PERBAIKAN METODE ITERASI YANG DIPERKENALKAN YOONMEE HAM UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Mis Mayra 1, Aziskhan 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 PERBAIKAN METODE ITERASI YANG DIPERKENALKAN YOONMEE HAM UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Mis Mayra 1, Aziskhan 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293), Indonesia mismayra94@gmail.com ABSTRACT We discuss an improvement of method proposed by Ham, Y. [Applied Mathematics and Computational. 222: ]. Analytically we show that by adding some conditions on the weight functions, the proposed method is of order five or six. Numerical comparison shows that the proposed iterative methods with different weight functions do not have significant differences in terms of the number of iteration in obtaining the root. Keywords: Nonlinear equations, YoonMee Ham method, Orde of convergence. ABSTRAK Artikel ini membahas perbaikan dari metode yang didiskusikan Ham, Y. [Applied Mathematics and Computational. 222: ]. Secara analitik ditunjukkan bahwa dengan menambahkan syarat pada fungsi bobot yang digunakan, metode yang diusulkan mempunyai orde kekonvergenan lima dan enam. Perbandingan komputasi menunjukkan bahwa metode-metode iterasi yang diusulkan dengan fungsi bobot yang berbeda tidak mempunyai perbedaan yang signifikan dalam hal jumlah iterasi untuk menemukan akar. Kata kunci: Persamaan nonlinear, metode YoonMee Ham, Orde konvergensi. 1. PENDAHULUAN Menyelesaikan persamaan nonlinear yang berbentuk fx) = 0 merupakan permasalahan yang umum dibahas dan yang penting dalam analisis numerik. Penyelesaian persamaan nonlinear dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode analitik dan metode numerik. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari akar dari persamaan nonlinear. Metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan persamaan nonlinear adalah metode Newton, yang konvergensinya kuadratik untuk persamaan nonlinear. Oleh karena itu perlu JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

2 dilakukan modifikasi metode Newton untuk diterapkan pada persamaan nonlinear, dengan tujuan untuk mempercepat iterasi dan memperkecil tingkat kesalahan error). Bentuk umum metode Newton adalah sebagai berikut x n+1 = x n fx n), n = 0, 1, 2,, 1) f x n ) dengan f x n ) 0. Pada artikel ini dibahas perbaikan metode iterasi yang diperkenalkan YoonMee Ham untuk menyelesaikan persamaan nonlinear yang merupakan review sebagian dari artikel Liang Fang. [4] yang berjudul Some modifications of Newton s method with hinger-order convergence for solving nonlinier equations. Pembahasan dimulai dengan memperkenalkan metode YoonMee Ham, dengan menggunakan φ p dimana p = 2 yang berarti orde dua. Kemudian pada bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham menghasilkan orde konvergensi lima. Namun, ini tidaklah benar, karena orde konvergensi bentuk pertama metode iterasi Yoon- Mee Ham adalah empat. Kemudia Metode YoonMee Ham melakukan perbaikan dari bentuk pertama metode iterasi dengan menambahkan fungsi bobot Hx n, y n ) yang bertujuan untuk menaikkan orde konvergensinya sampai orde lima dan enam. Pada bagian tiga dilakukan perbandingan numerik persamaan nonlinear terhadap beberapa fungsi uji. Pada artikel ini digunakan tanda titik. sebagai ganti tanda koma, untuk memisahkan digit desimal. 2. PERBAIKAN METODE ITERASI YANG DIPERKENALKAN YOONMEE HAM Pada Artikel ini dibahas mengenai proses terbentuknya metode iterasi YoonMee Ham yaitu sebagai berikut 2.1 Metode YoonMee Ham Metode YoonMee Ham [4] mengajukan dan menganalisis metode iterasi dua langkah z n = φ p x n ), 2) x n+1 = z n Hx n, y n ) fz n) f x n ), 3) dengan φ p fungsi iterasi berorde p dan Hx, y) fungsi yang yang akan ditentukan kemudian dimana y n = x n fx n) f x n ). YoonMee Ham mengatakan bahwa metode yang diberikan pada persamaan 2) dan 3) adalah berorde p + 3 jika Hx, y) memenuhi syarat berikut: Hα, α) = 1, H x α, α) = f α) f α), f α) f α) H yα, α) + H xx α, α) = f α) f α), 4) JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

