(A.7) OPTIMISASI PORTOFOLIO BERDASARKAN MEAN-VALUE AT RISK DI BAWAH MODEL INDEKS BERGANDA DENGAN VOLATILITAS TAK KONSTAN

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 (A.7) OPIMISASI POROFOIO BERDASARKAN MEAN-VAUE A RISK DI BAWAH MODE INDEKS BERGANDA DENGAN VOAIIAS AK KONSAN Agus Suprana, F. Sukono, Bunga uva Jurusan Maemaka FMIPA Unversas Padjadjaran Jl. Raya Bandung-Sumedang km Janangor ABSRAK Pokok dalam kajan n membahas enang opmsas nvesas porofolo berdasarkan mean dan VaR d baah model ndeks berganda dengan volalas ak konsan. Dalam model ndeks berganda dasumskan baha korelas reurn masng-masng saham dpengaruh oleh respon saham ersebu erhadap perubahan ndeks-ndeks erenu. D sn reurn ndeks dasumskan memlk volalas ak konsan sehngga akan desmas dengan menggunakan model GARCH. Rsko dukur menggunakan VaR yang dhung berdasarkan quanle dsrbus normal sandar. Mean reurn dan VaR akan dgunakan dalam formula opmsas porofolo dan eknk penyelesaannya menggunakan eorema Kuhn-ucker. Dalam paper n danalss pembenukan porofolo yang ersusun dar beberapa saham yang dperdagangkan d pasar modal Indonesa. Adapun yang menjad arge yang dngnkan adalah membenuk komposs porofolo-porofolo efsen dan menenukan porofolo opmalnya. Kaa Kunc : VaR, reurn, model GARCH, model ndeks berganda, eorema Kuhn-ucker ABSRAC he pon of hs paper s opmzaon of nvesmen porfolo based on he mean and he VaR under he mul ndex model h non consan volaly. In mul ndex model, correlaon of each sock reurn assumed s nfluenced by ha sock response o ndex changes. Index reurn s assumed has non consan volaly so ll be esmaed by GARCH models. Rsk s measured by VaR ha calculaed based on quanle sandard normal dsrbuon. Mean reurn and VaR ll be used for formulaon of porfolo opmzaon problem and soluon by usng he Kuhn-ucker heorem. In hs paper ll be analysed he formaon of porfolo hch formed by a fe sock ha are raded n he Indonesan capal marke. he arge of hs problem s o oban effcen porfolos and deermne he opmum porfolo. Keyords : VaR, reurn, GARCH model, mul ndex model, Kuhn-ucker heorem 66

2 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 I. AAR BEAKANG MASAAH Pada umumnya hampr semua nvesas sekuras d pasar modal mengandung unsur kedakpasan aau rsko. Rsko adalah besarnya penympangan anara ngka pengembalan yang dharapkan (expeced reurn) dengan ngka pengembalan akual (acual reurn) (Halm, 005:). nggnya rsko dalam duna keuangan khususnya dalam pasar modal dapa dpengaruh oleh ngka relaf pergerakan nak urunnya saham (volalas) yang ajam. Volalas suau saham merupakan suau ukuran dar kedakpasan enang pengembalan yang dsedakan. Dengan keadaan semacam u maka dapa dkaakan baha nvesor dhadapkan pada rsko dalam nvesas yang dlakukannya sehngga plhan nvesas dak dapa hanya mengandalkan pada reurn (ngka keunungan) yang dharapkan. Agar dapa dkeahu sampa sejauh mana nvesor bsa bernvesas dengan aman, dperlukan ala ukur unuk mengukur rsko. Salah saunya yau dengan menggunakan Value a Rsk (VaR). Unuk mengurang rsko yang danggung, nvesor dapa menyebar nvesasnya pada berbaga kesempaan nvesas. Kombnas berbaga sekuras dalam nvesas ersebu dnamakan porofolo. Memegang porofolo adalah bagan dar nvesas dan sraeg dalam membaas rsko yang dsebu dengan dversfkas. Unuk menyederhanakan analss dalam menenukan porofolo yang opmal maka akan dgunakan model ndeks. Selanjunya akan dseldk bobo (propors) dana yang dapa dnvesaskan pada masng-masng saham yang menyusun porofolo agar menghaslkan reurn porofolo yang maksmum dan ngka rsko (VaR) porofolo yang mnmum.. PERUMUSAN MODE. Penghungan Reurn Saham Indvdual dan Reurn Indeks Reurn adalah pendapaan yang akan derma jka ka mengnvesaskan uang pada suau akva fnansal (saham, oblgas) aau akva rl (propery, anah) (Ghozal, 007:55). Bla harga saham pada har ke- dan ke- masng-masng adalah sebesar P dan P ( ). Maka reurn saham adalah R = ln P P ( ) () Msalkan ndeks j pada saa ke- dan ke- adalah sebesar H dan H j( ). Sama halnya dengan penghungan reurn unuk saham unggal, maka reurn ndeks j yang dperoleh adalah: () I H = ln H j ( ). Model GARCH Bla I adalah varabel acak dar reurn ndeks ke- j pada aku, maka model me seres unuk menaksr mean dan varans reurn ndeks secara beruru-uru dapa duls sebaga berku p = φ + φ + a θ a, a = σ ε 0 k k l l k= l= q (3) 67

