Soal Babak Penyisihan MCSHS (Mathematics Competition for Senior High School) Olimpiade Matematika SMA

Transkripsi

1 Soal Babak Penyisihan MCSHS () Olimpiade Matematika SMA. Bilangan - merupakan bilangan... a. Bulat negatif c. Pecahan e. Irrasional negatif b. Bulat positif d. Irrasional positif. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini bertambah cepat % dibandingkan dengan yang dikerjakannya kemarin. Banyaknya soal yang dikerjakan Amin hari ini paling sedikit ada... a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. Tidak bisa ditentukan. Jika dengan > dan, maka + sama dengan... a. -7 b. -5 c. - d. - e. -. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 7. Banyaknya himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah... a. 6 b. c. d. 6 e Misalkan N sebuah bilangan asli dua-angka dan M adalah bilangan asli yang diperoleh dengan mempertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N- M adalah... a. b. c. 7 d. 9 e. 6. Diketahui dan F +, maka nilai F adalah... a. b. c. d. e. 7. Sebuah kapur barus berbentuk tabung dengan diameter lingkaran alasnya sama dengan tinggi tabung. Kapur barus tersebut menyublim sedemikian rupa sehingga bentuknya selalu berbentuk tabung yang diameter alasnya sama dengan tinggi tabung. Laju perubahan volum kapur barus terhadap tingginya pada saat tingginya satuan adalah... a. b. c. d. e. 8. Nilai yang memenuhi adalah... Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

2 a. + 6 c. + 6 e. + 6 b. + d dan adalah akar-akar dari persamaan. Jika p bilangan asli dan maka... a. b. c. d. 5 e. 7. Antara pukul 9. dan. jarum panjang dan pendek suatu arloji akan berimpit pada pukul 9. lebih... a. menit c. menit e. menit b. menit d. menit. Peluang menemukan di antara orang ada paling sedikit orang yang lahir dalam bulan yang sama adalah... a. b. c. d.. e.. Pertidaksamaan mempunyai sifat... a. a dan b positif c. a positif dan b negatif e. b. a dan b berlawanan tanda d.. Jika dan, maka... a. c. e. b. d.. Diketahui dan. Nilai adalah... a. c. e.. b. d. 5. Persamaan garis singgung kurva di titik adalah... a. c. e. b. d. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

3 6. Deret Geometri terdiri dari 8 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah dan jumlah tiga suku terakhir adalah 67. Jumlah deret geometri tersebut adalah... a. 69 c. 77 e. 7 b. 765 d Jumlah bilangan-bilangan antara 5 dan yang habis dibagi 9 adalah... a. 555 c e b d a. 7-8 c e. + 5 b d Jumlah dua bilangan adalah. Tentukan masing-masing bilangan tersebut agar hasil kali bilangan yang satu dengan kuadrat bilangan yang lain maksimum... a. 8 dan b. dan 5 d.. Nilai dari 8 + d... c. dan e. dan a. 7 b. 86 c. d. e dan p. Nilai dari ( ) 9 p adalah... a. b. c. d. e. 8. Garis dengan persamaan + y + dicerminkan terhadap garis y dan dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks bayangannya adalah.... Tentukan persamaan a. c. y e. + b. + d. y +. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk cm. Panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah... a. 6 b. 6 c. 6 d. e. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

4 a c e 5a c c e + e. Jika 6, maka b d f 5b d d f + f. a. 8 b. 6 c. 6 d. 5 e Dua orang gadis, Linda dan Yuli, menjual sari buah lemon. Untuk setiap gelas sari buah lemon, Linda digaji % lebih sedikit dibanding Yuli. Tetapi setiap harinya Linda mempersiapkan % sari buah jeruk lebih banyak dari Yuli. Kesimpulan yang paling tepat adalah a. Linda mendapat gaji % lebih sedikit dari Yuli b. Linda mendapat gaji % lebih sedikit dari Yuli c. Linda dan Yuli mendapatkan gaji yang sama banyaknya d. Linda mendapat gaji % lebih banyak dari Yuli e. Linda mendapat gaji % lebih banyak dari Yuli 6. Nilai yang memenuhi persamaan adalah. a. atau - c. - e. b. atau d. [ ( ( ))] 7. Nilai z yang memenuhi log log log z log log z log log z log( L). a. b. 5 c. 5 d. z adalah 5 e Jumlah dari kebalikan akar-akar persamaan kuadrat ; n adalah. Nilai n adalah a. b. c. d. e. 9. Suatu lingkaran diputar dengan R(,9 o ) kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah a. b. c. d. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

