Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Transkripsi

1 Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang vektor, mecakup gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, integral garis, integral permukaan, teorema Stokes, teorema divergensi Gauss, dan penyajiannya dalam beragam sistem koordinat. Oleh karena itu, sebelum membahas tentang masalah kelistrikan dan kemagnetan dalam mata kuliah ini, pokok bahasan tentang vector ini perlu diberikan terlebih dahulu. Meskipun materi yang ada dalam pokok bahasan ini cukup banyak materi ini diharapkan dapat diselesaikan dalam waktu yang relatif cukup singkat. Hal ini demikian karena mata kuliah-mata kuliah yang menjadi prasyarat mata kuliah ini semestinya sudah menyediakan pengetahuan yang cukup, khususnya tentang vektor, untuk dapat mengikuti mata kuliah ini dengan baik; jadi ini hanya sebagai semacam review. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat mengkalkulasi gradien skalar, divergensi dan rotasi suatu vektor, integral garis dan integral permukaan, serta menggunakan teorema divergensi dan teorema Stokes, dapat menyatakan hubunganhubungan antara sistem-sistem koordinat Cartesian, Silinder dan Bola, dapat menyatakan suatu vektor, vektor letak, elemen volume, gradien skalar, divergensi dan rotasi vektor, serta Laplacian dalam ketiga sistem koordinat tersebut. B. Penyajian 1.1 Definisi Vektor, Vektor Satuan, dan Komponen Vektor Definisi Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki nilai (magnitude) dan arah (direction). Di sini, vektor dilambangkan oleh sebuah huruf atau karakter dengan tanda panah di atasnya, seperti, yang besar atau nilainya ditulis sebagai = A. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah (Gambar 1.1). Contoh besaran vektor: medan listrik, medan magnet, gaya, dll. Skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, seperti massa benda m. Universits Gadjah Mada 1

2 Gambar 1.1 Sebuah vektor digambar sebagai sebuah anak panah. Dua buah vektor dikatakan sama jika keduanya memiliki nilai dan arah yang sama. Vektor negatif (atau negatif vektor ) adalah vektor yang sama besar tetapi berlawanan arah dengan vektor. Vektor-vektor patuh pada aturan penjumlahan seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.2, yang menunjukkan bahwa (1-1) Pengurangan vektor dengan vektor lainnya tidak lain adalah penjumlahan vektor dengan negative vektor lain tadi (Gambar 4), yaitu ( ) (1-2) Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu (tanpa satuan); sebagai contoh ditulis sebagai (besarnya =1), yaitu vektor satuan dalam arah vektor (Gambar 1.4). Dengan demikian: Universits Gadjah Mada 2

3 Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat Cartesian (SKC) di sini adalah,, dan berturut-turut dalam arah sumbu x, sumbu y, dan sumbu z positif. Komponen Vektor Jika vektor digambar dalam SKC (Gambar 1.5), maka ia dapat ditulis sebagai atau Di sini,, dan adalah vektor-vektor komponen dari vektor ; sedangkan,, dan disebut komponen-komponen vektor. Besar (nilai) vektor dinyatakan dengan komponen-komponennya: Universits Gadjah Mada 3

4 Sudut Arah Vektor Sebuah vektor dalam SKC membetuk sudut-sudut α, β, dan berturut-turut terhadap sumbu-sumbu x, y dan z (Gambar 1.6.a). Sudut-sudut α, β, dan ini disebut sudut arah vektor. Gambar 1.6.b memperlihatkan bidang yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu x, sudut arah α, serta komponen A x (gambar serupa untuk bidang-bidang yang dibentuk oleh vektor dengan sumbu x dan sumbu y). Dari Gambar 1.6.b diperoleh cosinus-cosinus arah vektor : sehingga berlaku hubungan: Dapat ditulis bahwa: Universits Gadjah Mada 4

5 Komponen-komponen vektor satuan merupakan cosinus-cosinus arah vektor. Penjumlahan Vektor dalam SKC Ditinjau jumlahan vektor dalam bidang xy (2 dimensi), seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.7. Vektor hasil jumlahan: Dengan Untuk penjumlahan dalam 3 dimensi: dengan Universits Gadjah Mada 5

