Catatan Kuliah 9 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Tanpa Kendala dengan 2 atau Lebih Variabel Keputusan

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Catatan Kuliah 9 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Tanpa Kendala dengan 2 atau Lebih Variabel Keputusan"

Yulia Johan
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Catatan Kuliah 9 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Tanpa Kendala dengan atau Lebih Variabel Keputusan 1. Kondisi Turunan Pertama Perhatikan kembali optimisasi dengan 1 variabel bebas, aitu : z = ( ) (1) Maka sarat perlu dan cukup bagi ungsi tersebut adalah : (i) FONC : dz = '( ) d = atau ( ) (ii) SOSC : ( ) '( ) d z d dz = d d '( ) = d d "( ) = d d "( ) d dz ' d = = () = (3) d z ma Jadi, "( ) = d min Misalkan sekarang diberikan ungsi dengan variabel bebas aitu : (, ) z = (4) Maka sarat perlu dan cukup bagi ungsi tersebut adalah : (i) FONC : = = atau = = (ii) Turunan Kedua Derivati Parsial Diketahui dan, maka (5) ( ) atau z (6) ( ) atau z (7)

2 z dan z (8) Turunan Kedua Total Dierensial Karena dz = d + d maka ( ) ( ) dz dz d z d( dz) = d+ d ( d d ) ( d d ) + + = d + ( ) ( ) = d + d d + d + d d = d + dd + dd + d (9) d Berdasarkan Teorema Young, = selama masing-masing derivati parsial tersebut kontinu. Oleh karena itu, d z = d + dd + d (1). Kondisi Turunan Kedua Jadi untuk masalah optimisasi variabel, kondisi turunan keduana adalah : Ma d z SOSC : Min d z < i < ; < ; > dimana d z > i > ; > ; > Jika disimpulkan, tabel kondisi untuk relative ekstremum z (, ) = : Kondisi Maksimum Minimum FONC = = = = SOSC < ; < ; > > ; > ; >

3 Diketahui : z = + 6+ Carilah nilai ekstrem dari ungsi tersebut dan tentukan apakah maksimum atau minimum. 3. Bentuk Kuadrat Perhatikan kembali bentuk persamaan (1) : d z = d + dd + d Misalkan q d z ; u d ; v d ; a ; b ; h = Maka persamaan (1) menjadi : q au huv bv = + + (11) Positive and Negative Deiniteness Suatu bentuk kuadrat q dikatakan : positive deinite positive positive semideinite nonnegative jika q selalu negative semideinite nonpositive negative deinite negative < Determinantal Test or Sign Deiniteness ( > ) ( ) ( ) ( ) Jika ruas kanan persamaan (11) ditambahkan dan dikurangkan dengan h h q = au + huv + v + bv v a a h h h = a u + uv+ v + b v a a a h v a : h ab h = a u+ v + v a a (1)

4 h Karena u+ v > a dan v >, maka nilai q sangat bergantung pada nilai a dan ab h a Agar q >, maka a > dan Karena a >, maka ( ab h ) ab h a > > sehingga ab > h Jadi, agar q minimum(positive deinite) atau q d z > saratna adalah a > dan > Dengan cara ang sama, agar q maksimum(negative deinite) atau q d z< saratna adalah a < dan > Bentuk kuadrat q pada persamaan (11) dapat dinatakan dalam bentuk : q= u v h b v ; uv, (13) Karena u dan v merupakan vektor tidak nol, maka bentuk q sangat bergantung [ ] a h u a h pada h b = Berdasarkan uraian sebelumna, dinatakan bahwa sarat maksimum adalah : < ; < ; > Bentuk di atas adalah determinan dari matriks a h h b = = dengan 1 = < dan = > dimana adalah determinan essian. Dengan cara ang sama, maka untuk sarat minimum adalah : 1 = > dan = >

5 Sehingga dapat disimpulkan sbb : Kondisi Maksimum Minimum FONC = = = = SOSC < ; > 1 > ; > 1 Tentukan apakah q u uv v = positive atau negative deinite? 4. Akar Ciri Diberikan matriks D berukuran n n Jika kita dapat menentukan besarna skalar r dan vektor berukuran n 1, ang memenuhi persamaan : D = r (14) ( n n)( n 1) ( n 1) maka skalar r disebut dengan akar karakteristik atau akar ciri dari matriks D, dan vektor disebut dengan vector karakteristik dari matriks D. Persamaan (14) dapat ditulis dengan bentuk : D ri = atau ( D ri) = (15) dimana adalah vektor berukuran n 1 Matriks koeisien( D ri) adalah matriks karakteristik dari D, ang harus singular atau D d r d d n d d r d 1 n ri = = d d d r n1 n nn (16) Persamaan (16) adalah persamaan karakteristik dari matriks D. 4 Tentukan akar karakteristik dari matriks D = 3

6 5. Fungsi Obekti dengan atau Lebih Variabel Untuk kasus n -variabel, ungsi obekti dapat dinatakan sebagai berikut : ( ) z = 1,,..., n (17) Total dierensial dari persamaan di atas adalah : dz = 1d1+ d ndn (18) n Matriks essian : = 1 n n1 n nn Maka uji determinan untuk ungsi obekti z ( ) = 1,,..., n adalah : (19) Kondisi Maksimum Minimum FONC 1 = =... = n = 1 = =... = n = SOSC 1 3 < ; > ( ) < ;...; 1 > n n 1 n > ; > ;...; > Apakah ungsi z = maksimum atau minimum? ubungan Turunan Kedua dengan Concave dan Conve Jika d z positive deinite strictl conve positive semideinite conve maka z negative semideinite concave negative deinite strictl concave

7 7. Aplikasi dalam Ilmu Ekonomi Misalkan dalam pasar monopoli ditawarkan produk dalam pasar dengan ungsi permintaan masing-masing pasar adalah sbb : Q = 4 P P 1 1 Q = 35 P P 1 Biaa total : CQ (, Q) = Q + Q Tentukan Q 1 dan Q ang memaksimumkan keuntungan serta perlihatkan kondisi turunan keduana.

dokumen-dokumen yang mirip

Catatan Kuliah 10 Memahami dan Menganalisa Optimasi dengan Kendala Persamaan

Catatan Kuliah 10 Memahami dan Menanalisa Optimasi denan Kendala Persamaan 1. Metode Larane Multiplier Misal diberikan masalah optimisasi sbb : OF : U =, st.: (, ) Selanjutna akan dipelajari baaimana mencari