Solusi Numerik Persamaan Transport dengan RBF

Transkripsi

1 Solusi Numerik Persamaan Transport dengan RBF Unpublished M. Jamhuri UIN Malang March 30, 013

2 Hampiran RBF RBF singkatan dari radial basis function φ(r), adalah sebuah fungsi kontinu dengan satu peubah yang radial terhadap norm euclid di R d. Salah satu bentuk RBF yang banyak digunakan adalah fungsi basis multiquadric (MQ). Fungsi basis MQ pertama kali diperkenalkan oleh seorang ahli Geodesi Roland Hardy [] yang menjelaskan sekaligus memberikan nama metode tersebut pada tahun Fungsi basis yang digunakan Hardy adalah φ(r; a) = a + r (1) dimana r = x dan a adalah sebuah parameter yang harus ditentukan. Kombinasi linier dari fungsi basis (1) diatas dapat digunakan untuk menginterpolasi suatu fungsi maupun turunan-turunannya [1]. Misalkan diberikan suatu himpunan titik-titik center x c 1,xc,, xc N di Rd, interpolasi RBF terhadap suatu fungsi didefinisikan sebagai s (x) = α j φ(r) () dengan r = x xj = x 1 + +x d Koefisien α ditentukan dengan menggunakan kondisi interpolasi yang diberikan s (x i ) = f (x i ) (3)

3 Hampiran Turunan Fungsi Dengan kelinierannya, perluasan RBF () menurut Nam-May-Duy [3]dapat digunakan untuk mencari nilai hampiran dari turunan fungsi sebagai x i s (x) = α j x i φ(r) (4) Untuk fungsi dengan dua peubah (D), f (x, y), hampiran turunan parsial terhadap x didefinisikan sebagai f N x α j φ(r) (5) x sedangkan hampiran turunan parsial terhadap y didefinisikan sebagai f y untuk turunan kedua terhadap x, dapat digunakan f x α j φ(r) (6) y α j xφ(r) (7) untuk turunan yang lebih tinggi atau turunan terhadap variabel yang lain dapat digunakan cara yang sama.

4 Contoh dan Simulasi Misalkan diberikan sebuah fungsi dengan dua peubah f (x,y) = 1 sin(6x y + 4) (8) Untuk mencari hampiran dari f (x, y), kita gunakan persamaan(), yaitu ( ) ( ) dimana r = x xj c + y yj c. α j φ(r) = 1 sin(6x y + 4) (9) untuk x = (x 1,...,x N ) dan y = (y 1,...,y N ), maka φ adalah matriks yang berukuran N N dan koefisien α dapat dianggap sebagai matriks yang berukuran N 1, sehingga persamaan (9) merupakan sistem persamaan linier yang dapat dituliskan sebagai persamaan matriks Aw = B (10) dengan B adalah matriks yang berukuran N 1 yang entri-entrinya adalah f (x i,y i ), dan A matriks yang entri-entrinya adalah φ ( r ij ) = ( x i x c j ) ( ) + y i yj c + a dan B adalah matrik yang entri-entrinya adalah koefisien α j.

5 Jika kita tinjau sistem persamaan (10), maka koefisien interpolan (w) dapat dengan mudah diperoleh yaitu w = A 1 B (11) asalkan A punya invers. Selanjutnya hampiran dari f dapat diperoleh dengan cara x [ ] f x x φ( ) r ij w (1) Sedangkan untuk f y yaitu, [ ] f y y φ( ) r ij w (13) Jika kita menginginkan turunan parsial kedua terhadap x, maka [ f ] x ) y φ( r ij w (14)

6 Hasil Simulasi: (a) hasil analitik (atas), (b) hasil numerik RBF (bawah)

7 Gambar dari Error Mutlak Gambar paling kiri adalah error mutlak dari fungsi asal dengan fungsi pendekatannya f (x,y) s(x,y). Gambar di tengah adalah error mutlak dari turunan parsial x dengan hampirannya f x (x,y). x s (x,y) Gambar paling kanan adalah error mutlak dari turunan parsial terhadap y dengan hampirannya f y (x,y). y s (x,y)

8 Persamaan Transport Misalkan diberikan persamaan transport dengan kondisi batas pada domain 1 x 1, dan y. Solusi analitik dari persamaan transport (15) adalah u x + 6u y = 0 (15) u(x,1) = 1 sin(6x + 3) (16) u(x,y) = f (6x y) (17) Jika kondisi batas pada (16) diterapkan pada (17), maka diperoleh f (6x 1) = 1 sin(6x + 3) (18) misalkan β = 6x 1 makax = β+1. kemudian substitusikan x pada ruas kanan 6 dari (18), diperoleh f (β) = 1 sin(β + 4) (19) Jika (6x y) disubstitusikan kembali pada β pada persamaan (19) diperoleh f (6x y) = 1 sin(6x y + 4) jadi solusi khusus dari (15) dengan kondisi batas (16) adalah u(x,y) = 1 sin(6x y + 4) (0)

9 Solusi Numerik Pers. Transport dengan RBF Untuk menyelesaikan (15) secara numerik dengan rbf, gunakan persamaan (1) dan (13) untuk menggantikan turunan-turunan parsial dari (15), yaitu u x + 6u y = 0 α j x φ( ) N r ij + 6 α j y φ( ) r ij [ ] α j x φ( ) r ij + 6 y φ( ) r ij = 0 ( ) ( ), dimana r ij = x i xj c + y i dj c dan φ(r) = r + a. Berikutnya kondisi batas (16) kita aproksimasi sebagai u(x i, 1) = 1 sin(6x i + 3) = 0 (1) α j φ(r) = 1 sin(6x i + 3) () ( ) dengan r ij = x i xj c +(yi 1).

10 Hasil Simulasi Persamaan Transport Solusi numerik dari persamaan (15), (16) dapat diperoleh dengan cara menentukan koefisien {α} N dari sistem persamaan (1) dan () secara bersama-sama. Berikutnya gunakan {α} N yang tak lain adalah koefisien interpolan atau biasa disebut bobot pada masalah jaringan syaraf tiruan untuk memperoleh solusi dari persamaan transport (15) sebagai u(x,y) = α j φ ( ) r ij (3)

11 Referensi Laurene Fausett. Fundamentals of Neural Networks: architectures, algorithms, and applications. PT Erlangga, R. Hardy. Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces. Journal of Geophysical Research, 8:76, Thanh Tran-Cong Nam Mai-Duy. Approximation of function and its derivatives using radial basis function networks. Applied Mathematical Modelling, 7:197 0, 003.