Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Transkripsi

1

2

3 Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis 1 : Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali tidak mendapat hadiah Premis : Jika Ali tidak mendapat hadiah, maka Ali bersedih Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang sah adalah... a. Jika Ali tidak rajin belajar, maka Ali bersedih b. Jika Ali rajin belajar, maka Ali bersedih c. Ali bersedih d. Ali tidak rajin belajar e. Ali mendapat hadiah Soal : Kesimpulan dari argumentasi berikut : p q q r ~r adalah... a. p b. ~p c. q d. r e. ~q Soal 3 : Diketahui premis : 1 : Jika guru tidak datang, maka semua siswa senang : Ada siswa yang tidak senang Kesimpulan dari kedua premis tersebut yang sah adalah... a. Semua siswa senang b. Ada siswa yang tidak senang c. Guru datang d. Guru tidak datang e. Guru senang Solusi 1 : Misalkan : p : Ali tidak rajin belajar q : Ali tidak mendapat hadiah r : Ali bersedih Argumentasi : p q q r Bentuk Silogisme Kesimpulannya adalah p r Jika Ali tidak rajin belajar maka Ali bersedih (A) Solusi : Perhatikan dua argumentasi pertama p q q r Bentuk Silogisme, kesimpulannya p r p r ~r Bentuk modus Tollens Kesimpulan : ~p (B) Solusi 3 : Misalkan p : Guru tidak datang q : Semua siswa senang Perhatikan bahwa Ada siswa yang tidak senang merupakan negasi dari Semua siswa senang, maka ~q : Ada siswa yang tidak senang p q ~q Modus Tollens, kesimpulannya adalah ~p Guru datang (C) 1

4 Indikator : Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantor Kuantor Universal ( ) : semua, untuk setiap, seluruh,... Kuantor Eksistensial ( ) : ada, beberapa, terdapat,... bentuk baca ingkaran Konjungsi p q p dan q ~(p q) ~p ~q Disjungsi p q p atau q ~(p q) ~p ~q Implikasi p q Jika p maka q ~(p q) p ~q Biimplikasi p q p jhj q ~(p q) (p ~q) (q ~p) Ingkaran dari Kuantor Universal ( ) adalah Kuantor Eksistensial ( ) Kesetaraan p q ~p q p q ~q ~p p q (p q) (q p) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Soal 4 : Ingkaran dari Jika banjir terjadi, maka semua orang mengungsi adalah... a. Banjir terjadi dan semua orang tidak mengungsi b. Banjir tidak terjadi atau ada orang mengungsi c. Banjir terjadi dan ada orang mengungsi d. Banjir terjadi dan ada orang tidak mengungsi e. Banjir tidak terjadi dan semua orang mengungsi Misalkan p : Semua orang afrika berkulit hitam maka (ingkarannya) ~p : Ada orang Afrika yang tidak berkulit hitam Misalkan a : jika ada guru yang tidak masuk, maka semua siswa senang Solusi 4 : Misalkan p : Banjir terjadi q : Semua orang mengungsi Ingkaran dari p q adalah p ~q ~q : Ada orang tidak mengungsi Sehingga ingkarannya adalah Banjir tejadi dan ada orang tidak mengungsi p : ada guru yang tidak masuk q : semua siswa senang ~p : semua guru masuk ~q : ada siswa yang tidak senang a : p q, maka ~a : p ~q maka (ingkarannya) ~a : ada guru yang tidak masuk dan ada siswa yang tidak senang Misalkan implikasi p q, maka Konvers : q p (tukar posisi) Invers : ~p ~q (beri negasi) Kontaposisi : ~q ~p (tukar posisi dan beri negasi) konvers invers implikasi kontraposisi

5 Indikator : menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma Aturan pangkat 1. a m a n = a m+n 3. (a m ) n = a m n 5. (ab) m = a m b m. am = am n 4. an. a b / m = am b m 6. a n = 1 a n Bentuk akar a c + b c = (a + b) c a c b c = (a b) c a c b d = ac bd i) n ab n = a a m /n n = a m n b ii) n a b n = a n b Merasionalkan penyebut ab = a b b a b = b b a b + c = a b c b + c b c a b c = a b c b + c b + c = a b c b c = a b + c b c a + b = x + y 3 + = 1 + dengan x + y = a dan xy = b x = 1, y = x + y = 3 xy = Soal 5 : Bentuk rasional dari adalah... Solusi 5 : 6 = = = = = Soal 6 : Dalam bentuk pangkat positif, x 1 + y 1 x y 1 = Solusi 6 : x 1 + y 1 x y 1 = x y x y x 1 = + y 1 1 x + 1 y = (x y)(xy) x + y = x y x + y xy = x y xy x + y Soal 7 : Jika = a + b 6 ; a dan b adalah bilangan bulat, maka a + b = Solusi 7 : Dengan merasionalkan penyebut 3 = = = = a = 1, b =, maka a + b = 1 + = =

6 Logaritma a x = b x = a log b, a > 0, b > 0, a 1 log ab = log a + log b log a b = log a log b a log 1 = 0 Soal 8 : Jika log 3 = 0,4771 dan log = 0,3010 maka nilai dari log 75 adalah a. 0,7781 b. 0,909 c. 1,0791 d. 1,55 e. 1,8751 a log b b log c = a log c log a n = n. log a a log a = 1 a log a log b = log b = 1 log a a n log b m = m n a log b Solusi 8 : log 75 = log (3 5 ) = log 3 + log 5 = log 3 + log 5 Mencari log 5. Dari log 10 = log 10 log log 5 = 1 0,3010 = 0,6990 log 75 = log 3 + log 5 = 0, ,6990 = 1,8751 (E) Soal 9 : log 4 + log 1 log 6 = a. 8 b. 6 c. 5 d. 4 e. 3 Soal 10 : Jika 7 log = a dan log 3 = b, maka 6 log 98 = a a. a+b b. a+1 b+ c. a+ d. e. b+1 a+ a(b+1) a+ b(a+1) Soal 11 : Nilai x yang memenuhi x log 1 = adalah a. 0,5 b. 0,5 c. 1 d. e. 4 Solusi 9 : log 4 + log 1 log 6 = log + log ( 3) log ( 3) = log + log + log 3 log log 3 = log 3 1 log 3 = 3 (E) Solusi 10 : 6 log 98 = = log 98 log 6 = log (.7 ) log(3.) log +. log 7 log + log 3 Karena 7 log = a, maka log 7 = 1 a 6 log +. log 7 log 98 = log + log 3 = 1 + a 1 + b = a + a(1 + b) Solusi 11 : Sesuai definisi, 1 = 1 x 16 (D) x log 1 16 = x = 1 16 x = 16 x = ±4 Karena basis yang memenuhi hanya yang positif, maka x = 4 (E) 4

