MATRIKS Nuryanto, ST., MT.

Transkripsi

1 MateMatika ekonomi MATRIKS

2 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6. Persamaan linier simultan

3 Deskripsi Singkat Dalam perkuliahan ini, anda akan mempelajari tentang matriks dan operasi matriks Bagian selanjutan akan membahas tentang jenis matriks dan determinan Bagian akhir perkuliahan akan membahas matriks invers dan persamaan linier simultan

4 1.Diketahui : A = B = 1 3 C = Buktikan : (AB)C = A(BC) tugas 2.Diketahui : a.jika A = A T =? b. Jika B = 1 0 B = (AB) T =? Hitung adjoint matriks dari : a b c d

5 Matriks A ditulis sebagai berikut : A = a 11 a 12 a 13 contoh A = a 21 b 22 a a 31 a 32 a matriks Artinya a 23 menunjukkan unsur matriks A yang terletak pada baris ke 2 dan kolom ke 3. Arti a ij menunjukkan nilai/angka dari suatu matriks A, misalnya yang terletak pada baris ke i dan kolom ke j. Demikian pula untuk A mxn artinya matriks A berdimensi/berorder mxn. Matriks A nxn dinamakan matriks bujur sangkar, ditulis A n. Contoh : matriks A 3x3 dapat ditulis dengan A 3. Ada 3 macam matriks : 1.Matriks baris, yaitu merupakan vektor baris 2.Matriks kolom, yaitu merupakan vektor kolom 3.Matriks berorder/berdimensi banyak : A mxn

6 Operasi matriks 1.Sama dengan, apabila dimensi atau order kedua matriks tersebut sama sehingga nilai unsur yang berindeks sama harus sama. a 12 = b 12 ; a 23 = b 23 2.Penjumlahan, dimana matriks A dapat ditambahkan dengan matriks B apabila kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama. A = a 11 a 12 B = b 11 b 21 A +B + C = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 12 a 22 b 12 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22 3.Pengurangan, dimana pengurangan dalam matriks dapat dilakukan dengan syarat kedua matriks tersebut mempunyai dimensi yang sama. A = 4 6 B = 1 3 A B = = Perkalian, apabila kedua matriks tersebut mempunyai kesamaan dalam jumlah kolom matriks yang dikalikan dengan jumlah baris matriks yang digunakan sebagai penggali. A mxn. B nxm = C mxm

7 Jenis matriks a.identity matriks, yaitu jika nilai diagonal matriks tersebut adalah 1 dan nilai unsur lainnya nol. Null matrix (zero matrix) jika nilai semua unsur bernilai nol. Contoh : I = N = b.transpose suatu matriks, suatu matriks A ditulis A T atau A ditentukan dengan mengubah tiap baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks A T atau sebaliknya tiap kolom matriks A diubah menjadi baris-baris matriks A T. A = (a ij ) A T = (a ij ) Contoh : A = 4 6 A T =

8 c. Matriks setangkup, yaitu transpose sendiri, misalnya matriks diagonal D dan matriks satuan I. D = D I = I keterangan : D = matriks diagonal Contoh : I = matriks satuan I = 1 0 I = d.matriks satuan atau identitas I, yaitu matriks I adalah matriks bujur sangkar yang semua unsur diagonal utamanya = 1 dan semua unsur lainnya sama dengan nol. Sifat : I mxn. A mxn = A mxn I mxn. A mxn = tidak dapat dioperasikan

9 e. Sifat invers matriks, yaitu invers A -1 suatu matriks A memenuhi syarat : AA -1 = A -1 A = 1. Matriks A harus bujur sangkar (A -1 ) -1 = A (AB) -1 = B -1 A -1 (A T ) -1 = (A -1 ) T Invers transposenya suatu matriks sama dengan transpose invers faktornya dengan urutan terbalik. f. Matriks diagonal, yaitu matriks bujur sangkar yang setiap elemennya sama dengan nol; kecuali elemen diagonal pokoknya, minimal salah satu elemennya tidak sama dengan nol. Contoh : A = 10 0 B = ½

