PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH

Transkripsi

1 PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

2 ABSTRAK NADIROH. Pedugaa Fugsi Sebara da Fugsi Kepekata Peluag Waktu Tuggu Proses Poisso Periodik. Dibibig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI. Pada tulisa ii dibahas pedugaa fugsi sebara da fugsi kepekata peluag waktu tuggu suatu proses Poisso periodik. Diasusika bahwa periode dari proses tersebut diketahui, sedagka fugsi itesitasya tidak diketahui. Proses Poisso dala karya iliah ii diasusika diaati pada iterval 0,. Misalka Z ( ) eyataka waktu tuggu kejadia ke- sejak awal pegaata dari proses Poisso periodik yag dikaji. Masalah utaa dala karya iliah ii adalah ebuktika kekosistea dari peduga fugsi sebara F Z ( ) da peduga fugsi kepekata peluag f Z dari waktu tuggu Z ( ) jika pajag iterval pegaata proses euju tak higga. Keudia, dikaji juga pedekata asitotik utuk raga peduga bagi F Z ( ) da sebara asitotik peduga bagi F Z ( ).

3 ABSTRACT NADIROH. Estiatio of Distributio Fuctio ad Probability Desity Fuctio of Waitig Tie of Periodic Poisso Process. Supervised by I WAYAN MANGKU ad RETNO BUDIARTI. This auscript is cocered with estiatio of distributio ad probability desity fuctio of the waitig tie of a periodic Poisso process. It is assued, that the period of this process is kow, but the itesity fuctio is ukow. It is also assued, that the Poisso process is observed i the iterval 0,. Let Z ( ) deotes the waitig tie of -th evet sice the begiig of observatio of the Periodic Poisso Process beig discussed. The ai proble is to prove the cosistecy of the estiator of the distributio fuctio F Z ( ) ad the probability desity fuctio f Z of the waitig tie Z ( ) as the legth of observatio iterval of the process goes to ifiity. I additio, asyptotic approxiatio of the variace ad the asyptotic distributio of the estiator of F Z ( ) are forulated.

4 PENDUGAAN FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK NADIROH Skripsi sebagai salah satu syarat utuk eperoleh gelar Sarjaa Sais pada Departee Mateatika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0

5 Judul Skripsi : Pedugaa Fugsi Sebara da Fugsi Kepekata Peluag Waktu Tuggu Proses Poisso Periodik Naa : Nadiroh NIM : G Disetujui Pebibig I Pebibig II Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. NIP Ir. Reto Budiarti, MS. NIP Diketahui Ketua Departee Mateatika Dr. Berlia Setiawaty, MS. NIP Taggal Lulus :

6 PRAKATA Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala karuia-nya sehigga karya iliah ii berhasil diselesaika. Judul karya iliah ii adalah Pedugaa Fugsi Sebara da Fugsi Kepekata Peluag Waktu Tuggu Proses Poisso Periodik. Teria kasih peulis ucapka kepada Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. selaku dose pebibig I da Ir. Reto Budiarti, MS. selaku dose pebibig II atas seua ilu, kesabara, otivasi, da batuaya selaa peulisa skripsi ii. Teria kasih juga peulis ucapka kepada Dr. Ir. Hadi Suaro, MS. selaku dose peguji yag telah bayak eberi sara. Ugkapa teria kasih juga disapaika kepada orag tua da keluarga atas segala doa, dukuga, kesabara, kepercayaa, da kasih sayagya. Peulis juga igi egucapka teria kasih kepada seluruh dose, staf pegawai, da tea-tea di Istitut Pertaia Bogor, khususya di Departee Mateatika. Seoga karya iliah ii dapat berafaat bagi duia ilu pegetahua khususya ateatika da ejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya. Bogor, April 0 Nadiroh

7 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Tagerag pada taggal 7 Maret 989 sebagai aak bugsu dari lia bersaudara, aak dari pasaga Mustaki da Rolah. Tahu 007 peulis lulus dari SMA Negeri 7 Tagerag da pada tahu yag saa diteria sebagai ahasiswi IPB elalui jalur Seleksi Peeriaa Mahasiswa Baru (SPMB). Peulis eilih ayor Mateatika, Fakultas Mateatika da Ilu Pegetahua Ala. Selaa egikuti perkuliaha, peulis perah eegag aaah sebagai Staff Divisi Keputria Serabi Ruhiyah Mahasiswa FMIPA (SERUM G) pada periode

8 DAFTAR ISI Halaa DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN... Latar Belakag... Tujua... LANDASAN TEORI... Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag... Peubah Acak da Fugsi Sebara... Moe, Nilai Harapa, da Raga... 3 Kekovergea Peubah Acak... 3 Peduga da Sifat-Sifatya... 4 Proses Stokastik... 4 Proses Poisso... 5 Beberapa Defiisi da Lea Tekis... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN... 7 Peruusa Peduga... 7 Kekosistea bagi F Z ( ),... 7 Pedekata Asitotik bagi Raga F Z ( ),... 8 Kekosistea bagi f Z ( ),... 3 Sebara Asitotik bagi F Z ( ),... 4 Hasil Siulasi... 6 SIMPULAN... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... 0

9 DAFTAR GAMBAR Halaa Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 0 da grid Grafik F Z da F Z,, ketika = pada 0,0, dega = 50 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 00 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 00 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 0 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 50 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 00 da grid Grafik F Z ( )() da F Z ( ),(), ketika = pada 0,0, dega = 00 da grid DAFTAR LAMPIRAN Halaa Pebuktia Lea 3... Pebuktia Lea Progra Peetua Fugsi Sebara da Pedugaya Utuk Waktu Tuggu Kejadia Pertaa Progra Peetua Fugsi Sebara da Pedugaya Utuk Waktu Tuggu Kejadia Kedua... 4 iiiv

