Catatan Kuliah 10 Memahami dan Menganalisa Optimasi dengan Kendala Persamaan

Transkripsi

1 Catatan Kuliah 10 Memahami dan Menanalisa Optimasi denan Kendala Persamaan 1. Metode Larane Multiplier Misal diberikan masalah optimisasi sbb : OF : U =, st.: (, ) Selanjutna akan dipelajari baaimana mencari titik stasioner dan sarat cukup bai persoalan optimisasi di atas. Ada pendekatan an diunakan untuk menelesaikan persoalan tersebut aitu teknik substitusi dan Larane Multiplier (LM). Namun dalam kuliah ini hana akan dipelajari metode LM. Bentuk unsi Larane Multiplier (LM) dari permasalahan di atas adalah : (, ) (, ) Ζ= + c (1) dimana (baca : lambda) adalah Larane Multiplier. Untuk mencari titik stasioner dari Z, maka dilakukan FONC (First Order Necessar Condition). FONC : Ζ = 0 = 0 Ζ = 0 = 0 () Ζ = 0 c, = 0 Contoh : Tentukan nilai ekstrem dari : OF : U = 1 1 st.: + = 6 Maka unsi Larane : Z = + 6 ( + ) FONC : Ζ = 0 = 0 1 Ζ = 0 = 0 1 Z = 0 6 =

2 Denan metode Cramer diperoleh solusi : * = ; * = ; * = 1 Sehina nilai stasioner : Z* = U* = 9 Selanjutna nilai ini akan diuji denan SOSC (Second Order Suicient Condition) untuk menetahui apakah nilai stasioner ini maksimum, minimum, atau bukan keduana. Pendekatan Total Dierensial Misalkan unsi tujuan : U = (, ) FONC dapat ditentukan denan total dierensial kedua ruas : du = d + d = 0 () Misal diberikan unsi kendala : (, ) Maka FONC : d = d + d = 0 (4) Karenana untuk memenuhi FONC maka = (5) Berdasarkan persamaan () diperoleh : = dan = (6) Interpretasi dari Larane Multiplier Larane Multiplier atau * menukur sensitivitas dari Z * terhadap perubahan dalam kendala. Misalkan dari FONC masalah optimisasi an pertama di atas (Persamaan()), FONC : Ζ = 0 = 0 Ζ = 0 = 0 Ζ = 0 c, = 0 dimana,, dan adalah variabel endoen, dan satu-satuna variabel eksoen adalah c aitu parameter dalam kendala.

3 Suatu perubahan dalam c, akan menebabkan kurva dari kendala shitin. Secara khusus, eek dari kenaikan c (meninkatna anaran atau meninkatna jumlah produksi) akan menunjukkan baaimana solusi optimal dipenaruhi oleh relaksasi kendala. Ketia persamaan dalam FONC di atas dapat dibentuk dalam unsi implisit, aitu : F j ( c),, ; = 0, dimana j = 1,, (7) Maka determinan Jacobian : F F F 0 F F F J = = F F F (8) Misalkan J 0 maka kita dapat menatakan *, *, dan * sebaai unsi implisit dari parameter c : * = *( c) ; * = * ( c) ; * * ( c) Sehina persamaan dalam equilibrium menjadi : *, * * *, * 0 = (9) *, * * *, * 0 (10) c *, * 0 Karena nilai optimal dari Z berantun pada *, *, dan *, maka Ζ * = *, * + * c *, * (11) Total dierensial Z * terhadap c : d Ζ* d * d * * * * ( *, *) d c * 1 d d = + + dc dc dc + dc dc dc d* d * d * = ( * ) + ( * ) + c ( *, * ) + * dc dc (1) dc Berdasarkan persamaan dalam equilibrium, maka

4 dζ * = * (1) dc Artina, Larane Multiplier (LM) menukur eek dari suatu perubahan dalam kendala melalui parameter c terhadap nilai optimal dari unsi objekti atau unsi tujuan. Apabila c meninkat 1 satuan maka nilai unsi tujuan akan meninkat atau menurun sebesar * satuan.. Kondisi Turunan Kedua Total Dierensial Turunan Kedua Misalkan unsi tujuan : U = (, ) Total dierensial kedua ruas, sehina diperoleh : du = d + d (14) Kemudian total dierensial kembali kedua ruas : du du du= d( du) = d+ d = ( d + d) d + ( d + d) d d d = d + d + d + d + d + d d d = d + dd + d + dd + d + d (15) d d + = = d d d d d Karena (16) Maka, d U = d + dd + d + d (17) du dapat ditransormasikan ke dalam bentuk kuadratik denan bantuan kendala (, ) Karena 0 d = maka d d( d) = = 0 Denan cara an sama diperoleh :