7 Indikator : Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat Jika diketahui persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x, maka x 1 + x = b a x 1 x = c a Beberapa hubungan yang perlu diketahui : (p + q) = p + q + pq p + q = (p + q) pq (p q) = p + q pq p + q = (p q) + pq Soal 1 : Akar-akar persamaan dari x + 6x = 1 adalah p dan q. Nilai dari p + q adalah a. b. 8 c. 9 d. 10 e. 1 Solusi 1 : x + 6x = 1 x + 6x 1 = 0 p + q = (p + q) pq =. 6 /. 1 / = = 10 (D) Soal 13 : Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x 9x + 4 = 0 adalah a. 4 9 b. 3 4 c. d e. 9 4 Solusi 13 : Jumlah kebalikan akar-akar, yaitu = x 1 + x x 1 x x 1 x persamaan 3x 9x + 4 = 0, maka x 1 + x = ( 9) = 3 3 x 1 x = = x 1+x = 3 4 = 9 (C) x 1 x x 1 x 4 3 Soal 14 : Akar-akar persamaan kuadrat x 8x + c = 0 adalah x 1 dan x. Jika x = 3x 1, maka nilai c sama dengan a. 10 b. 1 c. 14 d. 16 e. 18 Soal 15 : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua kali dari akar-akar persamaan kuadrat x + 3x + 4 = 0 adalah... a. x 6x + 8 = 0 b. x + 6x + 16 = 0 c. x 6x 8 = 0 d. x 6x + 16 = 0 e. x + 3x + 8 = 0 Solusi 14 : x 1 + x = ( 8) = 8 1 Karena x = 3x 1, maka x 1 + x = x 1 + 3x 1 = 4x 1 = 8 x 1 = Maka, x = 3x 1 = 3 = 6 Sehingga, x 1 x = c c = 6 = 1 Solusi 15 : Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat x + 3x + 4 = 0 adalah x 1 dan x Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah x 1 dan x adalah x (x 1 + x )x + x 1 x = 0 x (x 1 + x )x + 4x 1 x = 0 x ( 3)x = 0 x + 6x + 16 = 0 (B) 5

8 Indikator : menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan Jika diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax + bx + c, maka Diskriminan (D), adalah D = b 4ac Jika, D < 0, maka dua akar kompleks / tidak ada akar real (grafiknya tidak memotong sumbu-x) D = 0, maka akar kembar (grafiknya memotong sumbu-x di satu titik) D > 0, maka dua akar real berbeda (grafiknya memotong sumbu-x di dua titik) Soal 16 : Tentukan nilai c sehingga grafik fungsi y = x x + c tidak memotong sumbu-x di dua titik... a. c < 1 b. c > 1 c. c 1 d. c 1 e. c 1 Soal 17 : Persamaan kuadrat x px + 4 mempunyai akar-akar bukan bilangan real. Maka nilai p yang memenuhi jika p adalah bilangan asli adalah... a. {1, } b. *0, 1,, 3, 4+ c. {1,, 3, 4} d. *1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8+ e. *1,, 3+ Soal 18 : Manakah pernyataan yang benar untuk fungsi berikut : f(x) = x + x 4 a. Memotong sumbu x di dua titik b. Memotong sumbu x di satu titik c. Selalu bernilai positif d. Selalu bernilai negatif e. mempunyai nilai maksimum ketika x = 1 Solusi 16 : Tidak memotong sumbu-x di dua titik, artinya grafik tersebut, Memotong sumbu-x di satu titik (D = 0) ; Atau tidak memotong sumbu-x (D < 0) Sehingga D 0, yaitu b 4ac 0 4 4c 0 c 1 (C) Solusi 17 : Akar-akar bukan bilangan real, artinya D < 0 b 4ac < 0 p 16 < 0 (p 4)(p + 4) < 0 p = 4 p = Bilangan asli yang memenuhi adalah {1,, 3} (E) Solusi 18 : f(x) = x + x 4 D = b 4ac D = 4 4( )( 4) = 4 3 = 8 D < 0 D < 0 menunjukkan bahwa grafik fungsi tersebut tidak memotong sumbu-x Karena masih belum diperoleh solusi, maka kita perhatikan nilai a, a = menunjukkan bahwa grafik fungsi menghadap ke bawah. Karena tidak memotong sumbu-x dan grafik fungsi menghadap ke bawah, maka fungsi tersebut selalu bernilai negatif (D) 6

9 Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem persamaan linear SPL (Sistem Persamaan Linear) Metode Eliminasi, Substitusi (Gabungan) Misalkan : x y = 6 3 3x 6y = 18 x y = 6, karena y = 1, maka 3x + 4y = 8 1 3x + 4y = 8 _ x ( 1) = 6 10y = 10 x + = 6 y = 1 x = 4 Menggunakan Kaidah Sarrus Pada contoh di atas! x = D x D dengan, D = x = 8 4 = dan y = D y D, D x = Soal 19 : Nilai dari x y, dari sistem persamaan 3x + 4y = x + 7y = 8000 adalah... a b c d e. 1000, D y = = = 4 y = = = = 1 Solusi 19 : 3x + 4y = x + 7y = 8000 Gabungan antara kaidah Sarrus dengan Substitusi. Menggunakan kaidah Sarrus, diperoleh x = = = Dengan substitusi x = 7 ke persamaan 3x + 4y = Diperoleh, 3(7000) + 4y = y = 1000 Sehingga x y = 7000 ( 1000) = 8000 (A) Soal 0 : Harga buah apel dan buah jeruk adalah Jika harga sebuah apel adalah 600 lebih murah dari pada harga sebuah jeruk. Maka, harga sebuah apel adalah... a b c d. 000 e. 500 Solusi 0 : Misalkan, x : harga apel y : harga jeruk x + y = 8800 x = y 600 Sehingga bisa ditulis : x + y = 4400 x y = 600 _ y = 5000 y = 500 Sehingga x = y 600 = =

10 Indikator : menentukan persamaan lingkaran atau garis singgung lingkaran Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r (x a) + (y b) = r Persamaan Umum Lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 dengan, Pusat Lingkaran di. 1 A, 1 B/ dan jari-jari lingkaran r = 1 4 A B C Garis Singgung Lingkaran Diketahui Titik Singgungnya Persamaan Garis Singgung melalui titik (x 1, y 1 ) pada lingkaran (x a) + (y b) = r adalah (x a)(x 1 a) + (y b)(y 1 b) = r^ Diketahui Gradiennya (Kemiringannya) Persamaan Garis Singgung dengan kemiringan (gradien) m pada lingkaran (x a) + (y b) = r adalah Soal 1 : Agar lingkaran x + y 4x + 6y + a = 0 mempunyai jari-jari 5, maka a = a. 0 b. 1 c. 3 d. 1 e. 0 (y b) = m(x a) ± r m + 1 Solusi 1 : r = 1 4 A B C = 5 = a 5 = 13 a a = (16) + 1 (36) a 4 Soal : Lingkaran x + y + x + 4y + 1 = 0 menyinggung sumbu x di titik a. (1,0) b. ( 1,0) c. (0,0) d. (,0) e. (,0) Soal 3 : Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, ) dan menyinggung sumbu-x adalah... Solusi : Menyinggung sumbu-x, yaitu ketika y = 0, x + y + x + 4y + 1 = 0 Untuk y = 0, maka x + x + 1 = 0 (x + 1 ) = 0 x = 1 Jadi, lingkaran tersebut menyinggung sumbu-x di titik ( 1, 0) Solusi 3 : Mencari jari-jari, yaitu jarak antara pusat dengan titik singgung. Sumbu-x adalah y = 0. Sehingga r = 0 =. Persamaannya (x 1) + (y ) = 8

