BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

Transkripsi

1 BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan hanya oleh satu macam variabel bebas, x dan konstanta. Contoh : y = cos x ( 2-1 ) y +4y = 0. ( 2-2 ) x 2 y y +2e x y = (x 2 +2)y 2 ( 2-3 ) Bila pada PD terdapat dua atau lebih variabel bebas yang tidak spesifik, maka persamaan tersebut dina-makan PD Parsial. u u Contoh : + = 0 ( 2-4 ) 2 2 x y PD orde 1, y = g(x) disebut solusi PD orde 1 untuk sembarang harga x dalam interval : a < x < b 2 2 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 1

2 Contoh 1 Cari solusi dari y = 2y Karena dy = 2ydx Maka solusinya y = e 2x + k ; k = konstanta Contoh 2 Cari solusi dari yy = -x Karena ydy = -xdx dan solusinya < 1 x 2 + y 2 = 1 untuk -1 < x Contoh 3 Cari solusi dari y = cos x Karena dy = cos x dx Maka solusinya y = sin x + k ; k = konstanta SOAL-SOAL LATIHAN 1 Cari solusi dari soal-soal di bawah ini : 1. y + y cotg x = 0 6. y + 2xy = 0 2. y + ½ y = 0 7. y + y x = -y 3. y + (y/x) = 0 8. x + y = xy 4. y yx2 + y = 0 9. y - x x = 0 5. xy + y = cos x 10. xy + y = e -xy AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 2

3 2. METODE PEMISAHAN Misalkan PD g(y)y = f(x) ( 4 ) bila y = dy/dx maka g(y) dy = f(x) dx ( 5 ) Diintegralkan g(y) dy = f(x) dx + k ( 6 ) f dan g merupakan fungsi kontinyu Contoh 1 9yy + 4x = 0 Dng pemisahan 9y dy = - 4x dx 9y dy = - 4x dx 9/2) y x 2 = k [(x 2 )/9] + [(y 2 )/4] = k Contoh 2 y = -2xy (dy / y) = (-2x) dx (dy / y) = (-2x) dx ln(y) = -x 2 + k atau y = e (-x2 + k) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 3

4 Contoh 3 (x 2 + 1)y + y = 0 Pemisahan Diintegralkan 1 dy 1 dx y 2 = ( + 1) (x 2 + 1) arc tan y + arc tan x = k Bila kedua ruas di tangens kan : dan tan(arc tan y + arc tan x) = tan k tan(a + b) = tan a + tan b 1 tan a tan b maka untuk a = arc tan y dan b = arc tan x, diperoleh tan( arc tany+ arc tanx ) = y 1 + x xy Sehingga solusi akhirnya menjadi : y + x 1 xy = tan k AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 4

5 SOAL-SOAL LATIHAN 2 Cari solusi dari soal-soal di bawah ini, bila parameter-parameter a, b, dan n adalah konstanta : 1. y + xy = 0 2. y = - [ (x-a)/(y-b) ] 3. y - (ny)/x = 0 4. yy = 2x exp(y 2 ) 5. y sin 2x = y cos 2x 6. yy + x = 0 7. y - y /(x ln x) = 0 8. y + ay + b =0 ( a 0 ) 9. xy = 2 (y-1) 10. y + 2y tanh x = 0 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 5

6 3. METODE REDUKSI Digunakan untuk memisahkan PD orde 1 yang tak dapat dipisahkan y ' = g ( y x ) ( 2-7 ) Misalkan (y/x) = u maka y = u + u x ( 2-8 ) dan Sehingga g(y/x) = g(u) u + u x = g(u) Bila variabel u dan x dipisahkan, maka : du g(u) u dx x Selanjutnya bila diintegralkan dan u diganti dengan (y/x), akan diperoleh solusi yang dicari. Contoh 1 2xyy y 2 + x 2 = 0 bagi dengan x 2 2 (y/x) y (y/x) = 0 Misalkan u = y/x 2 u (u + u x) u 2 +1 = 0 = AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 6