10 g. Skalar, yaitu matriks bujur sangkar yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom saja. 3 = (3) 1x1 = (3) ; 10 = (10) 1x1 = (10) h. Skalar matriks, yaitu matriks bujur sangkar yang nilai setiap elemen diagonal sebesar k (bilangan skalar) dan elemen lainnya sama dengan nol. a ij = k apabila i = j a ij = 0 apabila i j Contoh : S = k.i3 = k 0 0 ; S = 1/3 0 0 k 0 0 1/3 0 0 k i. Matriks invers, yaitu matriks bujur sangkar dimana a ij = a ji Contoh : A = 2 4 ; B =

11 j. Vektor, yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris atau satu kolom saja. Contoh : A = (1 4 6) B = k. Matriks singular, yaitu matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers dan determinannya sama dengan nol. l. Matriks nonsingular, yaitu matriks bujur sangkar yang mempunyai invers dan determinannya tidak sama dengan nol. m. Matriks commute, yaitu bila AB = BA, maka kedua matriks tersebut adalah commute.

12 determinan Determinan adalah sumbu bilangan (skalar) yang didefenisikan secara unik dalam hubungannya dengan suatu matriks bujur sangkar dan dinamakan determinan matriks, ditulis A n. Matriks bujur sangkar order 2x2 Bentuk umum : Menguraikan determinan derajat tiga dengan cara sarrus Aturan sarrus hanya berlaku khusus untuk determinan berderajat tiga. ( - ) ( - ) ( - ) = ( ) ( ) (33) (21) = ( + ) ( + ) ( + )

13 Menguraikan determinan dengan cara menentukan terlebih dahulu determinan matriks minor tiap elemen dan kofaktor Menentukan minor elemen, kalau dari suatu determinan B matriks Bnxn dihapus baris I dan kolom j, maka determinan M orde (n-1) yang sisa dinamakan minor elemen bij pada potongan baris i kolom j. Minor unsur bij yang diberi tanda minus bila (i + j) ganjil, dinamakan kofaktor unsur bij determinan B. b11 b12 b13 B = b12 b22 b23 b13 b23 b33 Minor elemen bij adalah sebagai berikut b11 = M11 = b22 b23 ; b33 = M33 = b11 b12 b32 b33 b21 b22

14 b 13 = M 13 = b 21 b 22 ; b 22 = M 22 = b 11 b 13 b 31 b 32 b 31 b 33 b 31 = M 31 = b 12 b 13 ; b 12 = M 12 = b 21 b 23 b 22 b 23 b 31 b 33 Demikian pula untuk : M 21 dihapus dari baris 2 dan kolom 1 M 23 dihapus dari baris 2 dan kolom 3 M 32 dihapus dari baris 3 dan kolom 2 Kofaktor = K ij = (-1) i+j M ij Contoh matriks kofaktor K = K 11 K 12 ; K = K 11 K 12 K 13 K 21 K 22 K 21 K 22 K 23 K 31 K 23 K 33

15 Contoh : K 11 = (-1) 1+1 M 11 = b 22 b 23 = b 22.b 33 b 32.b 23 b 32 b 33 K 12 = (-1) 1+2 M 12 = b 21 b 23 = -b 21.b 33 + b 31.b 23 b 31 b 33 Nilai determinan B dapat diuraikan dalam kofaktor unsur bij suatu baris atau kolom sebagai berikut ; B = B = n bij Kij j 1 n bij Kij j 1 (terhadap sembarang baris i = 1,2 n) atau (terhadap sembarang kolom j = 1,2 n) Contoh : Terhadap baris 1 B = b 11 K 11 + b 12 K 12 + b 13 K 13

16 B = b 11 (b 22.b 33 b 32.b 23 ) b 12 (b 21.b 33 b 31.b 23 ) + b 13 (b 21.b 32 b 31.b 22 ) Dan seterusnya Terhadap kolom 3 B = b 13 K 13 + b 23 K 23 + b 33 K 33 B = b 13 (b 21.b 32 b 31.b 22 ) b 23 (b 11.b 32 b 31.b 12 ) + b 33 (b 11.b 22 - b 21.b 12 ) Dan seterusnya Contoh : B = Misal terhadap baris ke 1 maka : B = b 11 K 11 + b 12 K 12 + b 13 K 13 = (1)(-1) (2)(-1) (1)(-1) = 6..(1)

17 Misal terhadap kolom 2, maka B = b 12 K 12 + b 22 K 22 + b 32 K 32 = (2)(-1) (2)(-1) (1)(-1) = (2)(3) + 2(1) + 1(-2) = 6 (2) Ternyata (1) = (2) yaitu B = 6 Contoh : A = 1 4, cari Ā 3 2 Jawaban : A = adjoint A = Transpose dari matriks kofaktornya A = a 11 a 12 K = K 11 K 12 K T = K 11 K 12 a 21 a 22 K 21 K 22 K 21 K 22