3 dengan α adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear fx) = Bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham Diberikan x 0 dan hitung x n+1 dengan metode iterasi berikut dimana fungsi x n+1 = z n Hx n, y n ) fz n) f x n ), 5) z n = x n fx n) f x n ), 6) Hx, y) = f x) + f y) 3f y) f x), 7) yang memenuhi syarat 4) konvergen secara kuadratik. Bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham mestilah konvergen dengan orde lima. Namun, ini tidaklah benar, karena orde konvergensinya empat. Teorema 1 Orde Konvergensi) Misalkan α I akar sederhana dari fungsi f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval buka I. Jika nilai awal x 0 cukup dekat ke α, dan Hx, y) memenuhi syarat 4), maka orde konvergensi bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham yang didefinisikan oleh 3) adalah empat, dan metode iterasi ini memenuhi persamaan galat dimana c 2 = f α)/2f α)). Bukti e n+1 = c 3 2e 4 n + Oe 5 n), Misalkan α adalah akar sederhana dari fx), c k = f k) α), k = 2, 3,..., k!f α) dan e n = x n α. Akan ditinjau fungsi iterasi F x) yang di definisikan oleh ) f x) + f zx)) fzx)) F x) = zx) 3f zx)) f x) f x), 8) dimana zx) = x fx) f x). 9) Bila disubstitusikan persamaan 9) ke persamaan 8) diperoleh F x) = x fx) ) f f x) x) + f zx)) fzx)) 3f zx)) f x) f x). 10) Kemudian di substitusikan x = α ke persamaan 10) dan mengingat fα) = 0 maka diperoleh F α) = α fα) ) ) f α) + f zα)) fα) f α) 3f zα)) f α) f α) F α) = α. 11) JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

4 Kemudian dengan cara yang sama dengan menggunakan Maple, maka didapat F α) = 0. 12) F α) = 0. 13) F α) = 0. 14) F 4) α) = 3 f α) ) 3 f α) ) 3. 15) Selanjutnya dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk F x n ) di sekitar x n = α, yaitu x n+1 = F x n ) = F α) + F α)x n α) + F α) x n α) 2 2! + F α) x n α) 3 + F 4) α) x n α) 4 + Ox n α) 5 ). 16) 3! 4! Dengan mensubstitusi persamaan 11) 15) ke persamaan 16) dan mengingat fα) = 0 diperoleh f α) ) 3 x n+1 = α 8 f α) ) 3 e4 n + Oe 5 n), karena c 2 = f α) 2f α) maka diperoleh e n+1 = c 3 2e 4 n + Oe 5 n). Maka dapat dikatakan orde konvergensi bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham adalah empat. 2.3 Perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham Untuk menaikkan orde konvergensi satu atau dua unit, dengan menambahkan funsi bobot Hx n, y n ). Untuk itu jika diberikan x 0, dihitung solusi taksiran x n+1 melalui metode iterasi berikut z n = φ 2 x n ) = x n fx n) f x), 17) x n+1 = z n Hx n, y n ) fz n) f x n ), 18) dimana Hx, y) mewakili suatu fungsi dua variabel yang akan ditentukan kemudian. Teorema 2 Orde Konvergensi) Misalkan α I adalah akar sederhana dari fungsi f : I R yang dapat diturunkan secukupnya pada interval buka I. Jika nilai awal x 0 cukup dekat ke α, dan Hx, y) memenuhi syarat Hα, α) = 1, H x α, α) = 2c 2, 2c 2 H y α, α) + H xx α, α) = 6c 3 2c 2 2, 19) JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