5 d = d + dd + d + d = 0 (18) d = d dd d (19) Substitusi persamaan (19) di atas ke persamaan (17), menhasilkan : d U = d + dd + d 1 (0) Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (0) dapat dinatakan denan : ( ) ( ) ( ) d U = d + dd + d (1) Dierensial parsial persamaan () menhasilkan : Ζ = Ζ = = Z () Ζ = Sehina persamaan (1) menjadi : d U = Z d + Z dd + Z d () SOC (Second Order Condition) Jadi untuk masalah optimisasi : OF : U =, st.: (, ) SONC (Second Order Necessar Condition): Maksimum : Minimum : du neative semideinite, denan kendala d = 0 du positive semideinite, denan kendala d = 0 SOSC (Second Order Suicient Condition) : Maksimum : Minimum : du neative deinite, denan kendala d = 0 du positive deinite, denan kendala d = 0

6 . Bordered Hessian Inat kembali bahwa untuk optimisasi denan variabel tanpa kendala, bentuk kuadrat untuk kasus tersebut adalah : q = au + huv + bv dimana : u = d ; v= d ; a= ; b= ; h= = Saat ini kita menhadapi unsi variabel denan kendala, dimana : OF : U =, st.: (, ) Dari unsi tujuan di atas, diketahui bentuk kuadratna adalah : q au huv bv = + + (4) dimana : u = d ; v= d ; a= ; b= ; h= = Sedankan dari unsi kendala, diketahui bentuk dierensial totalna adalah : d = d + d = 0 (5) Apabila jua diasumsikan bahwa : u = d ; v= d ; = α ; = β, maka persamaan (5) dapat ditulis sebaai : αu+ βv= 0 (6) αu Dari persamaan (6) diperoleh : v = (7) β Substitusi persamaan (7) ke (4) : αu αu = + + β β q au hu b α α = au h u + b u β β aβ u hαβu bα u = + β β β u = ( aβ hαβ + bα ) (8) β

7 Karena u u = 0 > β β, maka nilai q sanat berantun dari nilai aβ hαβ + bα dan ternata, 0 α β α a h hαβ αβ bα = (9) β h b Denan demikian, dapat dinatakan bahwa : 0 α β positive deinite < 0 q subject to αu + βv = 0 i α a h neative deinite > 0 β h b Denan kata lain, 0 positive deinite < 0 q subject to d = 0 i Z Z neative deinite > 0 Z Z Nilai determinan di sebelah kanan disebut denan Bordered Hessian, denan notasi H. Kasus n-variabel OF U : = 1,,..., n st. : 1,,..., n Funsi Larane : Z = (,,..., ) + c (,,..., ) 1 n 1 n Bordered Hessian : 0 1 n Z Z Z n H = Z Z Z 1 n Z Z Z n n1 n nn

8 dimana minor Bordered Hessian : 0 1 H = Z Z Maka, Z Z 1 H 0 1 Z Z Z = (dst) Z Z Z 1 Z Z Z 1 H, H,..., H n positive deinite < 0 d Z subject to d = 0 i neative deinite H 0; H 0; H 4 0; dst > < > Berikut tabel uji determinan untuk masalah optimisasi kasus n-variabel : Kondisi Maksimum Minimum FONC Z = Z = 1 Z =... = Z = n 0 Z = Z = 1 Z =... = Z = n 0 SOSC 4 n H > 0; H < 0; H > 0;...; 1 H n > 0 H, H,..., H n < 0 Contoh : 1 OF : Ma U, = 10 st.:4+ 6= 7 Tentukan nilai dan serta perlihatkan SOSC! Jawab : 1 Funsi Larane : Z = ( 4+ 6) FONC : 10 Z = 0 4 = 0 (i) Z = 0 6 = 0 (ii) Z = = (iii)

9 Persamaan (i) dibai denan persamaan (ii) : = = = (iv) Substitusi persamaan (iv) ke (iii) : = 0 1= 7 * = 6 Substitusi nilai * = 6 ke persamaan (iv) : 46 * = = 8 Jadi diperoleh solusi : * = 6 dan * = 8 SOSC : ,4487 Z = = = ,65 Z = Z = = = ,54 Z = = = Maka H = 4 Z Z = 16Z + 48Z 6Z = 6,46 > 0 6 Z Z Karena H > 0, maka solusi * = 6 dan * = 8 memaksimumkan utilitas denan kendala 4+ 6 = 7 Soal : Misalkan seseoran mempunai unsi kepuasan sbb : U ( )( 1) dihadapkan pada kendala anaran P + P = B = + +, denan a) Perlihatkan bahwa *, *, dan * merupakan unsi dari P, P, dan B b) Tentukan tanda dari * P, * P, dan * B