SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 2015 BIDANG MATEMATIKA

Transkripsi

1 SOLUSI SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 015 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: SOAL ISIAN SINGKAT 1. Banyak faktor persekutuan dari 1515 dan 530 yang merupakan bilangan genap positip adalah = = Jika diperhatikan FPB dari dua bilangan tersebut adalah Ini berarti faktor persekutuan kedua bilangan yang memuat bilangan memiliki pangkat maksimalnya 6, dan yang memuat bilangan 3 pangkat maksimalnya, dan 7 pangkat maksimalnya 1. Kasus 1: Faktor persekutuan yang merupakan bilangan genap positip yaitu 6 bilangan genap: 1,, 3,, 5, dan 6. Kasus : Faktor yang lain didapat dengan memperhatikan sifat perkalian Ganjil x Ganjil = Ganjil, dan Ganjil x Genap = Genap. Ada 9 kemungkinan bilangan ganjil berbeda yang dapat dibuat yaitu : 3 1, 3, 3 3, 3, 7, 3.7, 3.7, 3 3.7, 3.7. Faktor persekutuan yang merupakan bilangan genap positip diperoleh dari perkalian bilangan ganjil tersebut dengan bilangan genap yang diperoleh pada kasus 1, banyaknya adalah 9 x 6 = 5. Dari kasus 1 dan maka diperoleh 60 faktor persekutuan yang merupakan bilangan genap positip.. Pak Tani memiliki 500 ekor ayam yang terdiri dari ayam pedaging dan ayam petelur. Sebagian ayam berwarna merah dan sebagian lagi berwarna putih. Banyak ayam petelur dan berwarna merah adalah 100 ekor. Jika diambil satu ekor ayam secara acak, maka peluang untuk mendapatkan ayam pedaging adalah sama dengan peluang untuk mendapatkan ayam berwarna putih, yaitu sebesar 3/5. Banyak ayam pedaging yang berwarna merah adalah. Perhatikan gambar berikut: Ayam pedaging merah Ayam Pedaging 500 Ayam 300 ayam warna putih Ayam Petelur 100 ayam petelur merah Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page 1

2 3 3 P(Ayam Pedaging) =, sehingga banyak ayam pedaging = P(Ayam warna putih) =, sehingga banyak ayam berwarna putih = Jadi banyak ayam pedaging berwarna merah adalah 500 ( ) = 100 ekor 3. Diketahui ABCD adalah segiempat talibusur pada lingkaran yang memiliki jari-jari luar 5 cm. Diketahui AD diameter lingkaran, panjang AB = 5 cm, dan panjang AC = 6 cm. Keliling ABCD adalah cm. Perhatikan gambar berikut. Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ACD diperoleh CD = 8 cm Menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABD diperoleh BD = 5 3 cm Menggunakan sifat Ptolomeus: AC x BD = AD.BC +AB.CD =10.BC BC = Keliling segiempat tali busur ABCD adalah = cm. Rani dan Susi masing-masing memilih empat angka berbeda yang merupakan anggota dari {1,, 3, 6, 8, 9} untuk menyusun dua buah bilangan dua angka. Jika mereka masingmasing menjumlahkan kedua bilangan yang disusun, maka hasilnya adalah bilangan tiga angka. Notasikan jumlah bilangan yang diperoleh Rani dan Susi berturut-turut adalah r dan s. Diketahui bahwa r bersisa jika dibagi 7. Jika s memiliki nilai terbesar yang mungkin, maka r + s =. xy didefinisikan 10x+y Misalkan bilangan yang dipilih Susi adalah ab dan cd. dengan a, b, c, d {1,, 3, 6, 8, 9}. dinotasikan s = ab + cd (bilangan tiga angka). Agar diperoleh s terbesar, dipilih a=9, b=6, c=8, d=3, sehingga s = = 179. Misalkan bilangan yang dipilih Rani adalah kl dan mn. dengan k, l, m, n {1,, 3, 6, 8, 9}. dinotasikan r = kl + mn (bilangan tiga angka). Diketahui r bersisa jika dibagi 7, artinya Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page

3 kl + mn = 7k+, untuk suatu k bilangan asli kl + mn = 7k, k=3,,5, 1 Untuk k = 3, maka kl + mn = 11, dipenuhi untuk kl=8, mn=61 Ini berarti r = = 13 Jadi r + s = = 3 5. Diketahui x dan y adalah dua bilangan bulat. Banyak anggota himpunan penyelesaian dari persamaan x y xy 36 x 18 y 80 0 adalah. Misalkan x a, y b, maka persamaan x y xy 36 x 18 y 80 0, menjadi a b ab 36a 18b 80 0 a b ab 36a 18b 80 0 a b 18 a b 80 0 Ini tidak lain persamaan kuadrat dalam a + b, sehingga dengan pemfaktoran diperoleh, a b 10 a b 8 0 a b 10 atau a b 8 Agar diperoleh nilai x dan y bilangan bulat maka nilai a dan b juga harus bilangan bulat. Kasus 1: a b 10 Diperoleh 6 pasangan (a,b) yaitu (0,10), (1,8), (,6), (3,), (,), dan (5,0) Kasus : a b 8 Diperoleh pasangan (a,b) yaitu (0,8), (1,6), (,), (3,), dan (,0) Ini berarti banyak pasangan (x,y) sama dengan banyak pasangan (a,b) yaitu 11 Jadi banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah Diketahui barisan himpunan beranggotakan beberapa bilangan asli berurutan sedemikian rupa sehingga banyak anggota himpunan-himpunan tersebut membentuk barisan aritmetika. Empat suku pertama barisan himpunan tersebut adalah {1}, {,3,}, {5,6,7,8,9}, {10,11,1,13,1,15,16}. Bilangan 015 berada pada suku/himpunan ke. {1}, {,3,}, {5,6,7,8,9}, {10,11,1,13,1,15,16}. {dst.} Perhatikan bahwa anggota-anggota himpunan dari setiap suku secara berurutan merupakan bilangan asli berurutan. Terlihat pola bilangannya sbb: Suku ke n Anggota terakhir n dari himpunan Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page 3