7 2u 1 + du u 2 = dx x Bila diintegarlkan, maka hasilnya : ln ( 1 + u 2 ) = - ln x + k atau 1 + u 2 = (k/x) Gantikan u dengan (y/x), maka solusi akhirnya: x 2 + y 2 = kx ( x k/2 ) 2 + y 2 = (k 2 )/4 atau Contoh 2 (2x 4y + 5)y + x 2y + 3 = 0 misalkan x 2y = u ; y = ½ (1 u ) sehingga ( 2u + 5 ) u = 4u + 11 ( 1 1 ) du = 2 dx 4u + 11 u ¼ ln 4u +11 = 2x + k Bila u = x-2y disubstitusikan, maka : 4x + 8y + ln (4x 8y + 11) = k AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 7

8 SOAL-SOAL LATIHAN 3 Cari solusi dari soal-soal di bawah ini : 1. xy = x + y 2. xy 2 y = 3x 3. x 2 y - y 2 = x 2 xy 4. (x 2 + 1)y = x 3 / (xy -y) 5. xy y = x 2 tan (y/x) 6. xy x 2 sec (y/x) = y 7. y ( y+x ) = y-x ; y(1) = yy xy = y + x ; y(0) = xy y = (y-x) 2 ; y(1) = xyy 4x 2 = 2y 2 ; y(2) = 4 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 8

9 4. FAKTOR INTEGTRAL Misalkan terdapat PD orde 1 linier : y + f(x). y = r(x) ( 2-9 ) Bila r(x) 0, disebut PD Homogen sebaliknya disebut PD Non Homogen dy + [ f(x)y ] dx = r(x) dx Untuk mencari solusinya, asumsikan f dan r kontinyu pada interval I. PD non homogen, asumsikan f(x) f dan r(x) r, maka : dy + ( fy ) dx = r dx (fy r) dx + dy = 0 ( 2-10 ) Untuk dapatkan soludinya diperlukan suatu faktor F(x) yang hanya tergantung dari x. F(x) disebut FAKTOR INTEGRAL F(x) [(fy r)] dx + F(x) dy = 0 ( 2-11 ) PD ini harus EKSAK AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 9

10 5. PD EKSAK Suatu PD M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ( 2-12 ) Disebut eksak bila memenuhi : M y = N x Substitusikan pers.(2-11) ke dalam pers.(2-12): y [ F(x)(fy r) ] = d F(x) f. F(x) = d dx F(x) dx ln F = f(x) dx Bila maka h(x) = f(x) dx F(x) = e h(x) ( 2-13 ) F(x) adalah FAKTOR INTEGRAL AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 10

11 Kalikan pers.(9) dengan pers.(13), d dx ( ye h ) = e h. r e h ( y + f y)= e h. r ( 2-14 ) Ingat dan h = h(x) = f(x) dx h = (dh/dx) = f(x), Perhatikan persamaan (14) d (y. e h ) = y. e h + y. e h (dh/dx) = [ y + (dh/dx).y ] e h = [ y + f. y ] e h Maka y. e h = r. e h dx + k ( 2-15 ) Bila pers. (15) dijabarkan : Kedua ruas dibagi dengan e h, sehingga didapatkan : y = e -h [ e h r dx + k ] ( 2-16 ) dengan h = h(x) = f(x) dx AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 11

12 Contoh 1: xy + y + 4 = 0 y + (1/x) y = -(4/x) y + f y = r f = (1/x) dan r = -(4/x) h = h(x) = f(x) dx = (1/x) dx = ln x y = e -ln x [ e ln x -(4/x) dx + k ] y = e ln (1/x) [ -4 dx + k ] y = (1/x) (-4x + k ) = (k/x) 4 Contoh 2: y + y tan x = sin 2x ; y(0) = 1 f = tan x dan r = sin 2x h = f(x) dx = tan x dx = -ln cos x y = e ln cos x [ e -ln cos x sin 2x dx + k ] = cos x [ {-(sin 2x)/(cos x)} dx + k ] = cos x [ 2 cos x + k ] y = k cos x + 2 cos 2 x y(0) = 1 maka k = -1 dan y = 2 cos 2 x cos x AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 12