6 1.2 Vektor Letak Vektor letak ( sering ditulis sebagai ) menunjukkan letak suatu titik di dalam ruang (sistem koordinat), berpangkal di titik asal O dan berujung di titik yang ditinjau. Anggap bahwa di dalam sistem koordinat Cartesian (lihat Gambar 1.8): - letak titik P(x, y, z) : - letak titik P (x, y, z ) : Vektor letak P relative terhadap P (Gambar 1.8): atau Jarak antara P dan P adalah Vektor letak P relative terhadap P adalah Jadi diperoleh bahwa Universits Gadjah Mada 6

7 1.3 Perkalian dengan Vektor Perkalian Skalar dengan Vektor Perkalian skalar s dengan vektor, ditulis sebagai s atau s, merupakan jumlahan s buah vektor, yaitu sebuah vektor yang besarnya kali, arahnya sama dengan arah jika s positif, berlawanan arah dengan arah jika s negatif. Perkalian Titik (Dot Product) Perkalian titik atau dot product disebut juga sebagai perkalian skalar atau scalar product, yaitu perkalian dua vektor yang menghasilkan sebuah skalar. Perkalian titik antara vektor-vektor dan didefinisikan sebagai dengan adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor dan (lihat Gambar 1.9). Berlaku bahwa Jika dan saling tegak lurus (ortogonal), maka Perkalian titik suatu vektor dengan dirinya sendiri : Perkalian titik antara vektor-vektor satuan dalam SKC: sehingga Universits Gadjah Mada 7

8 Jika adalah vektor satuan dalam suatu arah, dan A e adalah komponen vektor dalam arah tersebut, maka berlaku bahwa (lihat Gambar 1.10) Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang atau cross product disebut juga perkalian vektor atau vector product, yaitu perkalian dua vektor yang menghasilkan vektor baru. Perkalian silang antara vektor-vektor dan didefinisikan sebagai dengan dengan adalah sudut kecil yang dibentuk oleh kedua vektor dan (lihat Gambar 1.11) dan vektor memiliki arah yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor dan sesuai dengan aturan tangan kanan ; Nilai AB sin ini sama dengan luas jajaran genjang dengan sisi-sisi vektor dan. Universits Gadjah Mada 8

9 Berlaku bahwa Jika searah dengan,maka. Jadi Perkalian silang antara vektor-vektor satuan dalam SKC: Sehingga Yang dapat diungkapkan dalam bentuk determinan sebagai Berlaku pula : 1.4 Diferensiasi Vektor terhadap Skalar Suatu vektor sebagai fungsi kontinyu dari variabel skalar s dapat ditulis sebagai Universits Gadjah Mada 9

10 Diferensial (turunan) terhadap s: Sebagai contoh: - vektor letak sebagai fungsi waktu : ( ) ( ) ( ) ( ) - kecepatan : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dapat ditulis bahwa: 1.5 GradienSkalar Ditinjau besaran skalar u sebagai fungsi letak: u = u(x, y, z); Besaran skalar ini disebut medan skalar contoh: suhu ruangan. Anggap bahwa (Gambar 1.12): - Di titik P(x, y, z), nilai skalar u adalah u(x, y, z); - Di titik lain P (x,y,z ), dengan x = x + dx, y = y + dy, z = z + dz, nilai skalar u adalah u (x,y,z ) = u(x,y,z) + du Jadi, dari titik P ke titik P ada pergeseran yang menyebabkan perubahan scalar dari u menjadi u = u + du. Kenyataannya du dapat diungkapkan sebagai Dengan diferensial parsial dievaluasi di titik P. Di lain pihak Universits Gadjah Mada 10

11 Dengan demikian dapat ditulis bahwa Dengan Persamaan (1-34), yaitu ungkapan, disebut gradien skalar u, atau singkatnya gradien u (grad u), yang definisi umumnya diberikan oleh persamaan (1-33); ia memiliki sifat sebagai vektor. Jadi, gradien skalar merupakan besaran yang akan memberikan perubahan skalar jika di- dot -kan dengan pergeseran. Ditinjau suatu permukaan dengan nilai u tetap. Pergeseran sepanjang permukaan ini tidak mengubah nilai skalar u (du = 0) (lihat Gambar 1.13). Dengan demikian. berarti tegak lurus terhadap. Jadi, tegak lurus terhadap permukaan yang memiliki u tetap. Universits Gadjah Mada 11

