PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016 BIDANG MATEMATIKA

Transkripsi

1 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 06 BIDANG MATEMATIKA BAGIAN A: PILIHAN GANDA 07 (06 6) 05. Nilai dari adalah (06 ) A. 0 B. 0 C. 0 D. 05 Jawaban: A Misalkan 06 =, maka 07 (06 6) 05 ( ) ( 6) ( ) 00 (06 ) ( ) ( ) ( Jadi nilainya 06 = 0 ) ( )( ) ( ) ( ). Misalkan menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan. Jika A. 5 B. 6 C. 7 D Jawaban: C , maka = Nilai minimum untuk adalah 6, Nilai maksimum untuk adalah 6, Artinya 6, 6, 7. Bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan adalah 7 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

2 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06. Jika n! = n. (n ).(n )......, maka.! +.! +.! (n ). (n -)! + n. n! =... A. (n )! + B. (n + )! C. (n + )! + D. n! + n Perhatikan pola berikut:.! =.! +.! = + = 5 = 6 =! -.! +.! +.! = = = =!.! +.! +.! +.! = + 96 = 9 = 0 = 5!....! +.! +.! (n ). (n -)! + n. n! = (n + )! -. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 7 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah... cm A. 7,00 B. 7,5 C. 68,00 D. 6,75 Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga BCE diperoleh BE = 5 cm, sehingga AE = cm. Perhatikan bahwa segitiga AEF sebangun dengan segitiga BCE, sehingga, AF AE BE BC AF 5 8 AF Luas EFDC dapat dihitung sbb: Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

3 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 L = 7 8 ½.8.5 ½.. ¾ L = 7,5 Jadi luas segiempat EFDC adalah 7,5 cm 5. Diketahui dua titik A(,) dan B(, - ). Garis l dengan gradien ¾ melalui titik B. Jarak antara titik A dan garis l adalah... satuan panjang. A. B. 5 C. 6 D. 7 Garis l dengan gradien ¾ melalui titik B(, - ) adalah y (-) = ¾ ( ) y + = ¾ + 9 y + = y = 0 Jarak titik A (,) terhadap garis l dicari dengan.. d Jadi jarak titik A (,) terhadap garis l adalah 5 satuan 6. Perhatikan gambar di samping. Jika BE = cm, EF = 6 cm, dan FC = cm, maka panjang DE adalah... cm A. B. C. D. 6 6 Jawaban: D Gunakan kesebangunan pada segitiga ABC dengan garis tinggi AF didapat AF = BF CF AF = 8 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

4 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 AF = Karena segitiga BDE dan BCA sebangun, maka DE DE Jadi panjang DE adalah cm. 7. Pada pagi hari yang cerah, suatu bola raksasa ditempatkan di tanah lapang yang datar. Panjang bayangan bola tersebut apabila diukur dari titik singgung bola dengan tanah adalah 5 m. Di samping bola tersebut terdapat tiang vertikal dengan tinggi m yang mempunyai bayangan sepanjang m. Radius bola tersebut adalah... m. 5 A. 0 5 B. 0 0 C. 5 0 D. 5 Jawaban: A Gunakan Teorema Pythagoras pada segitiga ABC diperoleh AC = ABC sebangun dengan EFG sehingga: EF FG AB BC EF 5 EF 5 EG EF AC AB EG 5 0 EG m dan, Sehingga ED Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

5 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 Segitiga EDO sebangun segitiga EFG, sehingga OD FG r 5 5 r 5 r 5 r 5 r 5 r ED EF Banyak bilangan real yang memenuhi A. 0 B. C. D adalah.... Jawaban: D ( ( )( ( )( 0 05 ) ( )( ( )( )( )( ( ) ( )( ) 0 ) 0 0 ) ) 0 ) 0 =, atau = -, atau = 0 Jadi ada bilangan real yang memenuhi persamaan tersebut. 9. Jika sistem persamaan m + y = y = 0 Memiliki penyelesaian bilangan bulat dan y, maka nilai m + + y yang mungkin adalah.... A. 9 B. 0 C. D. Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 5

