KELUARGA BARU METODE ITERASI BERORDE LIMA UNTUK MENENTUKAN AKAR SEDERHANA PERSAMAAN NONLINEAR. Rio Kurniawan ABSTRACT

Transkripsi

1 KELUARGA BARU METODE ITERASI BERORDE LIMA UNTUK MENENTUKAN AKAR SEDERHANA PERSAMAAN NONLINEAR Rio Kurniawan Mahasiswa Program Studi S Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru riokurniawan math0@yahoo.com ABSTRACT This article discusses iterative methods formed by combining Newton s method and an iterative method with a correction function that depends on the value of the function and values of the two derivative functions. Analytically it is demonstrated that the proposed method is of order five. Numerical computation shows that the method is comparable with the existing methods in the same class. Keywords: Newton s method, iterative method, order of convergence ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan metode iterasi yang dibentuk dengan menggabungkan metode Newton dan metode iterasi yang diberi fungsi koreksi yang bergantung kepada satu fungsi dan dua turunan fungsi. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode yang diusulkan berorde lima. Komputasi numerik menunjukkan metode yang dihasilkan sebanding dengan metode sekelas yang ada. Kata kunci: Metode Newton, metode iterasi, orde kekonvergenan. PENDAHULUAN Pendekatan matematika dalam berbagai bidang ilmu yang sering muncul adalah bagaimana menemukan solusi dari persamaan nonlinear yang berbentuk fx = 0. Untuk mendapatkan solusi persamaan, salah satu metode numerik klasik yang populer adalah metode Newton, dengan bentuk iterasi x n = x n fx n, n = 0,, 2,, f x n

2 dengan f x n 0. Metode Newton memerlukan sebuah nilai tebakan awal untuk memulainya dan jika tebakan awal cukup dekat ke akar α, maka metode Newton memiliki orde kekonvergenan kuadratik [2, h ]. Pada dekade terakhir banyak dikembangkan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diantaranya adalah metode yang dikembangkan oleh Fang [3], Grau [5] dan Kou [6]. Pada artikel ini direview metode yang dikembangkan oleh Ghanbari [4], yang disajikan dalam artikel yang berjudul A new family of nonlinear fifth-order solvers for finding simple roots. Pembahasan dimulai dengan melakukan penurunan terhadap metode iterasi baru. Kemudian dilanjutkan dengan kajian analisa kekonvergenan untuk menunjukkan keluarga baru metode iterasi ini memliki konvergensi berorde lima. Pada bagian selanjutnya, dilakukan perbandingan numerik terhadap metode Newton NM, metode Fang FM, metode Grau GM dan metode Kou KM, dengan menggunakan program Maple3. 2. KELUARGA BARU METODE ITERASI BERORDE LIMA Diberikan bentuk iterasi umum berikut dengan x n = y n Hu n, v n, 2 y n = x n fx n f x n, 3 dan Hu n, v n fungsi yang akan ditentukan kemudian. Untuk mendapatkan iterasi yang lebih umum, Ghanbari [4] mempertimbangkan bentuk fungsi Hu, v dengan bentuk sebagai berikut Hu, v = 3 u 5u v gv 2 gv hv. 4 2 Dari persamaan 4, jika dimisalkan parameter g = 0 dan parameter h =, maka akan diperoleh metode iterasi sebagai berikut Hu, v = Dengan mensubstitusikan u n = f y n f x n dan v n = fy n f x n Hu, v = 3 f y n f x n 5 f y n f x n 3 u 5u v v. 5 2 fy n f x n fy n 2 f x n 2 ke persamaan 5 diperoleh Hu, v = 3f x n f y n f x n 5f y n f x n fy n f 2 x n f 2 y n. 6 2

3 Jika persamaan 6 disubstitusikan ke persamaan 2 maka diperoleh dengan x n = y n 3f x n f y n f x n 5f y n f x n fy n f 2 x n f 2 y n, 7 y n = x n fx n f x n. 8 Persamaan 7 dan 8 disebut metode Behzad Ghanbari pertama BGM. Jika dipilih parameter g = 2 dan parameter h = dari persamaan 4, maka diperoleh metode iterasi berikut Hu, v = 3 u 5u v 2v 2 2v v. 9 2 Dengan mensubstitusikan kembali u n dan v n kepersamaan 9 diperoleh Hu, v = 3 f y n f x n 5 f y n f x n fy n f x n 2 fy n 2 f x n 2 2 fy n f x n fy n 2 f x n 2 Hu, v = 3f x n f y n f x n 5f y n 2fy n f x n fy n f x n fy n fy n f x n. 0 Jika persamaan 0 disubstitusikan ke persamaan 2 maka diperoleh dengan x n = y n 3f x n f y n f x n 5f y n 2fy n f x n fy n f x n fy n fy n f x n, y n = x n fx n f x n. 2 Persamaan dan 2 disebut metode Behzad Ghanbari kedua BGM2. Teorema Orde Konvergensi BGM Misalkan f : I R R adalah fungsi yang kontiniu dan mempunyai turunan secukupnya pada interval buka I. Misalkan x 0 dipilih cukup dekat ke akar sederhana α dari f, dengan α dalam I, maka BGM yang didefinisikan pada persamaan 7 dan 8 memiliki orde lima. Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari fungsi f. Tinjau fungsi iterasi F yang didefinisikan pada persamaan 7 dan 8, sehingga F x = yx 3f x f yx f x 5f yx f xf yx f 2 x f 2 yx, 3 3

4 dengan yx = x fx f x. Bila disubstitusikan x = α terhadap persamaan 3 dan karena fα = 0 maka diperoleh F α = yα 3f α f yα f α 5f yα f αfyα f 2 α f 2 yα = α fα f α 3f α f f αf yα f α 5f yα α fα f α f 2 α f 2 yα = α fα f α 3f α f yα f α 5f yα f αfα f 2 α f 2 yα F α = α. Selanjutnya dengan menurunkan persamaan 3 terhadap x diperoleh F x = fxf x f x 2 3f x f yxfxf x f xfyx f x 2 f x 5f yx f x 2 fyx 2 f x 5f yxfxf x f x 2 3f x f yx f xfyx f x 5fyx 2 f x 2 fyx 2 3f x f yx f xfyx f x 5fyx f x 2 fyx 2 3f x f yx f yxfxf x f x 5fyx f x f x 2 fyx 2 f x 5f yx f x 2 fyx 2 2 3f x f yxf xfyx 2f xf yx 2fyxf yxfxf x f x 2 Bila disubstitusikan x = α terhadap persamaan 4 dan karena fα = 0 maka 4 4

5 diperoleh F α = fαf α f α 2 3f α f yαfαf α f αfyα f α 2 f α 5f yα f α 2 fyα 2 f α 5f yαfαf α f α 2 3f α f yα f αfyα f α 5fyα 2 f α 2 fyα 2 3f α f yα f αfyα f α 5fyα f α 2 fyα 2 3f α f yα f yαfαf α f α 5fyα f α f α 2 fyα 2 f α 5f yα f α 2 fyα 2 2 3f α f yαf αfyα = 2f αfα f α 2 fα 2 2f α f αf α f α 2 fα 2 2 F α = 0. 2f αf yα 2fyαf yαfαf α f α 2 Kemudian dengan cara yang sama dengan menggunakan Maple3, maka didapat F α = 0. F α = 0. F 4 α = 0. F 5 α = 5f α 2 4f αf α 9f α 2 4f α 4. Sehingga dengan menggunakan definisi orde kekonvergenan [, h. 56], maka metode BGM memiliki orde konvergensi lima. Teorema 2 Orde Konvergensi BGM2 Misalkan f : I R R adalah fungsi yang kontiniu dan mempunyai turunan secukupnya pada interval buka I. Misalkan x 0 dipilih cukup dekat ke akar sederhana α dari f, dengan α dalam I, maka metode BGM2 yang didefinisikan pada persamaan dan 2 memiliki orde lima Bukti. Misalkan α adalah akar sederhana dari fungsi f. Tinjau fungsi iterasi F yang didefinisikan pada persamaan dan 2, sehingga F x = yx 3f x f yx f x 5f yx 2f yx f x fyx f x fyx fyx f x, 5 dengan yx = x fx f x. 5

6 Bila disubstitusikan x = α terhadap persamaan 5 dan karena fα = 0 maka diperoleh F α = yα 3f α f yα f α 5f yα 2f yα f α fyα f α = α fα f α 3f α f yα f α 5f yα f f α fα f α α fα f f α α f fyα fyα f α 2f yα f α α fα f f α α = α fα f α 3f α f yα f α 5f yα 2f yα f α fα f α F α = α. Selanjutnya dengan menurunkan persamaan 5 terhadap x diperoleh F x = fxf x f x 2 fα fα f α 3f x f yxfxf x 2fyx f xfyx f x 2 f x 5f yx f x fyx 2 2f 3f x f yxfxf x yx f x fyx f x 2 f x 5f yx f x fyx 2 f x 5fyx 2 3f x f x 2 fyx 2 f yx 2fyx f xfyx f x 5f yxfxf x f x 2 23f x f x 5fyx f x 2 fyx 3 f f yx2fyx f yxfxf x xfyx f x f x 2 3f x f yx 2fyx f xf yxfxf x f x 5fyx fyx f x 2 f x 2 6 Bila disubstitusikan x = α terhadap persamaan 6 dan karena fα = 0 maka 6