5 e.. Hitunglah 776 9! (mod ) dengan kata lain berapakah sisa jika 776 9! dibagi? a. 86 b. 67 c. 76 d. 97 e. 55. Determine the value of 8 ( + ) d... a. 7 6 b. 7 c. 7 9 d. 7 e. 7. Nilai yang memenuhi persamaan + y 5 y 8 adalah... a. + 5 log c. + 5 log e. + log5 b. + 5 log d. 6+ log5. Terdapat kubus tanpa alas dan tutup, panjang rusuk kubus cm. Tentukan jarak terpendek yang ditempuh semut dari A ke B dengan mengelilingi seluruh sisi kubus adalah... B A a. b. c. d. e.. A positive integer is to be placed in each bo. The product of any four adjacent integers is always. What is the value of? a. b. c. d. e. 5 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

6 5. Henri scored a total of points in his basketball team s first three games. He scored of these points in the first game and did he score in the third game? of these points in the second game. How many points a. b. c. d. e In the sequence of fractions...fractions equivalent to any given fraction occur many times. For eample, fractions equivalent to occur for the first two times in positions and. In which position is the fifth occurrence of a fraction equivalent to? a. c. 9 e. b. 8 d. 7. The 5th term in the sequence 5, 6, 7, 8, 9, is... a. 5 9 c. 5 5 e. 6 5 b. 5 5 d When is divided by, the remainder is... a. b. c. d. 6 e In a school, 5 students voted on each of two issues. Of these students, 75 voted in favour of the first issue, 75 voted in favour of the second, and students voted against both issues. How many students voted in favour of both issues? a. 95 b. c. 5 d. 9 e.. Evaluate ( 5)+( 8)+( 6) a. b. 56 c. d. 56 e. 6. A triangle can be formed having side lengths, 5 and 8. It is impossible, however, to construct a triangle with side lengths, 5 and 9. Ron has eight sticks, each having an integer length. He observes that he cannot form a triangle using any three of these sticks as side lengths. The shortest possible length of the longest of the eight sticks is... a. b. c. d. e.. Jika diketahui sin A, maka nilai dari cos A adalah Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

7 a. b. c. d. e.. Persamaan lingkaran yang berpusat di (,-) dan menyinggung garis adalah. a. b. c. d. e.. Tentukan bilangan dengan tepat yang memiliki 8 pembagi positif yang hasil kali pembagipembaginya sama dengan 776. a. b. c. 5 d. 6 e Tentukan Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk n n n untuk n, 5, dan 7,... a. b. c. d. e. 6. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 7, sedangkan jumlah suku-suku yang bernomor genap adalah. Suku pertama deret tersebut adalah a. b. c. d. e. 7. Tentukan semua pasangan bilangan bulat positif (a, b) yang memenuhi : FPB(a, b) + KPK(a, b) a + b + 6 a. (, 7), (, 5), (5, ), (6, 9), (7, ), (9, 6) b. (, 8), (, ), (, ), (6, 9), (8, ), (9, 6) c. (, 7), (, ), (, ), (6, 9), (7, ), (9, 6) d. (, 7), (, 5), (5, ), (6, 9), (7, ), (9, 6) e. (, 7), (, ), (, ), (6, 8), (7, ), (8, 6) 8. Jumlah 5 suku pertama dari suatu deret geometri adalah 9 dan rasio deret itu. Hasil kali suku ke- dan suku ke-6 adalah a..69 b.. c..5 d. 768 e. 8 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

8 9. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan log ( + 5 +). Tentukan α + β. a. 6 b. 6 c. 5 d. 9 e Sebuah garis l mempunyai kemiringan - dan melalui titik (p,-). Sebuah garis lain, l, tegak lurus terhadap l, di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p, maka a a. + a b. a c. a d. a e. 5 a Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

