PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN PERSAMAAN DEFERENSIAL Contoh () : Y A.Sin + B cos A dan B konstanta sembarang. Bentuklah PD nya. Jawab : A. cos - B sin - A Sin - B cos - (A Sin + B cos ) Jadi - y atau + y 0 Persamaan Diferensial Orde
Contoh : Bentuklah persamaan Deferensial dari fungsi : Jawab : A A y + A jika. y A y + maka A (y-) ( ) ( y ) ( y ) y y atau. y KESIMPULAN : Jika suatu persamaan terdiri dari atas Konsatanta sembarang menghasilkan PD Orde I Jika suatu persamaan terdiri dari atas konstanta sembarang menghasilkan PD Orde II Persamaan Diferensial Orde
Contoh 3 : Persamaan y A + B bentuk PD-nya Jawab : A + B () A A / A / dimasukkan ke pers (). /. + B + B B Harga A dan B dimasukkan ke soal Y A + B / +. / +. Y. Persamaan Diferensial Orde 3
Kesimpulan : Persamaan diferensial Ored ke N diturunkan dari fungsi yang mempunyai N buah konstanta sembarang. C. PEMECAHAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Prinsipnya : Menghilangkan Koefisien Deferensialnya sehingga tinggal hubungan antara y dan nya. Pemecahan PD dapat dilakukan dengan cara : Integrasi Langsung (paling mudah) Pemisahan Variabel Substitusi YV.X Persamaan Linier (Penggunaan FI). PEMECAHAN DENGAN INTEGRASI LANGSUNG / f() Contoh Pecahkanlah persamaan Jawab: Y ( 3 6 5) 3 6 + 5 + Y 3-3 + 5 + c Jawaban ini disebut dengan jawaban umum karena masih memuat unsur c (constanta). Jika sudah tidak memuat unsur c disebut dengan jawaban khusus. Persamaan Diferensial Orde 4
Contoh Pecahkanlah permaan + 4, dengan y 8, Jawab Y ( + 4 ) Y + 4 +c 8 + 4 + c c 3 Jadi Y + 4 + 3 ( Jawaban Khusus). DENGAN PEMISAHAN VARIABEL / f(,y) Contoh ( y + ), Prinsipnya F(y), dipindah ke Ruas Kiri (ke Ruas ) Jawab : ( y + ) Kedua ruas di integrasikan terhadap ( y + ). ( ) Bentuk Umum y +. y + y + c f ( y). f ( ). Persamaan Diferensial Orde 5
3. PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI Y v. Contoh : Jawab : y + 3 Y v., disubstitusikan ke persamaan : Jadi : + 3( v. ) + 3v + 3v v + 3 soal ini susah memisahkan Y-nya. persamaan () Kita lihat Rumus : Y v., maka turunannya : v. +. dv. persamaan () Catatan : Ingat rumus YU.V maka Y U.V +V.U Jika persamaan () dimasukkan ke persamaan () + 3v v +. dv dv v. + 3 v dv v. + 3. dv + v ( + v). dv v Sudah dinyatakan dalam bentuk V dan X Persamaan Diferensial Orde 6
Kemudian masing-masing ruas diintegrasikan ke dv + v. n( + v) n + c Jika Constanta C diganti bentuk lain yaitu : C n A n( + v) n + n A n (+ v) n (A. ) Jika (+ v) A..(3) Y v. V y maka persamaan (3) dapat ditulis menjadi + y A apabila semua ruas dikalikan maka 3 + y + y A 3 ( + y) A Catatan : Persamaan dalam soal di atas yaitu y + 3 disebut sebagai PERSAMAAN DEFERENSIAL HOMOGEN. Artinya X dan Y mempunyai pangkat yang derajatnya sama, yaitu. Persamaan Diferensial Orde 7
4. PERSAMAAN LINIER (Penggunaan Faktor Integral) Metode penggunaan FI ini dipakai apabila metode nomor -3 sulit untuk diterapkan. Bentuk umum dari Persamaan Linier Orde Pertama adalah + py Q Contoh : + y 3 Jawab : Soal diatas dibuat menjadi berbentuk persamaan linier orde pertama + y 3, semua dibagi dengan y + atau. y +, persamaan ini sama dengan P, Q Konstanta fungsi dari persamaan tsb. + p y Q Harga P Harga Q Persamaan Diferensial Orde 8
Rumus Faktor Integral (IF) IF e P. Karena P maka IF e. Sehingga IF e n Karena e n Maka IF Kembali ke soal diatas +. y semua ruas dikalikan dengan IF. +. y 3... persamaan () bentuk persamaan () tersebut sama saja dengan y u. v u. du + v. dv atau y u. v + v. u Jadi harga. +. y u v + u v dapat ditulis dengan d ( u. v ) d ( y. ) atau Persamaan Diferensial Orde 9
Atau.. y d( y. ) +..persamaan () Jika persamaan () persamaan () d( y) 3 Maka y 3 masing-masing ruas kemudian diintegrasikan ke maka, d 3 ( y) 3 d( y) Ingat jika d ( ) maka d ( y) y, sehingga 4 y + c 4 Persamaan Diferensial Orde 0
Jika soal diatas dikerjakan dengan menggunakan rumus FI maka akan lebih singkat : y. FI Q. FI. Dari penyelesaian diatas diketahui FI dan Q sehingga y.. yang menghasilkan 4 y + c 4 Persamaan Diferensial Orde
contoh : Pecahkanlah 5y 7 Jawab 5y 5y dengan P 6 7 masing-masing dibagi sudah berbentuk persamaan linier ordopertama Q 6 5 + py Q Faktor Integral (FI) e p Dimana Jadi (FI) 5 5 5 ln( ) e -5 5 e 5-5 ln ln -5 Rumus Faktor integral y. FI Q. FI. y. FI Q. FI. y.. 5 y 6. 5 5. Persamaan Diferensial Orde
y 5 + c jika semua ruas dikalikan 5 7 y + c. 5 Persamaan Diferensial Orde 3