11 Kedudukan garis terhadap lingkaran Misalkan lingkaran dengan persamaan x + y + Ax + By + C = 0 dan garis dengan persamaan y = px + q Substitusi nilai y dari persamaan garis ke persamaan lingkaran akan didapatkan suatu persamaan kuadrat baru. Jika, D < 0, garis tersebut tidak memotong dan tidak menyinggung lingkaran D = 0, garis tersebut menyinggung lingkaran (memotong di satu titik) D > 0, garis tersebut memotong lingkaran di dua titik berbeda. Soal 4 : Lingkaran x + y 4ax + b = 0 mempunyai jari-jari. Garis y = x menyinggung lingkaran tersebut. Nilai a positif yang memenuhi adalah... a. b. c. 4 d. e. 4 Solusi 4 : Garis menyinggung lingkaran, yaitu D = 0 x + y 4ax + b = 0 y = x Substitusi, diperoleh x + x 4ax + b = 0 x 4ax + b = 0 D = (4a) 4. b. = 16a 8b = 0 a = b 1) Jari-jari, artinya r = 1 4 A B C = = a b 4 = 4a b ) Substitusikan pers....1) ke pers....) 4 = 4a a 4 = a = a a = ± Nilai a yang positif adalah Soal 5 : Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 5, yang tegak lurus terhadap garis y x = 1 adalah... a. y = x ± 5 5 b. y = 3x ± 5 c. y = 4x ± 5 5 d. y = x ± 5 e. y = x ± 5 Solusi 5 : Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah x + y = 5 Garis singgung yang dimaksud tegak lurus terhadap garis y x = 1 y = x + 1 y = 1 x + 1 m 1 = 1 Karena tegak lurus, m yang digunakan adalah 1 = m 1 m 1 = 1 m m = p.g.s yang dimaksud adalah (y b) = m(x a) ± r m + 1 y = x ± 5 5 9

12 Garis singgung melalui sebuah titik di luar lingkaran O r A(x 1, y 1 ) Lingkaran berpusat di O dan berjari-jari r. Kemudian diberikan suatu titik A(x 1, y 1 ) di luar lingkaran. Menentukan p.g.s yang terbentuk. Langkah-langakhnya : Misalkan p.g.s. tsb. mempunyai persamaan y y 1 = m(x x 1 ) (karena melalui (x 1, y 1 )) Karena garis tersebut menyinggung lingkaran, maka kita substitusikan p.g.s pada langkah awal ke persamaan lingkaran, kemudian kita anggap D = 0 Soal 6 : Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 4 yang melalui titik (0, 4) adalah... a. y = 6x + 4 b. y = 3x + c. y = 3x + 4 d. y = 3x + 3 e. y = 3x 4 Solusi 6 : Titik (0,4) berada pada luar lingkaran. Karena x + 4 = 16 dan 16 > 4 Misalkan p.g.s. yang terbentuk adalah y 4 = m(x 0) y = mx + 4 Untuk mencari m, kita substitusikan p.g.s. di atas ke pers. lingkaran. Diperoleh, x + (mx + 4) = 4 x + m x + 8mx + 16 = 4 (1 + m )x + 8mx + 1 = 0 Karena menyinggung, maka D = 0, yaitu (8m) 4. (1 + m ). 1 = 0 64m 48 48m = 0 16m 48 = 0 m 3 = 0 m = 3 m = ± 3 Sehingga, p.g.s yang dimaksud adalah y = ± 3x + 4 Kedudukan titik terhadap lingkaran Misalkan titik (x 1, y 1 ) dan persamaan lingkaran (x a) + (y b) = r Substitusikan titik tersebut ke (x a) + (y b), bandingkan nilainya dengan r Jika kurang dari r, maka letaknya di dalam lingkaran. Jika sama dengan r, maka letaknya pada lingkaran. Jika lebih besar dari r, maka letaknya berada di luar lingkaran. 10

13 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan teorema sisa atau teorema faktor Teorema Sisa Suku banyak f(x) dibagi oleh (x k), maka akan diperoleh hasil bagi H(x) dan sisa pembagian S, yang mempunyai hubungan f(x) = (x k). H(x) + S Untuk menentukan sisa (S), maka kita bisa mencari nilai f(k), karena f(k) = (k k). H(x) + S f(k) = S Soal 7 : Suku banyak F(x) dibagi oleh (x ) sisanya 8. Dan jika dibagi oleh (x + 3) sisanya 7. Sisa pembagian suku banyak F(x) oleh (x + x 6) adalah... a. 3x + b. x + 3 c. 3x + 3 d. x + e. x + 3 Solusi 7 : F(x) = (x ). H(x) + 8 F() = 8 F(x) = (x + 3). I(x) 7 F( 3) = 7 Misalkan F(x) = (x + x 6). J(x) + (ax + b) Untuk x =, F() = a + b 8 = a + b... 1) Untuk x = 3, F( 3) = 3a + b 7 = 3a + b... ) Substitusi kedua pers. diperoleh : a = 3 dan b = Sehingga, sisa yang dimaksud adalah 3x + Soal 8 : Sisa pembagian jika suku banyak f(x) = x 3 4x + x + 8 dibagi oleh x 1 adalah... a. 3 b. 1 c. 4 d. 6 e. 7 Soal 9 : Suku banyak jika dibagi oleh (x ) bersisa 11. Jika dibagi oleh (x + 1) sisanya adalah 4. Sisa pembagian suku banyak tersebut jika dibagi dengan (x x ) adalah... Solusi 8 : Mencari sisa pembagian tersebut, sama dengan mencari nilai f(1). f(1) = (1) 3 4(1) = = 7 Solusi 9 : Misalkan suku banyak tersebut adalah G(x) G(x) = (x ). H(x) + 11 G() = 11 G(x) = (x + 1). I(x) 4 G( 1) = 4 Misalkan G(x) = (x x ). J(x) + (ax + b) G(x) = (x )(x + 1). J(x) + (ax + b) Untuk x =, G() = a + b 11 = a + b... 1) Untuk x = 1, G( 1) = a + b 4 = a + b... ) Substitusi 1) dan ) diperoleh a = 5 dan b = 1 Sehingga sisa yang dimaksud adalah 5x

14 Teorema Faktor Jika f(x) adalah suatu suku banyak, maka (x k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0 Misalkan bentuk f(x) = a n x n + + a x + a 1 x + a 0 Kita bisa mencoba mencari faktor dari f(x) yaitu (x k) dengan k adalah faktor-faktor bilangan bulat dari a 0 Jika f(k) = 0, maka (x k) adalah faktor dari f(x). Soal 30 : Suku banyak f(x) = x 3 x 9x + 9 jika dituliskan dalam bentuk perkalian faktor linearlinearnya menjadi... a. f(x) = (x 1)(x + 3)(x 3) b. f(x) = (x + 1)(x + 3)(x 3) c. f(x) = (x + 1)(x 3)(x ) d. f(x) = (x 1)(x )(x 3) e. f(x) = (x 1)(x + 3)(x ) Solusi 30 : Faktor-faktor dari 9 yang berupa bilangan bulat adalah : ±1, ±3, ±9 Oleh karena itu kita coba dari yang terkecil. +1 Kita gunakan Sisanya 0. Maka x = 1 atau (x 1) adalah salah satu faktor dari f(x). Hasil pembagian f(x) dengan (x 1) bisa dilihat di atas yaitu x + 0x 9 Atau sama dengan x 9 Dengan pemfaktoran kuadrat, kita peroleh x 9 = (x 3)(x + 3) Jadi, f(x) = (x 1)(x + 3)(x 3) Soal 31 : Salah satu faktor dari f(x) = x 3 + ax x adalah x +. Salah satu faktor yang lain dari f(x) adalah... a. (x ) b. (x + 1) c. (x + 4) d. (x 3) e. (x + 3) Solusi 31 : f(x) = x 3 + ax x Karena x + adalah salah satu faktornya, maka f( ) = 0 f( ) = ( ) 3 + a( ) ( ) 0 = 8 + 4a a = Jadi, f(x) = x 3 + x x Hasil bagi f(x) oleh x + adalah yaitu f(x) = (x + )(x 1) Dengan pemfaktoran f(x) = (x + )(x + 1)(x 1) 1