10 PENDAHULUAN Latar Belakag Bayak feoea dala kehidupa sehari-hari yag dapat diodelka dega proses stokastik. Model ii egguaka atura peluag utuk eggabarka perilaku suatu siste yag tidak diketahui dega pasti di asa yag aka datag. Cotoh dala kehidupa sehari-hari yag dapat diodelka dega proses stokastik yaitu proses kedataga pelagga ke pusat servis (bak, kator pos, superarket, da sebagaiya) da proses asukya pesa ss atau paggila telepo pada hadphoe. Proses stokastik dibedaka ejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses Poisso periodik dapat diguaka utuk eodelka proses kedataga pelagga ke bak dega periode satu hari. Waktu kedataga dari kejadia ke- disebut juga dega waktu tuggu sapai kejadia ke- terjadi. Dega kata lai, waktu tuggu kejadia ke- dari suatu proses Poisso periodik erupaka waktu atara titik ulaiya pegaata yaitu 0 dega waktu kejadia ke- dari proses Poisso periodik. Karea bayakya peerapa proses Poisso periodik khususya pada proses kedataga, sehigga diperluka peduga bagi fugsi sebara da fugsi kepekata peluag waktu tuggu suatu proses Poisso periodik. Pada karya iliah ii dipelajari sifatsifat statistik seperti aproksiasi asitotik utuk ilai harapa da raga (variace) yag diguaka utuk eujukka bahwa peduga bagi fugsi sebara da fugsi kepekata peluag yag dihasilka adalah kosiste da utuk eetuka sebara asitotik dari peduga yag dikaji. Dala tulisa ii juga diberika cotoh peyusua peduga yag egguaka data bagkita dega perograa R. Materi karya iliah ii diabil dari Helers da Magku (0). Tujua Tujua peulisa karya iliah ii adalah utuk: i) Megostruksi ulag peyusua peduga fugsi sebara da fugsi kepekata peluag waktu tuggu proses Poisso periodik. ii) Megostruksi ulag pebuktia kekosistea bagi peduga fugsi sebara da fugsi kepekata peluag waktu tuggu proses Poisso periodik. iii) Megostruksi ulag pebuktia pedekata asitotik bagi raga peduga fugsi sebara waktu tuggu proses Poisso periodik. iv) Megostruksi ulag pebuktia sebara asitotik bagi peduga fugsi sebara waktu tuggu proses Poisso periodik. v) Melakuka siulasi koputer utuk epelajari perilaku peduga fugsi sebara bagi waktu tuggu kejadia pertaa da kejadia kedua utuk ukura sapel yag terbatas.

11 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dala kodisi yag saa, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui seua keugkia hasil yag ucul. Defiisi (Ruag cotoh) Ruag cotoh adalah hipua seua hasil yag ugki dari suatu percobaa acak, da diotasika dega Ω. (Griett & Stiraker 99) Defiisi (Kejadia) Kejadia adalah suatu hipua bagia dari ruag cotoh Ω. (Griett & Stiraker 99) Defiisi 3 (Kejadia lepas) Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah hipua kosog. (Griett & Stiraker 99) Defiisi 4 (Meda-σ) Meda-σ adalah suatu hipua F yag aggotaya terdiri atas hipua bagia ruag cotoh Ω, yag eeuhi syarat berikut: i) F. i= ii) Jika A, A, F, aka A i F. iii) Jika A F, aka A c F. (Hogg et al. 005) Defiisi 5 (Ukura peluag) Ukura peluag P pada (, F) adalah fugsi P F 0, yag eeuhi: i) P = 0, P Ω =. ii) Jika A, A, adalah hipua lepas yag erupaka aggota dari F, yaitu: A i A j =, utuk setiap i, j dega i j, aka P i= A i = i= P A i. (Griett & Stiraker 99) Pasaga Ω, F, P disebut ruag peluag. Defiisi 6 (Kejadia salig bebas) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: P A B = P A P B. Secara uu, hipua kejadia A i ; i I dikataka salig bebas jika: P( i J A i ) = i J P(A i ) utuk setiap hipua bagia J dari I. (Griett & Stiraker 99) Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah acak) Misalka Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa acak. Fugsi Χ yag terdefiisi pada Ω yag eetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X ω = x disebut peubah acak. Ruag dari Χ adalah hipua bagia bilaga real A = { x x = Χ(ω), ω Ω}. (Hogg et al. 005) Peubah acak diotasika dega huruf kapital, isalka X, Y, Z. Sedagka ilai peubah acak diotasika dega huruf kecil seperti x, y,. Setiap peubah acak eiliki fugsi sebara. Defiisi 8 (Fugsi sebara) Misalka Χ adalah peubah acak dega ruag A. Misalka kejadia A = (, x] A, aka peluag dari kejadia A adalah P X x = F X x. Fugsi F X disebut fugsi sebara dari peubah acak X. (Hogg et al. 005) Defiisi 9 (Peubah acak diskret) Peubah acak Χ dikataka diskret jika seua hipua ilai dari peubah acak tersebut erupaka hipua tercacah. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Fugsi assa peluag) Fugsi assa peluag dari peubah acak diskret X adalah fugsi p R [0,] yag diberika oleh p X x = P X = x. (Hogg et al. 005) Defiisi (Peubah acak kotiu) Peubah acak X dikataka kotiu jika ada fugsi f X sehigga fugsi sebara F X dapat diyataka sebagai

