BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Tujuan

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dstrbus peluang merupakan konsep yang menjad dasar pengembangan statstka nferensal, khususnya penaksran parameter dan pengujan hpotess, menjad topk utama dalam makalah n. Dstrbus yang dturunkan dar hasl suatu percobaan dapat dbedakan atas: - Dstrbus fark - Dstrbus malar Sesua dengan sfat yang sampelnya. Jad, kalau ruang sampelnya fark, dstrbusnya juga dsebut dstrbus fark. Demkan juga kalau ruang sampelnya malar, dstrbusnya dsebut dstrbus malar. Namun demkan, sebelum membcarakan dstrbus peluang, konsep peubah acak perlu dpaham, karena sesungguhnya peubah acak nlah yang memlk fungs dstrbus. B. Tujuan Berdasarkan latar belakang datas makalah n memlk tujuan 1. Mahasswa dapat menjelaskan apa yang dmaksud dstrbus peluang? 2. Mahasswa dapat membedakan dstrbus fark dan dstrbus malar? 3. Mahasswa dapat memaham konsep peubah arah?

2 BAB II PEMBAHASAN A. Peubah Acak Pada percobaan yang dgunakan untuk menjelaskan setap proses yang menghaslkan pengukuran, serng yang menark perhatan kta bukan ttk sampel tu sendr melankan gambaran numerknya. Msalnya, sebuah mata uang dengan ss muka (M) dan Belakang (B) yang dlemparkan tga kal memberkan ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM, BMM, MBB, BMB, BBM, BBB}. Bla yang dperhatkan banyaknya ss muka yang muncul, maka hasl numerk, 0, 1, 2, atau 3 dkatkan dengan ttk sampel. Transformas yang memasangkan ttk sampel d S ke suatu hasl numerc dsebut peubah acak (random varable). Jka X menyatakan banyaknya ss muka yang muncul dalam tga kal pelemparan mata uang tu, maka X = 0 merupakan gambaran numerc untuk {BBB}, X = 1 untuk {MBB, BMB, BBM}, X = 2 untuk {MMB, MBM, BMM}, dan X = 3 {MMM}. Karena blangan cardnal n(s) = 8, dperoleh nla-nla peluang P (X = 3) = 1/8, sesua ed blangan cardnal masng-masng perstwa yang berkatan dengan nla X tersebut. Nla-nla peluang nlah yang dsebut fungs dstrbus peluang fark yang basa dsebut fungs massa peluang dar peubah acak X, yang dapat dbuat dalam sebuah tabel sebaga berkut:

3 3.1. Fungs massa peluang munculnya ss muka dalma tga kal pelemparan mata uang x P (X = x) = p (x) 1/8 3/8 3/8 1/8 Karena ruang sampel S adalah ruang sampel fark, maka peubah acak X yang dturunkan dar S juga dsebut peubah acak fark, dan dstrbus peluangnya dsebut dstrbus peluang fark. Peubah acak dtuls dengan huruf captal, msalnya X dan symbol nla pengamatannya dengan huruf kecl x. Untuk penyerderhanaan, kta tuls p (x) untuk x = 0, 1, 2, 3 memlk sfat-sfat sebaga berkut: 1. p(x) 0 untuk x = 0, 1, 2, 3 2. Sfat-sfat datas dapat dnyatakan secara umum. Untuk setap peubah acak fark X yang mempunya terhngga banyaknya nla x1, x2, x3,..xn dengan peluang p(x) = p untuk = 1, 2, 3, n untuk sebaang blangan asl n, harus memenuh sfat-sfat fungs massa peluang berkut: 1. p 0 untuk = 1, 2, 3,.n 2. Sfat n dapat dperluas lag untuk peubah acak yang memlk tak hngga banyaknya nla, dan mash dapat dpadankan satu-satu dengan blangan asl A = {1, 2, 3 }. Msalkan nla-nla peubah acak X adalah x1,