15 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan komposisi dua fungsi atau fungsi invers Fungsi Komposisi Sifat-sifat penting Umumnya tidak komutatif Bersifat asosiatif (x) = (f g)(x) = f g(x) (f g)(x) = (g f)(x) (f g) (x) = f (g ) (x) Soal 3 : Diketahui f(x) = 3x 4x + 6 dan g(x) = x 1. Jika nilai (f g)(x) = 101 maka, nilai x yang memenuhi adalah... a. dan b dan c dan d. dan 7 3 e dan 7 3 Solusi 3 : f g(x) = f(x 1) (f g)(x) = f g(x) = 3(x 1) 4(x 1) + 6 = 3(4x 4x + 1) 8x = 1x 1x + 3 8x + 10 = 1x 0x = 1x 0x x 0x 88 = 0 3x 5x = 0 (3x 11)(x + ) = 0 x = 11 3 atau x = Soal 33 : Jika diketahui g(x) = x + 1 dan diketahui (f g)(x) = x + 3x + 1, maka, f(x) = a. f(x) = x + x 1 b. f(x) = x x + 1 c. f(x) = x x 3 d. f(x) = x + x 5 e. f(x) = 3x x 1 Solusi 33 : (f g)(x) = x + 3x + 1 f g(x) = x + 3x + 1 f(x + 1) = x + 3x + 1 Misalkan x + 1 = k maka, x = k 1 Sehingga, f(k) = (k 1) + 3(k 1) + 1 = k k k = k + k 1 Jadi, f(x) = x + x 1 Soal 34 : Diketahui (f g)(x) = 1x dan diketahui f(x) = 4x +. Maka g(x) = a. x + 1 b. 3x + 1 c. 3x 1 d. 3x + e. x + 3 Solusi 34 : f g(x) = 1x 4 g(x) + = 1x (f g)(x) = 1x 4 g(x) = 1x 4 g(x) = 3x 1 Jadi, g(x) = 3x 1 13

16 Fungsi Invers Syarat memiliki fungsi invers adalah fungsi tersebut adalah fungsi berkorespondensi satu-satu Langkah-langkah menentukan fungsi invers Ubah y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y Bentuk tersebut dinamakan f 1 (y) Mengganti y pada f 1 (y) dengan x, sehingga diperoleh f 1 (x) Soal 35 : Diketahui f(x) = 1 x+1. Jika f 1 (x) adalah suatu fungsi invers dari f, dan f 1 (a) = 1, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e. 3 Solusi 35 : f(x) = 1 x+1 x + 1 = 1 y x = 1 y 1 y = 1 x+1 x = 1 1, maka y f 1 (x) = 1 1 x f 1 (a) = = 1 1 a a = 1 a 1 = 1 a a = a = 1 Jadi, nilai a = 1 Misalkan diberikan Maka, Soal 36 : Misalkan diketahui f(x) = 3x+5 x 3, maka f 1 (x) =... a. 3x+5 x 3 b. 3x+5 x+3 c. 3x+3 x 5 d. 3x+ 5x 3 e. 5x+3 3x Soal 37 : Nilai f 1 () dari f(x) = 3x+4 adalah... x 1 a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7 f(x) = f 1 = ax + b cx + d dx + b cx a Solusi 36 : Dengan rumus di atas, maka f 1 (x) = 3x + 5 x 3 Solusi 37 : f(x) = 3x+4, dengan menggunakan rumus di x 1 atas, maka diperoleh f 1 (x) = x+4 x 3 f 1 () = +4 () 3 = = 6 Jadi, nilai f 1 () = 6 14

17 Invers dari Fungsi Komposisi (f g) 1 (x) = g 1 (x) f 1 (x) Soal 38 : Diketahui f(x) = x+4 dan g(x) = x 1 x 6 maka, (f g) 1 (x) adalah... a. x+3 x b. 7x+3 x c. x+3 x d. x+7 x e. 3x+3 x Solusi 38 : Ada cara yang bisa dilakukan. Bisa mencari f g terlebih dahulu kemudian diinverskan. Bisa juga menggunakan rumus di atas. Kita akan menggunakan rumus di atas! f 1 (x) = 6x+4 dan g 1 (x) = x+1 = 1 x + 1 x 1 g 1 (x) f 1 (x) = g 1 f 1 (x) = g 1. 6x+4 x 1 / = 1.6x+4 x 1 / + 1 = 3x+ x = 6x+4+(x 1) (x 1) = 7x+3 x Jadi, (f g) 1 (x) = 7x+3 x Indikator : menyelesaikan masalah program linear Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan program linear Menggambar semua daerah yang diketahui (Jika soal cerita, ubah terlebih dahulu permasalahannya ke dalam bentuk matematika / persamaan/pertidaksamaan linear) Menentukan titik ekstrim Melakukan unji titik ekstrim Soal 39 : Nilai maksimum 4x + 5y dengan x 0, y 0, x + y 10 dan x + y 7 adalah... a. 8 b. 30 c. 31 d. 35 e. 40 Solusi 39 : 15

18 Indikator : menyelesaikan operasi matriks Ordo/Ukuran Matriks Matriks A berukuran m n ditulis A m n (dengan m banyak baris dan n banyak kolom) A 3 = / Matriks Persegi : matriks dengan ukuran baris = kolom Transpose Matriks Misal A = /, maka AT = Baris menjadi kolom, dan kolom menjadi baris Penjumlahan / Pengurangan Syarat : ordo harus sama / / = ( 3) = / Perkalian Skalar Bilangan real n, dikalikan dengan matriks A Misalkan n =, dan A = / maka na = / = / = / Perkalian Matriks AB harus memenuhi syarat: Jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah kolom matriks B (A m n B n k ) hasilnya nanti adalah matriks berukuran m k A B =. a b j k ai + bl aj + bm ak + bn /.i / = c d l m n ci + dl cj + dm ck + dn Sifat-sifat Matriks (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T Soal 40 : Jika diketahui A = x + 1 y 8 + x y + 5z dan B = 0 3 1, dan A = B. maka nilai z adalah a. 1 b. 1 c. 3 d. e. 3 Solusi 40 : x + 1 y 8 + x y + 5z = Kesamaan matriks, syaratnya adalah elemenelemen yang seletak bernilai sama. 8 + x = 9, maka x = 1 x + 1 = 3, maka = 3 1 = y = 1 y y y y + 5z = 11, maka. 1 / + 5z = z = 11 5z = 10 z = Jadi, nilai z = 16

19 Determinan dan Invers Matriks Syarat suatu Matriks mempunyai invers adalah determinan dari matriks tidak sama dengan 0. Minor Misal A adalah matriks persegi Minor anggota M ij adalah determinan suatu matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A Contoh : A = / =.a 11 a 1 a 1 a / M 11 = 5, M 1 = 4, M 1 = 3, M = Kofaktor Kofaktor anggota C ij sama dengan ( 1) i+j M ij C 11 = ( 1) = 5, C 1 = 4, C 1 = 3, C = Determinan Misal A adalah matriks persegi. Dengan perluasan kofaktor det(a) = a 1j C 1j + a j C j + + a nj C nj Perluasan kofaktor di sepanjang kolom ke-j det(a) = a i1 C i1 + a i C i + + a in C in Perluasan kofaktor di sepanjang baris ke-i det(a) = a 11 C 11 + a 1 C 1 = (5) + 3( 4) = 10 1 = Matriks Kofaktor Matriks kofaktor dari A. Misal A adalah matriks n n dan C ij adalah kofaktor dari a ij, maka matriks C 11 C 1 C 1n C 1 C C n 5 3, pada contoh di atas,. 4 / C n1 C n C nn Adjoin Misal A adalah matriks persegi. Adjoin A ditulis adj(a) adalah transpose dari matriks kofaktor dari A. Pada contoh di atas, Adj(A) = / Invers Matriks A 1 = 1 adj(a), pada contoh di atas, det (A) A 1 = / = Sifat-sifat Determinan dan Invers Matriks A ± B = A ± B AB = C A B = C A T = A A 1 = 1 A 17