4 Selanjutnya perhatikan, n = 015 n = n 05 n 5 Ini berarti suku ke- adalah {...,1936}, dan suku ke-5 adalah {1937, 1938,,05} Jadi 015 berada pada suku ke Diketahui ABC siku-siku di A, serta lingkaran yang berpusat di O menyinggung sisi AB dan AC berturut-turut di S dan T. Selanjutnya SU dan TV adalah diameter lingkaran. Jika r adalah jari-jari lingkaran, maka luas daerah yang diarsir adalah satuan luas. Perhatikan gambar berikut: Dapat ditunjukkan bahwa CVU kongruen UOV, sehingga CV = r, CA = AB = 3r Luas Arsiran = L segitiga ABC L Lingkaran + L Tembereng = L segitiga ABC L Lingkaran + L ¼ lingkaran OUV L segitiga OUV = r.3r r r 1. r. r = r r r r 3 = r r 1 = r 16 3 Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page

5 8. Delegasi perwakilan pelajar kota Bahagia ke suatu pertemuan pelajar nasional terdiri dari 5 orang. Ada 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika disyaratkan bahwa paling sedikit seorang delegasi harus laki-laki, maka banyak cara untuk memilih delegasi tersebut adalah. Dari 10 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan dipilih 5 calon dengan syarat paling sedikit seorang laki-laki. Kasus 1: 10! 10! ! 1 laki-laki, perempuan, banyaknya = 1 10 C !.1! 6!.! 6! Kasus : 10! 10! ! ! laki-laki, 3 perempuan, banyaknya = 10 C !.! 7!.3! 8!..1 7!.3..1 Kasus 3: 10! 10! ! ! 3 laki-laki, perempuan, banyaknya = 3 10 C !.3! 8!.! 7! !..1 Kasus : 10! 10! ! laki-laki, 1 perempuan, banyaknya = 10 C !.! 9!.1! 6! Kasus 5: 10! 10! ! 5 laki-laki, 0 perempuan, banyaknya = 5 10 C0 5 5!.5! 10!.0! 5! Jadi banyaknya cara memilih delegasi adalah x100+x500+5 = 155 cara 9. Jika salah satu akar dari persamaan kuadrat x + (c 015)x = 0 adalah bilangan prima, maka nilai c terbesar yang mungkin adalah. Perhatikan persamaan kuadrat x + (c 015)x = 0. Selanjutnya 168 dapat dituliskan sebagai perkalian dua bilangan 168.1=8.=56.3=.=8.6=.7=1.8=1.1 Misalkan p dan q adalah faktor dari 168 sehingga p x q = 168. Agar diperoleh akar yang positip maka persamaan kuadrat di atas diselesaikan dengan pemfaktorkan menjadi: (x p)(x q) = 0 Ini berarti c 015 = - q p atau c = 015 (p + q) Diketahui bahwa salah satu akarnya prima. Kasus 1: akar prima tersebut diperoleh dari persamaan x q = 0. untuk q =, diperoleh p = 8, dan c =015 (8 + )=197 untuk q = 3, diperoleh p = 56, dan c =015 (56 + 6)=1953 Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page 5

6 untuk q = 7, diperoleh p =, dan c =015 ( + 1)=1977 Kasus : akar prima tersebut diperoleh dari persamaan x p = 0. untuk p =, diperoleh q = 8, dan c =015 (8 + )=197 untuk p = 6, diperoleh q = 56, dan c =015 (56 + 6)=1953 Dari kasus 1 dan, maka nilai c terbesar yang mungkin adalah Jika kurva parabola y = x + x 5 dicerminkan terhadap garis y = x, kemudian digeser ke arah sumbu-x positip sejauh satuan, maka diperoleh kurva dengan persamaan. Titik A(x,y) dicerminkan terhadap garis y = x menjadi A (y,x) Parabola y = x + x 5 dicerminkan terhadap garis y = x menjadi x = y + y 5 Parabola x = y + y 5 digeser ke arah sumbu-x positip sejauh satuan menjadi x = y + y 5 + x = y + y 3 Saiful Arif, M.Pd (Guru SMPN 13 Malang) Page 6