9 Pembahasan Soal Babak Penyisihan MCSHS () Olimpiade Matematika SMA. Misal : a dan b Jadi bilangan itu a b a b ( + ) ( - ) ab - ab(a-b) Dengan aturan horner akan didapat (bulat positif) Jawaban : b. % Hari ini lebih banyak % dari kemarin, jadi yang dikerjakan hari ini: + kali yang dikerjakan kemarin. Karena jumlah soal yang dikerjakan selalu berupa bilangan asli, maka jumlah soal yang dikerjakan hari ini paling sedikit ada bilangan asli terkecil yang habis dibagi 5) Jawaban : c 5 7(dikali 5 karena 5 adalah. Dipunyai Jelas, Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

10 + + - Jawaban : e. 7 Faktor-faktor positif dari 7 adalah:,, 9,, 669 dan 7 (ada 6 buah) Jadi banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong adalah: Jawaban : d 5. Misal : N + y dan M y + dengan,y bilangan asli yang lebih besar atau sama dengan,dan lebih kecil atau sama dengan 9 N M + y - y 9 9y 9(-y) Jadi N - M selalu habis dibagi 9, dan. Di antara 9, dan hanya yang prima Jawaban : b 6. F Jawaban : b 7. d t V Tabung t t d Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

11 Laju perubahan volum d t Jawaban : b 8. ( + )log 8 (-)(log + log 8) ( + )log 8 - (-)log 8 (-)log log 8 (-)log Jawaban : c 9. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

12 Jawaban : d. Lebihnya Jawaban : b menit. Peluang menemukan orang yang lahir dalam bulan yang sama : Peluang menemukan orang lahir dalam bulan yang sama : Jadi peluang menemukan sedikitnya orang yang lahir dalam bulan yang sama : + Jawaban : a. Oleh karena pangkatnya ganjil, maka. Jawaban : d Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

13 Jawaban : c., Jawaban : a 5. Garis singgung kurva melalui titik maka Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

14 Jadi Persamaan garis yang melalui dengan Jawaban : d 6. Tulis deret geometri 5 6 a + ar + ar + ar + ar + ar + ar + ar 7 Jelas a + ar + ar ar ar 67 r ( a + ar + ar ) 67 ar + 5 r ( a + ar + ar a + ar + ar ) 67 a + ar + ar 5 r 5 r 5 r a + a + a 7 a a deret geometri Jadi jumlah derat geometri tersebut adalah 765. Jawaban : b Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

15 7. Deret bilangan yang habis dibagi 9 antara 5 adalah 5, 6, 7,..., 999. n Maka jumlah bilangannya adalah S n ( a + U n ). U n a + ( n ) b ( n )9 9n n 87 n 9 S n 9 ( ) Jawaban : e Ingat rumus ( a + b) + a b a + b Misal : a + b 5 a b 56 Jelas a 5 b a b 56 ( 5 b) b 56 5b b 56 b 5b + 56 ( b 8 )( b 7) b 8 atau b 7 Untuk b 8 maka a 7 Untuk b 7 maka a 8 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

16 Jadi diperoleh atau Jawaban : b 9. Misal bilangan I bilangan II ( ) f ( ) ( ) Untuk mencari nilai yang mencapai nilai maksimum adalah ' f ( ) 8 ( 8 ) atau 8 syarat untuk mencapai nilai maksimum adalah f "( ) < f "( ) 8 6 Untuk f "() f " 8 Sehingga untuk mencapai maksimum nilai Jadi diperoleh bilangan I dan bilangan II. Jawaban : a. Misal u + Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

17 du d 6 du 6 d du d 6 Jelas 8 + d 8 u du 6 u ( + ) + ( ( + ) 6) ( ( + ) ) 8 6 Jadi nilai dari 8 + d adalah. Jawaban : c. Jelas 9 p ( ) p 5 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 9 ( ) Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

18 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9. Jadi ) ( 9 p p adalah. Jawaban : a. Garis dengan persamaan + + y dicerminkan terhadap garis y dilanjutkan dengan trasformasi dengan matriks Jelas pencerminan terhadap garis y bersesuaian dengan matriks Sehingga M M ' ' y y y ' ' y ' ' y y y ' ' ' y y Diperoleh + + y ' ' ' + + y y ' + + Jadi persamaan bayangan yang terbentuk adalah +.