7 diperoleh 2f F α = fαf 3f α f yαfαf α yα f α fyα α f α 2 f α 2 f α 5f yα f α fyα 2 3f α f yαfαf α 2fyα f αfyα f α 2 f α 5f yα f α fyα 2 f α 5fyα 2 3f α f yα f α 2 fyα 2 2fyα f αfyα f α 5f yαfαf α f α 2 23f α f yα f α 5fyα f α 2 fyα 3 f 2fyα f yαfαf α αfyα f α f α 2 3f α f yα 2fyα f αf yαfαf α f α 5fyα fyα f α 2 f α 2 = 22fα f αfαf α fα f α 3 F α = 0. f α2fα f αfα f αfα f α 2 f αfα fα f α 2 Kemudian dengan cara yang sama dengan menggunakan Maple 3, maka didapat F α = 0. F α = 0. F 4 α = 0. F 5 α = 5f α 2 4f αf α 9f α 2 4f α 4. Sehingga dengan menggunakan definisi orde kekonvergenan [, h. 56], maka metode BGM2 memiliki orde konvergensi lima. 3. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari NM, FM, GM, KM, BGM dan BGM2 dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah: f = x 3 4x 2 0 f 2 = x 2 e x 3x 2 f 3 = xe x2 sin 2 x 3cosx 5 f 4 = sinxe x lnx 2 7

8 Untuk melakukan uji komputasi dari keempat contoh tersebut, digunakan program Maple3 dengan toleransi.0e-50. Untuk mendapatkan solusi numeriknya, terlebih dahulu ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk setiap metode, yaitu. Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 2. Jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari tolerasnsi yang diberikan. 3. Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Hasil komputasi untuk setiap metode yang dibandingkan diberikan pada Tabel. Berdasarkan komputasi numerik, tidak terlihat perbedaan yang cukup berarti antara NM, FM, GM, KM, BGM dan BGM2 baik dari segi iterasi maupun dari tingkat kesalahan error. Namun, dalam beberapa contoh fungsi dengan tebakan awal tertentu, BGM dan BGM2 cukup cepat mencapai akar pendekatan. Berdasarkan Tabel semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari contoh fungsi yang diberikan, baik dalam persoalan polynomial, sinus ataupun eksponensial. Tampak bahwa untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear, jumlah iterasi yang diperlukan oleh metode Newton lebih banyak jika dibandingkan dengan semua metode pembanding yang berorde lima. Hal ini dikarenakan metode Newton memiliki orde kekonvergenan kuadratik. Namun untuk kebanyakan kasus, metode Newton memerlukan evaluasi fungsi yang relatif sedikit jika dibandingkan dengan metode pembanding lain. Dari semua metode pembanding, dapat dilihat juga bahwa tidak tampak perbedaan yang signifikan antara semua metode pembanding untuk mencapai jumlah iterasi. Namun, dalam beberapa contoh fungsi dengan tebakan awal tertentu, metode baru yaitu metode BGM dan metode BGM2 yang telah ditemukan cukup cepat dalam menemukan akar pendekatan dibandingkan dengan metode pembanding lain. Hal ini dapat dilihat dari contoh pada fungsi f 3 dengan tebakan awal 2.0 dan contoh pada fungsi f 6 dengan tebakan awal 3.5. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Imran M., M.Sc. dan Bapak Drs. Sigit Sugiarto, M.Si. yang telah memberikan arahan dan masukan dalam penulisan artikel ini. 8

9 Tabel : Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi Metode n x n fx n x n α COC f x x 0 = 3.0 NM e e FM e e GM e 23 2.e KM e e BGM e e BGM e e x 0 =.0 NM e e FM e e GM e e KM e e BGM e e BGM e e f 2 x x 0 = 0.0 NM e e FM e e GM e e KM e e BGM e e BGM e e x 0 =.0 NM e e FM e e GM e e KM e e BGM e e BGM e e f 3 x x 0 =.0 NM e 63.8e FM e e GM e e KM e e BGM e e BGM e e x 0 = 2.0 NM e 8.875e FM e e GM e e KM e 92.96e BGM e e BGM e e

10 f 4 x x 0 =.0 NM e e FM e e GM e e KM e e BGM e e BGM e e x 0 = 0. NM e e FM e e GM e e KM e e BGM e 94.23e BGM e 94.2e DAFTAR PUSTAKA [] K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, Second Ed., John Wiley and Sons, New York, 989. [2] W. Cheney dan D. Kincaid, Numerical Methods for Mathematics and Computing, Sixth Ed., Brooks Publishing Company, California, [3] L. Fang, L. Sun dan G. He, An efficient Newton-type method with fifth-order convergence for solving nonlinear equation, Computational and Applied Mathematics, , [4] B. Ghanbari, A new family of nonlinear fifth-order solver for finding simple roots, Applied Mathematics, 3 202, [5] M. Grau dan J. L. Diaz-Barrero, An improvement of the Euler-Chebysev iterative method, Mathematical Analysis and Applications, , 7. [6] J. Kou dan Y. Li, The improvements of Chebysev-Halley methods with fifthorder convergence, Applied Mathematics and Computation, ,