13 Contoh 3 : y y = e 2x f(x) = -1 ; r = e 2x ; h = f(x) dx = -x y = e x [ e -x (e 2x ) dx + k ] = e x ( e x + k ) = ke x +e 2x SOAL-SOAL LATIHAN 4 Carilah solusi dari soal-soal di bawah ini : 1. y + y = 1 2. xy + y = 2x 3. y + xy = 2x 4. y + 2y = cos x 5. y + 3y = e 2x y tan x +1 = y 7. y = 2(y/x) + x 2 e x 8. (x 2-1) y = xy x 9. y y = e x ; y(1) = y x 3 y = -4x 3 ; y(0) = 6 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 13

14 6. PERSAMAAN BERNOULLI Digunakan untuk menyelesaikan PD orde 1. Bentuk umum persamaan : y + f(x) y = g(x) y m (2-17) Dimana a = sembarang bilangan riel Untuk m = 0 dan m = 1, PD menjadi linier Tinjau u(x) = y (1-m) du = (1-m) y -m dy du/dx = (1-m) y -m dy/dx u = (1-m) y -m y Kalikan PD semula dengan (1-m) y -m [(1-m)y -m ] y +f(x) y [(1-m) y -m ]= g(x) y m [(1-m) y- m ] (1-m)y -m y + (1-m) f(x) y (1-m) = (1-m) g(x) u + (1-m) f(x) u = (1-m) g(x). (2-18) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 14

15 Contoh : 1. Cari solusi dari y + x -1 y = x -1 y 2 Penyelesaian : y +(1/x) y = (1/x) y 2 f(x) = 1/x ; g(x) = 1/x ; m=2 maka u = y (1-2) u + (1-m)f(x) u = (1-m) g(x) u (1/x) u = -(1/x) Selanjut gunakan faktor integral. h = f(x) dx = -(1/x)dx = - ln(x) ; r = -(1/x) u= e ln(x) [ e -ln(x) (-1/x) dx + k ] = x [ -(1/x 2 ) dx + k ] = kx + 1 u = y -1 = kx + 1 sehingga y = 1/(kx + 1) 7. PERSAMAAN CAUCHY/EULER Persamaan Cauchy atau disebut juga Persamaan Euler adalah persamaan yang digunakan untuk menyelesaikan PD orde 2. Bentuk umum persamaan : x 2 y + axy + by = 0 ( 2-19 ) dengan a dan b = konstanta AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 15

16 Perhatikan y = x m ( 2-20 ) Bila diturunkan, menjadi y = m x (m-1) ( 2-21 ) Y = m(m-1) x (m-2) ( 2-22 ) Bila persamaan (2-20), (2-21) dan (2-22) disubstitusikan ke dalam persamaan (2-19), maka persamaan tersebut menjadi : x 2 [m(m-1) x (m-2) ] + ax[m x (m-1) ] + b[x m ]=0 m(m-1) x m + am x m + bx m =0 m 2 x m + (a-1)m x m + bx m =0 m 2 + (a-1)m + b = 0 ( 2-23 ) Kondisi khusus : 1. Nilai akar-akar m 1 dan m 2 berbeda (m 1 m 2 ); Solusi umumnya y 1 = x m1 dan y 2 = x m2 k 1 = k 2 = konstanta y = k 1 x m1 +k 2 x m2 ( 2-24 ) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 16

17 Nilai akar-akar m 1 =m 2. Nilai-nilai m 1 = m 2 bila dan hanya bila b = (1/4)(1-a) 2 ; m 1 = m 2 = [(1-a)/2] dan solusi umumnya adalah : y = (k 1 + k 2 ln x) x m ( 2-25 ) dengan k 1 dan k 2 adalah konstanta Contoh 1. Carilah solusi dari x 2 y 1.5 xy 1.5 y = 0 Penyelesaian y = kx m ; a = -1.5 dan b = -1.5 (a-1)m + b = 0 m 2 + (-1.5-1)m = 0 m 2-2.5m = 0 Akar-akar persamaannya : m 1 = -0.5 dan m 2 = 3 y 1 = x m1 = x (-0.5) = 1/( x) y 2 = x m2 = x 3 Maka solusi umumnya adalah : y = [k 1 /( x)] + k 2 x 3 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 17

