Fngs Analtk FUNGSI ANALITIK Fngs sebt analtk ttk apabla aa sema ttk paa sat lngkngan Untk mengj keanaltkan sat ngs kompleks w = = + gnakan persamaan Cach Remann Sebelm mempelejar persamaan Cach-Remann akan perkenalkan terlebh ahl pengertan tentang t ngs trnan ngs paa blangan kompleks Oleh karena t setelah membaca Bab mahasswa harapkan apat Mengert ens ngs analtk Menghtng nla t ar ngs kompleks Menentkan kekontnan ngs Mencar trnan ngs Menentkan ngs analtk ngs harmonk Fngs Pebah Kompleks Dens Msalkan S hmpnan blangan kompleks Fngs kompleks paa S aalah atran ang mengawankan setap Notas w = S engan bangan kompleks w Dalam hal n S sebt oman ar namakan arabel kompleks Msalkan w = + aalah nla ngs = + sehngga + = + Masng-masng blangan rl bergantng paa arabel rl sehngga apat natakan sebaga pasangan terrt ar arabel rl at = + Jka koornat polar r θ paa gnakan maka + = re θ mana w = + = re θ Sehngga apat tls menja = rθ + rθ Contoh Msalkan w = = +3 Tentkan serta htng nla ar paa = + 3 Natakan jga alam bentk polar Penelesaan: Msal = + sehngga Ja 3 3 3 Untk = + 3 maka 3 3 3 3 3 3 5 5 Ja 3 = -5 3 = 5 Jka koornat polar gnakan mana = re θ maka Ja re re r r 3 re cos r cos 3r cos r r e 3re sn 3r cos 3r sn sn 3r sn r cos 3r cos r sn 3r sn
Fngs Analtk Pemetaan / Transormas Sat-sat ar ngs bernla rl apat lhat ar grak ngsna Tetap ntk w = mana w blangan kompleks tak aa grak ang menatakan ngs karena setap blangan w beraa bg bkan gars blangan Dens Transormas Koresponens antara ttk-ttk bg- engan ttk-ttk bg-w sebt pemetaan ata transormas ar ttk-ttk bg- engan ttk-ttk bg w oleh ngs Pemetaan apat berpa: Translas / pergeseran Rotas / perptaran Releks / pencermnan Sebaga contoh pemetaan w = + = + + mana = + mentranslaskan / menggeser setap ttk sat satan ke kanan w r ep kanan ar psatna berlawanan arah jarm jam mana = re θ = e π/ merotas / memtar setap ttk taknol ke w merelekskan / mencermnkan setap ttk = + paa smb rl 3 Lmt Secara mm ens t alam kompleks sama engan ens t paa blangan rl alam kalkls Kala paa blangan rl bla menekat hana menekat sepanjang gars rl segkan paa blangan kompleks bla menekat akan menekat ar sema arah alam bg kompleks Dens Lmt w enskan sebaga berkt: baca t ntk menj sama engan w w w berlak Secara geometr ens atas mengatakan bahwa ntk setap lngkngan- ar w at w - w < aa sat lngkngan- ar at < - < seemkan sehngga setap ttk paa mage w beraa paa lngkngan Dalam hal n Jka t tersebt aa maka tna tnggal menekat ar berbaga arah ata lntasan Jka ntk lntasan ang berbea nla ntk menj berbea maka tak aa tak saratkan terens =
Fngs Analtk Contoh Msalkan Bktkan Bkt: Ambl ε > sebarang Plh berlak Ja ntk setap post berlak bla lhat gambar Sehngga menrt ens t terbkt Contoh 3 Msalkan Bktkan tak aa Bkt: Akan tnjkkan nla t engan lntasan ang berbea Penekatan sepanjang sb- post alam hal n = Penekatan sepanjang sb- post alam hal n = Penekatan sepanjang gars = Karena penekatan sepanjang arah ang berbea menghaslkan nla ang tak sama maka tak aa Teorema Anakan = + = + ω = + maka Bkt: Msalkan artna Plh mn
Fngs Analtk 3 Karena maka bla Ja Msalkan artna bla Perhatkan bahwa Sehngga bla Ja Teorema Anakan B g A maka B A g AB g B A g 4 Lmt Tak Hngga Lmt Tak Hngga Kag-kag sat bg kompleks memat ttk tak hnggabg kompleks ang memat ttk tersebt sebt bg kompleks ang perlas Teorema 3 Jka w ttk-ttk paa bg w maka jhj w jhj w 3 / jhj Bkt:
Fngs Analtk Msalkan artna # Akan bktkan bla < < δ Ttk w = beraa sat lngkngan-ε at w > /ε ar bla aa lngkngan < < δ ar Sehngga persamaan # apat tls menja w Ja bla < < δ Msalkan artna w w Akan bktkan bla >/δ* Paa persamaan * rbah engan / maka akan peroleh < < δ w Ja 3 Msalkan artna / Akan bktkan bla > /δ ** Paa persamaan ** rbah engan / maka akan peroleh < < δ / Ja w bla / bla 5 Kekontnan Dens Kontn Fngs katakan kontn = jka aa aa Dengan kata lan kontn = jka berlak 4