12 Sekarang dianggap pergeseran membentuk sudut terhadap seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.14, maka. Dengan demikian, du akan maksimum jika = 0, yaitu jika searah dengan yang tegak lurus terhadap permukaan dengan u tetap. Jadi, arah gradien skalar menunjukkan arah ke mana laju perubahan skalar bernilai maksimum. Ditinjau sebagai contoh u = y 2 x. Dapat ditulis bahwa y 2 = x + u, yaitu parabola-parabola dengan u tetap. Untuk : Untuk : Untuk : Ketiga parabola ini ditunjukkan oleh Gambar Vektor satuan yang tegak lurus suatu permukaan di suatu titik disebut vektor normal. Mengingat bahwa juga tegak lurus permukaan dengan u tetap, maka searah dengan, dan kita dapat menuliskan bahwa Vektor normal permukaan parabola dengan u = -2 adalah Dan di titik (3,1) adalah Universits Gadjah Mada 12

13 Jadi, terlihat pada Gambar 1.15, bahwa arah lebih besar (lebih positif). (searah dengan ) menuju ke skalar u yang 1.6 Divergensi dan Rotasi Vektor Komponen-komponen vektor dapat bergantung pada letak, misalnya A x = A x (x, y, z). Jadi, dapat berbeda arah dan/atau besarnya di tempat-tempat yang berbeda. Ditulis : dengan adalah vektor letak. Vektor ini disebut medan vektor. Dari persamaan (1-34) diperoleh operator nabla atau operator del: yang memiliki sifat vektor. Yang dinamakan sebagai divergensi (atau ditulis juga sebagai div ) adalah sedangkan rotasi (atau ditulis juga sebagai curl atau rot ) adalah atau dalam bentuk determinan: Operator Laplacian: bekerja pada skalar: bekerja pada vektor: Universits Gadjah Mada 13

14 Berlaku pula 1.7 Integral Garis Dibayangkan kita bergerak dari titik awal P i (x i,y i, z i ) ke titik P f (x f, y f, z f ) melalui lintasan sepanjang kurva C di dalam medan vektor (Gambar 1.16). Lintasan ini dapat dipandang sebagai jumlahan sejumlah vektor pergeseran infinitesimal sepanjang kurva C. Integral garis sepanjang kurva C merupakan hasil evaluasi vektor di tiap, yaitu komponen sepanjang dikalikan dengan, tidak lain adalah A cos ds =, kemudian semuanya dijumlahkan; ini ditulis sebagai: Jika lintasan integrasi berupa kurva tertutup, seperti lingkaran, titik awal berimpit dengan titik akhir, maka integral garis ditulis sebagai: yang disebut sirkulasi, dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada. Jika adalah vektor letak tiap titik pada kurva C, maka, sehingga Perhatian: Di sini, dx, dy, dan dz tidaklah saling bebas karena x, y, dan z dihubungkan oleh persamaan lintasan (kurva C); demikian juga dengan A x, A y, dan A z. Contoh: Diketahui medan vektor :, dan lintasan berupa parabola antara Universits Gadjah Mada 14

15 (0,0,0) dan (2,,0). Dengan demikian, lintasan terletak di bidang xy, yaitu bidang z = 0, dan berarti z tetap atau dz =0, sehingga Karena, maka dan, sehingga 1.8 Integral Permukaan Sebelum membahas tentang integral permukaan, bahasan tentang vektor elemen luasan perlu diuraikan terlebih dahulu. Vektor Elemen Luasan Pada Gambar 1.17, da adalah elemen luasan infinitesimal sedemikian sehingga berbentuk datar (tidak harus horisontal). Vektor elemen luasan ini adalah Dengan adalah vektor normal elemen luasan da. Ada dua arah yang mungkin yang saling berlawanan sehingga perlu ada kesepakatan; ada 2 kasus. Kasus I da merupakan bagian dari suatu permukaan terbuka yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Dalam kasus ini kita perlu memilih atau menentukan arah lintasan pada kurva C tersebut, kemudian menggunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arah (Gambar 1.18). Universits Gadjah Mada 15