12 3 F X x = f X (u) du x x R, dega f X R 0, adalah fugsi yag teritegralka lokal. Fugsi f X disebut fugsi kepekata peluag bagi peubah acak X. (Griett & Stiraker 99) Defiisi (Peubah acak Poisso) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisso dega paraeter λ, λ > 0 jika fugsi assa peluagya diberika oleh λk λ p X k = e k! utuk k = 0,, (Ross 007) Lea (Julah peubah acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da eiliki sebara Poisso dega paraeter berturut-turut λ da λ. Maka X + Y eiliki sebara Poisso dega paraeter λ + λ. (Taylor & Karli 984) Bukti: lihat Taylor & Karli 984. Moe, Nilai Harapa, da Raga Defiisi 3 (Nilai harapa). Jika X adalah peubah acak diskret dega fugsi assa peluag p X x, aka ilai harapa dari X diotasika dega E X adalah E X = x x p X x asalka julah di atas koverge utlak.. Jika X adalah peubah acak kotiu dega fugsi kepekata peluag f X x, aka ilai harapa dari X adalah E X = xf X (x)dx asalka itegral di atas koverge utlak. (Hogg et al. 005) Defiisi 4 (Raga) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi assa peluag p X (x) da ilai harapa E X. Raga dari X diotasika dega Var(X) atau σ X adalah σ X = E(X E X ) = x E X p X x. x (Hogg et al. 005) Defiisi 5 (Fugsi pebagkit oe) Misalka X adalah peubah acak sehigga utuk > 0, ilai harapa dari e tx terdefiisi pada < t <. Fugsi pebagkit oe dari X diyataka M t = E e tx, utuk < t <. (Hogg et al. 005) Defiisi 6 (Fugsi idikator) Misalka A adalah suatu kejadia. Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi I A Ω 0,, yag diberika oleh: I A (ω) =, jika ω A. 0, jika ω A. (Griett & Stiraker 99) Nilai harapa dari fugsi idikator adalah sebagai berikut: Ε I A =. P A + 0. P A c = P A. Kekovergea Peubah Acak Terdapat beberapa cara utuk egiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah acak, X X utuk. Defiisi 7 (Koverge dala peluag) Misalka X, X, adalah barisa peubah acak pada suatu ruag peluag Ω, F, P. Barisa peubah acak X dikataka koverge p dala peluag ke X, diotasika X X, jika utuk setiap ε > 0 berlaku P X X > ε 0, utuk. (Griett & Stiraker 99) Lea (Sifat kekovergea dala peluag) Misalka X koverge dala peluag ke X da Y koverge dala peluag ke Y aka X Y koverge dala peluag ke XY, diotasika dega p X Y XY. (Hogg et al. 005) Bukti: lihat Hogg et al Defiisi 8 (Koverge dala sebara) Misalka X, X,, X adalah peubah acak pada suatu ruag peluag Ω, F, P. Suatu barisa peubah acak X dikataka koverge dala sebara ke peubah acak X, ditulis d X X, utuk, jika P(X x) P X x utuk, utuk

13 4 seua titik x diaa fugsi sebara F X x = P(X x) adalah kotiu. (Griett & Stiraker 99) Peduga da Sifat-Sifatya Defiisi 9 (Statistik) Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah acak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa paraeter yag ilaiya tidak diketahui. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Peduga) Misalka X, X,, X adalah cotoh acak. Suatu statistik U(X, X,, X ) yag diguaka utuk eduga fugsi paraeter g(θ) dilabagka dega g θ, disebut peduga bagi g(θ). Bilaaa ilai X = x, X = x,, X = x, aka ilai U(x, x,, x ) disebut sebagai dugaa (estiate) bagi g(θ). (Hogg et al. 005) Defiisi (Peduga tak bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya saa dega paraeter g θ, yaitu E U X, X,, X = g(θ) disebut peduga tak bias bagi g(θ). (ii) Jika li E U X, X,, X = g(θ) aka U(X, X,, X ) disebut peduga tak bias asitotik bagi g(θ). (Hogg et al. 005) Defiisi (Peduga kosiste) Suatu peduga yag koverge dala peluag ke paraeter g(θ) disebut peduga kosiste bagi g(θ). (Hogg et al. 005) Defiisi 3 (MSE suatu peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga W utuk paraeter θ adalah fugsi dari θ yag didefiisika oleh E θ (W θ). Dega kata lai MSE adalah ilai harapa kuadrat dari selisih atara peduga W da paraeter θ, yag dapat dihitug sebagai berikut: E θ W θ = Var W + E θ W θ = Var W + (bias(θ )) dega bias U = EU g θ. (Casella & Berger 990) Proses Stokastik Defiisi 4 (Proses stokastik) Proses stokastik X = X t, t T adalah suatu hipua dari peubah acak yag eetaka suatu ruag cotoh Ω ke suatu ruag state. (Ross 007) Jadi utuk setiap t pada hipua ideks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita serig egiterpretasika t sebagai waktu da X t sebagai state (keadaa) dari proses pada waktu t. Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu diskret jika hipua ideks T adalah hipua tercacah. Sedagka suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval. Defiisi 5 (Ikree bebas) Suatu proses stokatik dega waktu kotiu {X t, t T disebut eiliki ikree bebas jika utuk seua t 0 < t < < t, peubah acak X t X t 0, X t X t,, X t X t adalah bebas. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut eiliki ikree bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tupag tidih (tidak overlap) adalah bebas. Defiisi 6 (Ikree stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X = {X t, t T} disebut eiliki ikree stasioer jika X t + s X(t) eiliki sebara yag saa utuk seua ilai t. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut eiliki ikree stasioer jika sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sebarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut.

14 5 Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses ii, kecuali diyataka secara khusus, diaggap bahwa hipua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif yaitu 0,. Defiisi 7 (Proses pecacaha) Suatu proses stokastik N t, t 0 disebut proses pecacaha jika N(t) eyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sapai waktu t. Dari defiisi tersebut, aka suatu proses pecacaha N(t) harus eeuhi syarat-syarat berikut: i) N(t) 0 utuk seua t 0,. ii) Nilai N(t) adalah iteger. iii) Jika s < t aka N s N t, s, t 0,. iv) Utuk s < t aka N t N(s) saa dega bayakya kejadia yag terjadi pada iterval s, t. (Ross 007) Defiisi 8 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju λ, λ > 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut: i) N 0 = 0. ii) Proses tersebut eiliki ikree bebas. iii) Bayakya kejadia pada sebarag iterval waktu dega pajag t eiliki sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa λt. Jadi utuk seua t, s > 0, P N t + s N s = k = e λt (λt) k, k! k = 0,, (Ross 007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso eiliki ikree stasioer. Dari syarat ii juga dapat diperoleh bahwa E N t = λt. Defiisi 9 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak hooge X dega fugsi itesitas λ pada titik sεr adalah λ s, yaitu ilai fugsi λ di s. (Cressie 993) Defiisi 30 (Fugsi periodik) Suatu fugsi λ disebut periodik jika berlaku λ s + k = λ(s) utuk seua s R da k Z. Kostata terkecil yag eeuhi persaaa di atas disebut periode fugsi λ tersebut. (Browder 996) Defiisi 3 (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso tak hooge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik. (Magku 00) Defiisi 3 (Itesitas global) Misalka N 0, adalah proses Poisso pada iterval 0,. Itesitas global θ dari proses Poisso ii didefiisika sebagai li jika liit di atas ada. EN 0, (Cressie 993) Lea 3 (Eksistesi itesitas global) Jika N [0, ] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, aka EN 0, li pada Defiisi 3 ada da ilaiya saa dega θ = Bukti: lihat Lapira. λ s ds. 0 Beberapa Defiisi da Lea Tekis Defiisi 33 (Fugsi teritegralka lokal) Fugsi itesitas λ disebut teritegralka lokal jika utuk sebarag hipua Borel terbatas B kita peroleh μ B = B λ(s)ds <. (Dudley 989) Defiisi 34 (O(. ) da o(. )) Sibol-sibol O(. ) da o(. ) erupaka cara utuk ebadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x euju suatu liit L. i) Notasi u x = O v x, x L, eyataka bahwa x L. u(x) v(x) terbatas, utuk

15 6 ii) Notasi eyataka x L. u x = o v x, x L, bahwa u(x) v(x) 0, utuk (Serflig 980) Defiisi 35 (Titik Lebesque) Kita kataka s adalah titik Lebesque dari λ jika berlaku li λ s + x λ(s) dx = 0. (Wheede & Zygud 977) Lea 4 (Teorea deret Taylor) Deret Taylor dari fugsi f di a (atau di sekitar a atau berpusat di a) eeuhi persaaa ( ) f ( a) f ( x) x a! 0 a () () f ( a) f f ( a) x a x a...!! (Stewart 999) Lea 5 (Forula Youg dari Teorea Taylor) Misalka g eiliki turua ke- yag berhigga pada suatu titik x, aka k g x k g y g x y x o y x, k k! utuk y x. (Serflig 980) Bukti: lihat Serflig 980. Lea 6 (Teorea Liit Pusat) Misalka X, X,., X adalah barisa peubah acak bebas dari suatu sebara yag asig-asig eiliki ilai harapa μ da raga tak ol σ. Jika X i μ Y = σ aka Y koverge ke sebara oral baku, D diotasika Y Noral(0,) utuk. (Hogg et al. 005) Bukti: lihat Lapira.

16 HASIL DAN PEMBAHASAN Peruusa Peduga Misalka N adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas λ yag erupaka fugsi periodik da teritegralka lokal yag diaati pada suatu iterval 0,. Pebahasa ii haya utuk kasus periode yag diketahui. Karea λ periodik, dega periode yag diketahui, aka λ s + k = λ(s) utuk seua s R da k Z. Misalka Ζ eyataka waktu tuggu kejadia ke- dari proses Poisso Ν sejak awal pegaata (waktu 0). Adaika terdapat suatu realisasi tuggal Ν ω dari proses Poisso periodik Ν yag diaati pada iterval [0, ]. Utuk setiap bilaga real > 0, da utuk setiap bilaga bulat positif, fugsi sebara dari Z ( ) dapat diyataka sebagai F Z = P Z ( ) = P N() = P N() < = P N = 0 + P N = + + P(N = ) = e Λ() + e Λ() Λ + Λ Λ() + e! = e Λ() + Λ + + Λ 0 dega Λ = λ s ds.! () Misalka r = diaa utuk setiap bilaga real x, x eujukka bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau saa dega x. Maka, utuk setiap > 0 didapatka = + r dega 0 < r <. Diisalka θ = λ(s)ds 0 erupaka itesitas global dari N. Maka utuk setiap > 0 dapat dituliska Λ = θ + Λ r. () Dari persaaa () da (), odel peluag Z ( ) adalah seiparaetrik, dega bagia oparaetrik diberika oleh fugsi Λ r = r λ s ds, 0 < 0 r <, diaa bagia paraetrik diberika oleh θ (dega periode yag diketahui). Misalka F Z ( ),() erupaka peduga bagi F Z ( )() dega egguaka data aata N ω 0,, yaitu suatu proses Poisso yag diaati pada [0, ], diberika oleh F ( ) () e... Z,! (3) dega diaa, Λ r = da =. Λ = θ θ = N 0,, + Λ r N k, r + k (4) (5) (6) Fugsi kepekata peluag dari F Z () diberika oleh f Z = d d F Z = λ()e Λ Λ()! (7) dega f Z () tidak diketahui, tetapi f Z () dapat diduga dega Λ f Z, = λ ()e Λ ()! (8) diaa utuk setiap > 0, λ () diberika oleh, 0, N s k h s k h k 0 h (9) λ () erupaka peduga fugsi itesitas dari N diaa erupaka barisa bilaga real positif yag koverge ke 0, yaitu 0 jika. Kekosistea bagi F Z (), da f Z, Teorea (Kekosistea bagi F Z (), ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0 da utuk setiap bilaga bulat positif, berlaku F Z, p F Z () (0)