19 Jawaban : b. H G E F D C A B E tengah-tengah HF AE AE + EE ( ) + (6 ) EE AE EE AE Jadi panjang proyeksi AE pada bidang AFH adalah. Jawaban : e Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

20 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9. 6 f e d c b a, maka a 6b, c 6d, dan e 6f. Jelas f f d d b f f d d b f f d d b e e c c a ( ) f f d d b f f d d b. Jawaban : d 5.Tulis A: jumlah gelas sari jeruk yang dibuat Yuli setiap harinya dan B: jumlah pembayaran untuk setiap gelas sari jeruk. Jelas gaji Yuli per hari adalah A B. Linda menerima % lebih sedikit dari Yuli, berarti 9% dari B atau B 9%, tetapi Linda membuat % lebih banyak dari Yuli, berarti % dari A atau A %. Jadi gaji Linda per hari adalah A % B 9% 99% A B. Jadi Linda mendapat gaji % lebih sedikit dari Yuli. Jawaban : b 6. Jelas 6 ) ( 6) ( ) )( ( ( ) atau ( ) atau. Lakukan pengecekan. Untuk tidak memenuhi persamaan karena menghasilkan penyebut. Jadi nilai yang memenuhi persamaan tersebut adalah. Jawaban : e

21 [ ( ( )] 7. Jelas log z log log z log log z log log z log( L) log log z z log z log z z log L log z log z z log L log z z log z log z z log L log log z log z z log L z z z 5. Jawaban : a 8. Misalkan akar-akar persamaan kuadratnya adalah a dan b. maka Jawaban : e Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

22 9. Persamaan lingkaran Pusat (, B) (,-) Jari-jari R(,9 o ) Jadi, pusat lingkaran bayangannya adalah (,-) Persamaan lingkaran bayangan: Jawaban: a (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) dan seterusnya. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

23 Karena (mod ), maka 776 n 776 n-5 (mod ) untuk n > 5. Jelas bahwa 9! habis dibagi ! (mod ) 76 (mod ) Maka sisa jika 776 9! dibagi adalah 76. Jawaban : c. Misal: u + Maka du d du d Jelas 8 ( ) d u u du du u ( + ) ( ) + ( ) + ) Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

24 . 7 Jadi nilai dari 8 ( ) d +. 7 Jawaban : a + y. Jelas 5 log 5 + y...() y 8 y 8...() Substitusikan persamaan () dan (): log5 + ( 8) log 5 8 log log5 + 8 log5 + 8 ( log5 8) + log5 + Jadi nilai yang memenuhi persamaan Jawaban : e + y 5 y 8 adalah + log5. Karena kenaikannya, maka diperoleh AO Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

25 B Jawaban : c A. Since the product of any four integers is, where an represents the number in the nth bo. Therefore, and similarly,, or more generally, Thus the boes can be filled as follows: Therefore, ()()()() Jawaban : e 5. Henri scored or points in his first game. In his second game, he scored or points. In the third game, this means that he will score ( or 8 points. Jawaban : e 6. In analyzing this sequence of fractions, we start by observing that this large sequence is itself made up of smaller sequences. Each of these smaller sequences is of the form with the denominators increasing from to n and the numerators decreasing from n to. We observe that there is term in the first of these smaller sequences, terms in the second of these, and so on. This can be seen in the following grouping: Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

26 ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( ),... If we take any fraction in any of these smaller sequences, the sum of the numerator and denominator is greater than the number of terms in this smaller sequence. For eample, if we take the first occurrence of, it would occur in the sequence with 9 terms. This implies that the fifth occurrence of a fraction equivalent to, namely, would occur in the sequence with 9 terms, and would be the term in that sequence.since the smaller sequences before this particular sequence have,,,, 8 terms, so the term is term number Jawaban : e 7. If we start by looking at the numerical coefficient of each term we make the observation that if we add to 5 to get the second term and to 5 to get the third term we will then add 9 to 5 to get the fiftieth term. Thus the fiftieth term has a numerical coefficient of 5. Similarly, if we observe the literal coefficient of each term, the first term has a literal coefficient of which has an eponent of. The second term has an eponent of, the third an eponent of so that the eponent of the fiftieth term is 9 which gives a literal part of 5 9. Thus the fiftieth term is 5 9. Jawaban : a 8. Applying the standard division algorithm we would have 9. Jawaban : e The remainder is 8. Let be the number of students who voted in favour of both issues. We construct a Venn Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

