Kumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan Pembahasannya

Transkripsi

1 Kumpulan Soal Olimpiade Tingkat SMP dan Pembahasannya

2 Nama : Ayu Dwi Asnantia Nim : Soal Pilihan Ganda!! 1. Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c =... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah... a. 9 b. 7 c. 5 d. 6 e Jika maka x = x a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 e Jika a + b = 1, dan a 2 + b 2 = 5, maka a 3 + b 3 = a. 6 b. 24 c. 8 d. 22 e Hasil dari 16 log ( ) adalah a. b. c. d e Diketahui x + y = 12 dan x y = 432. Nilai dari a. 260 b. 350 c. 360 d. 340 x y adalah 7. Hasil pemfaktoran dari x x 864 adalah a. (x+36)(x - 24) b. (x 36)(x+24) c. (x+36)(x + 24) d. (x 36)(x 24) e. (36x + 1)(24x - 1) 2ab 8. Jika 1, a b ac 1 a c 7, dan bc c b , maka... a c b 15 a. 4 b c d e. 4 2 a a 9. Jika a : b = 2 : 5 maka nilai a b a b =... a. 10 b c d e Tiga ekor ayam (Besar, Sedang, dan Kecil) ditimbang. Jika yang Besar dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2,6 kg. Jika yang Besar dan Sedang ditimbang, beratnya

3 adalah 3 kg, dan jika yang Sedang dan Kecil ditimbang, beratnya adalah 2 kg. Berat ketiga ayam tersebut seluruhnya adalah... a. 4 kg b. 4,2 kg c. 3,8 kg d. 4,6 kg e.5 kg Soal Isian!! Jika x 8 dan xy 38 maka nilai y... y xy x 12. Misalkan a dan b adalah dua bilangan tertentu. Jika a 2 + (a + b) = a(b a) + x, maka x = Siswa SMP dan SMA mengikuti ujian matematika di Gedung Prof. Soedarto Undip. Jika seorang siswa SMP keluar gedung, maka 1/7 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Jika dua siswa SMA keluar gedung, maka 1/5 dari siswa yang berada di gedung adalah siswa SMP. Tentukan perbandingan banyaknya siswa SMA : SMP! Diketahui tiga bilangan bulat a, b, dan c. Jika 7 1 a 1 b c maka 7a + b - c = 15. Peserta upacara bendera yang dihadiri oleh 600 siswa disusun dalam x baris. Tiap barisnya diisi oleh y siswa. Jika susunan barisan diubah dengan menambah 5 baris, maka tiap barisnya berkurang 6 siswa. Tentukan banyaknya baris sebelum diubah? 16. Bilangan x, y, z adalah tiga bua bilangan genap berurutan dengan x < y< z. Jika a = ( z x)( y x), maka a yang memenuhi adalah... ( z y) 17. Jika 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, Tentukan nilai dari 64.x + 0,5y = 18. Diketahui (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, maka nilai (2x + y) : (3x + 10y) adalah Untuk nilai x dan y yang memenuhi system persamaan 7 x 3y +2 = 49 x 3y +1 dan 9 x y +1 = 243 x y, maka nilai x y = 20. Bentuk sederhana dari ( 8x 3 + 8x 2 + 4x + 1 ) ( 8x 3 8x 2 + 4x 1) adalah

4 Kunci Jawaban Pilihan Ganda 1. Diketahui : a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3 Ditanya : a + b + c =?? b + c = 2 a + b = 1 c a = 1 c = 1 + a c + a = a + a = 3 b + c = 2 2a = 2 b + 2 = 2 a = 1 b = 0 c = 2 sehingga a + b + c = = 3 (B) 2. Misal, dua bilangan itu x dan y. Maka x y = 2 dan x² - y² = 6. x = 2 + y x² - y² = 6 (2 + y)² - y² = y + y² - y² = 6 4y 2 = 0 4y = 2 y = ½ x = 2 + y x = 2 + ½ = 2½ x + y = 2½ + ½ = 3 Jadi, hasil tambah dua bilangan itu adalah 3 (D) maka x = x x = 4, 4 = 2 (A) x 4. Diketahui : a + b = 1, dan a 2 + b 2 = 5, maka a 3 + b 3 =... a = 1 b a 2 + b 2 = 5 (1 b )² + b² = 5 1 2b + b² + b² = 5 2b² - 2b 4 = 0 b² - b 2 = 0 (b 2 ) (b + 1) = 0 b=2 atau b= 1 b = 2 a = 1 2 = 1 ( 1)³ + 2³ = = 7 b = 1 a = = 3 3³ + ( 1)³ = 27 1 = 26 jadi, a 3 + b 3 = 7 atau a 3 + b 3 = 26 (E)