4 x2, x3.. dengan peluang masng-masng p1, p2, p3.. harus memenuh sfat-sfat berkut: 1. p 0 untuk = 1, 2, 3,. 2. Ada dua momen pentng dar peubah acak yang dsebut nla harapan (expected value) dan varans (varance). Rumus kedua momen n berturut-turut adalah: = E (X) = xp 1 2 = E (X - ) 2 = (x ) p 1 Symbol E (X) dalam bahasa Inggrs dbaca Expected value of X. rumus varans dapat pula dtuls dengan 2 = E(X 2 ) - 2, dengan E(X 2 ) = 2 x p. 1 Untuk peubah acak fark X yang nlanya terhngga banyaknya (n), kedua nomen tersebut dnyatakan oleh rumus yang sama, tetap batas sgma yang berbeda sebaga berkut: = E (X) = n 1 xp 2 = E (X - ) 2 = n 1 (x ) p Hasl suatu percobaan mungkn saja tak hngga banyaknya dan tdak dapat dpadankan satu-satu dengan blangan asl. Msalnya, peneltan mengena jarak yang dtempuh sebuah mobl yang djalankan dengan lma lter bensn. Jka X menyatakan jarak yang dtempuh oleh mobl tu sampa bensn tu habs, maka peubah acak n memlk nla tak

5 hngga banyaknya. Perlu dperhatkan dsn bahwa peubah acak X dapat ddefnskan langsung dar percobaan dan tdak melalu transformas dar ruang sample S, karena ruang sample tu sendr sudah dnyatakan dengan blangan rl. Ruang sampel yang memuat takhngga banyaknya ttk sampel dan tdak dapat dpadankan satu-satu dengan blangan asl dsebut ruang sampel malar, dan peubah acak yang dturunkannya dsebut peubah acak malar. Peubah acak malar X memlk fungs dstrbus khusus yang dsebut fungs padat peluang f (x), dan harus memenuh sfat-sfat berkut: 1. f(x) 0 untuk semua x R = {blangan rl} 2. f (x)dx dx 1 3. P(a<X<b) = b a f (x)dx untuk a, b R Nla harapan dan varans peubah acak malar dhtung dengan rumus E(X) x.f (x)dx (x ).f (x)dx x.f (x)dx Rumus-rumus n dapat dmodfkas untuk peubah acak malar X yang memlk nla terbatas, sepert A X B, untuk blangan rl A, dan B tertentu. Dalam hal n, kedua momen tersebut dapat dtuls: E(X) x.f (x)dx B A

6 B B (x ).f (x)dx x.f (x)dx A A Karakterstk yang palng mendasar untuk dkaj dalam mempelajar tngkah laku suatu dstrbus adalah fungs massa atau fungs padat peluang. Dalam fungs/padat peluang n terkandung sfat-sfat mendasar yang menjad cr khas dstrbus tu. Msalnya, nla rata-rata dan varans dapat dhtung dar fungs massa/pada peluang. Selanjutnya, kta akan melhat beberapa fungs peluang fark dan fungs peluang malar, khususnya yang sudah banyak dgunakan dalam statstka terapan. Perhatkan bahwa kta menggunakan stlah fungs massa peluang untuk dstrbus peluang fark dan fungs pada peluang untuk peluang malar. B. DISTRIBUSI PELUANG FARIK Takhngga banyaknya dstrbus peluang fark yang terjad dalam kehdupan nyata, bak yang mempunya kecenderungan tertentu dan mudah dnyatakan dengan fungs matemats maupun yang sangat khusus dan sult dnyatakan dengan sebuah fungs matemats. Kta akan membcarakan beberapa dar jens yang pertama. 1. Dstrbus Seragam Fark Dstrbus Seragam Fark merupakan salah satu model dstrbus peluang yang serng muncul dalam kenyataan. Model n serng d gunakan dalam teor pengamblan keputusan secara statstk, yakn dalam keadaan dmana kta tdak mengetahu secara past apa yang akan terjad d antara kemungknan-kemungknan yang bakal terjad.

