Metode Simpleks (Simplex Method) Materi Bahasan

Transkripsi

1 Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Materi Bahasan 1 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku 2 Pemecahan sistem persamaan linier 3 Prinsip-prinsip metode simpleks TI2231 Penelitian Operasional I 2 1

2 1 Rumusan Pemrograman Linier dalam Bentuk Baku TI2231 Penelitian Operasional I 3 Rumusan Pemrograman Linier dalam Bentuk Baku Memaksimumkan (Meminimumkan) Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n dengan pembatas a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m x 1 0, x 2 0,, x n 0 b 1 0, b 2 0,, b m 0 TI2231 Penelitian Operasional I 4 2

3 Karakteristik Rumusan Bentuk Baku Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau meminimumkan Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak negatif Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas adalah tak negatif TI2231 Penelitian Operasional I 5 Notasi Matriks-Vektor (1) Maks (Min) dg pembatas Z = cx Ax = b x 0 b 0 A : matriks (m x n) x : vektor kolom (n x 1) b : vektor kolom (m x 1) c : vektor baris (1 x n) TI2231 Penelitian Operasional I 6 3

4 Notasi Matriks-Vektor (2) a11 a21 A am1 a a a m2 a a a 1n 2n mn x1 x2 x x n b1 b2 b m b c c c 1 2 c n TI2231 Penelitian Operasional I 7 Reduksi ke Bentuk Baku Metode simpleks untuk memecahkan masalah PL memerlukan bahwa masalah dinyatakan dalam bentuk baku. Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint). Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in sign of variables) TI2231 Penelitian Operasional I 8 4

5 Pembatas Pertidaksamaan (1) Karena bentuk baku memerlukan semua pembatas harus dinyatakan dengan dalam persamaan, pembatas pertidaksamaan harus diubah ke persamaan. Ini dilakukan dengan penambahan variabel baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri dan kanan pada tiap pertidaksamaan. Variabel baru tersebut disebut slack variable TI2231 Penelitian Operasional I 9 Pembatas Pertidaksamaan (2) x 1 + 4x 2 10 x 1 + 4x 2 + x 3 = 10 x 3 0 2x 1 + 5x x 1 + 5x 2 x 4 = 18 x 4 0 TI2231 Penelitian Operasional I 10 5

6 Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (1) Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif) Karena bentuk baku PL memerlukan semua variabel adalah tak negatif, maka variabel yang tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua variabel tak negatif TI2231 Penelitian Operasional I 11 Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (2) x 1 + x 5 = 50 x 1 0 x 5 tak dibatasi tanda x 5 = x 6 x 7 x 1 + x 6 x 7 = 50 x 1 0, x 6 0, x 7 0 TI2231 Penelitian Operasional I 12 6

7 Definisi Dasar (1) Suatu solusi layak (feasible solution) adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b. Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis, S = {x Ax = b, x 0} Jika himpunan layak S adalah kosong maka masalah PL dikatakan tak layak (infeasible) TI2231 Penelitian Operasional I 13 Definisi Dasar (2) Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu vektor x * yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx * ) lebih besar dari semua solusi layak yang lain. Secara matematis, x * adalah optimal x * S dan cx * cx, x S Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL adalah nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi optimal. Jika Z * adalah nilai optimal maka Z * = cx * TI2231 Penelitian Operasional I 14 7

8 Definisi Dasar (3) Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution). Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal. Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z +, maka PL dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution) TI2231 Penelitian Operasional I 15 2 Pemecahan Sistem Persamaan Linier TI2231 Penelitian Operasional I 16 8

9 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (1) Permasalahan matematis utama dalam pemrograman linier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier. Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan menggunakan prosedur klasik Gauss- Jordan elimination. TI2231 Penelitian Operasional I 17 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (2) Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui (S 1 ) x 1 2x 2 + x 3 4x 4 + 2x 5 = 2 x 1 x 2 x 3 3x 4 x 5 = 4 Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi. Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem disebut himpunan solusi (solution set) TI2231 Penelitian Operasional I 18 9

10 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (3) Sistem ekivalen (equivalent system) Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama. Metode untuk memecahkan suatu sistem persamaan adalah mendapatkan suatu sistem ekivalen yang mudah untuk dipecahkan. TI2231 Penelitian Operasional I 19 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (4) Terdapat dua tipe operasi baris elementer untuk mendapatkan sistem ekivalen Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif. Menambahkan ke sebarang persamaan dengan suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol) ke sebarang persamaan yang lain. TI2231 Penelitian Operasional I 20 10

