. Kasus σ diketahui Z X / 0 n ~ N(0,1) Tabel Z (normal baku). Kasus σ tidak diketahui T X s / 0 n ~ t (n-1) Tabel t 7

8 Daerah Kritis Uji Rataan Satu Populasi σ diketahui σ tidak diketahui Statistik uji : Z T H 0 : = 0 vs H 1 : 0 Z < - Z 1-α/ atau Z > Z 1-α/ T < - T α/ atau T > T α/ H 0 : = 0 vs H 1 : > 0 Z > Z 1-α T > T α H 0 : = 0 vs H 1 : < 0 Z < - Z 1-α T < - T α titik kritis dengan derajat kebebasan n - 1 8

9 Uji Rataan Dua Populasi uji dua arah 1. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1-0. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - > 0 3. H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - < 0 uji satu arah 0 adalah suatu konstanta yang diketahui 9

10 10 Statistik Uji untuk Rataan Dua Populasi 1. Kasus σ 1 dan σ diketahui Z = H X X μ 1 0 σ n σ n 1 1. Kasus σ 1 dan σ tidak diketahui dan σ 1 σ 1 0 H S1 S T = X X μ n n 1 3. Kasus σ 1 1 dan σ tidak diketahui dan σ = σ T = H X X μ S 1 0 p 1 1 n n 1 dengan (n 1)S (n 1)S 1 1 p n 1 n S =

11 Daerah Kritis Uji Rataan Dua Populasi 11 σ 1, σ diketahui σ 1, σ tidak diketahui Statistik uji : Z T Derajat Kebebasan n 1 + n - j 1 Z < - Z α/ atau Z > Z α/ T < -T α/ atau T > T α/ σ 1 = σ σ 1 σ S1 S n n v= 1 S 1 (n1 1) n 1 (n 1) n 1 1 S T < -T α/ atau T > T α/ H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1-0 H 0 : 1 - = 0 vs H 1 : 1 - > 0 Z > Z α T > T α T > T α H 0 : 1 - = 0 vs Z < - Z H 1 : 1 - < α T < -T α T < -T α 0

12 Uji untuk Rataan Berpasangan 1. H 0 : d = 0 vs H 1 : d 0. H 0 : d = 0 vs H 1 : d > 0 3. H 0 : d = 0 vs H 1 : d < 0 Statistik uji menyerupai statistik untuk kasus satu populasi dengan variansi tidak diketahui. D μ T= S / n d 0 ; 1

13 Contoh 1 13 Berdasarkan 100 laporan kejadian hujan (dengan lama kejadian hujan sama) di daerah SH yang diamati secara acak, diperoleh bahwa rata-rata tingkat curah hujan adalah adalah 71,8 mm dengan simpangan baku 8,9 mm. Berdasarkan literatur diduga bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah tersebut lebih dari 70 mm. a. Nyatakan dugaan tersebut dalam pernyataan hipotesis statistik b. Untuk tingkat signifikansi 5%, benarkah pernyataan literatur tersebut?

14 Solusi Diketahui Ditanya: 0 70, X 71.8, a. Hipotesis statistik b. Kesimpulan uji hipotesis Jawab: Parameter yang akan diuji : μ a. Rumusan hipotesis: H 0 : μ = 70 H 1 : μ > 70 s 8.9, 0,05 14

15 b. α = 5%=0.05, maka titik kritis t 0.05,(99) = x 0 71,8 70 t,0 s 8,9 n 100 Karena t > t 0.05,(99), maka t berada pada daerah penolakan sehingga keputusannya H 0 ditolak. Jadi pernyataan literatur tersebut benar bahwa rata-rata tingkat curah hujan di daerah SH lebih dari 70 mm. 15

16 Contoh 16 Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan yang diakibatkan k oleh lhgosokan, daridua bh bahan yang dilapisi. i i Dua bl belas potong bahan 1 diuji dengan memasukan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap hal, diamati dalamnya keausan. Sampel bahan 1 memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebanyakak 85 satuan dengan simpangan baku sampel 4, sedangkan sampel bahan memberikan rata-rata keausan sebanyak 81 dengan simpangan baku sampel 5. Dapatkah disimpulkan, pada taraf keberartian 5%, bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari dua satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.