7 Model dstrbus seragam menganut asums bahwa peluang setap keadaan atau hasl adalah sama dan tdak berubah sepanjang suatu rangkaan percobaan. Jka X adalah sebuah peubah acak seragam, fungs massa peluang dar X adalah: p( x )= 1/n, x = 1, 2, 3,... n, Dengan n menyatakan banyaknya keadaan atau hasl yang dapat terjad. Perlu d jelaskan bahwa cara penuksan p(x) = 1/n untuk x = 1, 2, 3,..., n dmaksudkan bahwa p(x) = 0 untuk nla x yang lan. Cara n akan dgunakan untuk keefsenan penuksan. Dengan sedkt pekerjaan matemats dperoleh rumus nla rumus nla harapan = ( n + 1 )/2 dan varans 2 = (n 2 1)/ Dstrbus Hpergeometrs Dstrbus hpergeometrs dterapkan pada kasus penarkan sampel (samplng) dmana objek yang telah dambl tdak dkembalkan lag ke populasnya. Dalam model n, populas yang bers sejumlah N sub-populas sukses yang mempunya anggota sebanyak N1 dan subpopulas gagal dengan anggota sebanyak N N1 = N2 yang sfatnya salng berlanan atau bahkan berlawanan. Pengertan sukses dan gagal dsn tdak selalu sama maknanya dengan stlah sukses dan gagal dalam pembcaraan sehar-har, tetap sekedar menunjukkan adanya dua kategor hasl yang berbeda. Jka X adalah sebuah peubah acak hpergeometrs yang menggambarkan pengamblan n objek dar populas yang berukuran N, fungs massa peluang dar X adalah:

8 N1 N2 x n x p(x), x 1,2,3,...n N n Dengan N1 = Ukuran sub populas sukses N2 = Ukuran sub populas gagal N = Ukuran populas = N1 + N2 n = ukuran sampel x = banyaknya gejala sukses d antara n objek yang terambl Nla harapan dan varans masng-masng N N N N n N N N N n. dan n( )(1 )( ) 3. Dstrbus Rumpun Bnomal Dstrbus bnomal merupakan salah satu model dstrbus peluang untuk peubah aack yang fark. Koefsen bnomal menunjukkan peluang tmbulnya gejala yang dharapkan (gejala sukses) dar sejumlah n perstwa. Model dstrbus n dterapkan pada kasus percobaan Bernoull dengan cr sebaga berkut: a. Tap-tap percobaan hanya memlk dua kemungknan hasl, yakn sukses dan gagal (tdak selalu sama maknanya dengan pengertan sukses dan gagal dalam pembcaraan sehar-har) b. Peluang sukses selalu sama pada setap percobaan, akan tetap peluang sukses tdak harus sama dengan peluang gagal. c. Percobaan dulang sebanyak n kal dan bersfat bebas (hasl percobaan yang satu tdak mempengaru hasl percobaan yang lan).

9 Jka X adalah sebuah peubah acak bomal, maka fungs massa peluang X adalah: n x x nx p(x) p (1 p), x 0,1,2...n Dengan p = Peluang percobaan sukses n = banyaknya percobaan x = banyaknya gejala sukses yang terjad. Nla harapan µ = np dan varans 2 = np (1-p) Dalam keadaan khusus, percobaan dlakukan sekal saja, yatu n = 1, kta peroleh peubah acak Bernoull dengan fungs massa peluang x nx p (1 p),untuk x 0,1. Nla harapan µ = p dan varans 2 = p (1-p) Andakan percobaan Bernoull dulang untuk mendapatkan k sukses, dan hasl n dperoleh setelah y kal percobaan. Dengan demkan, peubah acak Y yang menyatakan banyaknya percobaan untuk mendapatkan sukses yang ke-k dsebut peubah acak bnomal negatf. Fungs masa peluangnya adalah: y1 k1 k yk p(y) p (1 p),untuk y k,k 1,k 2 Nla harapan µ = k/p dan varans 2 = k (1-p)/ p 2 Selanjutnya, kta perhatkan keadaan khusus untuk k=1, yatu peubah acak Y yang menyatakan banyaknya percobaan yang dlakukan untuk mendapatkan sukses yang pertama, dan n dsebut peubah acak geometrs. Fungs masa peluangnya dnyatakan dengan: p(y) = p(1-p) y-1 untuk y = 1, 2, 3,. Nla harapan µ = l/p dan varans 2 = (1-p)/ p 2

10 4. Dstrbus Multnomal Perluasan dstrbus bnomal adalah dstrbus multnomal. Msalkan, sebuah percobaan memberkan hasl yang mungkn h1, h2,..3, n dan p1 + p pk = 1, Andakan percobaan n dulang secara bebas n kal, maka peubah acak yang menyatakan bahwa kta akan mendapatkan x1 hasl h1, x2 hasl h2,..xk hasl hk dengan x1 + x2 + + xk = n dsebut peubah acak multnomal. Fungs masa peluang dstrbus multnomal dnyatakan dengan: p (x1, x2, xk) = dengan x1 + x2 +.. xk = n, 0 < p < 1, = 1, 2, 3,..k dan p1 + p2 +.. pk = 1 5. Dstrbus Posson Dstrbus Posson juga merupakan salah satu model dstrbus peluang untuk peubah acak yang fark. dstrbus posson serng dgunakan untuk menentukan peluang sebuah perstwa yang dalam daerah atau waktu tertentu dharapkan jarang terjad. Msalnya, banyak orang yang lewat d depan pasar setap har, tetap sangat jarang terjad seseorang yang menemukan barang hlang dan mengembalkan kepada pemlk-nya atau melaporkannya kepada pols. Contoh lan, operator telepon banyak menerma permntaan nomor untuk dsambungkan, dharapkan jarang sekal terjad salah sambung setap ment. Jka X adalah sebuah peubah acak Posson dengan rata-rata = µ, maka fungs masa peluang dar X adalah:

11 Dmana blangan Euler e = 2, ,. adalah konstanta yang dapat dtemukan pada hampr semua kalkulator, dan juga pada komputer. Menghtung nla peluang yang menggunakan blangan e maupun blangan factoral dapat dlakukan dengan bantuan kalkulator. C. DISTRIBUSI PELUANG MALAR Dstrbus dengan peubah acak malar yang pertama kal kta bcarakan adalah dstrbus normal, kemudan dstrbus student t, dstrbus ch kuadrat, dan dstrbus F. 1. Dstrbus Normal Dstrbus normal yang basa juga dsebut dstrbus Gauss banyak dgunakan dalam pengujan hpotess, teor penaksran parameter, dan dstrbus penyampelan. Sekarang kta akan tnjau mengena fungs padat peluang dstrbus normal dengan rata-rata µ dan smpangan baku sebaga berkut / 2(x ) / f (x) e,untuk x 2 Dengan adalah nla konstanta yang bsa dtuls dengan = 3,1416 dan e blangan Euler yang sudah djelaskan sebelumnya. Nla juga terdapat hampr semua kalkultor. Peubah acak X dengan daerah nla - < x <, berdstrbus normal, jka fungs padat peluangnya sepert f(x) d atas. Andakan X adalah peubah acak normal dengan rata-rata µ dan smpangan baku, transformas X menjad Z = X akan membentuk

12 peubah acak normal baku dengan rata-rata nol dan smpangan baku satu. Fungs padat peluang dar dstrbus normal baku adalah : x e p(x),untuk x 0,1,2... x! Grafk f(z) berbenuk smetrs terhadap sumbu tegak (sumbu y) dan semuanya d atas sumbu datar (sumbu z), dan dnama kurva dstrbus normal baku sepert pada gambar berkut; Luas daerah dbawah kurva normal baku d atas sumbu z sama dengan satu. Hal n dapat dbuktkan dengan menggunakan htung ntegral yatu: z f (x) e 2,untuk z 2 Teknk ntegral banyak dbcarakan dalam buku matematka, khususnya kalkulus, dan kta hanya memperkenalkan smbolnya dan pada bagan n tdak dbcarakan lebh mendalam. Setelah kta memlk dstrbus normal baku yang ddapat dar dstrbus normal umum dengan transformas tersebut d atas, maka daftar dstrbus normal baku (lampran C) dapat dgunakan. Dengan daftar n bagan-bagan luas dar dstrbus normal baku dapat dcar. Untuk memudakan, kta perhatkan bentuk tabel dstrbus normal baku pada lampran C yang cuplkannya pada tabel berkut. Cara menggunakan tabel tersebut adalah sebaga berkut: Htung nla z sampa dua decmal

13 Gambarkan kurvanya Letakkan nla z pada sumbu datar, lalu tark gars vertcal sampa memotong kurva Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara gars n dengan gars tegak d ttk nol Dalam daftar d lampran C, car tempat nla z pada kolom palng kr hanya sampa satu decmal, dan decmal kedua dcar pada bars palng atas. Dar z d kolom kr maju ke kanan dan dar z dbars atas turun ke bawah, maka d dapat blangan yang merupakan luas yang dcar. Blangan yang ddapat harus dtuls dalam bentuk 0,xxxx (bentuk empat desmal) Tabel daftar luas d bawah dstrbus normal baku z , Karena luas seluruh daerah d bawah kurva sama dengan satu dan kurva smetrs terhadap µ = 0, maka luas dar gars tegak pada ttk nol ke kr ataupun ke kanan adalah 0,5. Sebaga contoh, kta akan mencar luas daerah kurva normal dengan menggunakan tabel lampran C.

14 2. Dstrbus Student t Dstrbus student t yang basa dsngkat dengan dstrbus t dpublkaskan oleh W. S. Gossett (yang menggunakan nama samara Student) pada tahun 1908 dan dsempurnakan oleh R. A. Fsher pada tahun Dstrbus n merupakan revolus stattk untuk sampel kecl. Informas tentang hal n dapat dlhat pada Snedecor (1982). Fungs padat peluang dstrbus t dberkan oleh; v t v1 2 f (t) (1 ) untuk t v v v 2 Dengan v (baca; nu) adalah parameter dstrbus dan Γ (.) menyatakan fungs gamma yang ddefnskan dengan v1 (v) x dx 0 Beberapa sfat dasar fungs gamma, antara lan sebaga berkut: Γ (n) = (n-1) Γ (n-1), n>1 Γ (n) = (n-1)!, n = 1, 2, 3 Γ (1/2) = Dmana = 3,1415.Dengan sedkt pekerjaan matemats dapat dbuktkan bahwa fungs padat peluang dstrbus t memenuh: f (t)dt 1 Grafk f(t) menyerupa kurva dstrbus normal sebaga berkut.

15 Pada fungs dstrbus n adalah blangan v yang dsebut derajat kebebasan (dk). Dalam praktek, derajat kebebasan tu sama dengan ukuran sampel dkurang satu, atau dk = v = n 1. Jka sebuah populas mempunya model dengan fungs padat peluang sama dengan f(t) maka populas tu dapat danggap berdstrbus t dengan dk = n 1. Untuk nla-nla n yang besar, basanya n 30, dstrbus t mendeteks dstrbus normal baku. Untuk perhtungan daftar dstrbus t telah dsedakan (lampran D). tabel tersebut berskan nla-nla t untuk dk dan peluang tertentu. Kolom palng kr, kolom v = dk, berskan derajat kebebasan, bars teratas berskan peluang. Tabel daftar luas d bawah kurva dstrbus t V t0,995 t0,99 t0,95. t0, Dstrbus Ch Kuadrat Dstrbus ch kuadrat adalah dstrbus peubah acak malar yang mempunya fungs padat peluang.

16 1 1v1 1x 2 2 f (x) x e, x 0 v/ 2 2 (v / 2) dengan v = derajat, kebebasan dan dapat dbuktkan secara matemats bahwa f (x)dx 1. Selanjutnya grafk dstrbus ch kuadrat umumnya merupakan kurva postf, yatu mrng ke kanan, yatu berekor panjang ke kanan. Kemrngan n semakn berkurang jka derajat kebebasan makn besar. Grafk dstrbus ch kuadrat secara umum dengan derajat kebebasan dk = v, dmana nla peubah acak X dtuls dengan symbol X 2 Luas daerah d bawah kurva yang dbayang-bayang sama dengan nla peluang p yatu luas dar X 2 p ke sebelah. Untuk nla dengan pasangan dk = v dan peluang p yang besarnya tertentu dapat dlhat pada tabel khusus dstrbus ch kuadrat. Untuk menjelaskan cara penggunaan tabel khusus n, terdapat pada bars palng atas terdr kebebasan n ada pada kolom palng kr. Tabel Daftar luas d bawah kurva ch kuadrat v.. X 2 0,95 X 2 0,