20 Indikator : menyelesaikan operasi aljabar beberapa vektor dengan syarat tertentu Panjang Vektor Misalkan a = (a 1, a ) maka panjang a yaitu a = a 1 + a Misalkan b = (b 1, b ) maka panjang b yaitu b = b 1 + b Sifat Operasi Vektor Perkalian Skalar a b = a + b a + b = b + a a + b + c = a + b + c k a + b = ka + kb m(na) = (mn)a (m + n)a = ma + na Soal 41 : Diketahui vektor a = 4 c = a. 7 1 b c , b = 5 1 4, dan. maka vektor a 3c + b adalah... d. e Soal 4 : Diketahui a = 3, b = 1 dan a b = 1, panjang vektor a + b adalah... a. 3 b. 5 c. 7 d. e. 3 18

21 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara dua vektor Perkalian Skalar Dua Vektor Dengan, θ =sudut terkecil antara dua vektor a b = a b cos θ Misalkan a 1 a = a a 3 dan b = Sifat-sifat b 1 b b 3 maka a b = a 1 b 1 + a b + a 3 b 3 a b = b a a b + c = a b + a b a a = a Soal 43 : Jika vektor a dan vektor b membentuk sudut 60. a = dan b = 5. Maka a b + a = a. 5 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10 Soal 44 : Jika sudut antara vektor a = i + j + pk dan b = i j + pk adalah 60, maka nilai p adalah... a. 1 atau 1 b. 1 atau 1 c. atau d. 5 atau 5 e. 1 5 atau

22 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan panjang proyeksi atau vektor proyeksi Misalkan vektor a diproyeksikan terhadap vektor b. Dan misalkan hasilnya adalah vektor c. Tentu saja vektor c adalah vektor yang searah dengan vektor b. Panjang vektor c a b c = b Vektor c Soal 45 : Diketahui vektor z adalah vektor hasil proyeksi dari vektor x = 3, 3, 1 pada vektor c = y = 3,, 3. Maka panjang vektor z adalah... a b b b Solusi 45 : z = x y y x y = 3 (3) = = 6 a. 3 b. c. 3 d. 3 e. 4 3 y = 3 + () + (3) = Sehingga, = 16 = 4 z = x y y = 6 4 = 3 Soal 46 : Panjang proyeksi ortogonal vektor a = i 3 + pj + k pada vektor b = i 3 + j + pk adalah 3. Nilai p = a. 3 b. Solusi 46 : c. 1 3 d. e. 3 Soal 47 : Diketahui : a = (1,, ), b = (0, 1, 0) dan c = (, 1, 1) maka panjang proyeksi ac pada ab adalah... a. 1 4 b. 6 6 c. 8 6 d. 3 e

23 Indikator : menentukan bayangan titik atau kurva karena dua transformasi atau lebih Transformasi Oleh Matriks x = M. x y y / x a b =. y c d /.x y / Dengan M adalah matriks transformasi yang digunakan. Pergeseran Matriks translasi T =. a b / x =. a y b / +.x y / Pencerminan Terhadap sumbu-x x =. 1 0 y 0 1 /.x y / Terhadap sumbu-y Terhadap titik asal O(0,0) Terhadap garis y = x Terhadap garis y = x x =. 1 0 y 0 1 /.x y / x =. 1 0 y 0 1 /.x y / x =. 0 1 y 1 0 /.x y / x =. 0 1 y 1 0 /.x y / Perputaan (Rotasi) (Dilatasi) Perkalian Dengan pusat (0,0) dan Sudut θ yang ditentukan Dengan pusat (a, b) dan sudut θ yang ditentukan Titik pusat (0,0) dan Faktor skala k Titik pusat (a, b) dan Faktor skala k x y x y cos θ sin θ =. sin θ cos θ /.x y / cos θ sin θ a =. /.x sin θ cos θ y b / +.a b / x y x y =. k 0 0 k /.x y / =. k 0 a /.x 0 k y b / +.a b / Komposisi Dua Transformasi Transformasi T 1 dilanjutkan Transformasi T terhadap suatu titik A ditulis (T T 1 )(A) = T T 1 (A) Soal 48 : Garis x + y = 3 dicerminkan terhadap sumbu-y kemudian dicerminkan terhadap sumbu-x. Maka persamaan bayangannya adalah... a. y = x + 3 b. y = x 3 c. y = 3 x d. y = x 3 e. y = 3x + 3 1

24 Indikator : menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen atau logaritma Pertidaksamaan Eksponen Jika a f(x) > a g(x), maka : f(x) > g(x), untuk a > 1 f(x) < g(x), untuk 0 < a < 1 Pertidaksamaan Logaritma Jika a log f(x) > a log g(x), maka : f(x) > g(x), untuk a > 1 f(x) < g(x), untuk 0 < a < 1 Langkah-langkah penyelesaiannya : Perhatikan syarat-syaratnya. Misalkan pada pertidaksamaan logaritma, f(x) > 0 dan g(x) > 0 Kemudian iriskan dengan aturan di atas! Soal 49 : 1 log (x 3) < 0 Nilai x yang memenuhi adalah... a. < x < b. < x < 3 c. < x < 3 d. 3 < x < 3 e. < x < Solusi 49 : 1 log (x 3) < 0 1 log (x 3) < 1 log 1 Perhatikan Syaratnya, yaitu : (x 3) > 0 x > 3 Diperoleh 3 < x < 3 Perhatikan aturan di atas. Karena 0 < a < 1 Maka 1 < x 3 x > 4 Diperoleh < x < Iriskan kedua hasil! Jadi, HP : 3 < x < 3 Soal 50 : Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah... a. x 3 b. x 1 c. x 0 d. x 1 e. x 1 3 x+ 1 9 x+1

25 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponen atau fungsi logaritma Fungsi Eksponen f(x) = a x, dengan a > 0, a 1 dan x R Jika a > 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi naik Jika 0 < a < 1, maka grafik fungsi eksponen adalah fungsi turun Fungsi Logaritma f(x) = a log x, dengan x > 0, a > 0 dan a 1 Jika a > 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi naik Jika 0 < a < 1, maka grafik fungsi logaritma adalah fungsi turun Persamaan Eksponen Jika a f(x) = a p (a > 0 dan a 1) maka f(x) = p Jika a f(x) = a g(x) (a > 0 dan a 1) maka f(x) = g(x) Jika a f(x) = b f(x) (a, b > 0 ; a, b 1 dan a b) maka f(x) = 0 Jika (x) f(x) = (x) g(x), maka kemungkinannya adalah : f(x) = g(x) (x) = 1 (x) = 0. Asalkan f(x) dan g(x) positif (x) = 1. Asalkan f(x) dan g(x) keduanya ganjil / keduanya genap Jika f(x) (x) = g(x) (x), maka kemungkinannya adalah : f(x) = g(x) (x) = 0. Asalkan f(x) 0 dan g(x) 0 Persamaan Logaritma Jika a log f(x) = a log p, maka f(x) = p (asalkan f(x) > 0) Jika a log f(x) = b log f(x), maka f(x) = 1 (asalkan a b) Jika a log f(x) = a log g(x), maka f(x) = g(x) (asalkan f(x) > 0 dan g(x) > 0) Jika (x) log f(x) = (x) log g(x), maka f(x) = g(x) (asalkan f(x) > 0, g(x) > 0, (x) > 0 dan (x) 1) Jika f(x) log (x) = g(x) log (x), maka f(x) = g(x) asalkan (x) 1, (x) > 0 f(x) = g(x) asalkan (x) = 1, f(x) > 0, g(x) > 0, f(x) 1, g(x) 1 Soal 51 : Nilai x yang memenuhi persamaan x log (6x 8) = 0 adalah... a. 4 atau b. 4 atau 4 c. 3 atau 4 d. 4 atau 8 e. 6 atau 7 Solusi 51 : Syarat-syarat x log (6x 8) = 0 x log (6x 8) = x log (6x 8) = x log x 6x 8 > 0 x > 8 6 dan x > 0 x > 0 Dan x 1 Maka, 6x 8 = x x 6x + 8 = 0 (x 4)(x ) = 0 x = 4 atau x = 3