17 Solusi Misalkan μ 1 dan μ masing-masing menyatakan rata-rata populasi bahan 1 dan populasi bahan. Variansi populasi kedua bahan tidak diketahui, yang diketahui adalah variansi sampel. Diasumsikan variansi populasi kedua bahan adalah sama. Rumusan hipotesis yang diuji adalah: H 0 : μ 1 - μ = H 1 : μ 1 - μ > 17

18 18 t = H Tingkat keberartian, α = 0.05 x 85, s 4, n x 81, s 5, n 10 Kita gunakan statistik ttitikuji untuk variansi ikd kedua populasi tk tak diketahui tapi dianggap sama, yaitu xdengan 1xμ0 dengan s p 1 1 n n 1 Maka diperoleh : t = H s = p (n 11)s 1 (n 1 )s (11)(16) (9)(5) n n x1x μ0 (85 81) (1/1) (1/10) n n s p

19 Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kebebasan n 1 +n - = = 0, sehingga titik iikkii kritisnya adalah dlh t 0.05,0 = Karena t < 1.75, maka H 0 tidak ditolak. Tidak dapat disimpulkan bahwa rata-rata keausan bahan 1 melampaui rata-rata keausan bahan lebih dari satuan. 19

20 Contoh 3 (data berpasangan) Pada tahun 1976, J.A. Weson memeriksa pengaruh obat succinylcholine terhadap kadar peredaran hormon androgen dalam darah. Sampel darah dari rusa liar yang hidup bebas diambil melalui urat nadi leher segera setelah succinylcholine disuntikkan pada otot rusa. Rusa kemudian diambil lagi darahnya kirakira 30 menit setelah suntikan dan kemudian rusa tersebut dilepaskan. Kadar androgen pada waktu ditangkap dan 30 menit kemudian diukur dalam nanogram per ml (ng/ml) untuk 15 rusa. Data terdapat pada tabel berikut 0

21 1 No. Kadar androgen (ng/ml) Kadar androgen (ng/ml) 30 Selisih (d i ) sesaat setelah disuntik menit setelah disuntik

22 Anggap populasi androden sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian berdistribusi normal. Ujilah, pada tingkat keberartian 5%, apakah konsentrasi androgen berubah setelah ditunggu 30 menit.

23 Solusi Ini adalah data berpasangan karena masing-masing unit percobaan (rusa) memperoleh lhdua kl kali pengukuran Misalkan μ 1 dan μ masing-masing menyatakan rata-rata konsentrasi androgen sesaat setelah suntikan dan 30 menit kemudian. Rumusan hipotesis yang diuji adalah H 0 : μ 1 = μ atau μ D = μ 1 - μ = 0 H 1 : μ 1 μ atau μ D = μ 1 - μ 0 Tingkat signifikansi yang digunakan adalah α = 5% =

24 Rata-rata sampel dan variansi sampel untuk selisih ( d i ) adalah, d dan s Statistik uji yang digunakan adalah, d Dalam hal ini, d d 0 t= s / n d t= /

25 Statistik uji t berdistribusi t-student dengan derajat kbb kebebasan n 1 = 15 1 = 14. Pada tingkat keberartian 0.05, H 0 ditolak jika t < - t 0.05,14 = atau t > t 0.05,14 =.145. Karena nilai t =.06, maka nilai t tidak berada pada daerah penolakan. Dengan demikian, H 0 tidak ditolak. Kendati demikian, nilai t =.06 mendekati nilai t ,14 =.145. Jadi perbedaan rata-rata kadar peredaran androgen bisa diabaikan. 5

