Persamaan Diferensial

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Persamaan Diferensial"

Hendra Indradjaja
9 tahun lalu
Tontonan:

1 TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya PD linier homogen orde 2 Bentuk umum PD linier order dua dengan koefisien konstan adalah : ay" + by + cy = f(x) (1) dengan a, b, dan c adalah konstanta Jika f x = 0, maka ay" + by + cy = 0, disebut PD linier homogen orde 2, sedang jika f x 0, maka disebut PD linier non homogen orde 2. 1

2 Solusi PD homogen ditentukan dengan memperkenalkan pengertian kebebasan linier dan Wronskian dari dua fungsi berikut terlebih dahulu. Dua buah fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linier pada interval I, bila persamaan kombinasi linier dari dua fungsi tersebut, m f(x) + n g(x) = 0, untuk setiap x I (2) hanya dipenuhi oleh m = n = 0. Jika tidak demikian, maka dikatakan f(x) dan g(x) tidak bebas linier atau bergantung linier. Jika diberikan dua fungsi f(x) dan g(x) yang diferensiabel untuk setiap x, maka Wronskian dari f(x) dan g(x) didefinisikan : f(x) g(x) W f x, g x = (3) f (x) g (x) Sifat dari kebebasan linear dan wronskian dari dua fungsi f(x) dan g(x) diberikan sebagai berikut : Dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada I bila dan hanya bila wronkian dari dua fungsi tersebut, W[f(x),g(x)] K 0 untuk setiap x I. 2

3 Dari PD order satu didapatkan sebuah solusi, sedangkan PD order dua homogen didapatkan dua buah solusi yang bebas linear. Jika y 1 (x) dan y 2 (x) merupakan solusi PD homogen dan keduanya bebas linear, maka kombinasi linear dari keduanya merupakan solusi umum PD homogen, yaitu : y = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) (4) Selanjutnya dalam menentukan solusi PD homogen dilakukan hal berikut. Jika y = e mx merupakan solusi PD homogen : ay"+ by + cy = 0, dengan mensubstitusikan solusi tersebut dan turunannya ke dalam PD didapatkan : a e mx " + b e mx + ce mx = 0 e mx am 2 + bm + c = 0 (4) Dikarenakan e mx K 0, "x, maka am 2 + bm + c = 0 dan disebut persamaan karakteristik dari PD. Akar persamaan karakteristik dari PD adalah : m 1,2 = b± b2 4ac = b± D (5) 3

4 Kemungkinan nilai m 1 dan m 2 pada Pers. (5), tergantung dari nilai D, yaitu : 1. Jika D > 0, maka m 1 K m 2 (akar karakteristik riil dan berbeda) 2. Jika D = 0, maka m 1 = m 2 (akar karakteristik riil dan sama) 3. Jika D < 0, maka m 1, m 2 merupakan bilangan imajinier (akar karakteristik kompleks) 1. Akar karakteristik riil dan berbeda (D > 0) Jika persamaan karakteristik dari PD : ay"+ by + cy = 0 merupakan bilangan riil dan berbeda (m 1 K m 2 ), maka y 1 = e m 1x dan y 2 = e m 2x merupakan solusi bebas linier dari PD homogen tersebut. Solusi umum PD dapat ditulis seperti berikut : y = C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 e m 1x + C 2 e m 2x (6) Sedangkan solusi khusus PD dapat diperoleh dengan mencari nilai C 1 dan C 2 dari nilai awal yang diberikan. 4

5 Contoh 1 : Diketahui PD : y 5y + 6y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y (0) = 0 Jawab : 1. Persamaan karakteristik PD : m 2 5m + 6 = 0, mempunyai akar m 1 = 3 dan m 2 = 2. Solusi umum PD : y = C 1 e 3x + C 2 e 2x 2. Substitusi nilai awal kedalam solusi umum PD : y = C 1 e 3x + C 2 e 2x dan turunan pertamanya : y = 3C 1 e 3x + 2C 2 e 2x didapatkan C 1 = -2 dan C 2 = 3. Sehingga solusi khusus PD : y = 2e 3x + 3e 2x 5

