Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Transkripsi

1 Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun yang nilai IQ-nya diatas 120. Himpunan bilangan-bilangan bulat diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7 Cara Menyatakan Himpunan 1. Metode Roster (cara pendaftaran) yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam tanda kurung {...} himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,...} 2. Metode Rule (cara Pencirian) yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya N = {x½x adalah bilangan asli} II. Istilah-istilah: 1. Elemen (Anggota) notasi : setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut elemen/anggota himpunan itu. A ={a,b,c,d} 1

2 a A (a adalah anggota himpunan A) e A (e bukan anggota himpunan A) 2. Himpunan kosong notasi : φ atau {} yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota contoh : A = { x x² = -2; x riil} A = φ 3. Himpunan semesta notasi : S yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan contoh : K = {1,2,3} S = { x x bilangan asli } atau S = { x x bilangan cacah } atau S = { x x bilangan positif } dsb. III. Hubungan Antar Himpunan 1. Himpunan bagian notasi : atau Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B. Ditulis : A Bf atau B A A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d} maka A B ; A C ; B C ketentuan : o himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang 2

3 o himpunan (φ A )himpunan A adalah himpunan bagian dari o himpunan A sendiri ( A A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2 n HB = 2 n jika A = {a,b,c} maka himpunan bagian dari A adalah : {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan φ seluruhnya ada 2³ = 8 POWER SET 2s himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S S = {a,b,c} 2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, φ } 2. Himpunan sama ttttttttttt notasi : = Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A. Ditulis A = B K = {x x²-3x+2=0} L = {2,1} maka K = L 3. Himpunan lepas ttttttttttt notasi : // Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai 3

4 anggota persekutuan dengan himpunan B. Ditulis A // B A = {a,b,c} B = {k,l,m} Maka A // B IV. Operasi Pada Himpunan 1. Gabungan (union) notasi : Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B. A B = { x x A atau x B } A = {1,2,3} B = {0,2,4} Maka A B = {0,1,2,3,4} 2. Irisan (intersection) notasi : Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. A B = { x x A dan x B } A={1,2,3,4} B={3,4,5} maka A B = {3,4} 4

5 3. Selisih notasi : - Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. A - B = { x x A dan x B } A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,7,10} Maka A - B = {1,3,5} 4. Komplemen notasi: A', A c, A Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A. A' = { x x S dan x A } S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5} Maka A' = {6,7,8,9,10} V. Sifat-sifat Himpunan 1. Komutatif A B = B A A B = B A 2. Asosiatif A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 5

6 3. Distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) _ 4. De Morgan (A B)= A B _ (A B)= A B Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan : 2 HIMPUNAN n(s) = n (A B) + n (A B) 3 HIMPUNAN n(s) = n (A B C) + (A B C) di mana di mana n (A B) = n (A) + n (B) - n (A B) n (A B C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A B) - n (A C) - n (B C) + n (A B C) VI. Skema Bilangan 1. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. N = {1,2,3,4,5,6,...} 2. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya 6

7 dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. P = {2,3,5,7,11,13,...} 3. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. C = {0,1,2,3,4,5,6,...} 4. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 5. Himpunan bilangan rasional Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggota nya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q bulat dan q 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 6. Himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. log 2, e, 7 7. Himpunan bilangan riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional. log 10, 5/8, -3, 0, 3 7

8 8. Himpunan bilangan imajiner Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1 i, 4i, 5i 9. Himpunan bilangan kompleks Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya (a + bi) dimana a, b R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. 2-3i, 8+2 Contoh Soal dan Pemecahanan: 1. Jika B adalah himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 20 dan habis dibagi 4 maka tulislah B dengan cara pencirian (RULE) dan cara pendaftaran (Roster) Jawab: Bilangan-bilangan tersebut adalah: 4, 8, 12, 16 - Rule: B= { x x/x=4p, 1 4, p 4, p bilangan asli} - Roster: B={4,8,12,16} 2. Jika A adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 12, maka tulislah A dalam cara Roster dan Rule! Jawab: Bilangan-bilangan tersebut adalah: 3,5,7,9,11 - Rule: A={ x x=2p+1, 1 p 5, p bilangan asli} - Roster: A={3,5,7,9,11} 8

9 3. P adalah himpunan semua bilangan genap yang lebih kecil dari 37 dan Q adalah himpunan bilangan semua pangkat 2 bilangan bulat genap, maka berapa P irisan Q atau P Q? Jawab: P={.., -4, -2, 0, 2, 4, 6,, 34, 36} Q={ 0, 4, 16, 36} P Q = { 0, 4, 16, 36 } 4. Jika A={1, 2, 3, 4, 5, 6 } B= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Maka berapa A B dan B A? Jawab: A B= { 1, 2, 3 } dan B A = { 7, 8, 9, 10 } ==oo000oo== 9