5 maka perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham mempunyai orde konvergensi lima. Jika Hx, y) memenuhi persamaan 19) dan c 2 H xxx α, α) + 6c 2 2 6c 3 )H xx α, α) + 6c 2 2Hα, α) = 12c c 2 c 4 36c 2 3, 20) maka perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham mempunyai orde konvergensi enam. Bukti Misalkan α adalah akar sederhana dari fx) = 0 maka fα) = 0 dan f α) 0. Misalkan jika e n = x n α. Selanjutnya akan dibuktikan Hα, α) dinyatakan dengan H, H x α, α) dinyatakan dengan H x, H y α, α) dengan H y, H xx α, α) dengan H xx, H xxx α, α) dengan H xxx. Maka dengan menggunakan ekspansi Taylor dari fx n ) disekitar x n = α maka diperoleh fx n ) = fα) + f α)x n α) + 1 2! f α)x n α) ! f α)x n α) ! f 4) α)x n α) ! f 5) α)x n α) ! f 6) α)x n α) 6 + Ox n α) 7. 21) Karena fα) = 0, e n = x n α, dan dengan menyatakan c k = f k) α), k = 2, 3,... k!f α) maka diperoleh ) fx n ) = f α) c 1 e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + c 5 e 5 n + c 6 e 6 n + Oe 7 n). 22) Selanjutnya dengan cara yang sama kembali dilakukan ekspansi Taylor untuk f x n ) disekitar x n = α, sehingga setelah disederhanakan diperoleh ) f x n ) = f α) 1 + 2c 2 e n + 3c 3 e 2 n + 4c 4 e 3 n + 5c 4 n + 6c 5 n + 7c 6 n + Oe 7 n). 23) Kemudian persamaan 22) dibagi dengan persamaan 23) maka diperoleh ) c 1 e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + c 5 e 5 n + c 6 e 6 n + Oe 7 n) fx n ) f x n ) = 1 + 2c 2 e n + 3c 3 e 2 n + 4c 4 e 3 n + 5c 5 e 4 n + 6c 6 e 5 n + 7c 7 e 6 n + Oe 7 n) Selanjutnya dengan menggunakan deret geometri [1] r = 2c 2 e n + 3c 3 e 2 n + 4c 4 e 3 n + 5c 5 e 4 n + 6c 6 e 5 n + 7c 7 e 6 n + Oe 7 n), dan setelah disederhanakan persamaan 24) menjadi fx n ) f x n ) = e n + c 2 e 2 n 2c 2 2 2c 3 )e 3 n 7c 2 c 3 3c 4 4c 3 2)e 4 n 10c 2 c 4 + 6c c 2 2c 3 4c 5 + 8c 4 2)e 5 n ). 24) + 33c 2 c 2 3 5c c 3 2c 3 28c 2 2c c 3 c c 2 c 5 16c 5 2)e 6 n + Oe 7 n). 25) JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

6 Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan 25) ke persamaan 2) diperoleh z n = α + c 2 e 2 n 2c 2 2 2c 3 )e 3 n 7c 2 c 3 3c 4 4c 3 2)e 4 n 10c 2 c 4 + 6c c 2 2c 3 4c 5 + 8c 4 2c 3 )e 5 n 33c 2 c 2 3 5c c 3 2c 3 28c 2 2c c 3 c c 2 c 5 16c 5 2)e 6 n + Oe 7 n). 26) Kemudian Taylor dari fz n ) disekitar z n = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi, karena mengingat persamaan 26) fα) = 0, dan e n = z n α, serta dengan menyatakan c k = f k) α), k = 2, 3,... maka diperoleh k!f α) fz n ) = f α) c 2 e 2 n + 2c 3 2c 2 2)e 3 n + 7c 2 c 3 + 3c 4 + 5c 3 2)e 4 n Selanjutnya dihitung fz n) f x n ), diperoleh + 6c c 5 12c c 2 c c 2 2c 3 )e 5 n + 17c 3 c c c c 2 2c 4 13c 2 c c 2 c 2 3 ) 73c 3 2c 3 )e 6 n + Oe 7 n). 27) fz n ) f x n ) = c 2e 2 n + 4c c 3 )e 3 n + 14c 2 c 3 + 3c c 3 2)e 4 n + 20c 2 c 4 12c c 5 38c c 2 2c 3 )e 5 n + 104c c 3 2c 3 26c 2 c c 2 c c 3 c 4 + 5c c 2 2c 4 )e 6 n + Oe 7 n). 28) Selanjutnya dihitung Hx n, y n ) dengan menggunakan teorema Taylor dua variabel [2] di sekitar α, α) dan hanya dengan memperhatikan sampai turunan ke empat yang akan menghasilkan suku yang memuat e 6 n maka diperoleh Hx n, y n ) = Hα, α) + H x α, α)x n α) + H y α, α)y n α) 2 + H xx α, α) x n α) + H xy α, α)x n α)y n α) 2 + H yy α, α) y 2 n α) + H xxx α, α) x n α) H xxy α, α) x n α) 2 y n α) 2 + H xxxx α, α) x n α) 4. 29) 24 Misalkan Hα, α) = H, H x α, α) = H x, H y α, α) = H y, H xx α, α) = H xx, H xy α, α) = H xy, H yy α, α) = H yy, H xxx α, α) = H xxx, H xxy α, α) = H xxy, JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