6 2. Akar karakteristik riil dan sama (D = 0) Jika persamaan karakteristik dari PD : ay"+ by + cy = 0 merupakan bilangan riil dan sama m = b, maka salah satu solusi (solusi kesatu PD) adalah : y 1 = e mx = e bx (7) Untuk menentukan solusi yang lain (solusi kedua PD), didapatkan dengan pemisalan : y 2 = v x y 1 = v(x)e bx (8) Fungsi v(x) pada Pers. (8) dapat dicari dengan mensubstitusikan solusi kedua dan turunannya ke dalam PD. Cara ini dikenal dengan nama Metode Urutan Tereduksi. y 2 = v(x)e bx y 2 = v x e bx y 2 " = v" x e bx b v x e bx b v x e bx a + b2 4a2 v x e bx 6

7 a v"(x) b a b2 v (x) + 4a2 v x e bx + b v (x) b v(x) e bx + cv(x)e bx = 0 a v"(x) b b2 v (x) + v x + b v (x) b v(x) + cv(x) = 0 a 4a 2 av"(x) b2 4a c v(x) = 0 karena b 2 4ac = 0, maka v (x) = 0, sehingga : v x = C 1 + C 2 x Jadi satu solusi lain y(x) adalah : y x = v x e b x = C 1 + C 2 x e b x Karena satu solusi PD telah diketahui, yaitu : y x = C 1 e b x maka solusi lain yang dimaksud adalah : y x = C 2 xe b x Sehingga solusi umum PD menjadi : y x = C 1 e b x + C 2 xe b x 7

8 Contoh 2 : Diketahui PD : y y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y (0) = 1 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD : m = 1. Solusi umum PD : y = C 1 e x + C 2 xe x 2. Solusi umum PD : y = e x 2xe x 3. Akar karakteristik kompleks (D < 0) Jika akar karakteristik dari PD : ay"+ by + cy = 0 merupakan bilangan kompleks : m 1 = p + iq dan m 2 = p iq dengan : i = 1 p = b q = D 8

9 maka solusi umum PD dapat ditulis : y = C 1 e m 1x + C 2 e m 2x = C 1 e (p+iq)x + C 2 e (p iq)x (10) Dengan menggunakan rumus Euler : e iy = cos y + i sin y, didapatkan : y = C 1 e px cos qx + i sin qx + C 2 e px cos qx i sin qx = C 1 + C 2 e px cos qx + i C 1 C 2 e px sin qx Karena solusi PD yang diharapkan dalam fungsi bernilai riil, maka dapat diambil C 3 = C 1 + C 2 dan C 4 = i(c 1 C 2 ). Sehingga didapatkan solusi umum PD : y = e px C 3 cos qx + C 4 sin qx (11) Dari Pers. (11) terlihat bahwa solusi pertama dan solusi kedua PD : y 1 = e px cos qx y 2 = e px sin qx merupakan solusi bebas linier. 9

10 Contoh 3 : Diketahui PD : y + 4y = 0, tentukan : 1. Solusi umum PD 2. Solusi khusus PD, jika y(0) = 1 dan y (0) = 3 Jawab : 1. Akar persamaan karakteristik PD : m = E 3i, didapatkan p = 0 dan q = 3. Solusi umum PD : y = C 3 cos 3x + C 4 sin 3x 2. Substitusi nilai awal kedalam solusi umum PD dan turunan pertamanya, didapatkan C 3 = 1 dan C 4 = -1. Sehingga solusi khusus PD : y = cos 3x sin 3x 10

11 Latihan : Tentukan solusi umum PD berikut : 1. y +5y -6yJ0 4. y +2y +5yJ0 2. y +2y -3yJ0 5. y -4y +4yJ0 3. y +2y +8yJ0 6. y -4y +7yJ0 Tentukan solusi khusus PD berikut : 7. y -6y +9yJ0 ; y(0)j1, y (0)J0 8. y -4y +7yJ0 ; y(0)j-1, y (0)J0 9. y +3y -4yJ0 ; y(0)j0, y (0)J y +3y -10yJ0 ; y(0)j0, y (2)J1 Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya! 11

dokumen-dokumen yang mirip

Persamaan Diferensial

TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Homogen & Non Homogen Tk. n (Differential: Linier Homogen & Non Homogen Orde n) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan