MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA

Transkripsi

1 MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT 1. a p. a q = a p + q 5. a 0 = 1 2. a p / a q = a p - q 6. a - p = 1/a p 3. (a p ) q = a pq 7. a m/n = n (a m) 4. (a.b) p = a p. b p Contoh: 1. 3 pq+q. 3 2p )/(3 pq+p. 3 2q ) = (3 pq+q+2p )/(3 pq+p+2q ) = 3 p-q 2. (0,0001) -1 0,04 = (10-4 ) -1 (0,2) = (10 4 )(0,2) = (0,5) 2 + 1/ ,125 = 0,25 + 1/2 + 0,5 = 1,25 [ket : 32 = 2 5 ; 0,125 = (0,5) 3 ] 4. Apabila p = 16 dan q = 27, maka 2p -1/2-3p 0 + q 4/3 = 2(2 4 ) -1/2-3(2 4 ) 0 + (3 3 ) 4/3 = 2(2-2 ) - 3(1) = (1) + 81 = 1/ = 78 1/2 1

2 11.2. Persamaan Eksponen Adalah persamaan yang didalamnya terdapat pangkat yang berbentuk fungsi dalam x (x sebagai peubah). [Ket. : Usahakan setiap bilangan pokok ditulis sebagai bilangan berpangkat dengan bilangan dasar 2, 3, 5, 7, dst]. BENTUK-BENTUK A. a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) Samakan bilangan pokoknya sehingga pangkatnya dapat disamakan. contoh : 2 SUKU SUKU DI RUAS KANAN, 1 SUKU DI RUAS KIRI 1. (8 2x-3) = (32 x+1 ) 1/4 (2 3 ) (2x-3)1/2 = (2 5 ) (x+1)1/4 2 (6x-9)/2 = 2 (5x+5)/4 (6x-9)/2 = (5x+5)/4 24x-36 = 10x+10 14x = 46 x = 46/14 = 23/ x²-3x x²-3x = 10 3².3 x²-3x +3 x²-3x = x²-3x + 3 x²-3x = x²-3x = 10 3 x² - 3x = 3 0 x² - 3x = 0 x(x-3) = 0 x1 = 0 ; x2 = 3 2

3 3 SUKU GUNAKAN PEMISALAN x x = x x + 1 = 0 Misalkan : 2 x = p 2 2x = (2x)² = p² 4p² -4p + 1 = 0 (2p-1)² = 0 2p - 1 = 0 p =1/2 2 x = 2-1 x = x x - 28 = 10 3x /3 x - 28 = 10 misal : 3 x = p p + 27/p - 28 = 0 p² - 28p + 27 = 0 (p-1)(p-27) = 0 p1 = 1 3 x = 3 0 x1 = 0 p2 = 27 3 x = 3 3 x2 = 3 B. a f(x) = b f(x) f(x) = 0 Bilangan pokok berbeda, pangkat sama. Pangkatnya = 0. Contoh: 1. 3 x²-x-2 = 7 x²-x-2 x² - x -2 = 0 3

4 (x-2)(x+1) = 0 x1 = 2 ; x2 = -1 C. a f(x) = b f(x) f(x) log a = g(x) log b Bilangan pokok berbeda, pangkat berbeda. Diselesaikan dengan menggunakan logaritma. Contoh: 1. 4 x-1 = 3 x+1 (x-1)log4 = (x+1)log3 xlog4 - log4 = x log 3 + log 3 x log 4 - x log 3 = log 3 + log 4 x (log4 - log3) = log 12 x log 4/3 = log 12 x log 4/3 = log 12 x = log 12/ log 4/3 = 4/3 log 12 D. f(x) g(x) = f(x) h(x) Bilangan pokok (dalam fungsi) sama, pangkat berbeda.tinjau beberapa kemungkinan. 1. Pangkat sama g(x) = h(x) 2. Bilangan pokok f(x) = 1 ket: 1 g(x) = 1 h(x) = 1 3. Bilangan pokok f(x) = -1 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x)=-1, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus genap atau kedua-duanya harus ganjil. 4

5 ket : g(x) dan h(x) Genap : (-1) g(x) = (-1) h(x) = 1 g(x) dan h(x) Ganjil : (-1) g(x) = (-1) h(x) = Bilangan pokok f(x) = 0 Dengan syarat, setelah nilai x didapat dari f(x) = 0, maka nilai pangkatnya yaitu g(x) dan h(x) kedua-duanya harus positif. ket : g(x) dan h(x) positif 0 g(x) = 0 h(x) = 0 Contoh: (x² + 5x + 5) 3x-2 = (x² + 5x + 5) 2x+3 1. Pangkat sama 3x - 2 = 2x + 3 x1 = 5 2. Bilangan pokok = 1 x² + 5x + 5 = 1 x² + 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x2 = 1 ; x3 = 4 3. Bilangan pokok = -1 x² - 5x + 5 = -1 x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3) = 0 x = 1 ; x = 4 g(2) = 4 ; h(2) = 7 ; x=2 tak memenuhi karena (-1)4 (-1)7 g(3) = 7 ; h(3) = 9 ; x4 = 3 memenuhi karena (-1)7 = (-1)9 = Bilangan pokok = 0 x² - 5x + 5 = 0 x 5,6 = (5 ± 5)/2 kedua-duanya memenuhi syarat, karena : g(2 1/2 ± 1/2 5) > 0 h(2 1/2 ± 1/2 5) > 0 5

6 Harga x yang memenuhi persamaan diatas adalah : HP : { x x = 5,1,4,3,2 1/2 ± 1/2 5} Pertidaksamaan Eksponen Bilangan Pokok a > 0 1 Tanda Pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 1 0 < a < 1 a f(x) > a g(x) f(x) > g(x) a f(x) < a g(x) f(x) < g(x) a f(x) > a g(x) f(x) < g(x) a f(x) < a g(x) f(x) > g(x) (tanda tetap) (tanda berubah) Catatan: Untuk memudahkan mengingat, bilangan pokok 0 < a < 1 diubah saja menjadi a = 1. Misal : 1/8 = (1/2) 3 = 2-3 Contoh: 1. (1/2) 2x-5 < (1/4) (1/2x+1) (1/2) 2x-5 < (1/2) 2(1/2x+1) Tanda berubah (0 < a < 1) 2x - 5 > x +2 x > x x > 0 (3 x )² x + 27 > 0 6

7 misal : 3 x = p p² -12p + 27 > 0 (p - 9)(p - 3) > 0 p < 1 atau p > 9 3x < 31 3x > 3² x < 1 atau x > Bentuk Akar Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional. Misal: 4, 9, 16, 49,...bukan bentuk akar karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4, dan 7. Menyederhanakan bentuk akar: ab = a * b misal, 15 = 5 * 3 Operasi Aljabar Bentuk Akar a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan a k + b k = (a+b) k a k - b k = (a-b) k b. Operasi Perkalian a m* b n = a.b m.n = ab m n c. Menarik Akar Kuadrat ( a + b) 2 = ( a) a b + ( b) 2 = a + 2 a b + b 7

8 Contoh Soal: = (5+6) 7 = ( 3 + 2) = 2 6 ( 3) + 2 6( 2) = = 2 (3 2 *2) + 2 (2 2 *3) = Jika p= dan q= 3-5 maka p 2 q 2 Adalah: (3+ 5) 2 (3-5) 2 = ( 5) 2 ( ( 5) 2 ) = = 12 5 Latihan: 1. (a -3 b 5 c -7 ) : (a -6 b -2 c 3 ) = Nilai dari (1 / 4) -2 / 5 2 adalah (ab) 2x. (ab 2 ) -1 adalah ((p 4 q 2 s -3 ) / rs 2 ) 2 : (p -4 q 10 r -6 ) adalah ( 6-3) ( 8 + 2) = Batasan dan Sifat-Sifat Logaritma Logaritma bilangan b dengan bilangan pokok a sama dengan c yang memangkatkan a sehingga menjadi b. a log b = c a c = b mencari pangkat Ket : a = bilangan pokok (a > 0 dan a ¹ 1) b = numerus (b > 0) c = hasil logaritma Dari pengertian logaritma dapat disimpulkan bahwa : 8

9 a log a = 1 ; a log 1 = 0 ; a log a n = n SIFAT-SIFAT 1. a log bc = a logb + a logc 2. a log bc = c a log b 3. a log b/c = a log b - a log c Hubungan a log b/c = - a log b/c 4. a log b = ( c log b)/( c log a) Hubungan a log b = 1 / b log a 5. a log b. b log c = a log c 6. a a log b = b 7. a log b = c a p log b p = c Hubungan : a q log b p = a log b p/q = p/q a log b Keterangan: 1. Bila bilangan pokok suatu logaritma tidak diberikan, maka maksudnya logaritma tersebut berbilangan pokok = 10. [ log 7 maksudnya 10 log 7 ] 2. log n x adalah cara penulisan untuk (logx) n Bedakan dengan log x n = n log x Contoh: 1. Sederhanakan 2 3 log 1/9 + 4 log 2 = 2(-2) + 1/2 = 3 log 2. 2 log log 3 3 log 2. 2 log 5. 5² log3-3 1/2 = -3 1/2 = -7 9

10 3 log 3 1/2 1/2 2. Jika 9 log 8 = n Tentukan nilai dari 4 log 3! 9 log 8 = n 3² log 2³ = n 3/2 3 log 2 = n 3 log 2 = 2n 3 4 log 3 = 2² log 3 = 1/2 ²log 3 = 1/2 ( 1/(³log 2) ) = 1/2 (3 / 2n) = 3/4n 3. Jika log (a² / b 4 ) Tentukan nilai dari log ³ (b²/a)! log (a²/b 4 ) = -24 log (a/b²)² = log ( a/b²) = -24 log ( a/b²) = -12 Log ³ (b²/a) = log (b²/a) 1/3 = 1/3 log (b² / a) = -1/3 log (a/b²) = -1/3 (-12) = Persamaan Logaritma 10

11 Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x. Masalah : Menghilangkan logaritma a log f(x) = a log g(x) f(x) = g(x) a log f(x) = b f(x) =ab f(x) log a = b (f(x)) b = a Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 1 dan numerus > 0 ) Contoh: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut! x log 1/100 = -1/8 x -1/8 = 10-2 (x -1/8 ) -8 = (10-2 ) -8 x = x log 81-2 x log 27 + x log 9 + 1/2 x log 729 = 6 x log x log3 3 + x log 3² + 1/2 x log 3 6 = 6 4 x log3-6 x log3 + 2 x log3 + 3 x log 3 = 6 3 x log 3 = 6 x log 3 = 2 x² = 3 x = 3 (x>0) 3. x log (x+12) - 3 x log = 0 x log(x+12) - x log 4³ = -1 x log ((x+12)/4³) = -1 (x+12) / 4³ = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 ; x = 4 11

12 4. ²log²x - 2 ²logx - 3 = 0 misal : ²log x = p p² - 2p - 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0 p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8 p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = ½ Pertidaksamaan Logaritma Bilangan pokok a > 0 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 1 0 < a < 1 a log f(x) > b f(x) > ab a log f(x) < b f(x) < ab a log f(x) > b f(x) < ab a log f(x) < b f(x) > ab (tanda tetap) (tanda berubah) syarat f(x) > 0 Contoh: Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan 12

13 1. ²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) Hilangkan log Tanda tetap - 2 < x < 0 atau 2 < x < 4 a. x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0-2 < x < 4 b. syarat : x² - 2 > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > /2 log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) Hilangkan log Tanda berubah x < - 2 atau x > 2 a. (x² - 3) > (1/2) 0 x² - 3 > 1 x 2-4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2 b. syarat : x² - 3 > 0 (x - 3)(x + 3) > 0 x < 3 atau x > Logaritma Biasa Logaritma biasa adalah log dengan basis 10. Misal: 100 = 10 2.:. 10 log 100 = 2 13

14 Dengan menggunakan logaritma, angka 10 yang merupakan bilangan basis dapat dihilangkan dan pernyataan diatas dapat disederhanakan menjadi: log 100 = 2. Jika menggunakan basis bilangan lain, bilangan basis tetap dituliskan. Misal: 125 = 5 3.:. 5 log 125= 3 Log 10 = 1, log 100= 2, log1000= 3 Log 275, terdapat antara 2 dan 3, jika dicari log 275= 2,4393 sampai 4 tempat desimal, yang: (a) bagian bilangan bulat yaitu 2, disebut karakteristik, (b) bagian desimal yaitu 0,4393, disebut mantisa. Latihan dan Penyelesaian: 1. Log 20 + log 5 = log (20*5) = log (100) = 2 2. Jika b log a 2 = 6 maka a log b 4 adalah: b log a 2 = 6 2 b log a= 6 atau b log a= 6 / 2 b log a = 3 a log b 4 = 4 a log b a log b = 1 / b log a = 4 / b log a = 4/3 3. Bila 7 log2 =a dan 2 log 3 = b, maka berapa 6 log 98? 7 Log 2= a log 2 / log 7 = a 14

15 Log 7 = log2 / a 2 Log 3 = b log 3 / log 2 = b Log 3= b log 2 6 Log 98 = log 98 / log 6 = log (2 * 7 * 7) / log 6 = ( log log 7 ) / log (2 * 3) = ( log2 + 2 (log 2 / a) ) / ( log 2 + b log 2) = (1 + 2 / a ) / 1+ b = (a + 2) / (a (1+b)) 4. Akar dari persamaan: 3 5x-1 = 27 x+3, adalah x-1 = 27 x+3 3 5x-1 = (3 3 ) x+3 3 5x-1 = 3 3x x 1 = 3 x x = 10 x= 5 5. harga x yang memenuhi persamaan : 4 x+3 = 4 (8 x+5 ) adalah... 4 x+3 = 4 (8 x+5 ) atau 4 x+3 = 8 (x+5 / 4) (2 2 ) x+3 = (2 3 (x+5 / 4) ) 2x + 6 = (3x + 15) / 4 8x + 24 = 3x x = -9 X = -9 / 5 15

16 6. Ditentukan persamaan : 4 x+2 / 8 = 8 x Tentukan nilai x 2 Jawab: 4 x+2 / 8 = (8 x ) ½ = 8 x/2 (2 2 ) x + 2 / 8 = (2 3 ) x/2 2 2x + 4 / 2 3 = 2 3x / 2 2 2x = 2 3x / 2 2x = 3x / 2 4x = 3x X = - 2 =========== 16