URUNAN PARSIAL. Definisi Jika f fungsi dua variable (x dan y) maka: atau f x (x,y), didefinisikan sebagai

Transkripsi

1 6 URUNAN PARSIAL Deinisi Jika ngsi da ariable maka: i Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai ii Trnan parsial terhadap dinotasikan dengan ata dideinisikan sebagai Tentkan trnan parsial terhadap trnan parsial terhadap ngsi ang dirmskan dengan Selanjtna tentkan trnan parsial terhadap trnan parsial terhadap di titik 3 Jaab:

2 3 Sehingga trnan parsial terhadap di titik 3 adalah trnan parsial terhadap di titik 3 adalah 4 Untk memdahkan menentkan trnan parsial dari ngsi da ariable maka dapat dilakkan hal berikt Apabila ngsi ditrnkan terhadap ariable maka diperlakkan seperti konstanta apabila ditrnkan terhadap ariable maka diperlakkan seperti konstanta Tentkan trnan parsial terhadap trnan parsial terhadap ngsi ang dirmskan dengan Jaab: Soal: Tentkan ntk 3 + ln + TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI Tentkan sema trnan parsial tingkat da ngsi ang dirmskan dengan Jaab:

3 ngsi da ariabel ang memenhi persamaan Laplace disebt ngsi Harmonik Persamaan Laplace: + Apakah ngsi berikt merpakan ngsi Harmonik? Tnjkkan! e cos ATURAN RANTAI UNTUK UNGSI KOMPOSISI 1 Misal ngsi-ngsi ang dideinisikan dengan kontin mempnai trnan parsial pertama di ngsi dari ang mempnai trnan pertama ang kontin dalam daerah terbka D ang memat maka: 3 dengan + 7 Carilah Misal ngsi dari dengan ngsi-ngsi kontin da ariable ang mempnai trnan parsial pertama sema trnan parsial pertama ngsi kontin maka: dengan / Carilah

4 TURUNAN UNGSI IMPLISIT Misal z g maka z g menatakan ngsi sat ariable sehingga berdasarkan atran rantai diperoleh: z z * Jika z maka mendeinisikan secara implisit sebagai ngsi * menjadi asalkan Analog dengan hal tersebt jika z ngsi implisit ariabel ang dideinisikan oleh persamaan z maka : z z z z asalkan z z z Tentkan dari: 1 z + z 3 e +z sin z 3 z +z INKREMEN PERTAMBAHAN DAN DIERENSIAL Deinisi: Jika ngsi da ariabel z pertambahan ariabel maka + + disebt pertambahan ariabel z Deinisi: Misalkan ngsi da ariabel dengan trnan parsial pertama ang kontin dalam daerah terbka D z Jika titik dalam D bilangan sembarang sehingga + + jga titik dalam D maka: i dierensial ariabel bebas d d dibatasi sebagai d d ii dierensial ariabel tak bebas adalah dz d d + d 9

5 Soal: Tentkan dz dari ngsi berikt: 1 z z z sin 3 TURUNAN BERARAH DAN GRADIEN Ingat: laj perbahan terhadap jarak dalam arah X laj perbahan terhadap jarak dalam arah Y Jika cos i + sin j ektor satan dengan titik aal P 1 1 maka trnan berarah dalam arah di big XY dinotasikan dengan ata adalah: cos + sin Y sin P 1 1 cos X Contoh Jika tentkan trnan berarah di titik P 1 dalam arah a 4i + 3j Penelesaian Vektor satan ang searah dengan a adalah a a 4 i + 3 j Jadi cos 4 sin sehingga

6 Perhatikan : cos + sin dapat dinatakan sebagai hasil kali titik dot prodct da ector sebagai berikt: cos i + sin j i + j dengan i + j disebt gradien MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM Deinisi Misalkan ngsi da ariable maka dikatakan mencapai maksimm relati di titik ab jika terdapat kitaran dari ab demikian sehingga ab ntk setiap dalam kitaran it ab disebt nilai maksimm relati Sebalikna dikatakan mencapai minimm relati di titik ab jika terdapat kitaran dari ab demikian sehingga ab ntk setiap dalam kitaran it ab disebt nilai minimm relati Nilai minimm relati nilai maksimm relati biasa disebt nilai ekstrem relati Sarat perl agar mencapai nilai ekstrem relati di titik ab adalah: a b a b ** Titik ab ang memenhi ** biasa disebt titik kritis Teorema Tes Trnan Keda Misalkan ngsi da ariable ang kontin mempnai trnan parsial pertama keda ang kontin jga apabila ab titik kritis maka: a b a b a b 11

7 i mencapai nilai minimm relati di ab jika a b ii mencapai nilai maksimm relati di ab jika iii tidak mencapai nilai ekstrem relati di ab jika i belm dapat disimplkanapabila a b Untk iii maka ab disebt titik pelana 1 Tentkan nilai ekstrem jika ada ntk Tentkan jarak minimm titik pada z + 4 ke psat koordinat 1