3 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 d mana { } m n = 0+ ka k + l l k= l= (4) σ α α βσ ε adalah uruan dar ndependen dencally dsrbued (d) varabel acak dengan mean 0 dan varans, α 0 > 0 dengan α 0 unuk =,,..., p dan β 0 unuk j=,,..., q. Persamaan (3) dan (4) merupakan persamaan mean dan volalas unuk reurn ndeks. Sehngga persamaan unuk meramalkan nla mean dan varans reurn ndeks dalam l langkah ke depan adalah dan ( ) 0 p k + l k l + l l k= l= q l = φ + φ + a θ a (5) m n ( ) = 0+ ka+ l k + l + l l k= l= σ l α α βσ (6) j.3 Model Indeks Berganda Model ndeks berusaha menyederhanakan analss porofolo sera prosedur analss unuk menenukan porofolo yang opmal. Hal n dapa dlakukan sebab dalam model ndeks dasumskan baha korelas reurn masng-masng sekuras erjad karena adanya respon sekuras ersebu erhadap perubahan ndeks erenu (Yula, Praseyo & jpono :996). Jka R merupakan reurn sekuras pada saa dan I adalah reurn ndeks ke- j pada aku, maka reurn sekuras adalah R = α+ βi + βi βi + ε ; =,,..., N (7) E R µ = E I, dengan mengambl ekspekas dar µ = dan I ( ) Msalkan ( ) persamaan (7) dan berdasarkan sfa pembenukan persamaan baha E( ε ) = 0, maka dapa dperoleh j I j= µ = α + β µ (8) Dengan asums baha E ( I µ )( I µ ) = 0 (7) adalah = j I + j= I k Ik dan E ε ( I µ ) = 0 I, maka varans σ β σ σ ε (9) Sehngga sandar devas unuk reurn saham ndvdual adalah = j I + j= σ β σ σ ε (0) Semenara berdasarkan pembenukan persamaan E ( I µ )( I µ ) = 0 ( I ) = 0 E ε µ I saham dengan reurn saham j yau σ β kβ jkσ Ik k sera asums baha ( ) 0 I k Ik dan E ε ε =, maka kovarans anara reurn = () 68