17 8 jika. Bukti: Teorea aka dibuktika setelah bukti Lea 7, Lea 8, Lea 9, da Teorea. Teorea (Pedekata asitotik bagi raga F Z (), ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0 da utuk setiap bilaga bulat positif Λ( ) Var e Λ q ( ) F Z ( ) ( ), o ( )! () jika. Diaa q = θ + + Λ r. Bukti: Utuk ebuktika Teorea diperluka tiga Lea berikut. Lea 7 (Ketakbiasa bagi Λ ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0, aka ΕΛ = Λ. () Bukti: Perhatika Λ r + Λ c r = r 0 bahwa λ s ds + λ s ds = λ s ds 0 = θ, (3) sehigga utuk setiap > 0, Λ dapat dituliska bahwa Λ = θ + Λ r = Λ r + Λ c r + Λ r = + Λ r + Λc r. (4) Suatu peduga bagi Λ c r diberika oleh Λ c r = N r + k, + k. r (5) Perlu diperhatika bahwa peubah acak Λ r da Λ c r salig bebas da Λ r + Λ c r = θ. Oleh karea itu, utuk setiap > 0, Λ dapat dituliska sebagai berikut Λ = + Λ r + c Λ r. (6) Nilai harapa dari Λ r dapat dihitug sebagai berikut EΛ r = EN k, r + k r +k = λ(x)dx k r = λ(x)dx 0 = Λ r = Λ r. (7) c Nilai harapa dari Λ r dapat dihitug sebagai berikut EΛ c r = EN r + k, + k +k = λ(x)dx r +k = λ(x)dx r = Λ c r = Λ c r. (8) Dega egguaka persaaa (7) da (8), ilai harapa dari Λ dapat dihitug sebagai berikut EΛ = + EΛ r + EΛ c r = + Λ r + Λc r = Λ(). Jadi Lea 7 terbukti. Lea 8 (Kekovergea raga bagi Λ ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0, aka Var Λ () = q(). (9) Catata: karea 0 Λ r θ, aka persaaa (9) utuk setiap > 0 dapat dituliska dala betuk: Var Λ () = O, (0) jika.

18 9 Bukti: c Karea peubah acak Λ r da Λ r salig bebas, aka dari persaaa (6) diperoleh Var Λ = + Var Λ r Var c Λ r. + () Utuk 0 r da pasaga bilaga iteger k, j, dega k j, aka N k, r + k da N j, r + j adalah salig bebas, sehigga diperoleh raga dari peubah acak Λ r adalah Var Λ r = = = = = Λ r = Λ r. Var N k, r + k EN k, r + k r +k λ(x)dx k r λ(x)dx 0 () Selajutya utuk raga dari peubah acak Λ c r dapat dihitug sebagai berikut Var Λ c r = = = = = Λ c r = Λ c r. VarN r + k, + k EN r + k, + k +k λ(x)dx r +k λ(x)dx r (3) Dega esubstitusi persaaa () da (3) ke dala persaaa () diperoleh Var Λ = + Var Λ r + Var c Λ r = + Λ r + Λ c r = + Λ r + Λ c r. Keudia dari persaaa (3), diperoleh Λ c r = θ Λ r, sehigga + Λ r + Λ c r = + Λ r + θ Λ r = + Λ r + θ = Λ r + Λ r + θ θ + + Λ r Λ r = = q(). (4) Jadi persaaa () dapat dituliska Var Λ = q() jika, aka Lea 8 terbukti. Lea 9 (Sebara asitotik bagi Λ ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0, aka q() Λ Λ() d Noral 0, jika. Bukti: Perhatika bahwa Λ Λ = + + = + + = + Λ r + Λ c r Λ r + Λc r Λ r Λ r Λ c r Λ c r N k, r + k Λ r (5)

19 0 + N r + k, + k = + Λ r Λ r N k, r + k + Λ c ( r ) Λ c ( r ) N r + k, + k Λ r Λ c r Λ c r = Λ r + N k, r + k Λ r Λ r + Λ c r N r + k, + k Λ c r. Λ c r (6) Karea N k, r + k adalah peubah acak Poisso dega ilai harapa Λ r, jika aka N k, r k Λ r k 0 d Noral 0, Λ r jika. Selajutya dega egalika usur Λ r +, aka sebara di atas ejadi Λ r + N k, r k r k 0 r d Noral 0, Λ r + (7) jika. Karea N r + k, + k adalah peubah acak Poisso dega ilai harapa Λ c r, jika aka c N r k, k Λ r k 0 d Noral0, c Λ r jika. Selajutya dega egalika usur Λ c r, aka sebara di atas ejadi Λ c r d k 0 Noral 0, Λ c r c r, Λ r N k k Λ (8) jika. Dega esubstitusika persaaa (7) da (8) ke dala persaaa (6), aka Λ Λ d Karea Noral 0, + + sehigga + Λ r + Λ Λ d c r Λ r Λ c r. Λ c r = q(), Noral 0, q Λ Λ d Noral 0, ), q() jika. Jadi Lea 9 terbukti. Bukti Teorea : Pertaa perhatika bahwa F Z ( ), () dapat dituliska F Z ( ), () = e Λ () + Λ + + Λ ()! F Z, = f Λ (). Diaa utuk setiap w > 0 w w w (9) f w e w....!! Dega egguaka Forula Youg dari Teorea Taylor, aka f f Λ f Λ Λ " Λ f Λ... Karea Var F Z,! = Var f Λ (30) dega egguaka persaaa (30), Var F Z, dapat dituliska sebagai berikut