11 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5) (S 1 ) x 1 2x 2 + x 3 4x 4 + 2x 5 = 2 x 1 x 2 x 3 3x 4 x 5 = 4 (S 2 ) x 1 2x 2 + x 3 4x 4 + 2x 5 = 2 x 2 2x 3 + x 4 3x 5 = 2 (S 3 ) x 1 x 3 2x 4 4x 5 = 6 x 2 2x 3 + x 4 3x 5 = 2 TI2231 Penelitian Operasional I 21 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (6) Sistem S 1, S 2 dan S 3 adalah ekivalen, yaitu solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain. Untuk sistem S 3, x 4 = x 5 = x 6 = 0 akan memberikan x 1 = 6, x 2 = 2. Sistem S 3 disebut sistem kanonik (canonical system). Variabel x 1 dan x 2 dari sistem kanonik disebut variabel basis (basic variable). TI2231 Penelitian Operasional I 22 11

12 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (7) Variabel basis (basic variable) Variabel x i dikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain. Variabel non basis (nonbasic variable) Variabel yang bukan variabel basis. Operasi pivot (pivot operation) Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk menghasilkan variabel basis. TI2231 Penelitian Operasional I 23 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (8) Solusi basis (basic solution) Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis. Solusi basis layak (basic feasible solution) Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah tak negatif. TI2231 Penelitian Operasional I 24 12

13 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (9) Dengan m pembatas dan n variabel, jumlah maksimum dari solusi basis bagi PL dalam bentuk baku adalah terbatas dan diberikan oleh n n! m m!n m! Per definisi, setiap solusi basis layak adalah solusi basis, maka jumlah maksimum solusi basis layak adalah juga terbatas dengan hubungan ini. TI2231 Penelitian Operasional I 25 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (10) Dari kesimpulan dengan metode grafis: Jika terdapat suatu solusi optimal dari model PL, salah satu titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi optimal. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi basis layak dari persamaan pembatas. Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari model PL dapat diperoleh hanya dengan memeriksa solusi basis layaknya. TI2231 Penelitian Operasional I 26 13

14 Pemecahan Sistem Persamaan Linier (11) Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan masalah PL (yang mempunyai solusi optimal) dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan menentukan solusi basis layak mana yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik. Dengan metode simpleks (simplex method), pemecahan lebih efisien karena hanya memeriksa sebagian solusi basis layak. TI2231 Penelitian Operasional I 27 3 Prinsip-prinsip Metode Simpleks TI2231 Penelitian Operasional I 28 14

15 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (1) Metode simpleks (simplex method), yang dikembangkan oleh G.B. Dantzig, merupakan prosedur iteratif untuk memecahkan masalah PL dengan mengekspresikannya dalam bentuk baku. Metode simpleks memerlukan bahwa semua pembatas dinyatakan dalam bentuk sistem kanonik dimana suatu solusi basis layak dapat langsung diperoleh. TI2231 Penelitian Operasional I 29 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (2) Langkah umum: Mulai dengan suatu solusi layak basis. Perbaiki solusi awal jika mungkin dengan mencari solusi layak basis yang mempunyai nilai fungsi tujuan yang lebih baik. Lanjutkan untuk mencari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi, maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal dan metode simpleks berhenti. TI2231 Penelitian Operasional I 30 15

16 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (3) Memaksimumkan Z = 3x 1 + 2x 2 dengan pembatas-pembatas: x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 8 x 1 + x 2 1 x 2 2 x 1 0, x 2 0 TI2231 Penelitian Operasional I 31 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (4) Memaksimumkan Z = 3x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 + 0x 5 + 0x 6 dengan pembatas-pembatas: x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + x 2 + x 4 = 8 x 1 + x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 6 = 2 x 1 0, x 2 0, x 3 0, x 4 0, x 5 0, x 6 0, TI2231 Penelitian Operasional I 32 16