7 H xxxx α, α) = H xxxx maka diperoleh [ ] x n+1 = α + 1 H)c 2 e 2 n + 2c c 3 + 4c 22 2c 3 )H c 2 H x e 3 n [ + 4c 3 2 7c 2 c 3 + 3c 4 13c c 2 c 3 + 3c 4 )H + 4c 2 2 2c 3 )H x c 2 H y + 1 ] [ 2 H xx )c 2 e 4 n + 38c 4 2 4c c c 2 2c c 2 c 4 )H + 14c 2 c 3 13c 3 2 3c 4 )H x 8c 4 2 6c c 2 2c 3 10c 2 c 4 + 4c 5 + 4c 2 2 2c 3 ) c 2 H y + 1 ) 2 H xx + 2c 22 2c 3 )c 2 H y 1 6 c 2H xxx c 22H ] xy [ + 5c 5 13c 2 c 5 17c 3 c c 2 2c c 2 c c 3 2c c c 5 2 5c c 3 c c 2 c c 3 2c 3 90c 2 2c 4 103c 2 c 2 3)H + 38c c 2 3 4c c 2 c 4 64c 2 2c 3 )H x + 25c 4 2 4c c 2 2c 3 3 6c 2 c 4 )H y + 2c 3 2 2c 2 c 3 )H xy + 2 c 4 + 2c c 2c 3 )H xx + 1 ) 2 c3 2 H yy + 1 ) 2 c2 2 H xxy c ) 3 c2 2 H xxx + 1 ] 24 c 2 )H xxxx e 6 n + Oe 7 n). 30) Karena e n+1 = x n+1 α dan untuk membuktikan orde konvergensi perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham adalah lima, jika dipilih H = 1, H x = 2c 2, c 2 H y + H xx 2 = 3c 3 c 2 2, 31) pada persamaan 3), maka akan diperoleh [ e n+1 = 2c c 2 2c 3 + 4c 2 c 4 6c c 3 c 2 2)H xx 1 6 c 2H xxx c 2 2H xy ]e 5 n + Oe 6 n). Selanjutnya untuk membuktikan orde konvergensi perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham adalah enam, jika memenuhi persamaan 31) dan c 2 H xxx + 6c 2 2 6c 3 )H xx + 6c 2 2H xy = 12c c 2 c 4 36c 2 3, pada persamaan 3), maka akan diperoleh [ e n+1 = 1 24 c 2H xxxx + 2c 3 2 2c 2 c 3 )H xy + 2c c 2c ) 2 c 4 H xx e 5 n 1 2 c3 2H yy 1 2 c2 2H xxy + 93c c 3 c 4 208c c 2 2c c 2 c 2 3 8c 2 c 5 ]e 6 n + Oe 7 n). JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