17 4. Dstrbus Snedecor F Fungs padat peluang peubah acak yang berdstrbus Snedecor F atau dengan sngkat dstrbus F adalah v v 1 2 v 2 v ( 1) 1 v v 1 1 v 2 v 2 ( ) f (x) x (1 x) v1 v2 v2 v2 2 2 Untuk x > 0, dengan v1 = dk pemblang dan v2 = dk penyebut. Dstrbus F memlk dua buah derajat kebebasa. Grafk dstrbus F tdak smetrs dan umumnya sedkt mrng postf. Sepert juga dstrbus lanya, untuk keperluan perhtungan dengan dstrbus F, tabel dstrbus F telah dsedakan nla F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kebebasan v1 dan v2. Peluang n sama dengan luas daerah ujung kanan yang dbayang-bayang, sedangkan dk = v1 ada pada bars palng atas dan dk = v2 pada kolom palng kr. 2 Untuk tap pasang dk, v1 dn v2 tabel berskan nla-nla F dengan kedua luas daerah yatu 0,01 dan 0,05. Untuk setap dk (v1, v2), tabel sebaga berkut: v2 = dk penyebut 8 v1 = dk pemblang

18 BAB III PENUTUP A. Kesmpulan Dstrbus yang dturunkan dar hasl suatu percobaan dapat dbedakan atas : 1. Dstrbus fark 2. Dstrbus malar Jad, kalau ruang sampelnya fark, dstrbusnya juga dsebut dstrbus fark. Demkan juga kalau ruang sampelnya malar, dstrbusnya dsebut dstrbus malar. Fungs dstrbus terletak pada peubah acak. Peubah acak (random varable) yatu transformas yang memasangkan ttk sampel d semesta ke suatu hasl numerc. Ruang sampel yang memuat takhngga banyaknya ttk sampel dan tdak dapat dpadankan satu-satu dengan blangan asl dsebut ruang sampel malar dan peubah acak yang dturunkannya dsebut peubah acak malar. B. Saran Dalam penulsan makalah n mash memlk banyak kekurangan sehngga kam mengharapkan sumbangan krtk dan saran dem kesempurnaan makalah kam selanjutnya. Wasalam.

19 DAFTAR PUSTAKA Tro, M. A. 1999a. Analss Data Frekus dengan Ch Kuadrat. Ujung Pandang Hasanuddn Unversty Press. Tro, M. A. 1999b. Dasar-dasar Statstka. Ujung Pandang Badan Penerbt UNM Ujung Pandang. Tro, M. A Analss Regres dengan Data Kategor. Makassar: Makassar State Unversty Press. Walpole, R. E Pengantar Statstka, Eds ke-3 Jakarta; Penerbt PT. Grameda Pustaka Utama.

20 KATA PENGANTAR Segala puj bag Allah swt yang dengan segala kash sayang dan menyeru hamba-nya mengkut petunjuk yang benar. Shalawat dan salam atas Nab Muhammad saw Rasul Allah yang telah mencucurkan kerngat jhad sebanyak-banyaknya dalam menyebarkan kebenaran dan mengamalkan kebajkan. Dalam penulsan makalah n kam sangat bersyukur karena dengan kerjasama antara anggota kelompok sehngga makalah yang berjudul Dstrbus Peluang n dapat terselesakan tepat pada waktunya. Tada gadng yang tak retak, begtu juga dengan penulsan makalah n, sehngga kam sebaga penuls mengharapkan sumbangs saran, de, maupun krtk yang membangun untuk kedepan. kelanjutan penulsan makalah Makassar, 22 Januar 2009 Penuls Kelompok III

21 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang... 1 B. Tujuan... 1 BAB II PEMBAHASAN... 2 A. Peubah Acak... 2 B. Dstrbus Peluang Fark Dstrbus seragam fark Dstrbus Hpergeometrs Dstrbus Rumpun Bonoma Dstrbus Multnomal Dstrbus Posson C. Dstrbus Peluang Malar Dstrbus Normal Dstrbus student t Dstrbus ch kuadrat Dstrbus Snedecor F BAB III PENUTUP A. Kesmpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA... 19