5 5. 16 log ( ) = 16 log [( )] = 16 log [ ( 3-2) ] = 16 log [ ( 3-2) ] = 16 log 4 2 = 24 log 2 5/2 = log 2 = 8 5 (C) Diketahui : x + y = 12 dan x y = 432 x = 12 y ( 12 y ) 3 + y 3 = y + 3.y 2.12 y 3 + y 3 = y y = 0 y y + 36 = 0 ( y + 6 ) (y + 6 ) = 0 y = 6 x = 18 x y = (-6) 2 = = 360 ( C ) 7. x x 864 = (x + 36) (x 24) (A) 8. Diketahui : 1/a + 1/b = 2, 1/a + 1/c = 7, dan 1/b + 1/c = ½ (2+7+1/2)/2 = 19/4 (D) a c b 2 a a = = = 2 a b a b b b a a = Jawaban (A) Misal, Ayam Besar =B ; Ayam Sedang =S ; Ayam Kecil = K Diketahui : B + K = 2,6 kg.(1) B + S = 3 kg.(2) S + K = 2 kg.(3) Ditanya : Berat ketiga ayam? eliminasi persamaan (2) dan (3) B + S = 3 kg S + K = 2 kg B K = 1 B = 1 + K (4) Masukkan persamaan (4) ke dalam persamaan (1) B + K = 2,6 kg 1 + K + K = 2,6 kg 2K = 1,6 kg K = 0,8 kg

6 B + K = 2,6 kg B + S = 3 kg B = 2,6 kg 0,8 kg S = 3kg 1,8 kg B = 1,8 kg S = 1,2 kg Sehingga Jumlah ketiga ayam tersebut yaitu B + S + K = 1,8 kg + 1,2 kg + 0,8 kg = 3,8 kg (B) Kunci Jawaban Soal ISian!! 13. Misalkan x = banyaknya siswa SMP dan y = total siswa. Dari soal diperoleh : x 1= (y - 1)/7 dan x = (y 2)/5 Sistem persamaan linear yang terbentuk 7x y = 6 5x y = -2 Jika persamaan pertama dikurangi persamaan kedua, didapat 2x = 8 x = 4 y = 22. Dengan demikian, SMA : SMP = (22-4) : 4 = 18 : 4 = 9 : 2 Jawaban : 9 : abc a c 14. Diketahui maka bc 1 a 1 b c atau 30(bc + 1) = 7(abc + a + c). Hal ini berarti 7 habis membagi 30(bc + 1). Karena 7 tidak habis membagi 30 maka 7 habis membagi bc + 1, atau bc = 6. Ada dua kemungkinan yang dihasilkan : b = 2 dan c = 3. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c) 30 = 6a + a + 3 a = 27/7 (tidak mungkin) b = 3 dan c = 2. Hal ini berakibat, 30(bc + 1) = 7(abc + a + c) 30 = 6a + a + 2 a = 4 Jadi 7a + b - c = = 29. Jika x adalah bilangan bulat positif dan 2a + x = b x + b = a a + b = c nilai terbesar yang mungkin dari a + b + c =? Jelaskan jawaban anda. Solusi : Misalkan 2a + x = b... (1) x + b = a... (2) a + b = c... (3)

7 Perhatikan peersaman (1) dan (2). Dengan metode substitusi, didapat 2a + x = a x sehingga a = -2x. Hal ini berakibat b = -3x dan c = -5x. Jadi a + b + c = -2x 3x 5x = -10x. Diketahui x adalah bilangan bulat positif, maka nilai terbesar a + b + c = -10x = -10. Jawaban : Diketahui xy = 600 dan (x+5)(y-6) = 600. (x+5)(y-6) = 600 (x+5)(600/x-6) = 600 (x+25)(x-20) = 0 x = -25 atau x = 20. Jawaban : karena x, y, dan z adalah bilangan genap berurutan dengan x < y < z, maka y dan z dapat dinyatakan sebagai berikut : y = x + 2 ; z = x + 4 dari sini diperoleh : ( z x)( y x) ( x 4 x)( x 2 x) 4.2 a = = = = 4 ( z y) ( x 4 ( x 2)) Eliminasi kedua persamaan, yaitu 2x + y = 18 dan x + 2y = 24, sehingga akan mendapat x = 4 dan y = x + 0,5y = 8x + 0,5y = (8.4) + (0,5.10) = = (2x - 3y) : (x + 2y )= 3, sehingga didapat 2x - 3y = 3x + 6y. Kemudian kumpulkan variable yang sejenis, maka kita dapatkan 2x-3x = 6y+3y. Jadi x = -9y. Nilai (2x + y) : (3x + 10y) = ( 2. (-9y))+ y) : ( 3(-9y) + 10y) = ( -17y) : (-17y) = x 3y +2 = 49 x 3y +1 dan 9 x y +1 = 243 x y 7 x 3y +2 = 7 2(x 3y +1) dan 3 2(x y +1) 5(x y) = 3 x 3y + 2 = 2x 6y + 2 dan 2x 2y + 2 = 5x 5y x 3y = 0.(i) dan 3x 3y = 2..(ii) dari (i) dan (ii) 3x x =2 1 x = 1 dan y = 3 jadi, x y = ( 8x 3 + 8x 2 + 4x + 1 ) ( 8x 3 8x 2 + 4x 1) = 64x 6 64x x 4 8x x 5 64x x 3 8x x 4 32x x 2 4x + 8x 3 8x 2 + 4x 1 = 64x 6 1