18 2. Carilah solusi dari x 2 y 3xy + 4y = 0 Penyelesaian : Lihat persamaan (2-19) ; x 2 y + axy + by = 0 a = -3 dan b = 4 Periksa nilai-nilai m : b = (1/4)(1-a) 2 b = (1/4)(1+3) 2 = 4 ; m 1 = m 2 = [(1-a)/2] (memenuhi syarat) maka m1,2 = (1+3)/2 = 2 Cara lain : y = x m a= -3 dan b = 4 m 2 + (a-1)m + b = 0 m 2 + (-3-1)m + 4 = 0 m 2-4m + 4 = 0 (m-2) 2 = 0 ; m 1,2 = 2 Solusi umum : y = k 1 x 2 + k 2 x 2 ln X AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 18

19 8. AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK Bentuk umum persamaan y + ay + by = 0 ( 2-26 ) Bila solusinya adalah persamaan karakteristik λ, maka λ 2 + aλ + b = 0 ( 2-27 ) dan akar-akarnya yaitu λ 1 = [-a + (a 2 4b)]/2 ( 2-28 ) λ 2 = [-a - (a 2 4b)]/2 ( 2-29 ) a dan b adalah bilangan real (nyata) dan D = (a 2 4b) ( 2-30) D = Diskriminan Persamaan karakteristik yang terbentuk : Kasus 1 : D > 0 ; ada 2 akar nyata berbeda Kasus 2 : D = 0 ; ada 2 akar nyata kembar (harganya sama) Kasus 3 : D < 0 ; ada 2 akar kompleks conjugate (*) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 19

20 Kasus 1 : D > 0 (dua akar nyata berbeda harga) (a 2 4b)> 0 Solusi umumnya y 1 = e λ1 X dan y 2 = e λ2 X y = k 1 e λ1 X + k 2 e λ2 X ( 2-31 ) Contoh : Carilah solusi umum dari PD di bawah ini : y + y - 2y = 0 λ 2 + λ -2 = 0 (λ -1)(λ + 2) =0 λ 1 = 1 dan λ 2 = -2 Solusi umumnya y = k 1 e X + k 2 e -2 X AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 20

21 Kasus 2 : D = 0 ( dua akar nyata ganda berharga sama) (a 2 4b) = 0 ; b = (1/4)a 2 Disebut kondisi kritis y + ay + (1/4)a 2 y = 0 ( 2-32 ) akar ganda λ = -(a/2) Solusi 1. Hanya ada 1 solusi yaitu : y 1 = e λ X dengan λ = -(a/2) 2. Solusi lain y 2y2 (x) = u(x)y 1 (x) dengan y 1 (x) = e (-ax/2) Hitung u dan substitusikan y 2 dan turunannya ke dalam persamaan ( 7 ). sehingga menjadi : u{y 1 +ay 1 + (1/4) a 2 y 1 } + u(2y 1 +ay 1 ) + u y 1 = 0 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 21

22 1. Karena y 1 adalah solusi 1 ; { y 1 +ay 1 + (1/4) a 2 y 1 } = 0 2. Karena 2y 1 = 2(-a/2) e -(ax/2) = ay 1 (2y 1 +ay 1 ) = 0 sehingga u y 1 = 0, karenanya u = 0, Solusi u = x memberikan : y 2 (x) = xe λ X ; λ = -a/2 Dalam kasus akar ganda, basis dari solusi 1. pada setiap interval adalah : e λ X dan xe λ X untuk λ = -a/2 Sehingga Solusi umum PD pada kasus akar ganda ialah : y = (k 1 + k 2 x) e λ X ( 2-33 ) dengan λ = -a/2 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 22

23 Contoh : Carilah solusi umum dari PD berikut ini 1. y + 8y + 16 y = 0 Jawab: λ λ +16 = 0 Akar ganda ; λ = -4 Basis solusi adalah : e -4x dan x e -4x Sehingga solusi umumnya adalah : y = (k 1 + k 2 x) e -4x 2. y - 4y + 4y = 0 ; y(0) = 3 ; y (0) = 1 Jawab : λ 2-4λ +4= 0 Akar ganda ; λ = -2 Basis solusi adalah : e -2x dan x e -2x Solusi umum : y = (k 1 + k 2 x) e -2x AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 23