4 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00.4 Value a Rsk Value a Rsk ddefnskan secara umum sebaga kemungknan kerugan maksmum unuk suau poss erenu aau porofolo dalam confdence level yang elah dkeahu erhadap aku horzon spesfk (Redhead,997). Esmas VaR unuk saham ndvdual dengan koefsen kepercayaan ( α ) 00% adalah: ( ) VaR = S z α σ + µ () 0 d mana S 0 adalah besar nvesas aal, µ adalah mean reurn saham, σ sandar devas dar reurn saham, dan z α persenl dar dsrbus normal sandar unuk ngka konfdens α. Dengan demkan Value a Rsk unuk saham ndvdual berdasarkan model ndeks berganda dengan asums besar nvesas sebesar Rp.,00 adalah V ar z α ε = β jσ I + σ α + β jµ I j= j= (3).5 Invesas Porofolo Porofolo adalah sekelompok benuk nvesas (Fabozz, 999). Asumskan suau N porofolo erdr dar N asse, jka porofolo memlk bobo = (,,... N ), = maka ngka reurn porofolo dberkan oleh persamaan (Panjer, 998:373): N = R = R (4) Jka mean reurn saham ndvdual adalah µ, maka mean reurn porofolo ( µ ) adalah N µ = µ. Sedangkan varans reurn porofolo ( σ ) yau σ = j = N N = σ j j = j= d mana σ menunjukkan kovarans anara reurn saham dan reurn saham j unuk j. Value a Rsk porofolo unuk ngka sgnfkans kerugan sebesar α adalah VaR = z α σ µ..6 Opmsas Porofolo Asumskan baha vekor nla ekspekas adalah = ( µ, µ,..., µ N ) ( ) = N, dan marks kovarans adalah Σ = ( σ j ),, j,,..., N, j= N. Dengan bobo reurn porofolo = ( ) µ = E R,,,..., ( ) σ = Cov R R,,,,..., N = j j =, maka = e d mana = (,,...,) µ, dengan =, dengan,..., N d mana e adalah vekor denas. Sehngga berdasarkan asums d aas dperoleh: µ = E R = µ (5) ( ) ( ) σ = Var R = Σ (6) Dengan demkan Value a Rsk unuk porofolo dengan ngka sgnfkans kerugan sebesar α adalah 69

5 ( ) Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 V a R = z α Σ µ (7) Suau porofolo dengan bobo * dkaakan (mean-var) efsen jka dak ada porofolo dengan µ µ * dan VaR < VaR* (Panjer, 998:379). Unuk memperoleh porofolo yang efsen, gunakan fungs obyekf yau dengan memaksmumkan { τµ VaR}, τ 0 d mana τ menunjukkan olerans rsko dar nvesor. Sehngga dengan olerans rskoτ 0 harus dselesakan persoalan opmas ( ) m ax τ µ z α Σ + µ (8) dengan pembaas e =. Masalah d aas adalah masalah opmsas dengan fungs kendala persamaan. Sehngga unuk mencar vekor bobo opmal dar masalah d aas perlu ddefnskan fungs agrangean, yau (, λ) = ( τ + ) ( ) λ( + ) µ z α Σ e (9) Karena marks kovarans Σ merupakan sem-defne posf, fungs objekf adalah quadrac concave (Panjer, 998:380). alu dengan menggunakan eorema Kuhn-ucker, syara opmalas adalah z Σ = + µ + e = α ( τ ) λ 0 = e = 0. λ ( Σ ) Mn Unuk τ = 0, dperoleh suau VaR porofolo mnmum dengan vekor bobo. Berdasarkan perhungan aljabar dengan mengambl nla-nla B = + µ Σ e e Σ µ dan = µ Σ µ, dapa dperoleh nla dengan vekor bobo sebaga berku: M n Σ µ + λ Σ e = e Σ µ + λ e Σ e C z α λ = A = e Σ e, B + ( B 4 A C ) A Semenara unuk τ > 0, dperoleh porofolo opmum dengan vekor bobo *. Berdasarkan perhungan aljabar dan mengambl nla-nla A= e Σ e, B = (τ + )( µ Σ e + e Σ µ ) dan = ( τ + ) ( µ Σ µ ), dperoleh nla λ B + ( B 4 A C ) A (τ + ) Σ µ + λ Σ e * = (τ ) λ + e Σ µ + e Σ e =, dan vekor bobonya adalah C z α Mn Apabla vekor dsubsuskan ke dalam formula mean dan VaR porofolo, maka dapa dperoleh reurn porofolo dengan Value a Rsk mnmum. Dengan cara yang serupa, apabla vekor * yang dsubsuskan maka akan dperoleh reurn porofolo opmum. 3. ANAISIS KASUS Unuk aplkas dar meode yang elah dberkan d aas, danalss reurn saham dar empa perusahaan d Indonesa, yau Asra Inernaonal bk, Bank Rakya Indonesa bk, (0) () 70