16 Kasus II: da merupakan bagian dari suatu permukaan tertutup. Dalam hal ini tidak ada kurva C; permukaan ini membagi ruang menjadi dalam dan luar. Arah senantiasa dipilih dari dalam ke luar. Jika ungkapan dan digabung, maka dapat ditulis bahwa dengan - adalah komponen-x dari, proyeksi da pada bidang yz; - adalah komponen-y dari, proyeksi da pada bidang xz; - adalah komponen-z dari, proyeksi da pada bidang xy. Dapat ditunjukkan bahwa: ( + digunakan jika < 90, - jika > 90 ), ( + digunakan jika < 90, - jika > 90 ), (1-50) ( + digunakan jika < 90, - jika > 90 ). Integral Permukaan Ditinjau suatu permukaan S yang berada di dalam medan vektor (Gambar 1.19). Elemen luasan pada permukaan ini adalah da; vektor elemen luasannya adalah. Universits Gadjah Mada 16

17 Di tiap elemen luasan da pada S, komponen dalam arah, yaitu A cos, dikalikan dengan, kemudian semuanya dijumlahkan, hasilnya disebut sebagai integral permukaan pada S ; ditulis: Integral permukaan ini disebut juga sebagai fluks yang melewati permukaan S. Jika permukaan S merupakan permukaan tertutup, maka integral permukaan ditulis sebagai yang dapat bernilai nol atau tak nol bergantung pada. Dalam SKC, dan, sehingga Ingat: dx, dy, dan dz tidak saling bebas, demikian juga dengan,, dan. Contoh: Diketahui permukaan S berupa seperempat piringan Iingkaran berjejari b yang berpusat di O (titik asal SKC) di kuadran I pada bidang xy berada dalam medan vektor, seperti ditunjukkan oleh Gambar Persamaan lingkaran ini adalah. Permukaan S pada bidang xy, maka dapat merupakan atau. Anggap dipilih =, maka da = da z = dxdy. Dengan demikian, integral permukaan: Universits Gadjah Mada 17

18 1.9 Teorema Divergensi Gauss dan Teorema Stokes Teorema Divergensi Gauss Ditinjau suatu ruang V (volumenya V) yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S (contoh: bola, kubus, dli) berada dalam medan vektor. Teorema divergensi Gauss diungkapkan secara matematik sebagai dengan adalah elemen volume. Teorema ini menghubungkan integral permukaan suatu medan vektor dengan integral volume divergensi medan vektor tersebut. Integral permukaan hanya bergantung pada nilai di permukaan; integral volume memerlukan pengetahuan tentang, bukan tentang di seluruh volume. Teorema ini berlaku juga untuk ruang yang dibatasi oleh lebih dari satu permukaan tertutup. Teorema Stokes Ditinjau suatu permukaan terbuka S sembarang yang dibatasi oleh suatu kurva tertutup C berada dalam medan vektor (Gambar 1.21). Teorema Stokes diungkapkan secara matematik sebagai: Teorema ini menghubungkan integral garis suatu medan vektor pada suatu lintasan tertutup dengan integral permukaan rotasi medan vektor tersebut pada permukaan yang dibatasi oleh lintasan tertutup tersebut. Arah ditentukan oleh arah lintasan pada kurva C dan dengan menggunakan aturan tangan kanan. Untuk kurva-kurva tertutup C yang sama dan permukaan-permukaan S 1 dan S 2 yang berbeda, maka Universits Gadjah Mada 18

19 Teorema ini berlaku juga untuk permukaan yang dibatasi oleh lebih dari satu kurva tertutup; contoh permukaan yang dibatasi oleh dua kurva tertutup ditunjukkan oleh Gambar Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder dan Bola Vektor dalam Sistem Koordinat Silinder (SKS) Letak titik dalam SKS ditentukan oleh koordinat ( ). Hubungan SKS dengan SKC ditunjukkan oleh Gambar 1.23 Variabel merupakan jarak dari sumbu z. Variabel merupakan sudut m( Ukur dari sumbu x positif). Variabel merupakan jarak dari bidang xy. Hubungan koordinat SKS dengan koordinat SKC: Universits Gadjah Mada 19

20 Vector-vektor satuan dalam SKS, yaitu dan saling tegak lurus: Arah senantiasa tetap, sedangkan arah dan berbeda-beda di titik-titik yang berbeda. Hubungan vector-vektor satuan dalam SKS dan SKC: Diferensial vektor satuan dalam SKS: Dalam SKS, ungkapan suatu vektor adalah sedangkan ungkapan vektor letak adalah Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah atau Jika medan skalar ( ), maka Mengingat bahwa, maka gradien skalar dalam SKS: dan operator nabla dalam SKS: Universits Gadjah Mada 20