20 F Λ Z, f Λ Var f f Λ Λ Λ Var f Var Λ Cov Λ,...! (3) Perhatika bahwa! w f w = e w! yag secara tidak lagsug eyataka f Λ e Λ Λ =!. (3) Dega egguaka persaaa (3) da Lea 8, aka ruas pertaa pada persaaa (3) ejadi ( ) e () q () f ( ) Var ( ).! Utuk elegkapi bukti dari Teorea, harus dibuktika bahwa ruas kedua da seterusya pada persaaa (3) harus ejadi () o f () o ( ) e! (33) sehigga Var F Z, = f Λ Var Λ + f Λ o jika. Utuk ebuktika bahwa ruas kedua da seterusya aka ejadi f Λ o kedua dari persaaa (3), diaa w w w w f ( w) e e ( )! ( )! f ( w) w, perhatika ruas sehigga, ruas kedua dari persaaa (3) dapat dituliska f f Λ E Λ f( w) E Λ Λ Var w Λ! f ( w) O w f ( w) o jika, dega asusi = o utuk. Dega eguaka cara yag saa ruas laiya dari persaaa (3) dapat dituliska dala persaaa (33), karea faktaya bahwa utuk setiap bilaga bulat positif k, turua ke- k dari f w dapat dituliska f (k) w = f w O k, jika. Keudia Var F Z, dapat dituliska Var F Z, = f Λ + f Λ = f Λ Var Λ o = e Λ Λ! Jadi Teorea terbukti. Var Λ + o 4 q() + o. Bukti Teorea : Berdasarka persaaa () da (3), aka persaaa (0) dapat dituliska F () F Z, Z e...! e ( )...! e ( )...! e....! (34) 4

21 Keudia disisipka persaaa di bawah ii ke dala persaaa (34) e ( )....! Sehigga persaaa (34) dapat dituliska e e ( )...! ( ) e....!! (35) Perhatika ruas pertaa dari persaaa (35) yaitu: e e ( )...! (36) dega egguaka deret Taylor da Lea 9 persaaa (36) dapat dituliska dala betuk e...! (37) = e ( )... e e e e = e O = O / p / p (38) jika. Karea ( ) ( )... e O()! utuk setiap, sehigga e e ( )...! Op e ( ) Op. Jadi ruas pertaa dari persaaa (35) eghasilka O p /, jika. Utuk ruas kedua dari persaaa (35), pertaa ( ) perhatika bahwa e dega peluag. Utuk setiap l, aka l l l l l! l! l! keudia disisipka l l... sehigga l l l! l l l... l! l l l... l l... l! l l... l l l! l l... l! l l... l l l l! l! l ax, l l l. Faktaya Λ Λ = O p, jadi hasil dari ruas kedua pada persaaa (35) tidak aka elebihi l l l l! l l! p p / / p / O e O e O jika. Dega esubstitusika hasil dari perhituga ruas pertaa da kedua ke dala persaaa (35), didapatka F ( ) F e e ( )... Z, Z! e ( )...!! O O p p O. p Jadi Teorea terbukti.

22 3 Teorea 3 (Kekosistea bagi f Z, ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika 0, l, aka utuk setiap > 0 da utuk setiap bilaga bulat positif berlaku p f () f Z ( ), Z (39) jika, asalka adalah titik Lebesque dari λ. Bukti: Utuk ebuktika Teorea 3 diperluka Lea 0. Lea 0 (Kekosistea bagi λ ) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik da teritegralka lokal. Jika badwidth 0 da utuk, aka λ (s) p λ(s) (40) utuk, asalka s adalah titik Lebesque dari λ. Bukti: Utuk ebuktika Lea 0, cukup dibuktika: (i) Eλ (s) λ(s), jika. (4) E s EN s k h, s k h h 0, h k0 sk h k0 sk h x I x0, isalka y = x (s + k), h k 0 h h h dx y s I y s k 0, dy h y s O dy h h y sdy O h h h y s s sdy O h h h y s sdy sdy O. h h h h h karea s adalah titik Lebesque dari λ, aka kita dapat E s s o. utuk. (ii) Var λ (s) 0, jika. Var s k 0 k 0 (4), 0, Var N s k h s k h 4h EN s k h s k h 4h k 0 s, 0, EN s k h s k h h h h o, 0, s o 0, h h jika. Berdasarka (i) da (ii) dihasilka λ s p λ s, utuk. Jadi Lea 0 terbukti. Bukti Teorea 3: Berdasarka persaaa (7) da (8) aka persaaa (39) dapat dituliska f () f Z ( ), e Z! e! (43) Keudia disisipka persaaa di bawah ii ke dala persaaa (43) sehigga e e e e! e!! e!! e e.!!!. (44)

23 4 Perhatika ruas pertaa pada persaaa (44) yaitu e.!! Utuk setiap > 0, λ e Λ = O p () jika. Da juga karea utuk setiap bilaga bulat positif, Λ = O p () da Λ!! = O() utuk. Sehigga ruas pertaa pada persaaaa (44) eghasilka o p () utuk. Keudia utuk ruas kedua pada persaaa (44) yaitu e e.! Berdasarka Lea 0 da faktaya bahwa f x = e x adalah fugsi yag kotiu, kita dapat utuk setiap > 0, λ e Λ λ e Λ, jika. Karea utuk setiap bilaga bulat positif, aka p Λ! = O() jika. Jadi pada ruas kedua eghasilka o p () utuk. Berdasarka hasil ruas pertaa da kedua pada persaaa (44), f () f Z ( ), p p e e (). p Z o () o () o e Jadi Teorea 3 terbukti.!! Sebara Asitotik bagi F Z (),! Teorea 4 (Sebara asitotik) Misalka fugsi itesitas λ adalah periodik da teritegralka lokal. Utuk setiap > 0 da utuk setiap bilaga bulat positif aka ( )! e d F ( ) ( ) F ( ) ( ) N 0, Z, Z q() jika. (45) Diaa N(0,) eyataka peubah acak oral baku dega q(), q = θ + + Λ r. Bukti: Utuk ebuktika persaaa (45) kita egguaka Lea 9. Diaa! e ( ), Z Z q( ) F ( ) F Op q() (46) jika. Selajutya pada persaaa (46), utuk bilaga bulat positif yag diberika, harus dibuktika! e F ( ) ( ) ( ) ( ) F Z, Z q( ) Op q() (47) jika. Dari persaaa (47) kita dapat F ( ) F ( ) ( ) Z, Z e ( )... e e...!! e! F ( ) F Z, Z e e!! (48) Keudia disisipka persaaa di bawah ii sehigga e! F () F Z, Z e!! e e e!!! (49)