24 Bila diturunkan, akan didapatkan : y (x) = k 2 e 2x + 2(k 1 +k 2 x)e 2x Substitusikan harga-harga yang diketahui : y(0) = 3 dan y (0) = 1 sehingga didapatkan k 1 = 3 dan k 2 + 2k 1 = 1 k 1 = 3 dan k 2 = -5 Solusi umumnya menjadi : y = (3 5x) e 2x Kasus 3 : D < 0 ; ada 2 akar kompleks conjugate (*) Akar-akar kompleks haruslah conjugate (*) λ 1 = p + j q dan λ 2 = p - j q AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 24

25 dengan p dan q adalah real ; q 0 dengan asumsi a dn b juga real. 1. Terbentuk basis : y 1 = e (p+jq)x y 2 = e (p-jq)x Dengan menerapkan rumus Euler e jθ = cos θ + j sin θ e- jθ = cos θ -j sin θ Anggap θ = qx, sehingga dari rumus Euler didapatkan : y 1 = e (p+jq)x = e px e jqx y 1 = e px (cos θ + j sin θ ) y 2 = e (p-jq)x = e px e- jqx y 2 = e px (cos θ -j sin θ ) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 25

26 ½ (y 1 + y 2 ) = e px cos qx (1/2j)(y 1 y 2 ) = e px sin qx 2. Terbentuk basis untuk setiap interval, yaitu : e px cos qx dan e px sin qx Sehingga solusi umumnya adalah : y(x) = e px (A cos qx + B sin qx) ( 2-34 ) dengan A dan B adalah konstanta Contoh : 1. Carilah solusi dari PD berikut ini y y + 10 y = 0 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 26

27 Jawab : Persamaan karakteristiknya λ 2-2λ +10 = 0 akar-akarnya λ = p + jq = 1 + j3 λ = p jq = 1 j3 berarti p = 1 dan q = 3 sehingga memberikan basis e x cos 3x dan e x sin 3x Solusi umumnya : y = e x (A cos 3x + B sin 3x) 2. Carilah solusi dari PD berikut ini y y + 10 y = 0 ; y(0) = 4 ; y (0)=1 Jawab : Solusi umum (lihat jawaban akhir soal di atas) y = e x (Acos 3x + Bsin 3x 3Asin 3x + 3Bcos 3x) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 27

28 Dari nilai-nilai awal di dapatkan : y(0) = A = 4 y (0) = A + 3B = 1 ; B = -1 maka solusi umumna adalah : y = e x (4 cos 3x - sin 3x) 3. Carilah solusi dari PD berikut ini y + ω 2 y = 0 ω = konstanta 0 Jawab : Solusi umumnya adalah y = A cos ωx + B sin ωx AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 28

29 IKHTISAR PERSAMAAN KARAKTERISTIK PD HOMOGEN ORDE 2 Kasus 1 Akar-akar : Real λ 1, λ 2 Basis : e λ1x, e λ2x Solusi Umum : y = k 1 e λ1x + k 2 e λ2x Kasus 2 Akar-akar Basis Solusi Umum : Real Ganda, λ (=-a/2) : e λx, xe λx : y = (k 1 + k 2 x)e λx Kasus 3 Akar-akar Basis Solusi Umum : Kompleks, Conjugate λ 1 = p + jq ; λ 2 = p - jq : e px cos qx ; e px sin qx : y = e px (A cos qx + B sin qx) AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 29

30 SOAL-SOAL LATIHAN 5 Selesaikan PD berikut ini : 1. y -2y 3 y = y -4y +y=0 2. y -2y + y = y -2y -y=0 3. y - 6y + 25y = 0 8. y + 2ky + k 2 y =0 4. y + 6y + 9y = 0 9. y + π 2 y=0 5. 2y + 3y - 2y = y + 2y +(π 2 +1)y =0 11. y 4y = 0 ; y(0) = 2 ; y (0) = y + 4y = 0 ; y(0) = 0 ; y (0) = y - 6y + 9y = 0 ; y(0) = 2 ; y (0) = y + 2y + y = 0 ; y(0) = 1 ; y (0) = y + 4y + 5y = 0 ; y(0) = 1 ; y (0) = y + 4y + y = 0 ; y(0) = -2 ; y (0) = y - 3y + 2y = 0 ; y(0) = -1 ; y (0) = 0 AGUS R UTOMO DEPEARTEMEN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK - UNIVERSITAS INDONESIA 30