Fngs Analtk Fng kompleks katakan kontn paa regon D jka kontn paa tap ttk alam D Msalkan = + kontn = + kontn Sat-sat ngs kontn Fngs konstan kontn paa bg kompleks Jka g kontn paa aerah D maka a +g kontn b -g kontn c g kontn /g kontn kecal D sehngga g = 6 Trnan Dens Trnan Trnan ngs tls engan enskan sebaga berkt: jka tna aa Notas ntk trnan aalah Atran trnan paa blangan rl berlak jga paa blangan kompleks Atran Trnan c c n n n n g g g g g g g g g c 3 4 5 6 7 Contoh 4 Tentkan trnan ar ngs berkt: = + 5 5
Fngs Analtk paa Penelesaan : Dengan menggnakan atran trnan 4 atran ranta peroleh 4 4 5 4 Dengan menggnakan atran trnan 7 peroleh g Sehngga ntk = peroleh g g 4 Atran Ranta Msalkan mempna trnan g mempna trnan Maka ngs F = g[] mempna trnan F g[ ] Dengan kata lan jka w = W = gw = F maka menrt atran ranta W W w w Contoh 5 Tentkan trnan ar ngs = + 5 engan menggnakan atran ranta! Penelesaan: Msalkan w = + I W = w 5 Maka menrt atran ranta W W w = 5w 4 4 = + 4 w 7 Persamaan Cach Remann Persamaan Cach Remann merpakan persamaan ang sangat pentng paa analss kompleks Karena persamaan n gnakan ntk mengj keanaltkan sat ngs kompleks w = = + Dens Persamaan Cach - Remann Fngs katakan analtk paa oman D jka hana jka trnan parsal pertama ar memenh persamaan Cach Remann at engan 6
Fngs Analtk Contoh 6 Msalkan = = + Apakah analtk ntk sema? Penelesaan : analtk jka memenh persamaan Cach Remann Perhatkan bahwa = = Maka = = = - = - Karena memenh persamaan C-R maka analtk ntk sema Teorema 4 Msalkan = + terens kontn sat lngkngan ar = + mempna trnan maka aa memenh persamaan Cach - Remann Teorema 5 Jka a ngs kontn ang bernla rl mempna trnan parsal pertamana kontn memenh persamaan Cach Remann alam oman D maka ngs kompleks = + analtk D Contoh 7 Apakah = 3 analtk? Penelesaan Perhatkan bahwa = 3 3 = 3 3 Maka = 3 3 = = -6 = - Karena memenh persamaan C-R maka analtk ntk sema 8 Fngs Analtk Dens Fngs Analtk Fngs sebt analtk ata holomork ata regler ata monogenk ttk apabla aa sema ttk paa sat lngkngan Teorema 5 Msal = + Anakan kontn sema ttk alam lngkngan tertent N ar ttk persamaan Cach- Remann berlak setap ttk N maka analtk Contoh 8 Bktkan = tak analtk Bkt: Karena hana mempna trnan = ata tak aa paa persektaran = Beberapa hal ang perl perhatkan Jka analtk paa setap ttk hmpnan S maka analtk paa S Jka analtk selrh bg kompleks maka ngs menelrh /ngs th entre ncton Daerah keanaltkan regon o analct bag aalah keselrhan ttk paa bg atar ang membat analtk 7
Fngs Analtk Contoh 9 Msalkan 3 Apakah analtk? Penelesaan: aa sema kecal + = ata = ± Ja analtk kecal = ± Dens Ttk Snglar Ttk namakan ttk snglar bag jka hana jka gagal menja analtk paa tetap setap lngkngan memat palng sekt sat ttk ang membat analtk Contoh Msalkan 3 Tentkan ttk snglar ar tentkan mana saja analtk! Penelesaan: aa sema kecal 3 + = ata = = ± Sehngga ttk snglar ar aalah = = ± analtk sema kecal 3 + = ata = = ± 9 Fngs Harmonk Dens Fngs Harmonk Fngs rl H ang mempna trnan parsal ore ang kontn memenh persamaan Laplace H H sebt ngs Harmonk Contoh Msalkan = = Apakah ngs harmonk? Penelesaan: Perhatkan bahwa: = = = = = - = = = = = = - = Karena = = = - = - + = + - = + = + = mana memenh persamaan Laplace maka ngs harmonk Dens Fngs Harmonk Sekawan Msalkan = + harmonk ngs harmonk sebt ngs harmonk sekawan ar jka ngs Contoh Msalkan = 3 3 Tentkan ngs harmonk sekawan ar Penelesaan: = -6 = 3 3 Menrt persamaan cach Remann peroleh -6 = 8
Fngs Analtk = Sehngga 6 3 h ata = -3 + h Sarat persamaan Cach Remann ang kea hars penh at = - Sehngga 3 3 3 3 h 3 h 3 3 3 h 3 h c Dar peroleh = -3 + 3 + c ang merpakan ngs harmonk sekawan ar Contoh 3 Apakah ngs tersebt harmonk? Jka a tentkan Msalkan ngs analtk sekawan ar = + Penelesaan: Akan selk apakah merpakan ngs harmonk ata bkan Perhatkan bahwa: = = 4 3 4 = - = -4 + 4 3 = 4 = -4 + kontn paa sema tetap tak memenh persamaan Laplace at + = 8 + 8 = 8 + Ja bkan ngs harmonk Soal soal Lathan Tlskan ngs kealam bentk = rθ + rθ Msalkan a b konstanta kompleks Gnakan ens t ntk membktkan a a b a b b b b 3 Bktkan teorema paa bagan 3 4 Gnakan nks matematka ntk membktkan n n mana n blangan asl 9
Fngs Analtk 5 Tentkan paa persamaan a 4 3 4 b 6 Msalkan blangan rl msalkan tersebt memenh persamaan Cach Remann paa = bla bla Bktkan bahwa ngs