8 3. BEBERAPA KASUS KHUSUS Pada bagian ini dibahas kasus khusus untuk beberapa fungsi Hx, y) pada perbaikan bentuk pertama metode iterasi YoonMee Ham yaitu 1. H 1 x, y) = 3f x) + f y) f x) + 5f y), 2. H 2 x, y) = 5f x)) 2 2f x)f y) + f y)) 2, 4f x)f y) 3. H 3 x, y) = 3f x)) 2 + f y)) 2 2f x)f y) + 2f y)), 2 4. H 4 x, y) = 4f x)) 2 f x)) 2 6f x)f y) + f x)) 2, 5. H 5 x, y) = 5f x)) 2 + 3f y)) 2 f x)) 2 + 7f y)) 2, 6. H 6 x, y) = 6f x)) 2 + f x)f y) + f y)) 2 fx)) 2 + 7f x)f y) + 2f y)) PERBANDINGAN NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji komputasi untuk membandingkan kecepatan dalam menemukan akar hampiran dari persamaan nonlinear antara metode iterasi baru berorde lima pada persamaan 3) dengan metode Newton pada persamaan 1). Berikut ini diberikan beberapa fungsi yang juga telah digunakan pada [4] untuk membandingkan metode-metode tersebut. 1. f 1 x) = x 2 e x 3x f 2 x) = sin 2 x) x f 3 x) = x 1) f 4 x) = e x2 +7x f 5 x) = xe x2 sin 2 x) + 3 cosx) + 5 Untuk melakukan uji komputasi dari kelima contoh persamaan nonlinear di atas, digunakan program Maple 13 dengan toleransi Untuk mendapatkan solusi numerik dari kelima contoh fungsi di atas, terlebih dahulu ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode yang dibandingkan, yaitu x n x n 1 < toleransi atau fx n ) < toleransi. Perbandingan hasil komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

9 Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi Metode n x n fx n ) x n x n 1 f 1 x) x 0 = 3.6 MN e e 14 FLM e e 07 FLM e e 03 FLM e e 04 FLM e e 05 FLM e e 03 FLM e e 09 x 0 = 1 MN e e 13 FLM e e 04 FLM e e 03 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 03 FLM e e 11 f 2 x) x 0 = 4.86 MN e e 12 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 08 x 0 = 1.6 MN e e 14 FLM e e 05 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 05 FLM e e 04 FLM e e 12 JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

10 f 3 x) x 0 = 3.2 MN e e 14 FLM e e 06 FLM e e 05 FLM e e 05 FLM e e 05 FLM e e 04 FLM e e 10 x 0 = 2.2 MN e e 13 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 04 FLM e e 11 f 4 x) x 0 = 4 MN e e 11 FLM e e 07 FLM e e 06 FLM e e 07 FLM e e 05 FLM e e 16 FLM e e 13 x 0 = 4.5 MN e e 13 FLM e e 06 FLM e e 09 FLM e e 12 FLM e e 13 FLM e e 05 FLM e e 15 JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

11 f 5 x) x 0 = 4.2 MN e e 13 FLM e e 15 FLM e e 08 FLM e e 10 FLM e e 09 FLM e e 05 FLM e e 10 x 0 = 5.8 MN e e 10 FLM e e 06 FLM e e 10 FLM e e 04 FLM e e 10 FLM e e 16 FLM e e 09 Berdasarkan Tabel 1, tampak bahwa semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua contoh fungsi yang diberikan. Pada semua contoh tampak bahwa metode FLM1 FLM6 memerlukan iterasi yang relatif sedikit atau sama jika dibandingkan dengan metode Newton. Jika dilihat dari tebakan awal FLM1 FLM5 mempunyai jumlah iterasi yang sama dengan tebakan awal yang sama juga, sementara FLM6 dan metode Newton memiliki jumlah iterasi yang lebih besar. JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari

12 Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M.,M.Sc.yang telah memberikan arahan dan bimbingan penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle, R. G. & Sherbert, R. D Inroduction to Real Analysis, 4 th Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [2] Burden, R. L. & J. D. Faires Numerical Analysis, 9 th Ed. Brooks Cole., New York. [3] Ham, Y Some higher-order modifications of Newton s method for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and Computational. 222: [4] Fang, L & Guoping,H Some modifications of Newton s method with hingher-orde convergence for solving nonlinear equations. Applied Mathematics and Computational, 228: JOM FMIPA Volume 2 No.1 Februari