18 A = K T K 11 K 21 K 12 K 22 K 11 = (-1) 1+1 M 11 = 1 2 = 2 K 12 = (-1) 1+2 M 12 = -1 3 = -3 K 21 = (-1) 2+1 M 21 = -1 4 = -4 K 22 = (-1) 2+2 M 22 = 1 1 = 1 Jadi : Ā = K T =

19 Matriks invers A -1 = Ā invers = adjoint A determinan Contoh : hitung invers matriks B = Jawab : B = = ( ) ( ) K = K 11 K 12 K 13 B = K T K 11 K 21 K 31 K 21 K 22 K 23 K 12 K 22 K 23 K 31 K 32 K 33 K 13 K 23 K 33 K 11 = (-1) 1+1 M 11 = =

20 K 12 = (-1) 1+2 M 12 = = K 13 = (-1) 1+3 M 13 = = K 21 = (-1) 2+1 M 21 = = K 22 = (-1) 2+2 M 22 = = K 23 = (-1) 2+3 M 23 = = K 31 = (-1) 3+1 M 31 = = K 32 = (-1) 3+2 M 32 = = K 33 = (-1) 3+3 M 33 = = B = B -1 = B = B =

21 Persamaan linier simultan Matriks dapat digunakan untuk mencari jawaban persamaan linier simultan. Sistem n persamaan tak homogin dengan n/hasil yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai berikut : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 2 + a 22 x a 2n x n = b 2.. an1x2 + an2x2 + + annxn = bn I Mengingat rumus defenisi hasil kali matriks baris dengan matriks kolom dan bahwa suatu matriks dapat juga dianggap terdiri atas sejumlah matriks baris maka sistem persamaan (I) dapat ditulis sebagai berikut : a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b 2... =. Ax = b a n1 a n2 a nn x n b n

22 A nxn. X nx1 = b nx1 Matriks pertama adalah matriks bujur sangkar A nxn = A Matriks kedua adalah vektor kolom X nx1 = X Matriks ketiga adalah vektor kolom b nx1 = b Sehingga sistem persamaan dapat ditulis sebagai berikut : Ax = b x = b/a = A -1 b = Ā. b A Cara I : mencari harga-harga x dengan invers A-1 A -1 A = I I X = X Persamaan : Ax = b, kalikan ruas kiri dan kanan dengan A-1, maka A -1 A X = A -1 b A -1 b syarat A 0 Invers A-1 diperoleh dari matriks koefisien A persamaan-persamaan itu

23 Cara II : mencari harga-harga dengan kaidah Cramer X 1 = Āj ; syarat A 0 A Keterangan : A = determinan matriks A Aj = determinan matriks A yang kolom ke j (=i) telah diganti oleh vektor kolom b Contoh soal : x 1 + 2x 2 3x 3 = 7 6x 1 + 4x 2 + x 3 = 37 5x 1 + 3x 2 + 2x 3 = 31 Jawaban : Cara I dengan invers matriks koefisien x x 2 = x 3 31

24 A. X = b A = 1(8-3) -2(12-5) -3(18-20) = -3 Matriks kofaktor A K = K 11 K 12 K = K 21 K 22 K 23 = K 31 K 32 K Ā = K T = Ā = A -1 = A

25 X = A -1.b = Maka l x 1 = x 2 3 = = 3 X Jadi diperoleh harga-harga x sebagai berikut ; x 1 = 4; x 2 = 3 dan x 3 = 1 Cara pemecahan II dengan kaidah Cramer Kolom 1 diganti matriks kolom b A1 = = 7(8-3) (12(74-31) 3( ) = A = -3; jadi x1 = A1 = -12 = 4 A -3

26 Kolom 2 diganti matriks kolom b A 2 = = 1(74-31) 7(1-5) 3( ) = A = -3; jadi x 1 = A 2 = -9 = 3 A -3 Kolom 3 diganti matriks kolom b A 3 = = 1( ) 2( ) + 7(18-20) = A = -3; jadi x 3 = A 3 = -3 = 1 A -3 Ternyata jawaban cara 1 dan cara 2 sama.

27 Terima kasih, Semoga Bermanfaat