26 Indikator : menyelesaikan masalah deret aritmetika Barisan dan Deret Aritmetika Jika U n adalah suku ke-n dan b adalah beda, yaitu b = U n U n 1, maka nilai suku ke-n dirumuskan U n = U 1 + (n 1)b Jumlah suku pertama sampai suku ke-n, disimbolkan S n, yaitu S n = n (U 1 + (n 1)b) S n = n (U 1 + U n ) U n = S n S n 1 Suku tengah, U t = 1 (U 1 + U n ), untuk banyak n ganjil. Jika diketahui rumus S n, dan ditanya rumus U n, maka Soal 5 : Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-4 adalah 1 dan suku ke-10 adalah 57. Suku ke-19 adalah... a. 13 b. 99 c. 111 d. 88 e. 100 U n = S n 1 S n dengan, S n adalah turunan pertama dari S n, dan S n adalah turunan keduanya. Solusi 5 : U 4 = U 1 + 3b = 1 U 10 = U 1 + 9b = 57 Eliminasi U 1 dari kedua persamaan, diperoleh 6b = 36 b = 6 Sehingga, U 1 + 3(6) = 1 U 1 = 3 Maka, U 19 = U b = (6) = 111 Soal 53 : Barisan (k + 5), ( k + 9), (3k + 7), adalah barisan aritmatika untuk nilai k... a. b. 1 c. 0 d. 1 e. Soal 54 : Panjang sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika kelilingnya adalah 84, maka luasnya sama dengan... a. 16 b. 94 c. 363 d. 38 e. 390 Solusi 53 : b = ( k + 9) (k + 5) = 3k 16 b = (3k + 7) ( k + 9) = 4k Substitusi kedua persamaan, 3k 16 = 4k 14 = 7k k = Solusi 54 : Tripel Pythagoras yang membentuk barisan aritmetika adalah (3k, 4k, 5k) dengan k bilangan asli. Mencari nilai k, 3k + 4k + 5k = 84 1k = 84 k = 7 Ukuran segitiga tersebut adalah (1, 8, 35) Sisi miring adalah sisi terpanjang, sehingga luasnya adalah = = 1 14 = 94 4

27 Beda barisan aritmetika jika diketahui S n Misalkan S n = pn + qn, maka beda = b = p Soal 55 : Diketahui jumlah n suku pertama dari barisan aritmatika dirumuskan oleh S n = n 6n. Maka beda deret dari barisan aritmetika tersebut adalah... a. 4 b. c. 0 d. e. 4 Soal 56 : Indikator : menyelesaikan masalah deret geometri Suku ke-3 dan suku ke-10 dari barisan geometri berturut-turut adalah 4 dan 307. Suku ke-7 barisan tersebut adalah... a. 384 b. 48 c. 66 d. 680 e. 880 Solusi 55 : Dengan rumus di atas, kita peroleh bahwa beda dari barisan aritmatika yang dimaksud adalah b = = 4 Dengan penjabaran rumus S n S n = n 6n = n(n 6) = n (4n 1) ( 8 + (n 1)4) Bandingkan dengan rumus S n = n (U 1 + (n 1)b) Maka, b = 4 Deret Geometri r adalah rasio, yaitu r = U = U 3 = = U n = U 1 U U n 1 Suku ke-n dirumuskan dengan U n = U 1 r n 1 Jumlah n suku pertama dirumuskan dengan S n = a(rn 1) ; r > 1 r 1 = a(1 rn ) ; r < 1 1 r Suku tengah, U t = U 1 U n Deret Geometri Tak Hingga Banyak sukunya sebanyak tak hingga Jumlahnya yaitu S = a 1 r Deret geometri tak hingga akan konvergen (mempunyai jumlah) jika 1 < r < 1 = n Solusi 56 : U 3 = U 1 r = 4 maka, U 1 = 4 r... 1) U 10 = U 1 r 9 = 307 ) Substitusi... 1) ke... ) 4 r r9 = 307 4r 7 = 307 r = Maka, U 1 = 4 = 4 = 6 4 Sehingga, U 7 = 6 6 = 384 5

28 Indikator : menghitung jarak dan sudut antara dua objek (titik, garis dan bidang) di ruang dimensi 3 Kubus dengan panjang rusuk a Panjang Diagonal Bidang = a Panjang Diagonal Ruang = a 3 Rumus Pythagoras Segitiga siku-siku ABC siku-siku di B, maka AC = AB + CB Soal 57 : Kubus ABCD. EFGH. Jika θ adalah sudut antara diagonal AG dan rusuk AD. Maka cos θ = a. d e. 3 b. 1 c. 1 Soal 58 : Diketahui bidang empat T. ABCD dengan TA = TB = 5, TC =, CA = CB = 4, AB = 6. Jika α adalah sudut antara TC dan bidang TAB. Maka cos α = a b c d e Soal 59 : Kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik S adalah... a. a 3 b. a 3 c. a 3 3 d. a 6 e. a Soal 60 : Kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 1 cm. K adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik K ke garis HC adalah... a. 4 6 cm b. 6 3 cm c. 6 5 cm d. 9 cm e. 5 6 cm 6

29 Indikator : menyelesaikan masalah geometri dengan menggunakan aturan sinus dan kosinus Pada setiap segitiga ABC berlaku : b a c Aturan Sinus Aturan Kosinus a sin A = b sin B = c sin C a = b + c bc cos A b = a + c ac cos B c = a + b ab cos C Soal 61 : Jika panjang sisi segitiga ABC berturut-turut adalah AB = 4 cm, BC = 6 cm dan AC = 6 cm. Dan α = BAC, β = ABC, γ = BCA. Maka sin α sin β sin γ adalah... a. 4 : 5 : 6 b. 5 : 6 : 4 c. 6 : 5 : 4 d. 4 : 6 : 5 e. 6 : 4 : 5 Soal 6 : Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7 cm dan BCA = 10. Keliling segitiga ABC adalah... a. 14 cm b. 15 cm c. 16 cm d. 17 cm e. 18 cm Soal 63 : Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a = 7 cm, b = 5 cm, c = 3 cm. Nilai dari sin A = a. 1 3 d b. 1 e. 3 3 c. 1 7

30 Indikator : menyelesaikan persamaan trigonometri Persamaan Trigonometri 1. sin x = sin a x 1 = a + k 360 atau x = (180 a) + k 360. cos x = cos a x = ±a + k tan x = tan a x = a + k 180 dengan, a cos x + b sin x = c k cos (x α) = c k = a + b dan tan α = b a Dengan syarat : c a + b Soal 64 : Himpunan penyelesaian dari persamaan cos x sin x = 0 untuk 0 x 360 adalah... a. *30, 150, 70 + b. *60, 10, 70 + c. *90, 180, d. *30, 10, 70 + e. *30, 180, Solusi 64 : Gunakan cos x = 1 sin x Sehingga cos x sin x = 1 sin x sin x = 0 Misalkan sin x = p, maka 1 p p = 0 (p + 1)(p 1) = 0 p = 1 atau p = 1 sin x = 1, maka x = 70 sin x = 1, maka x = 30 atau x = 150 Jadi, HP = *30, 150, 70 + Soal 65 : Diketahui sin α cos α = 8. Maka, nilai dari 5 1 sin α 1 cos α = a. 3 5 b c. 5 8 d. 9 5 e. 3 5 Soal 66 : Diketahui x + y = 70 Maka a. cos x + sin y = 0 b. cos x sin y = 0 c. cos x + cos y = 0 d. sin x sin y = 0 e. sin x + sin y = 1 8

31 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangen serta jumlah dan selisih dua sudut Nilai perbandingan trigonometri Untuk segitiga siku-siku ABC seperti berikut, α Rumus Jumlah dan Selisih sin α = depan miring cos α = samping miring tan α = depan samping sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b sin (a b) = sin a cos b cos a sin b cos (a + b) = cos a cos b sin a sin b cos (a b) = cos a cos b + sin a sin b Soal 67 : Nilai dari cos 75 + cos 15 = a. 0 b. 1 4 c. 1 d. 1 e a + b sin a + sin b = sin cos a + b sin a sin b = cos sin a + b cos a + cos b = cos cos a + b cos a cos b = sin sin a b a b a b a b Soal 68 : Nilai dari sin 75 + sin 15 = a. 0 b. 1 4 c. 1 d. 1 e

32 Indikator : menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri Teorema L hospital f(x) Misalkan lim x a menghasilkan bentuk tak tentu g(x).0 /, maka bisa menggunakan rumus 0 lim x a f(x) g(x) = lim x a f (x) g (x) Jika lim f (x) x a masih menghasilkan bentuk tak tentu g (x).0 /, maka 0 lim x a f (x) g (x) = lim x a f (x) g (x) Aturan Pencarian Limit : 1. Substitusi. Jika menggunakan langkah substitusi (langkah 1) menghasilkan bentuk tak tentu, maka faktorkan! / jika bertemu bentuk akar, kalikan dengan sekawan. lim x ax + b cx + d =, untuk a > c 0, untuk a = c, untuk a < c lim x ax + bx + c dx + ex + f =, b e a, untuk a > d, untuk a = d untuk a < d Soal 69 : lim x 3x 6x x = a. 0 d. 6 b. e. 8 c. 4 Soal 70 : a. 1 5 b. 1 5 c. 1 lim x 0 1 cos x 5x = d e Soal 71 : sin x lim x 0 3 x + 9 = a. 0 d. 3 b. 1 e. 6 c. 3 Untuk n bilangan asli dan a bilangan real, maka : lim x a x n = 0 30

33 Indikator : menyelesaikan soal aplikasi turunan fungsi Persamaan Garis Singgung Kurva Misalkan titik (x 1, y 1 ) pada kurva, maka persamaan garis singgung di titik tersebut adalah y y 1 = m(x x 1 ) dengan m = f (x 1 ) Fungsi Naik dan Fungsi Turun f (x) > 0 untuk x I, maka fungsi f(x) naik pada I f (x) < 0 untuk x I, maka fungsi f(x) turun pada I f (x) = 0 untuk x I, maka fungsi f(x) stasioner pada I Maksimum, Minimum dan Belok Maksimum di a, jika f (a) = 0 dan f (a) < 0 Minimum di a, jika f (a) = 0 dan f (a) > 0 Titik Belok di a, jika f (a) = 0 dan f (a) = 0 Soal 7 : Nilai maksimum dari 4x 3 18x + 15x 5 adalah ketika x =... a. 1 b. c. 5 d. 4 e. 5 Solusi 7 : f = 4x 3 18x + 15x 5 f (x) = 1x 36x + 15 Stasioner untuk f (x) = 0 Maka, 1x 36x + 15 = 0 3(x 5)(x 1) = 0 x 1 = 1 x = 5 f (x) = 4x 36 f (x 1 ) = f. 1 / = 1 36 = 4 f (x ) = f. 5 / = = 4 Jadi, maksimum ketika x = x = 5 Soal 73 : Titik belok dari fungsi y = x 3 + 6x + 9x + 7 adalah... a. (, 3) b. (, 7) c. (, 5) d. (, 5) e. (, 10) Soal 74 : Persegi oanjang dengan keliling (x + 4) cm dan lebarnya (8 x) cm. Agar luasnya maksimum, maka panjangnya =... a. 4 cm b. 8 cm c. 10 cm d. 1 cm e. 13 cm 31

34 Indikator : menentukan integral tak tentu dan integral tentu fungsi aljabar dan fungsi trigonometri Integral x n dx = 1 n+1 xn+1 + C 1 x dx = ln x + C ex dx = e x + C a x dx = ax ln a + C Integral Tentu Misalkan f(x) = F (x), maka a b f(x) dx =,F(x)- b a = F(b) F(a) = F(a) F(b) = a f(x) b Integral Substitusi f g(x) g (x) dx = f(u) du = F(u) + C = F g(x) + C Contoh : Jawab : x (x + 1) 5 dx x (x + 1) 5 dx = x (x + 1) 5 d(x + 1) x = 1 (x + 1) 5 d(x + 1) 5 = 1 u5 du Tips Integral substitusi Umumnya kita menggunakan substitusi ketika bertemu bentuk perkalian f(x),g(x)- n Kalau turunan dari g(x) bisa menghilangkan variabel x pada f(x), kita bisa gunakan substitusi Seperti pada contoh di atas.. f(x) = x dan g(x) = (x + 1) Karena turunan dari x + 1 adalah x. dan kita bisa menghilangkan x pada f(x), maka kita bisa gunakan substitusi Kalau turunan g(x) tidak bisa menghilangkan x pada f(x), gunakan parsial, seperti di bawah ini Integral Parsial u dv = uv v du Contoh : x (x + 1) 5 dx u = x du = dx, dv = (x + 1) 5 dx v = 1 (x + 1)6 6 x(x + 1) 5 dx = x 1 6 (x + 1 1)6 6 (x + 1)6 dx Soal 75 : (x + 1)(x + x + 10) 7 dx = a. (x + x + 10) 8 + C b. 1 8 (x + x + 10) 8 + C c. 1 4 (x + x + 10) 8 + C d. (x + x + 10) 8 + C e. 3(x + x + 10) 8 + C = x 6 (x + 1)6 1 4 (x + 1)7 + C bentuk perkalian f(x),g(x)- n tetapi turunan dari g(x) tidak bisa menghilangkan variabel x pada f(x) turunan dari g(x) = x + 1 adalah 1, tidak bisa menghilangkan x pada f(x). Jadi, gunakan parsial Solusi 75 : (x + 1)(x + x + 10) 7 d(x + x + 10) x + = (x + 1)(x + x + 10) 7 d x +x+10 (x+1) = (x + x + 10) 7 d(x + x + 10) = u 7 du = 1 8 u8 + C = 1 8 (x + x + 10) 8 + C 3

35 Integral trigonometri cos x dx = sin x + C sec x dx = tan x + C tan x sec x dx = sec x + C sin x dx = cos x + C csc x dx = cot x + C cos x csc x dx = csc x + C Bentuk sin n x atau cos n x Kalau n ganjil, ubah dulu menjadi sin n 1 x sin x. Kemudian manfaatkan identitas trigonometri, sin x = 1 cos x. Gunakan Aturan Substitusi : Contoh sin 5 x dx = sin 4 x sin x dx = (1 cos x) sin x dx = (1 cos x + cos 4 x) d(cos x) Kalau n genap, manfaatkan kesamaan setengah sudut sin 1 cos x x =, cos x = Contoh sin 1 cos x x dx = dx = 1 + cos x 1 1 cos x dx Bentuk sin m x cos n x Kalau m atau n ganjil : pisah bagian ganjil menjadi perkalian yang salah satunya pangkat satu. Kemudian manfaatkan identitas trigonometri Contoh sin 3 x cos x dx = sin x cos x sin x dx = (1 cos x) cos x sin x d(cos x) sin x = (1 cos x) cos x d(cos x) Kalau m dan n genap : gunakan kesamaan setengah sudut sin 1 cos x x =, cos x = Bentuk : sin mx cos nx ; sin mx cos nx ; cos mx cos nx sin mx cos nx = 1,sin(m + n)x + sin(m n)x- sin mx sin nx = 1,cos(m + n)x cos(m n)x- cos mx cos nx = 1,cos(m + n)x + cos(m n)x- Soal 76 : cos x sin 5x dx = a. 1 cos 7x + 1 cos 3x + c 14 6 b. 1 cos 7x 1 cos 3x + c 14 6 c. 1 cos 7x + 1 cos 3x + c 14 6 d. 1 cos 7x 1 cos 3x + c 14 6 e. 1 cos 7x + 1 cos 3x + c cos x 33

36 Indikator : menghitung luas daerah dan volume benda putar dengan menggunakan integral Integral Luas Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0 (ada di atas sumbu-x) dan dibatasi oleh garis x = a, x = b dan sumbu-x adalah b f(x) dx a Seperti contoh pada gambar di bawah, Luas I = 4 5 y dx = dan sumbu-x adalah b f(x) dx a Seperti contoh pada gambar di bawah, Luas II = (x 3x 4) dx 4 kalau dibatasi oleh y = f(x) < 0 (ada di bawah sumbu-x) dan dibatasi oleh garis x = a, x = b atau y dx = b f(x) dx a 4 1 (x 3x 4) dx Untuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva, (seperti contoh di bawah) maka kita bisa menggunakan : 4 y 1 y dx 34

37 Beberapa tips mengerjakan integral luas seperti berikut ini : Ketika bertemu dengan daerah yang dibatasi : 1. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Kuadrat. Persamaan Kuadrat dan Sumbu-x 3. Persamaan Kuadrat dan Persamaan Linear Substitusikan y pada kedua persamaan, kemudian kita gunakan rumus dengan, D = b 4ac L = D D 6a Rumus 1/3 Kalau bertemu dengan daerah seperti gambar di samping, kita bisa menggunakan rumus L = 1 alas tinggi 3 Syarat terpenting adalah daerahnya seperti itu!!! Fungsi kuadratnya mempunyai minimum yang menempel pada garis dasar pada daerah yang dimaksud. Kalau pada gambar tersebut, menempel pada sumbu-x Contoh : Luas = = 3 3 = 10 3 Rumus /3 Kalau daerahnya dibatasi oleh fungsi kuadrat dan sumbu- x seperti gambar di bawah ini, kita bisa gunakan Contoh : Luas = alas tinggi 3 Luas = = 16 3 = Soal 77 : Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 x, dan garis y = x + 3 adalah... a satuan luas b. 0 satuan luas c. satuan luas d. 6 3 satuan luas e. 1 satuan luas Solusi 77 : Karena dibatasi oleh fungsi kuadrat dan fungsi linear, maka kita bisa menggunakan rumus D D L = 6a Substitusi kedua persamaan 9 x = x + 3 x + x 6 = 0 D = 1 4( 6) = 5 Sehingga, luas yang dimaksud adalah D D 5 5 L = = 6a 6.1 = =

38 Indikator : menghitung ukuran pemusatan atau ukuran letak dari data dalam bentuk tabel, diagram atau grafik Ukuran Pemusatan Mean (Rataan) x = x 1 + x + x x n n Pada data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka x i yang digunakan adalah nilai tengah Median Jika n ganjil, maka Me = xn +1, yaitu data ke- n+1 Jika n genap, maka Me = 1 xn + xn +1 Tentu saja dengan syarat data harus sudah diurutkan. Untuk data yang berupa tabel distribusi frekuensi, maka n Me = t b + F k f p Keterangan : t b : tepi bawah kelas modus n : banyaknya data F k : frekuensi kumulatif sebelum kelas median f : frekuensi kelas median p : panjang kelas Modus Mo = t b + p b 1 + b Keterangan : b 1 : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya b : selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya b 1 Ukuran Letak Kuartil Kuartil ke-i dirumuskan Q i = t b + i 4 n F k f p Ukuran Penyebaran Jangkauan/Rentang : x max x min Jangkauan Antar Kuartil : Q 3 Q 1 Simpangan Kuartil : 1 (Q 3 Q 1 ) n i=1 x Simpangan Rata-rata = i x n Ragam = n i=1 (x i x ) n Simpangan Baku = Ragam 36

39 Soal 78 : Nilai rataan dari data pada tabel berikut Nilai Frekuensi adalah... a. 145,87 b. 173,84 c. 153,87 d. 183,84 e. 163,88 Solusi 78 : Nilai Frekuensi d d f n = 40 d i f i = 6555 Jadi, x = 6555 = 163, ,

40 Indikator : menyelesaikan masalah sehari-hari dengan menggunakan kaidah pencacahan, permutasi atau kombinasi Kaidah Perkalian Jika tempat pertama dapat diisi dengan n 1 cara, tempat kedua dapat diisi dengan n cara,..., sampai tempat ke-k dapat diisi dengan n k cara. Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang disediakan adalah n n n k Faktorial dengan n bilangan asli. dan 0! = 1 n! = n (n 1) (n ) 1 Permutasi Permutasi r unsur dari n unsur P(n, r) = Soal 79 : Banyaknya bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 300 yang dapat disusun dari angkaangka 1,, 3, 4 dan 5 adalah... a. 50 b. 60 c. 10 d. 180 e. 10 n! (n r)! Permutasi Unsur Sama n! P(n, r 1, r,, r k ) = r 1! r! r k! Permutasi Siklis (permutasi dengan susunan melingkar) Banyaknya permutasi siklis dari n unsur yaitu (n 1)! Kombinasi Kombinasi r unsur dari n unsur C(n, r) = n! r! (n r)! Solusi 79 : Ada 3 tempat, mulai dari ratusan, puluhan dan satuan 5 5 Tempat ratusan hanya bisa diisi oleh 1 dan Tempat puluhan bisa diisi oleh 1,, 3, 4, 5 Tempat satuan bisa diisi oleh 1,, 3, 4, 5 Sehingga, banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 5 5 = 50 38

41 Indikator : menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang suatu kejadian Suatu kejadian A dapat terjadi sebanyak n(a). Sedangkan semua kemungkinan (ruang sampel) dari hasil percobaan dapat terjadi sebanyak n(s). Maka peluang terjadinya kejadian A dalam percobaan tersebut adalah P(A) = n(a) n(s) Frekuensi Harapan Frekuensi Harapan kejadian A yaitu F(A) = n P(A) dengan, P(A) : peluang kejadian A n : banyaknya percobaan yang dilakukan Komplemen dengan, P(A) : peluang kejadian A P(A ) : peluang kejadian bukan A P(A) + P(A ) = 1 Soal 80 : Sebuah kantong berisi 5 bola merah, 3 bola putih dan bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambilnya bola merah atau hijau adalah... a b c. 1 5 Solusi 80 : Peluang terambil bola merah adalah 5 10 Peluang terambil bola hijau adalah 10 Peluang terambil bola merah atau hijau adalah 5 + = d. 5 e