21 Komponen-komponen vector elemen luasan dalam SKS : Elemen volume dalam SKS (Gambar 1.24) Volume total: Divergensi vektor dalam SKS: Rotasi vektor dalam SKS: Laplacian dalam SKS: Vektor dalam Sistem Koordinat Bola (SKB) Letak titik dalam SKB ditentukan oleh koordinat ( ). Hubungan SKB dengan SKC ditunjukkan oleh Gambar Variabel r adalah jarak dari pusat sistem koordinat. Variabel adalah sudut yang diukur dari sumbu z positif ` Variabel adalah sudut yang diukur dari sumbu x positif Universits Gadjah Mada 21

22 Hubungan koordinat SKB dengan koordinat SKC : Vektor-vektor satuan dalam SKB, yaitu,, dan, saling tegak lurus: Arah masing-masing vektor satuan,, dan berbeda-beda di titik-titik yang berbeda. Hubungan vektor-vektor satuan dalam SKB dan SKC: Universits Gadjah Mada 22

23 Diferensial vektor-vektor satuan dalam SKB: Dalam SKB, ungkapan suatu vektor adalah Sedangkan ungkapan vektor letak adalah Ungkapan vektor pergeseran infinitesimal adalah, atau Komponen-komponen vektor elemen luasan dalam SKB: Elemen volume dalam SKB (Gambar 1.26): Universits Gadjah Mada 23

24 Volume total Jika medan skalar ( ) maka Mengingat bahwa, maka gradien skalar dalam SKS: dan operator nabla dalam SKB: Divergensi vektor dalam SKB: Rotasi vektor dalam SKB: Laplacian dalam SKB: C. Penutup Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan soalsoal latihan berikut ini. 1. Carilah vektor letak relatif titik P(2, -2, 3) terhadap titik P (-3, 1, 4)! Tentukan sudutsudut arah! 2. Diketahui dan. Carilah komponen sepanjang arah! Universits Gadjah Mada 24

25 3. Diketahui persamaan suatu kelompok ellipsoida sebagai. Carilah vektor satuan normal di tiap titik di permukaan tiap ellipsoida ini! 4. Diketahui medan vektor. Hitunglah secara langsung fluks yang melewati permukaan balok yang memiliki sisi-sisi a, b, dan c seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.27! Hitunglah pada seluruh volume balok tersebut, dan bandingkan hasil-hasil yang diperoleh! 5. Diketahui medan vektor dengan,, dan adalah tetapan-tetapan. Hitunglah secara langsung integral pada lintasan tertutup dalam bidang xy seperti ditunjukkan oleh Gambar 1.28! Kurva lengkung adalah parabola y 2 = kx dengan k adalah tetapan. Hitunglah integral permukaan pada seluruh luasan S yang dibatasi oleh kurva C, dan bandingkan hasil-hasil yang diperoleh! 6. Diketahui dengan a, b, dan c adalah tetapan-tetapan. Apakah merupakan vektor yang tetap (konstan)? Carilah dan! Carilah komponenkomponen dalam SKC (x, y, z) dan SKB ( )! 7. Carilah untuk vektor letak yang diungkapkan dalam SKC, SKS, dan SKB! Universits Gadjah Mada 25

26 8. Diketahui vector, carilah integral garisnya pada lintasan tertutup seperti yang ditunjukkan oleh Gambar Kurva lengkung merupakan busur lingkaran berjejari r 0 yang berpusat di titik asal O. Cari juga integral permukaan pada luasan yang dibatasi oleh kurva tertutup tadi, dan bandingkan hasil-hasil yang diperoleh! 9. Dengan menerapkan teorema divergensi pada kasus khusus adalah vektor tetap dan sembarang, tunjukkan bahwan luasan vektor total suatu permukaan tertutup adalah nol, yaitu! Serupa dengannya, tunjukkan bahwa! Daftar Pustaka 1. Wangsness, R.K., 1979, Electromagnetic Fields, John Wiley & Sons, New York Universits Gadjah Mada 26