6 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 elekomunkas Indonesa bk, dan Bank Mandr bk. Semenara daa ndeks yang danalss melpu ndeks ndusr dan ndeks ekonom. Unuk ndeks ndusr daa yang dgunakan adalah IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan), sedangkan unuk ndeks ekonom daa yang dgunakan adalah kurs nla ukar Rupah erhadap Euro, US Dollar, dan Yen. Daa harga saham dan daa ndeks yang dgunakan adalah daa dalam perode Januar 005 s.d. Desember 009 yang dperoleh melalu akses nerne. Unuk menyeldk nla mean dan varansnya, daa reurn ndeks danalss menggunakan model me seres. Melalu observas erhadap sejumlah model, akhrnya berdasarkan uj dagnosk menggunakan Eves 5 dperoleh hasl baha model yang cukup bak adalah AR()-GARCH(,) unuk daa IHSG, AR()-GARCH(,) unuk daa kurs nla ukar Rupah erhadap Euro, AR()-GARCH(,) unuk daa kurs nla ukar Rupah erhadap US Dollar, dan AR()-GARCH(,) unuk daa kurs nla ukar Rupah erhadap Yen. Unuk reurn IHSG dperoleh parameer model AR()-GARCH(,) yau: r = r + a σ = a σ + ε Unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap Euro, dperoleh parameer model AR()- GARCH(,) yau: r = r + a σ = a σ σ + ε Unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap US Dollar, dperoleh parameer model AR()- GARCH(,) yau: r = r + a σ = a a σ + ε Semenara unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap Yen, juga dperoleh parameer model AR()-GARCH(,) yau: r = r + a σ = a a σ + ε Adapun hasl forecasng langkah ke depan dar model mean dan varans reurn ndeks dsajkan dalam abel berku n abel Peramalan Mean dan Varans pada Reurn Keempa Indeks Indeks Mean Varans IHSG 0, ,0007 Kurs Rupah erhadap Euro -0, , Kurs Rupah erhadap USD -0,0006 0,00003 Kurs Rupah erhadap Yen 0, , Daa reurn pada keempa saham dregreskan erhadap reurn ndeks unuk mengeahu nla koefsen bea yang merupakan ngka sensvas perubahan reurn saham erhadap reurn ndeks. Haslnya dberkan pada abel berku n abel Model Regres pada Daa Reurn Keempa Saham Saham Model Regres R Asra BRI RA = 0, , 34I I 0, 36I E + 0, 400IU 0, 0507IY + ε A 50,7 (0,887) (0, 000) (0, 000) (0, 00) (0, 60) RB = 0, , 8I I 0, 0988I E 0,033I U 0,04I Y + ε B 49,8 (0, 797) (0,000) (0, 84) (0, 796) (0, 8) % % F 304, 8 94, 6 p- value 0,000 0,000 7

7 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 elko m Mand r R = 0, ,936I I 0, 00I E 0,49IU 0, 060IY + ε 45,8 (0,575) (0, 000) (0, 005) (0,35) (0, 79) % RM = 0, , 38I I 0,80I E 0, 075IU + 0,0IY + ε M 54,9 (0, 564) (0, 000) (0, 040) (0, 54) (0, 76) % 50, 9 36, 5 0,000 0,000 Adapun nla yang berada d baah penduga pada persamaan regres lner berganda merupakan nla probablas observas sebaga ukuran ngka keelan unuk pengujan hpoess. Unuk menguj sgnfkans model regres dan parameernya, dgunakan uj F dan uj. Dar hasl forecasng langkah ke depan unuk nla mean reurn ndeks, maka selanjunya dapa dperoleh mean reurn seap saham dengan menggunakan formula µ. Haslnya penaksrannya dberkan ke dalam benuk vekor µ = ( 0, , , , ). Berdasarkan hasl penaksran varans reurn ndeks dan koefsen bea, selanjunya desmas nla varans reurn saham dan kovarans reurn anar saham dengan menggunakan formula σ dan σ. Haslnya dberkan dalam benuk marks kovarans, dan nvers dar marks kovarans adalah sebaga berku: Persoalan opmsas dkembangkan berdasarkan (8) dengan menggunakan pengal agrange dan eorema Kuhn-ucker. alu dsesuakan dengan jumlah saham yang danalss, e = sebaga vekor denas. Dengan menggunakan ngka defnskan ( ) sgnfkans 5%, dperoleh hasl sebaga berku: Unuk olerans rsko τ = 0, menggunakan persamaan (0) dperoleh vekor bobo porofolo yang menghaslkan VaR mnmum, yau µ = ( 0,50 0,794 0, 560 0,544). Komposs porofolo n memberkan expeced reurn sebesar 0, dengan ngka VaR sebesar 0, Unuk olerans rsko τ =, menggunakan persamaan () dperoleh vekor bobo porofolo µ = ( 0,5 0,83 0, ,66). Komposs porofolo n memberkan expeced reurn sebesar 0,00076 dengan ngka VaR sebesar 0,0938. Unuk olerans rsko τ =, menggunakan persamaan () dperoleh vekor bobo porofolo µ = ( 0, 5 0, 8 5 0, , 6 8 7). Komposs porofolo n memberkan expeced reurn sebesar 0, dengan ngka VaR sebesar 0, Pada prnspnya besar olerans rsko mash dapa erus dngkakan, dengan syara bobo porofolo yang dhaslkan bernla 0 < <. Dalam kasus n nla maksmum olerans rsko adalah τ = 39, 0, d mana dhaslkan komposs porofolo dengan expeced reurn porofolo erngg yau sebesar 0, dengan VaR sebesar 0, Seap penngkaan nla olerans rsko akan menyebabkan kenakan nla mean reurn porofolo yang juga dsera dengan kenakan Value a Rsk porofolo. 7

8 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November 00 Gambar Effcen Froner Porofolo Seelah dperoleh porofolo-porofolo efsen, selanjunya berdasarkan komposs porofolo efsen yang menghaslkan mean reurn dan Value a Rsk porofolo dengan raso erbesar, dperoleh porofolo opmal. Adapun komposs porofolo yang memua raso expeced reurn dan VaR erbesar dapa dlha dalam abel 3 berku n: abel 3 Komposs Porofolo Opmal τ Bobo µ VaR V a R 7,00 0,6688 0,98 0,34 0,796 0, , , ,50 0,6740 0,3084 0,38 0,8354 0, , , ,00 0,6793 0,34 0,37 0,8749 0, , ,0689 8,65 0,686 0,3447 0,3046 0,965 0, , ,0683* 9,00 0,6899 0,3559 0,9997 0,9545 0, , ,0688 9,50 0,6953 0,379 0,938 0,9946 0, , ,068 0,00 0,7006 0,3880 0,8763 0,3035 0, , , Dengan demkan ddapakan hasl baha porofolo opmal alah porofolo yang memberkan expeced reurn 0,00085 dengan ngka VaR sebesar 0, KESIMPUAN Reurn keempa saham yang elah danalss memberkan respon erhadap perubahan reurn ndeks. Model me seres unuk memodelkan mean dan volalas reurn ndeks adalah AR()-GARCH(,) unuk IHSG, model AR()-GARCH(,) unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap Euro, model AR()-GARCH(,) unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap US Dollar dan model AR()-GARCH(,) unuk reurn kurs nla ukar Rupah erhadap Yen. Hasl opmsas porofolo berdasarkan mean-value a Rsk menunjukkan baha seap penngkaan olerans rsko menyebabkan kenakan nla expeced reurn porofolo yang juga dsera dengan kenakan ngka Value a Rsk porofolo. Berdasarkan komposs porofolo efsen yang menghaslkan mean reurn dan Value a Rsk porofolo dengan raso erbesar, dperoleh porofolo opmal yau porofolo yang memberkan expeced reurn senla 0,00085 dengan ngka Value a Rsk sebesar 0, µ 73

9 Prosdng Semnar Nasonal Saska Unversas Padjadjaran, 3 November DAFAR PUSAKA Fabozz Frank J Manajemen Invesas Eds Perama. Jakara : Salemba. Ghozal, I Manajemen Rsko Perbankan. Semarang. Halm, A Analss Invesas. Jakara : Penerb Salemba Empa (P Salemba Empa Para). Panjer, H.H., Boyle, D.D., Cox, S.H., Dufresene, D., Gerber, H.U., Mueller, H.H., Pedersen, H.W., & Plska, S.R Fnancal Economcs. Wh Applcaon o Invesmens, Insurance and Pensons, he Acuaral Foundaon, Schaumberg, Illnos. Redhead, Keh Fnancal Dervaves: An Inroducon o Fuure, Forards, Opons and Saps. Prence Hall Europe. Yula, Sr Handaru, Praseyo, Handoyo & jpono Fandy Manajemen Porofolo dan Analss Invesas. Yogyakara: Penerb ANDI. 74