17 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (5) Variabel basis : x 3, x 4, x 5, x 6 Dengan menetapkan x 1 = x 2 = 0, maka diperoleh solusi basis : x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 1, x 6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0 TI2231 Penelitian Operasional I 33 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (6) Memperbaiki solusi basis layak Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x 1 = x 2 = 0, x 3 = 6, x 4 = 8, x 5 = 1, x 6 = 2 dengan Z= 0, metode simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar. Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal. Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) dengan nilai Z yang lebih besar. TI2231 Penelitian Operasional I 34 17

18 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (7) Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) berbeda dengan solusi basis layak (basic feasible solution) saat ini hanya tepat satu variabel basis. TI2231 Penelitian Operasional I 35 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (8) Untuk mendapatkan solusi basis layak tetangga, metoda simpleks Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis Permasalahannya adalah memilih solusi basis dan solusi non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan maksimum pada nilai fungsi tujuan. TI2231 Penelitian Operasional I 36 18

19 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (9) Dalam solusi basis layak Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol Membuat variabel non basis menjadi variabel basis adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif. Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z. TI2231 Penelitian Operasional I 37 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (10) Misalkan variabel non basis x 1 dinaikkan 1 unit x 1 + x 3 = 6 2x 1 + x 4 = 8 x 1 + x 5 = 1 0x 1 + x 6 = 2 x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 5, x 4 = 6, x 5 = 2, x 6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 1 Z = 3 0 = 3 TI2231 Penelitian Operasional I 38 19

20 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (11) Misalkan variabel non basis x 2 dinaikkan 1 unit 2x 2 + x 3 = 6 x 2 + x 4 = 8 x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 6 = 2 x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 4, x 4 = 7, x 5 = 0, x 6 = 1 Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(1)+0(4)+0(7)+0(0)+0(1)= 2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 2 Z = 2 0 = 2 TI2231 Penelitian Operasional I 39 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (12) Karena Z positif untuk x 1 dan x 2 nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan. Karena Z untuk x 1 > Z untuk x 2 maka menaikkan x 1 lebih baik. Sampai seberapa jauh x 1 dapat dinaikkan? Jika x 1 dinaikkan maka nilai variabel basis : x 3, x 4, x 5, x 6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak. TI2231 Penelitian Operasional I 40 20

21 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (13) Batas peningkatan x 1 : x 1 + x 3 = 6 x 1 = 6 2x 1 + x 4 = 8 x 1 = 4 x 1 + x 5 = 1 x 1 = 0x 1 + x 6 = 2 x 1 = Maksimum peningkatan x 1 = minimum (6, 4,, ) = 4 TI2231 Penelitian Operasional I 41 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (14) x 1 dinaikkan ke 4, maka x 4 menjadi variabel non basis x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 6, x 5 = 5, x 6 = 2 dan Z = 12 TI2231 Penelitian Operasional I 42 21

22 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (15) x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 2x 1 + x 2 + x 4 = 8 x 1 + x 2 + x 5 = 1 x 2 + x 6 = 2 3 / 2 x 2 + x 3 1 / 2 x 4 = 2 x / 2 x / 2 x 4 = 4 3 / 2 x / 2 x 4 + x 5 = 5 x 2 + x 6 = 2 Variabel basis : x 1, x 3, x 5, x 6 ; Variabel non basis: x 2, x 4 TI2231 Penelitian Operasional I 43 (5) x 2 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (16) (2) (4) E D F C (3) (1) A B x 1 TI2231 Penelitian Operasional I 44 (6) 22

23 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (17) Misalkan variabel non basis x 2 dinaikkan 1 unit 3 / 2 x 2 + x 3 = 2 x / 2 x 2 = 4 3 / 2 x 2 + x 5 = 5 x 2 + x 6 = 2 x 1 = 7 / 2, x 2 = 1, x 3 = 1 / 2, x 4 = 0, x 5 = 7 / 2, x 6 = 1 Nilai fungsi tujuan Z = 3( 7 / 2 )+2(1)+0( 1 / 2 )+0(0)+0( 7 / 2 )+0(1)= 12 1 / 2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 2 Z = 12 1 / 2 12 = 1 / 2 TI2231 Penelitian Operasional I 45 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (18) Misalkan variabel non basis x 4 dinaikkan 1 unit x 3 1 / 2 x 4 = 2 x / 2 x 4 = / 2 x 4 + x 5 = 5 0x 4 x 6 = 2 x 1 = 7 / 2, x 2 = 0, x 3 = 5 / 2, x 4 = 1, x 5 = 9 / 2, x 6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 3( 7 / 2 )+2(0)+0( 5 / 2 )+0(1)+0( 9 / 2 )+0(2)= 10 1 / 2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 4 Z = 10 1 / 2 12 = 3 / 2 TI2231 Penelitian Operasional I 46 23