27 diagram of the results of the vote: Since the total number of students is 5, then 9 So 9 students voted in favour of both. Jawaban : d. If we add some terms to this series, we would have the following: ( 5)+( 8)+( 6) Each of the negative integers has its opposite included in the sum and each pair of these sums is. This implies that, ( 5)+( 8)+( 6) is. The overall sum is now just or 6. Jawaban : e. If Ron wants the three smallest possible lengths with which he cannot form a triangle, he should start with the lengths, and. (These are the first three Fibonacci numbers). If he forms a sequence by adding the last two numbers in the sequence to form the net term, he would generate the sequence:,,,, 5, 8,,. Notice that if we take any three lengths in this sequence, we can never form a triangle. The shortest possible length of the longest stick is. Jawaban : b. sin A maka cos A cos A - sin A cos A - - cos A cos A- - cos A- cos A cos A Jawaban: d Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

28 . Diketahui persamaan garis singgung Jari-jari lingkaran 5 Persamaan lingkaran: Jawaban : a. Misalkan bilangan tersebut n dengan d, d, d,., d 8 adalah pembagi-pembaginya serta berlaku bahwa d < d < d < d <... < d 8. Jelas bahwa d dan d 8 n. Ingat bahwa d. d 8 d. d 7 d. d 6 d. d 5 n. Maka : d d d d d 5 d 6 d 7 d 8 n 776. n. Maka bilangan tersebut adalah. Jawaban : b 5. Untuk n n n n Maka bilangan terbesar yang membagi n n n untuk n, 5, 7,... adalah. n n n n(n n- ) Karena n ganjil maka n- genap. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

29 n n n n(n k ) n k adalah bilangan genap. Karena n k genap maka n k akan berbentuk p atau p + Jika n k p maka membagi n k membagi n n(n k ) habis dibagi. Jika n k p - maka n k habis dibagi n(n k ) habis dibagi. Maka n n n habis dibagi. Karena bilangan kuadrat berbentuk 8q, 8q +, atau 8q + tetapi n k tidak mungkin berbentuk 8qatau 8q + sebab n ganjil. Maka n k berbentuk 8q + n k habis dibagi 8 Maka n n n habis dibagi 8. Karena n n n habis dibagi dan 8 maka n n n habis dibagi. Faktor Persekutuan Terbesar dari bilangan-bilangan berbentuk n n n untuk n, 5, 7,... adalah Jawaban : e 6. Misalkan deretnya a, ra, r a, r a, Deret untuk yang bernomor genap : ra, r a, Dari ) dan ) diperoleh Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

30 Dari persamaan ) Jadi, suku pertamanya adalah. Jawaban : b 7. Misal FPB(a,b) maka a p dan b q untuk, p, q bilangan asli dan FPB (p,q) KPK (a,b) pq. + pq p + q + 6 Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

31 (p - )(q - ) 6 Ada beberapa kasus : v ; p - ; q - 6, p dan q 7 (a, b) (, 7) v ; p - 6 ; q -, p 7 dan q (a, b) (7, ) v ; p - ; q -, p dan q (a, b) (, ) v ; p - ; q -, p dan q (a, b) (, ) v ; p - ; q -, p dan q (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) ) v ; p - ; q -, p dan q (a, b) (6, 9) v ; p - ; q -, p dan q (a, b) (9, 6) v 6 ; p - ; q - 6, p dan q (Tidak memenuhi sebab FPB(p, q) ). Pasangan (a, b) yang memenuhi adalah (, 7), (, ), (, ), (6, 9), (7, ), (9, 6). Jawaban : c 8. Misalkan suku pertama deret tersebut adalah a. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

32 U ar U 6 ar 5 U. U 6 ar. ar Jawaban : c 9. Jelas log ( + 5 +) log ( + 5 +) log Jadi akar-akar persamaannya adalah b 5 α + β dan a α β c a α + β Jelas untuk + α β α β ( α + β ) ( αβ ) αβ Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

33 Jawaban : d 5. Persamaan garis l y - y m( - ) y + - ( p) y - p. Persamaan garis l y y m( ) y p ( 6) y + p. Garis l dan garis l tegak lurus di (a,b) (a,b) y - p b -a p, (a,b) y + p b a + p. Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9

34 Jadi -a p - p p a + a 5 - p a 5 p - a. Jawaban : c a + p Forum Ilmiah Matematika (FIM) Himatika FMIPA Unnes 9