8 Nama : Rizki Resti Ari Nim : Cari semua bilangan asli x dan y yang memenuhi persamaan! 2. Bila, carilah nilai dari! Salah satu cara menjawab soal diatas dapat dilakukan sebagai berikut : (i) (ii) (iii) (iv) (v)

9 3. Diketahui jumlah dua bilangan adalah 21 dan hasil kali kedua bilangan itu adalah -7 Hitung : a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itu b. Jumlah kebalikan kedua bilangan itu c. Jumlah pangkat 4 kedua bilangan itu Misal kedua bilangan itu x dan y, maka x + y = 21 dan xy = -7 a. Jumlah kuadrat kedua bilangan itu = x 2 + y 2 x 2 + y 2 = (x + y)(x + y) 2(xy) = (21)(21)-2(-7) = => 455 b. Jumlah kebalikan kedua bilangan itu = c. Jumlah pangkat empat kedua bilangan itu= x 4 + y 4 x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 ) - 2 x 2 y 2 = (455)(455)-2(-7) 2 = => Bilangan x 2 3x + 1 = 0, Carilah nilai dari! Pandang x 2 3x + 1 = 0 => (i)

10 (ii) (iii) 5. Jika 3 + 5x = 28, maka nilai x adalah.. a. 20 b. 3,5 c. 5 d. 6,2 e. 125 Jika 3 + 5x = 28, maka 5x = 28 3 = 25. Sehingga x = Jadi nilai x = 5 => (c) (Hamiyah : 3, 2008) 6. Jika x = 5 dan y = x + 3 dan z = 3y + 1, nilai z adalah a. 7 b. 25 c. 12 d. 46 e. 19 Jika x = 5 dan y = x + 3, maka y = = 8 Jika y = 8 dan z = 3y + 1, maka z = 3(8) + 1 = = 25 Jadi nilai z = 25 => (b) (Hamiyah : 157, 2008) 7. Jika x = 12 dan y = -6, maka nilai dari adalah. a. 3

11 b. 7 c. d. 5 e. Jika x = 12 dan y = -6, maka =>jadi jawabannya ( c ) (Hamiyah : 182, 2008) 8. Panjang tiga sisi segitiga adalah 7, x + 4 dan 2x + 1. Keliling segitiga itu adalah 36. Berapa sisi terpanjang dari segitiga itu? a. 7 b. 12 c. 17 d. 15 e. 16 Jika keliling segitiga itu adalah 36, maka 7 + (x + 4) + (2x + 1) = 36 atau 3x + 12 = 36 => 3x = 24 dimana x = 8 Jadi, panjang tiga sisi segitiga itu adalah a. 7 b = 12 c. 2(8) + 1 = 17 Dimana yang paling panjang adalah 17 ( c ) (Hamiyah : 219, 2008) 9. Kebalikan dari adalah ( + 1). Berapakah nilai dari x? a. b. c. d.

12 e. Jika kebalikan adalah ( + 1), maka + 1 = = (Hamiyah : 259, 2008) x = => ( c ) 10. Jika x = -3, maka nilai dari 3x 2 + 2x adalah.. a. 81 b. 75 c. -33 d. 21 e. -24 Dengan mengganti x = -3, diperoleh 3x 2 + 2x = 3(-3) 2 + 2(-3) (Hamiyah : 277, 2008) = 3(9) 6 = 21 => ( d ) SUMBER : 1. Sukino.2009.Mastro Olimpiade Matematika SMP. Erlangga: Jakarta 2. Hamiyah,nur.2008.Olimpiade Matematika Untuk SMP/MTs.Cerdas Pustaka Publisher: Jakarta