6 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 m + y = y = 0 y = Kedua persamaan di atas dijumlahkan diperoleh (m + ) = Dengan memperhatikan dan y bilangan bulat, dan aktor =,, 7,, Untuk m = 7, maka =, sehingga y =., dan m + + y bukan bilangan bulat Untuk m =, maka =, sehingga y =., dan m + + y = + + = 0 Jadi nilai m + + y yang mungkin adalah 0 0. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut: 5% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut; 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri. Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah.... A. 9 : B. 9 : C. 9 : D. 9 : Misalkan banyaknya siswa peminat paskibra adalah N, maka Siswa putri peminat paskibra adalah 90%N, dan ini merupakan 50% = ½ dari total siswa putri. Ini berarti total siswa putri = 90%N=80%N Siswa putra peminat paskibra adalah 0%N, dan ini merupakan 5% = ¼ dari total siswa putra. Ini berarti total siswa putra = 0%N = 0%N Total siswa putri : total siswa putra = 80%N : 0%N = 9 : Jadi rasionya adalah 9 :. Suatu ungsi ditentukan dengan rumus, untuk genap ( ), untuk ganjil Jika a adalah bilangan asli, maka nilai yang tidak mungkin untuk (a) adalah.... A. B. 9 C. 6 D. 77 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 6

7 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 Andaikan untuk a bilangan asli (a) = 9. Kasus : jika a genap, maka a + = 9 a=7 merupakan bilangan ganjil Kasus : jika a ganjil, maka a = 9 a = 0 merupakan bilangan genap Dari kasus dan tidak mungkin ada bilangan asli a yang merupakan bilangan ganjil dan sekaligus bilangan genap. Jadi nilai (a) tidak mugkin 9. Banyak bilangan bulat k > - 0 sehingga parabola y = + k tidak berpotongan dengan lingkaran + y = 9 adalah.... A. 0 B. 9 C. D. 0 Jawaban: D Ralat : menurut saya kalimat bilangan bulat k > - 0 perlu diganti bilangan bulat negati k > - 0. Coba amati untuk semua bilangan bulat k > parabola jelas tidak memotong lingkaran. Jadi ada tak hingga nilai k yang memenuhi. y = + k = y - k Subtitusikan = y - k ke persamaan lingkaran + y = 9, diperoleh: y k + y =9 y + y (k + 9) = 0 a =, b =, c = -(k+9) Syarat kedua graik tidak berpotongan nilai diskriminan D < 0. D = b a c < 0.. (-(k+9)) < 0 + k + 6 <0 k < - 7 k < -9,5 Ini berarti -0 < k < -9,5, dengan k bilangan bulat k = -9, -8,..., -0 banyaknya k adalah = 0 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 7

8 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 0 sampai dengan 05 disajikan pada gambar berikut. Diketahui banyak penjualan produk A selama tahun adalah sebagai berikut. Tahun Produk A Rata-rata banyak penjualan produk B dalam tahun yang sama adalah.... A. 000 B. 0 C. 50 D. 500 Jawaban: C Penjualan produk B dapat dihitung dari prosentasenya dibandingkan produk A sbb: 0% Tahun 0 : % 0% Tahun 0 : % 60% Tahun 0 : % 0% Tahun 05 : % Rata-rata penjualannya = 50 Jadi rata-rata banyak penjualan produk B dalam tahun yang sama adalah 50. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 5 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas kartu bernomor sampai dengan. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor adalah.... A. 5 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 8

9 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 B. 8 6 C. 9 5 D. 0 Misalkan A = Kejadian terambil kartu berwarna merah atau bernomor P(A) = P(merah) + P(bernomor ) P(merah dan bernomor ) 6 8 P ( A) Terdapat lima bilangan bulat positi dengan rata-rata 0 dan jangkauan 0. Nilai maksimum yang mungkin untuk bilangan terbesar dari lima bilangan tersebut adalah.... A. 50 B. 9 C. 8 D. 5 Jawaban: C Misalkan bilangan itu a< b<c<d<e Jangkauan : e a = 0 Rata-rata 0, berarti a + b + c + d + e = 0 5 = 00 a + b + c + d + e a e b+c+d b c d Keterangan b min = ,7 b<a (Tidak Memenuhi) , b<a (Tidak Memenuhi) b=c=d=a (Memenuhi) b<d(tidak Memenuhi) Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 9

10 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 BAGIAN B: ISIAN SINGKAT n.n.n. Nilai dari n.n.9n JAWAB : adalah n.n.n n.n.9n..( )..9( ) 8(... n ) 7(... ) n 9. Bilangan bulat terbesar n agar dapat dibagi JAWAB : = (.)(.)(.5)(.7)(.9)... (.99) = 9 ( ) = n 6 adalah ( ) ( ) = 9 ( ) ( ) ( ) 9 = ( ) ( ( ) 5 7 ) 9 5 = ( ) ( 5 7) ( ) 9 6 = ( ) ( 5 7) ( ) 6 = 6 ( ) ( 5 7) ( ) Jadi bilangan bulat terbesar n yang dimaksud adalah 6. Ketika suatu segitiga siku-siku diputar pada salah satu sisi siku-sikunya, maka diperoleh kerucut dengan volume 9 cm. Bila diputar pada sisi siku-siku lainnya, diperoleh kerucut dengan volume cm. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah... cm. JAWAB : 5 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page 0