24 5 Maka persaaa (47) dapat dituliska (50) jika. Berdasarka persaaa (46), ruas pertaa dari persaaa (50) dapat dituliska! e q( ) F () F Z, Z O p q( ) (5) jika. Utuk ruas kedua dari persaaa (50) dapat dituliska! e e e q( )! e q ( ) q ( ) e e e ( ) q ( )... ( ) Op q ( ) (5) jika. Utuk ruas ketiga dari persaaa (50) dapat dituliska! e e q()!! e q() keudia disisipka... ke dala Λ () Λ da dega egguaka deret Taylor, persaaa di atas ejadi Op q( ).... p q( ) O.... O p q( )... O p q( )... O p q( )... Op q( ) Op... Op q( ) (53) jika. Dega esubstitusika persaaa (5), (5) da (53) ke dala persaaa (50) diperoleh Op q( ) q ( ) ( ) Op Op q( ) Op q( ) Sehigga Teorea 4 terbukti..

25 FugsiSebara FugsiSebara FugsiSebara FugsiSebara Hasil Siulasi Di sii aka diperlihatka cara peetua peduga utuk fugsi sebara waktu tuggu kejadia pertaa da kedua dega egguaka data bagkita dega fugsi itesitas s s exp cos. Data dibagkitka pada iterval 0,, utuk = 5, dega = 0, = 50, = 00 da = 00. Keudia dega egguaka perograa R dapat diperoleh gabar grafik fugsi sebara da pedugaya utuk waktu tuggu kejadia pertaa yaitu ketika = da kejadia kedua ketika = sebagai berikut: Gabar Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 0 da grid Gabar 3 Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 00 da grid Gabar Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 50 da grid Gabar 4 Grafik F Z da F Z,, ketika = pada (0,0), dega = 00 da grid 0.05.

26 FugsiSebara FugsiSebara FugsiSebara FugsiSebara Gabar 5 Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 0 da grid Gabar 7 Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 00 da grid Gabar 6 Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 50 da grid Dari gabar di atas, terlihat bahwa suatu peduga bagi fugsi sebara kejadia pertaa da kejadia kedua aka edekati fugsi sebara yag sebearya jika seaki besar pajag iterval pegaata. Hal ii sesuai dega Teorea, yaitu F Z ( ), aka Gabar 8 Grafik F Z ( )() da F Z ( ), (), ketika = pada (0,0), dega = 00 da grid koverge dala peluag ke F Z ( ) jika euju tak higga. Da juga dapat disipulka seaki besar ilai diperluka yag lebih besar utuk eperoleh kualitas peduga yag saa.

27 SIMPULAN Pada karya iliah ii dikaji asalah pedugaa fugsi sebara F Z ( ) da fugsi kepekata peluag f Z waktu tuggu dari suatu proses Poisso periodik. Diisalka Ζ adalah waktu tuggu kejadia ke- proses Poisso periodik Ν sejak awal pegaata. Adaika terdapat suatu realisasi tuggal Ν ω dari proses Poisso periodik Ν yag diaati pada iterval [0, ]. Utuk setiap bilaga real > 0 da utuk setiap bilaga bulat positif, fugsi sebara da fugsi kepekata peluag dari Z ( ) dapat diyataka sebagai F ( ) e... Z! da f Z = λ e Λ Λ!. Peduga fugsi sebara F Z ( )() da fugsi kepekata peluag f Z dapat diyataka sebagai F ( ) e... Z,! da f Z, = λ e Λ Λ!. Dari hasil pegkajia yag dilakuka dapat disipulka bahwa: i) F Z ( ),() erupaka peduga yag kosiste bagi F Z ( )(), yaitu F Z, F Z () jika. ii) f Z, erupaka peduga yag kosiste bagi f Z, yaitu f Z, f Z jika. iii) Pedekata asitotik bagi raga () adalah F Z ( ), p p Λ( ) e Λ q ( ) Var F Z ( ) ( ), o ( )! jika. iv) Sebara asitotik bagi F Z ( ),() adalah! e d F ( ) ( ) F ( ) ( ) N 0, ( ) Z, Z q() jika. v) Berdasarka hasil siulasi diperoleh bahwa seaki besar ilai diperluka yag lebih besar utuk eperoleh kualitas peduga yag saa.

28 DAFTAR PUSTAKA Browder A Matheatical Aalysis: A Itroductio. New York: Spriger. Casella G, Berger RL Statistical Iferece. Ed ke-. Califoria: Wadsworth & Brooks. Cressie NAC Statistics for Spatial Data. Revised Editio. New York: Wiley. Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Califoria: Wadsworth & Brooks. Griett GR, Stiraker DR. 99. Probability ad Rado Processes. Ed ke-. Oxford: Claredo Press. Helers R, Magku IW. 0. O Log Ter Predictio of a Cyclic Poisso Process. I preparatio. Hogg RV, Craig AT, McKea JW Itroductio to Matheatical Statistic. Ed ke-6. USA: Pearso Pretice Hall. Magku IW. 00. Estiatig the Itesity of a Cyclic Poisso Process [Ph. D. Thesis]. Asterda: Uiversity of Asterda. Ross SM Itroductio to Probability Models. Ed ke-9. Florida: Acadeic Press. Serflig RJ Approxiatio Theores of Matheatical Statistic. New York: Joh Wiley & Sos. Stewart J Kalkulus Jilid. Ed ke-4. Jakarta: Erlagga. Taylor HM, Karli S A Itroductio to Stochastic Modellig. Florida: Acadeic Press. Wheede RL, Zygud A Measure ad Itegral: A Itroductio to Real Aalysis. New York: Marcel Dekker.