13 Nama : Iswatun Arifin Nim : Berikut ini manakah yang bukan faktor dari 1 a. d. b. e. Semua jawaban benar c. Jawaban Jadi faktor-faktornya adalah ) Jawabannya (e) 2. Misalkan adalah salah satu akar dari. Berapakah nilai dari? a. -2 c. 0 e. Tidak bisa ditentukan b. -1 d. 1 Jawaban Diketahui adalah salah satu akar dari, artinya Ditanyakan beberapa nilai dari + = Jawabannya (d) 3. Empat bilanngan bulat yang beerurutan ditambahkan. Jika bilangan terkecil adalah 2m-1, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah a. 8m 10 c. 8m + 8 e. 8m + 3

14 b. 8m + 2 d. 8m + 10 Jawaban Karena bilangan terkecilnya 2m-1, maka bilangan tersebut adalah 2m 1,2m,2m + 1, 2m + 2. Jadi jumlah keempat bilangan tersebut adalah (2m 1)+(2m)+(2m + 1)+(2m + 2) = 8m + 2 Jawabannya (b) 4. Jika dan, maka =... a. 49 c. 55 e. 61 b. 52 d. 58 Jawaban Jawabannya (c) 5. Dalam Math Idol, terdapat total suara yang diberikan untuk empat Idol potensial. Pemenangnya menerima sura lebih banyak daripada kontestan tempat ke-2, suara lebih banyak daripada kontestan ke-3, dan suara lebih banyak daripada kontestan tempat ke-4. Berapa bannyak suara yang pemenang terima? a c e b d Jawaban Jika masing-masing banyaknya suara dalam soal ini adalah perkalian 1000, maka kita mempertimbangkan banyaknya ribuan suara yang masinng-masing Idol potensial terima, dengan membuat beberapa bilangan llebih mudah untuk digunakan. Terdapat total yang diberikan.

15 Anggaplah bahwa pemenangnya menerima ribu suara. Kemudian, lawannya menerima dan ribu suara. Dengan menyamakan total bilangan ribuan suara. Oleh karena itu, pemenangnya menerima suara. Jawabannya (d) 6. Pada diagram berikut ini, keliling persegi panjangnya adalah 56. Berapa keliling persegi panjang tersebut? a. 247 c. 169 e. 775 b. 187 d. 135 Jawaban Jika keliling persegi panjangnya adalah 56 maka : Oleh karena itu, persegi panjangnya adalah dengan, sehingga persegi panjang itu memiliki l luas daerah 17(11)=187 Jawabannya (b) 7. Pada masing-masing baris pada tabel, jumlah dari dua bilangan pertama sama dengan bilangan ketiga. Juga, pada masing-masing kolom pada tabel, jumlah dari dua bilangan pertama sama dengan bilangan ketiga.

16 Berapa jumlah sembilan bilangan dalam tabel tersebut? a. 18 c. -18 e. 24 b. 42 d. -6 Dengan mencoba menetapkan m = 0, maka tabel menjadi Dari ketiga baris tersebut, atau atau sehingga tabel menjadi : Jumlah dari sembilan bilangan dalam table adalah (- 6)+2+8+(-2)+6=24 Jawabannya (e) 8. Diketahui a dan b bilangan asli yang memenuhi dan. Tentukan nilai? a. 50 b. 75 c. 80 d. 100 e. 110 Jawaban difaktorkan menjadi : ( )( ) Diperoleh dua persamaan yaitu dan, kemudian dengan cara eliminasi dan subtitusi di peroleh nilai dan

17 Dengan demikian Jawabannya (d) 9. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk asli. Banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah. a. 8 b. 9 c. 10 d. 13 e. 15 Jawaban nn ( )1 1(1 )1 n 1 1 n n ( )1 2(2 )1 n 2 3 n n ( )1 3(3 )1 n 3 6 n n ( )1 4(4 )1 n 4 10 n n ( )1 5(5 )1 n 5 15 n n ( )1 6(6 )1 n 6 21 n n ( )1 7(7 )1 n 7 28 n n ( )1 8(8 )1 n 8 36 n n ( )1 9(9 )1 n 9 45 n n ( )1 10 ( )1 n n( n 1), dengan n adalah bilangan 2

18 n n ( )1 13 ( )1 n n n ( )1 15 ( )1 n Jadi, banyaknya bilangan segitiga yang kurang dari 100 adalah 13. Jawabannya (d) 10. Jika. Tentukan nilai? a. 27 b. 36 c. 47 d. 55 e.49 Jawaban Jawabannya (c)