11 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 V i. a b 9 Kita coba subtitusikan a = 7, dan b = diperoleh: V i V ii. b a. a b Vi 9 V ii. b a a 7 b.7 9 Ini berarti panjang a = 7 cm dan b = cm. Dengan teorema Pythagoras diperoleh c = 5 cm Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah 5 cm. Suatu balok tersusun atas kubus satuan seperti pada gambar di samping. Balok tersebut dipancung sepanjang permukaan bangun datar yang dicetak tebal. Luas permukaan balok terpancung adalah... satuan luas. JAWAB : 6 Luas permukaan balok terpacung dapat dihitung sbb: L = L. Balok L Permukaan pemancung + L persegipanjang miring L = ( ) (. ½..+.+.) +(5) L = (66++8) +5 L = 8 L = 6 5. Diketahui barisan ungsi ( ), ( ), ( ),... sedemikian hingga ( ) dan untuk bilangan bulat n. Nilai dari (06)... JAWAB : (06) (06) 06 (06) 06 ( ) (06) 06 ( ) ( ) (06) ( n ) ( ) n Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

12 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN 06 (06) ( ) 06 Seterusnya akan berulang dengan periode suku. 06 : = 67 (habis terbagi) 05 Jadi 06 (06) Jika akar-akar persamaan adalah m dan n dengan m n, serta akar-akar persamaan adalah a dan b dengan a b, maka m b... JAWAB : 07 Misalkan 06 = a, maka a ( a )( a ) 0 a ( a ) ( a )( ) 0 a atau Artinya 06 0 atau = bisa ditulis, Jika m,n merupakan akar-akar persamaan kuadrat dan m > n maka m = Selanjutnya, ( 06)( ) 0 06atau Jika a,b merupakan akar-akar persamaan kuadrat dan a > b, maka b = - 06 m b = (-06) m b = Diketahui suatu barisan dengan suku ke-n adalah an dengan a k, untuk n k-; n 5 k, untuk n k Jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah.... JAWAB : 500 n= n= n= n= n=5 n=6 dst k= k= k= k= k= k= a= a=50 a=6 a=9 a=9 a=8 Jumlah 00 suku pertama dapat dibagi dua kasus: i. Untuk 50 suku ganjil jumlahnya =5(6 + 9.) = 5 5 ii. Untuk 50 suku genap jumlahnya =5( (-)) = 5 5 Jumlah seluruhnya 5 (5 +5) = 5 0 = 500 Jadi jumlah seratus suku pertama barisan tersebut adalah 500. Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page

13 PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMP TAHUN Misalkan dan y merupakan bilangan asli berbeda yang memenuhi + 7y = 06. Banyak pasangan (,y) yang mungkin adalah.... JAWAB : 7 + 7y = 06 = 06 7y 7y = 50 - Karena dan y merupakan bilangan asli maka y harus merupakan kelipatan 06 y =, 8,,...,8 (karena 8 ) 8 banyaknya y adalah 7 Selanjutnya kita selidiki apakah ada dan y yang sama. Andaikan = y, maka + 7 = 06 =06, menghasilkan bukan bilangan asli. Jelas bahwa y. Jadi banyak pasangan (,y) yang mungkin adalah 7 9. Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima buku, buku, dan buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah.... JAWAB : 0 8!!! Banyak cara pembagian buku = 8C C C =. 0!!!!!0!.. Jadi Banyak cara pembagian buku tersebut adalah 0 0. Di kelas VIII terdapat siswa. Pada saat ulangan Matematika, ada satu orang siswa yang sakit sehingga harus mengikuti ulangan susulan. Nilai 0 siswa yang mengikuti ulangan pada waktunya adalah 0, 0, 0, 80, 50, 60, 0, 70, 90, dan 0. Jika nilai siswa yang mengikuti ulangan susulan diperhitungkan, maka rata-rata nilai yang diperoleh sama dengan median. Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah.... JAWAB : 60 Jika 0 data diurutkan adalah: 0,0,0,0,0,50,60,70,80,90,dan jumlahnya 90 Untuk data maka median terletak pada urutan ke-6 Dengan rata-rata = median, dan misalkan nilai susulannya, maka 90 Me = 550 = 60 data terurutnya menjadi 0,0,0,0,0,50,60,60,70,80,90, memiliki median 50 dan rata-rata 50 Jadi Nilai terbesar yang mungkin diperoleh siswa yang mengikuti ujian susulan adalah 60 Dibahas oleh: Saiul Ari, M.Pd (Guru SMPN Malang) Page