24 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (19) Karena Z positif untuk x 2 nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan Karena Z negatif untuk x 4 nilai fungsi tujuan tidak dapat dinaikkan Sampai seberapa jauh x 2 dapat dinaikkan? Jika x 2 dinaikkan maka nilai variabel basis : x 1, x 3, x 5, x 6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak. TI2231 Penelitian Operasional I 47 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (20) Batas peningkatan x 2 : 3 / 2 x 2 + x 3 = 2 x 2 = 4 / 3 x / 2 x 2 = 4 x 2 = 8 3 / 2 x 2 + x 5 = 5 x 2 = 10 / 3 x 2 + x 6 = 2 x 2 = 2 Maksimum peningkatan x 2 = minimum ( 4 / 3, 8, 10 / 3, 2) = 4 / 3 TI2231 Penelitian Operasional I 48 24

25 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (21) x 2 dinaikkan ke 4 / 3, maka x 3 menjadi variabel non basis x 1 = 10 / 3, x 2 = 4 / 3, x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 3, x 6 = 2 / 3 dan Z = 12 2 / 3 TI2231 Penelitian Operasional I 49 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (22) 3 / 2 x 2 + x 3 1 / 2 x 4 = 2 x / 2 x / 2 x 4 = 4 3 / 2 x / 2 x 4 + x 5 = 5 x 2 + x 6 = 2 x / 3 x 3 1 / 3 x 4 = 4 / 3 x 1 1 / 3 x / 3 x 4 = 10 / 3 x 3 + x 4 + x 5 = 3 2 / 3 x / 3 x 4 + x 6 = 2 / 3 Variabel basis : x 1, x 2, x 5, x 6 ; Variabel non basis: x 3, x 4 TI2231 Penelitian Operasional I 50 25

26 (5) x 2 (2) (4) E D F C (3) (1) A B x 1 TI2231 Penelitian Operasional I 51 (6) Prinsip-prinsip Metode Simpleks (24) Misalkan variabel non basis x 3 dinaikkan 1 unit x / 3 x 3 = 4 / 3 x 1 1 / 3 x 3 = 10 / 3 x 3 + x 5 = 3 2 / 3 x 3 + x 6 = 2 / 3 x 1 = 11 / 3, x 2 = 2 / 3, x 3 = 1, x 4 = 0, x 5 = 4, x 6 = 4 / 3 Nilai fungsi tujuan Z = 3( 11 / 3 )+2( 2 / 3 )+0(1)+0(0)+0(4)+0(4/3)= 12 1 / 3 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 3 Z = 12 1 / / 3 = 1 / 3 TI2231 Penelitian Operasional I 52 26

27 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25) Misalkan variabel non basis x 4 dinaikkan 1 unit x 2 1 / 3 x 4 = 4 / 3 x / 3 x 4 = 10 / 3 x 4 + x 5 = 3 1 / 3 x 4 + x 6 = 2 / 3 x 1 = 8 / 3, x 2 = 5 / 3, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 2, x 6 = 1 / 3 Nilai fungsi tujuan Z = 3( 8 / 3 )+2( 5 / 3 )+0(0)+0(1)+0(2)+0( 1 / 3 )= 11 1 / 3 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x 4 Z = 11 1 / / 3 = 4 / 3 TI2231 Penelitian Operasional I 53 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (25) Karena Z negatif untuk x 3 dan x 4 nilai fungsi tujuan tidak dapat dinaikkan Karena tidak ada variabel non basis yang dapat dinaikkan yang dapat memberikan peningkatan pada nilai fungsi tujuan Z maka solusi saat ini adalah optimal. TI2231 Penelitian Operasional I 54 27

28 Prinsip-prinsip Metode Simpleks (26) Untuk masalah maksimisasi: Suatu solusi basis layak adalah optimal jika profit relatif (Z) dari variabel non basis adalah negatif atau nol. TI2231 Penelitian Operasional I 55 28