26 Uji Hipotesis Tentang Variansi Satu Populasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk kasus variansi satu populasi adalah 1. H : = vs H : H : vs H : H : vs H : Dengan 0 menyatakan suatu konstanta mengenai variansi yang diketahui. 6

27 Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah : ( n 1) s 0 Jika H 0 benar, maka statistik uji tersebut kuadrat dengan derajat kebebasan n-1. berdistribusi khi- 7

28 Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0, tolak H 0 pada tingkat kb keberartian α jika : atau 1,( n 1),( n 1) H 0 : = 0 vs H 1 : 0 Untuk hipotesis, tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika 1,( n1) nilai dari tabel distribusi chi-square dengan derajat kbb kebebasan n - 1 Untuk hipotesis H 0 : = 0 vs H 1 : 0, tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika 8,( n1)

29 Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi Bentuk hipotesis nol dan tandingannya untuk uji hipotesis mengenai variansi dua populasi adalah, 1. H : vs H : H : vs H : H : vs H : Dengan σ 1 dan σ masing-masing adalah variansi populasi ke-1 dan variansi populasi ke- 9

30 Statistisk uji yang digunakan untuk menguji ketiga hipotesis di atas adalah, F s 1 s Jika H 0 benar, statistik ttitikuji tersebut tberdistribusi ib i Fisher dengan derajat kebebasan, v 1 = n 1 1 dan v = n 30

31 H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika : F f atau F f 1,( v 1, v ),( v 1, v ) H : vs H : Untuk hipotesis , tolak H 0 pada tingkat keberartian α jika : F f1,( v, v ) 1 H : vs H : Untuk khipotesis i , tolak kh 0 pada tingkat keberartian α jika : F f,( v 1, v ) f f f f,( v, v ), 1,( v, v ), /,( v, v ),dan 1 /,( v, v ) adalah nilai-nilai dari tabel distribusi Fisher dengan derajat 31 kebebasan v 1 dan v

32 Contoh 4 Suatu perusahaan baterai mobil menyatakan bahwa umur baterainya berdistribusi b hampir normal dengan simpangan baku 0.9 tahun. Bila sampel acak 10 baterai tersebut menghasilkan simpangan baku 1. tahun, apakah anda setuju bahwa σ > 0.9 tahun? Gunakan taraf kebartian 5%! 3

33 Solusi H 0 : σ = 0.81 H 1 : σ > α = 0.05 Diketahui simpangan baku sampel, s = 1. Statistik uji Titik kritis adalah n s 16 ( 1) (9)(1.44) , n1 0.05, Karena 0.05,9, maka H 0 tidak ditolak. Simpulkan bahwa simpangan baku umur baterai tidak melebihi

34 Contoh 5 Dalam pengujian keausan kedua bahan di contoh, dianggap bahwa kedua variansi yang tidak diketahui sama besarnya. Ujilah anggapan ini! Gunakan taraf keberartian

35 Solusi Misalkan σ 1 dan σ adalah variansi populasi p dari masing- masing keausan bahan 1 dan bahan. rumusan hipotesis yang akan diuji adalah H 0 : σ 1 = σ H 1 : σ 1 σ α =

36 Statistik uji f = s 1 / s = 16 / 5 = 0.64 H 0 ditolak dengan tingkat keberartian α jika 36 f f atau f f 1,( v1, v),( v1, v) α = 0.10, v 1 = n 1 1 = 1 1 = 11, dan v = n 1 = 10 1 = 9. Maka f 1,( v1, v) f 0.95,(11.9) 0.34 dan f,( v1, v) f ,(11.9) Karena f f f, maka jangan tolak H 0. 1,( v1, v),( v1, v) Simpulkan bahwa tidak cukup kenyataan untuk menyatakan bahwa variansinya berbeda.

37 Referensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, Pasaribu, U.S., 007, Catatan Kuliah Biostatistika. Wild, C.J. and Seber, GAF G.A.F., Chance Encounters A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 000. Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists,, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall,