Fermat s Little Theorem dan Aplikasinya pada Algoritma RSA

Transkripsi

1 Fermat s Lttle Theorem dan Alkasnya ada Algortma RSA Akbar Gumbra Program Stud Teknk Informatka, Insttut Teknolog Bandung Jl. Ganesha 10, Bandung E-mal : f18106@students.f.tb.ac.d ABSTRAK Pada makalah n, enuls membahas tentang Fermat s Lttle Theorem beserta beberaa embuktannya dar beberaa sudut andang. Selan tu enuls juga menyertakan alkas Fermat s Lttle Theorem ada Algortma RSA. Fermat s Lttle Theorem n meruakan teorema yang mendasar dar ranah lmu teor blangan. Bahkan dengan menggunakan teorema n, kta daat menurunkan Euler s Theorem dengan bantuan sfat dar fungs Euler φ, walauun sebenarnya Fermat s Lttle Theorem n meruakan kasus khusus dar Euler s Theorem. Kemudan enuls membahas Algortma RSA serta memberkan bukt bahwa roses dekrs RSA vald dengan menggunakan Fermat s Lttle Theorem. Keamanan dar Algortma RSA n akan terjamn selama belum ada algortma yang efsen untuk memfaktorkan blangan komost menjad faktor rmanya. Kata kunc: Fermat s Lttle Theorem, RSA, rma. 1. PENDAHULUAN Pada ranah lmu blangan, hotess Chna meruakan konjektur yang terbantahkan. Hotess n menyatakan bahwa sebuah blangan bulat n meruakan blangan rma, jka dan hanya jka memenuh konds n 2 n 2. Atau dalam kata lan, n meruakan blangan rma jka dan hanya jka 2 n 2 mod n. Hotess n berlaku jka n blangan rma, maka 2 n 2 mod n, yang meruakan kasus khusus dar Fermat s Lttle Theorem. Namun, konversnya dar hotess n, dalam hal n jka 2 n 2 mod n maka n adalah blangan rma, adalah salah. Oleh karena tu, hotess Chna tersebut secara keseluruhan adalah salah. Contoh enyangkal terkecl dar hotess n adalah 341. Kemudan Fermat menggeneralsas hotess tersebut yang sekarang dkenal dengan Fermat s Lttle Theorem. Menurut sejarah teorema n dberkannya tana emberan bukt darnya, karena menurutnya bukt yang dmlknya terlalu anjang. Fermat s Lttle Theorem n tertuls ada sebuah surat yang dkrm oleh Fermat untuk temannya, yatu Frencle De Bessy. Setelah tu, Gottfred Lebnz ada sebuah manuskr tana tanggal memberkan bukt dar teorema tersebut dan da juga menuls bahwa da telah mengetahu bukt tersebut sebelum tahun Namun, konvers dar generalsas Fermat s Lttle Theorem tersebut juga tdak berlaku. Blangan-blangan komost yang memenuh teorema uj kermaan dengan menggunakan Fermat s Lttle Theorem n dnamakan fermat seudormes. Selan dgunakan untuk menguj kermaan dar suatu blangan, Fermat s Lttle Theorem juga dgunakan sebaga dasar dar Algortma RSA. RSA meruakan algortma untuk mengenkrs kunc ublk, hal n berart nstruks untuk mengenkrs sebuah esan mungkn dketahu oleh umum walauun algortma dalam mendeskrs esan tesebut aman. Algortma n dnamakan dar enemunya, yatu Ron Rvest, Ad Shamr, dan Len Adleman, yang ertama kal mengumumkannya ada tahun 1977 ketka bekerja d MIT. RSA meruakan algortma ertama yang cocok untuk dgtal sgnature. RSA sama saat n mash dgunakan secara luas dalam rotokol electronc commerce. 2. Fermat s Lttle Theorem Perre De Fermat lahr d Beaumont-de-Lomagne, Tarn-et- Garonne, Prancs. Ia memberkan banyak sekal kontrbus ada lmu teor blangan. Salah satu teoremanya yang terkenal adalah Fermat Lttle Theorem. Teorema n ertama kal dnyatakannya ada sebuah surat untuk temannya, Frencle de Bessy, ada tanggal 18 Oktober Pada surat tersebut tertuls : membag a -1-1 untuk suatu blangan rma dan a salng rma dengan. Secara formal, Fermat s Lttle Theorem n daat dtuls : Msalkan a suatu blangan bulat ostf dan suatu blangan rma. Maka berlaku a a mod. Untuk GCD a, = 1, berlaku a 1 1 mod. 2.1 Pembuktan Fermat s Lttle Theorem Pada makalah n, enuls memberkan ulasan tentang bukt dar Fermat s Lttle Theorem n, bukt dar Fermat s Lttle Theorem n adalah sebaga berkut : Makalah IF2091 Struktur Dskrt Tahun 2009 Page 1

2 Pembuktan Menggunakan Induks Sebaga bass nduks, untuk a = 1, teorema n vald, sebab 1 1. Kemudan untuk langkah nduks, msalkan teorema tersebut vald untuk suatu nla a, sehngga memenuh a a. Selanjutnya erlu dbuktkan bahwa a + 1 (a + 1). Untuk membuktkan hal n, erhatkan bahwa : (a + 1) a + 1 = a + atau daat dtuls menjad : 1 =1 (a + 1) a + 1 = (a a) + a + 1 (a + 1) 1 =1 a Karena untuk 1 1 dan berdasarkan asums a a, maka daat dsmulkan a + 1 (a + 1). Pembuktan Menggunakan Kongruens Kta daat mengalkan kongruens, untuk seta = 1,.., n, dan c d (mod ), sehngga c 1 c 2 c n d 1 d 2 d n mod (1) Kemudan, msalkan gcd a, = 1. Kta bentuk barsan berkut : a, 2a, 3a,, 1 a (2) Tdak ada dua dar suku tersebut yang kongruen dengan modulo. Karena a k a mod k mod = k Oleh sebab tu, seta suku dar barsan yang dbuat kongruen teat ada satu dar blangan berkut : 1, 2, 3,.., 1 (3) Dengan menggunakan ersamaan (1), (2), dan (3) deroleh a (mod ) Karena dan 1! salng rma, maka ersamaan datas daat dtuls menjad : a 1 1 (mod ) Pembuktan Menggunakan Teor Kombnatork Msalkan terdaat mutara-mutara dengan banyak warna sejumlah a warna. Dar mutara n dbentuk kalung dengan teat menggunakan sejumlah mutara. Pertama, dbentuk sebuah untaan mutara. Terdaat a untaan strng berbeda yang daat dbentuk. Jka kta buang untaan tersebut yang hanya terds dar satu warna saja, yatu sebanyak a. Maka terdaat ssa sebanyak a a untaan. Kemudan, ujung dar ta untaan tersebut untuk mendaatkan kalung. Kta daat melhat bahwa dua untaan yang dbedakan oleh hanya sebuah ermutas skls dar mutaranya menghaslkan kalung yang tak daat dbedakan. Namun. Terdaat sejumlah ermutas skls dar mutara ada sebuah untaan. Oleh sebab tu, banyak kalung yang berbeda adalah sejumlah a a. Karena banyak kalung n mereresentaskan blangan bulat, maka daat dsmulkan bahwa a a. Sebaga catatan sejarah, sektar 500 tahun sebelum maseh, matematkawan cna sudah mengetahu bahwa jka adalah sebuah blangan rma, maka berlaku 2 2 mod, atau lebh dkenal dengan nama Hotess Chna. Hal n meruakan kasus khusus dar Fermat s Lttle Theorem. Namun, mereka dan juga Lebnz ratusan tahun kemudan berkr bahwa konvers dar teorema tersebut benar, atau dalam hal n, jka 2 n 2 mod n, maka n haruslah blangan rma. Counterexamle terkecl dar keyaknan mereka tersebut adalah n = 341 = 11 31, dmana : (mod 341) Blangan yang memlk sfat seert 341 tersebut dsebut seudorme terhada bass 2. Beberaa blangan juga meruakan seudormes terhada semu bass. Blangan n dsebut absolute seudormes atau Carmchael Numbers. Carmchael Number yang terkecl yatu Contoh Penggunaan Fermat s Lttle Theorem Berkut beberaa ermasalan yang daat dselesakan dengan bantuan Fermat s Lttle Theorem : Contoh Htung (mod 41) Karena 5 dan 41 adalah blangan rma, maka menurut Fermat s Lttle Theorem berlaku : (mod 41) Karena = , maka (5 40 ) (1) (mod 41) Sehngga tnggal dhtung 5 7 (mod 41). Karena (mod 41), maka (mod 41) Jad mod 41 = 20. Contoh Buktkan bahwa angkat 8 dar sebarang blangan selalu berbentuk 17m atau 17m ± 1 untuk suatu m blangan bulat. Makalah IF 2091 Struktur Dskrt Tahun 2009 Page 2

3 Msal N sebarang blangan, akan dcar N 8. Jka N kelatan 17, maka N 8 juga kelatan 17. Sehngga N 8 memunya bentuk 17m. Sekarang, erlu dbuktkan jka N salng rma dengan 17. Karena N blangan rma, maka menurut Fermat s Lttle Theorem berlaku : N 16 1 (mod 17) atau N (mod 17) (N 8 1)(N 8 + 1) 0 (mod 17) Jad, N 8 ±1 mod 17, sehngga N 8 = 17m ± 1 untuk suatu blangan bulat m. Contoh Buktkan bahwa n 37 n habs dbag untuk semua blangan asl n. Kta harus mengurakan blangan dalam faktor rmanya, yatu : = Selanjutnya, berdasarkan Fermat s Lttle Theorem, kta memunya : n k (mod k) Atau n k n 0 (mod k) Dengan k = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 37. Perhatkan bahwa n 1 membag n Karena n 36 1 = (n 2 ) 18 1, maka n 2 1 habs membag n Hal yang sama untuk n 3 1, n 4 1, n 6 1, n 12 1, n 18 1 semuanya habs membag n Jad n k n habs membag n 37 n untuk k = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 37. Dengan demkan, menurut Chnese Remander Theorem, maka : n 37 n 0 (mod ) n 37 n 0 (mod ) Contoh Msalkan adalah suatu blangan rma dengan bentuk 3k + 2 dmana membag a 2 + ab + b 2 untuk suatu blangan bulat a dan b. Buktkan bahwa a dan b keduanya habs dbag oleh. Jawab : Kta akan melakukan endekatan secara tdak langsung, yatu dengan mengasumskan bahwa tdak habs membag a. Karena habs membag a 2 + ab + b 2, juga habs membag a 3 b 3 = a b (a 2 + ab + b 2 ). Sehngga a 3 b 3 (mod ). Hal n daat derumum menjad a 3k b 3k (mod ). Oleh karena tu, juga tdak habs membag b. Dengan menggunakan Fermat s Lttle Theorem, menghaslkan : a 1 b 1 1 (mod ) atau a 3k+1 b 3k+1 (mod ) Karena relatf rma terhada a, maka daat dutuskan bahwa a b (mod ) Hal n, dengan mengngat sebelumnya bahwa a 2 + ab + b 2 0 (mod ) mengakbatkan 3a 2 0 (mod ). Karena 3, n mengndkaskan bahwa habs membag a, yang menghaslkan sebuah kontradks dar asums awal. Contoh Msalkan suatu blangan rma. Tunjukkan bahwa terdaat tak hngga banyaknya blangan bulat ostf n sehngga habs membag 2 n n Jka = 2, trval bahwa habs membag 2 n n untuk seta n blangan bulat ostf gena. Kta asumskan bahwa adalah ganjl. Dengan menggunakan Fermat s Lttle Theorem, ddaat (mod ) atau daat dtuls menjad 2 1 2k 1 (mod ) Kemudan erhatkan bahwa ( 1) 2k 1 (mod ). Sehngga 2 1 2k 1 ( 1) 2k (mod ), yang secara ekslst menunjukkan bahwa habs membag 2 n n untuk n = ( 1) 2k. 3. Alkas Fermat s Lttle Theorem ada RSA Algortma RSA djabarkan oleh tga orang yang berasal dar MIT (Massachusetts Insttute of Technology), yatu Ron Rvest, Ad Shamr, dan Len Adleman ada tahun RSA mendasarkan roses enkrs dan deksrs ada konse blangan rma dan artmetka modulo. Bak kunc ekrs mauun kunc dekrs keduanya meruakan blangan bulat. Kunc ekrs n tdak drahasakan dan dketahu umum (dnamakan kunc ublk), namun kunc untuk dekrs bersfat rahasa. Kunc dekrs dbangktkan dar beberaa buah blangan rma bersamasama dengan kunc enkrs. Algortma n datenkan oleh MIT ada tahun 1983 d Amerka Serkat sebaga U.S. Patent Paten n berlaku hngga 21 Setember Langkah-langkah dar Algortma RSA adalah sebaga berkut : 1. Ambl dua blangan rma sembarang, msalkan a dan b. Jaga kerahasaan a dan b n. 2. Htung n = a b. Besaran n n tdak drahasakan. 3. Htung m = a 1 (b 1). Sekal m telah dhtung, a dan b daat dhaus untuk mencegah dketahunya oleh hak lan. 4. Plh sebuah blangan bulat untuk kunc ublc, sebut namanya e, yang relatf rma terhada m. 5. Bangktkan kunc dekrs, d, dengan kekongruenan ed 1 mod m. Lakukan enkrs terhada s esan dengan ersamaan e c = mod n, yang dalam hal n adalah blok lanteks, c adalah Makalah IF 2091 Struktur Dskrt Tahun 2009 Page 3

4 cherteks yang deroleh, dan e adalah kunc enkrs (kunc ublk). Harus dernuh ersyaratan bahwa nla harus teletak dalam hmunan nla 0, 1, 2,, n 1 untuk menjamn hasl erhtungan tdak berada d luar hmunan. 6. Proses dekrs dlakukan dengan menggunakan ersamaan = c d mod n, yang dalam hal n d adalah kunc dekrs. Dua blangan rma yang dambl, yatu a dan b, seharusnya secara kasar memlk ukuran yang sama, namun tdak begtu dekat. Nla dar a dan b n daat dcar dengan mencoba-coba blangan bulat yang mendekat n. Basanya b < a < 2b. Dgt dar a dan b daat dhaslkan dengan random sehngga blangan tersebut teruj kermaanya dengan menggunakan Fermat s Lttle Theorem. Tdak ada aturan yang jelas dalam memerhatkan bagamana nla e dlh selan e harus relatf rma terhada m. Namun, terdaat nla standar untuk memlh e n yang basanya dgunakan karena memerceat roses erhtungan. Nla decodng d dhtung menggunakan algortma extended eucld. Teorema yang meruakan dasar dar Algortma RSA menyatakan bahwa untuk sembarang dua buah blangan rma, msal dan q, dan msal terdaat blangan bulat x sehngga x salng rma terhada dan q. Maka berlaku : x 1 (q 1) 1 (mod q) Hal n daat dbuktkan sebaga akbat dar Fermat s Lttle Theorem. Berkut embuktannya : Karena GCD x, = 1, maka juga berlaku GCD x q 1, = 1. Dengan mengunakan Fermat s Lttle Theorem deroleh x q 1 ( 1) 1 mod. Dengan melakukan hal yang sama untuk q, deroleh x q 1 ( 1) 1 mod q. Dar kedua ersamaan yang deroleh, daat dnyatakan bahwa terdaat blangan bulat k dan k sehngga memenuh : k = (x q 1 ) 1 1, dan k q = (x q 1 ) 1 1 atau dalam hal n dan q meruakan faktor dar (x q 1 ) 1 1. Sehngga, karena dan q keduanya meruakan blangan rma, maka q (x q 1 ) 1 1. Atau daat kta tuls : (x q 1 ) 1 = 1 (mod q). Hal n menunjukkan bahwa roses endekrsan ada Algortma RSA vald. Sebaga lustras, berkut gambaran dar RSA : Msal And ngn mengznkan Bud untuk mengrmkan esan rbad adanya. And melakukan langkah-langkah berkut untuk membuat asangan kunc ublk dan kunc rvat : 1. Ambl dua blangan rma sembarang, msalkan a dan b. Jaga kerahasaan a dan b n. 2. Htung n = a b. Besaran n n tdak drahasakan. 3. Htung m = a 1 (b 1). Sekal m telah dhtung, a dan b daat dhaus untuk mencegah dketahunya oleh hak lan. 4. Plh sebuah blangan bulat untuk kunc ublc, sebut namanya e, yang relatf rma terhada m. 5. Bangktkan kunc dekrs, d, dengan kekongruenan ed 1 mod m. Kemudan And mengrmkan kunc ublk ada Bud, dan teta merahasakan kunc rvat yang dgunakan. Kemudan, msalkan Bud ngn mengrm esan A ke And. Bud mengubah A menjad angka x < n menggunakan rotokol yang sebelumnya telah dseakat dan dkenal sebaga addng scheme. Paddng Scheme In harus dbangun secara hat-hat agar tdak menmbulkan masalah keamanan. Dar sn, Bud memlk x dan mengetahu n dan e yang telah dberkan oleh And. Kemudan, Bud menghtung chertext c yang terkat ada x, yatu : c = x e mod n Setelah tu, And menerma c dar Bud, dan mengetahu kunc rvat yang dgunakan olehnya. And kemudan mambangktkan n dar c yatu dengan erhtungan : x = c d mod n Hasl n akan memberkan nla x, sehngga And daat mengembalkan esan semula. Keamanan dar RSA n bergantung ada dua asums. Pertama, satu-satunya cara untuk mendaatkan d dar n dan e adalah memfaktorkan n. Kedua, tdak ada algortma yang efsen untuk memfaktorkan n n. Sejauh yang kta tahu, kedua asums tersebut adalah benar, namun keduanya belum dlakukan embuktan. Pada tahun 1993, Rchard Shor mengumumkan sebuah algortma untuk memfaktorkan blangan bulat dengan waktu yang dbutuhkan bersfat olnomal ada komuter kuantum. Jad, sstem RSA sama saat n mash aman untuk dgunakan, walauun kemajuan dalam komutas membuatnya menjad tdak aman d masa yang akan datang. Pada tahun 2005, blangan faktorsas terbesar yang dgunakan secara umum yatu seanjang 663 bt dengan menggunakan dstrbus murakhr. Kunc RSA ada umumnya seanjang bt. Beberaa akar meyakn bahwa kunc 1024-bt ada kemungknan decahkan ada waktu dekat, namun tak seorangun berendaat bahwa kunc seanjang 2048-bt akan ecah ada masa dean dengan terredks. Untuk menghndar serangan ada keamanan dar RSA n, maka sstem harus dmlemantaskan dengan hathat. Sebaga contoh, mengkonverskan seta karakter dar suatu esan ke suatu blangan dan meng-encode blangan tersebut akan menghaslkan kode yang mudah untuk decahkan. Karena blangan dar karakter tersebut Makalah IF 2091 Struktur Dskrt Tahun 2009 Page 4

5 kecl, seorang enyerang daat dengan mudah menggunakan kunc ublk untuk mengenkrskan semua kemungknan kode. Masalah n daat dselesakan dengan mengkonverskan esan kedalam suatu blangan untuk dlakukan encodng atau dengan menggunakan addng schemes untuk mengkonverskan blangan kecl ke blangan yang lebh besar. Penemu algortma n menyarankan nla a dan b yang dambl (dua blangan rma) anjangnya lebh dar 100 dgt. Dengan demkan hasl n = a b akan berukuran lebh dar 200 dgt sehngga susah untuk dlakukan emfaktoran dar n, karena menurut Rvest dan temannya, untuk mencar faktor dar n n akan membutuhkan waktu komutas selama 4 mlyar tahun, dengan asums bahwa algortma emfaktoran yang dgunakan meruakan algortma yang terceat saat n dan komuter yang dgunakan memlk kecean 1 mldetk. Number Theory Problems From the Tranng of USA IMO Team. Brkhauser Boston [5] Munr, Rnald. Dktat Kulah Struktur Dskrt. Bandung : Program Stud Teknk Informatka, Insttut Teknolog Bandung [6] htt://d.wkeda.org/wk/rsa. Tanggal akses : 18 Desember Pukul [7] htt://en.wkeda.org/wk/chnese_hyothess. Tanggal akses : 18 Desember Pukul IV. KESIMPULAN Dar semua yang telah daarkan sebelumnya, ada beberaa kesmulan yang daat dtark dar makalah n, yatu : 1. Dalam lmu teor blangan, Fermat s Lttle Theorem meruakan teorema dasar yang entng untuk daham. Teorema n daat dgunakan untuk menguj kermaan suatu blangan dan sebaga dasar dar algortma RSA. Bahkan untuk kasus ekstrm, seert untuk membuktkan Euler s Theorem, Fermat s Lttle Theorem daat dgunakan. Walauun Fermat s Lttle Theorem meruakan kasus khusus dar Euler s Thorem. 2. Blangan-blangan komost yang lolos dar uj kermaan dengan Fermat s Lttle Theorem dnamakan fermat seudormes. Blangan seudorme terhada semua bass dnamakan Carmchael Number. Namun, blangan-blangan n relatf jarang. 3. Tngkat keamanan dar algortma RSA untuk sama saat n mash daat dkatakan terjamn. REFERENSI [1] Engel, Arthur. Problem-Solvng Strateges. New York : Srnger-Verlag [2] Ksacann, Branslav. Mathematcal Problems and Proofs Combnatorcs, Number Theory, and Geometry. Kluwer Academc Publshers [3] Budh, Wono Setya. Langkah Awal Menuju ke Olmade Matematka.Jakarta : CV. Rcardo [4] Ttu Andreescu, Dorn Andrca, Zumng Feng. 104 Makalah IF 2091 Struktur Dskrt Tahun 2009 Page 5