29 LAMPIRAN

30 Lapira Pebuktia Lea 3 Lea 3 (Eksistesi Itesitas Global) Jika N [0, ] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, aka EN 0, li pada Defiisi 3 ada da ilaiya saa dega θ = λ s ds. 0 Bukti : Berdasarka Defiisi 8, diketahui bahwa N [0, ] eiliki sebara Poisso dega paraeter μ [0, ] = λ s ds, sehigga EN [0, ] = λ s ds. 0 0 Oleh karea itu, EN 0, li = li λ s ds 0 (54) Misalka = da r =. Maka r <. Sehigga ruas kaa persaaa (54) saa dega li λ s ds + λ s ds = li λ s ds + li λ s ds. 0 0 (55) Perhatika bahwa liit pada suku kedua pada persaaa (55) berilai 0. Maka selajutya aka ditujukka bahwa li λ s ds = λ s ds. 0 0 Utuk eperoleh hasil di atas, ruas kiri dari persaaa di atas dapat dituliska sebagai berikut li λ s ds 0 (56) Perhatika bahwa λ s ds = λ s ds 0 0 Maka liit pada persaaa (56) dapat dihitug sebagai berikut 0 λ s ds li = 0 = λ s ds li 0 = λ s ds li λ s ds. 0 r r = λ s ds. 0 Jadi, utuk kasus N [0, ] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ yag periodik dega periode, aka θ = λ s ds. 0 Jadi Lea 3 terbukti.

31 Lapira Pebuktia Lea 6 Lea 6 (Teorea Liit Pusat) Misalka X, X,., X adalah barisa peubah acak bebas dari suatu sebara yag asig-asig eiliki ilai harapa μ da raga tak ol σ. Jika X i μ Y = σ aka Y koverge ke sebara oral baku, diotasika Y D Noral(0,) utuk. (Hogg et al. 005) Bukti : t X μ Misalka t = E e = e μt M t, diaa M t = Ee tx eyataka fugsi pebagkit oe. Karea t erupaka fugsi pebagkit oe dari X μ, aka 0 =, 0, da t = E X μ = σ. Dega egguaka Deret Taylor diaa ξ terdefiisi atara 0 da t, aka t = 0 + ξ t 0 t + ξ t = +. Keudia disisipka σ t, t = + σ t + ξ σ t. (57) M t; dapat ditujukka dega, X i μ M t; = E exp t σ = E exp t X μ exp t X μ exp t X μ σ σ σ = E exp t X μ E exp t X μ E exp t X μ σ σ σ X μ = E exp t σ = t. σ t Perhatika persaaa (57), t dapat digatika dega aka persaaa (57) ejadi, t σ = + t + ξ σ t σ, karea kotiu pada t = 0 da ξ 0 jika, aka li ξ σ = 0. Sehigga M t; li M t; = li = li = exp t. Maka Lea 6 terbukti. + t + o + t + o σ

32 3 Lapira 3 Progra Peetua Fugsi Sebara da Pedugaya Utuk Waktu Tuggu Kejadia Pertaa Fduga=fuctio(tau,,) { axlabda=exp() tau=floor(/tau) EN=tau*tau*axlabda PAP=rpois(,EN) realisasi=ruif(pap,0,tau*tau) labda=exp(cos((*pi*realisasi)/tau)) P=labda/axlabda P[P<=0]= P[P>=]= hold=rbio(pap,,p)== s=realisasi[hold] tetaduga=legth(s)/(tau*tau) r=-(tau*floor(/tau)) su=0 for(k i :tau) { x=s[s>k*tau&s<r+k*tau] su=su+legth(x) } Lr=(/tau)*su L=(tau*floor(/tau)*tetaduga)+Lr Fduga=-exp(-L) retur(fduga) } F=fuctio(tau,) { it=fuctio(s){exp(cos((*pi*s)/tau))/tau} teta=itegrate(it,0,tau) r=-(tau*floor(/tau)) it=fuctio(s){exp(cos((*pi*s)/tau))} Lr=itegrate(it,0,r) L=(teta[[]]*tau*floor(/tau))+Lr[[]] F=-exp(-L) retur(f) } fug=fuctio(tau,) { =seq(0,0,0.05) FugsiSebara=seq(:legth()) aalitik=seq(:legth()) for(i i :legth()) { FugsiSebara[i]=Fduga(tau,,[i]) aalitik[i]=f(tau,[i]) } plot(,fugsisebara,"l") lies(,aalitik) retur(fugsisebara) }

33 4 Lapira 4 Progra Peetua Fugsi Sebara da Pedugaya Utuk Waktu Tuggu Kejadia Kedua Fduga=fuctio(tau,,) { axlabda=exp() tau=floor(/tau) EN=tau*tau*axlabda PAP=rpois(,EN) realisasi=ruif(pap,0,tau*tau) labda=exp(cos((*pi*realisasi)/tau)) P=labda/axlabda P[P<=0]= P[P>=]= hold=rbio(pap,,p)== s=realisasi[hold] tetaduga=legth(s)/(tau*tau) r=-(tau*floor(/tau)) su=0 for(k i :tau) { x=s[s>k*tau&s<r+k*tau] su=su+legth(x) } Lr=(/tau)*su L=(tau*floor(/tau)*tetaduga)+Lr Fduga=-exp(-L)*(+L) retur(fduga) } F=fuctio(tau,) { it=fuctio(s){exp(cos((*pi*s)/tau))/tau} teta=itegrate(it,0,tau) r=-(tau*floor(/tau)) it=fuctio(s){exp(cos((*pi*s)/tau))} Lr=itegrate(it,0,r) L=(teta[[]]*tau*floor(/tau))+Lr[[]] F=-exp(-L)*(+L) retur(f) } fug=fuctio(tau,) { =seq(0,0,0.05) FugsiSebara=seq(:legth()) aalitik=seq(:legth()) for(i i :legth()) { FugsiSebara[i]=Fduga(tau,,[i]) aalitik[i]=f(tau,[i]) } plot(,fugsisebara,"l") lies(,aalitik) retur(fugsisebara) }