DIMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT DAN GRAF HASIL KORONA DUA GRAF TERHUBUNG DISERTASI DARMAJI. NIM: Program Studi Doktor Matematika

Transkripsi

1 IMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT AN GRAF HASIL KORONA UA GRAF TERHUBUNG ISERTASI Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar oktor dari Institut Teknologi Bandung Oleh ARMAJI NIM: Program Studi oktor Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANUNG 011

2 Abstrak IMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT AN GRAF HASIL KORONA UA GRAF TERHUBUNG Oleh armaji NIM: Penentuan basis/partisi pembeda dari suatu graf adalah kajian menarik dalam teori graf karena mempunyai banyak aplikasi. Klasifikasi senyawa kimia, navigasi robot dan jaringan, dan perancangan sensor adalah tiga contoh aplikasi tersebut. Slater (1975) dan Harary dan Melter (1976) mengenalkan konsep himpunan pembeda dalam suatu graf. Misalkan G = (V, E) adalah suatu graf terhubung. Untuk W = {w 1, w,, w k } V (G) dan v V (G), representasi v terhadap W adalah r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w ),, d(v, w k )). Himpunan W disebut himpunan pembeda dari V (G) jika r(u W ) r(v W ) untuk sebarang dua simpul berbeda u, v V (G). imensi metrik dari suatu graf G, disimbolkan dim(g), adalah bilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuah himpunan pembeda dengan k anggota. Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan ragam lain dari konsep dimensi metrik yang disebut dimensi partisi graf. Misalkan v V (G) dan S V (G), jarak antara v dan S adalah d(v, S) = min {d(v, x) x S}. Untuk sebuah partisi Π = {S 1, S,, S k } dari V (G), representasi v terhadap Π adalah r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S ),, d(v, S k )). Partisi Π disebut partisi pembeda dari G jika semua representasi dari setiap simpul v V (G) berbeda. imensi partisi pd(g) adalah bilangan bulat terkecil k sedemikian hingga G mempunyai sebuah partisi pembeda dengan k anggota. Penelitian dalam dimensi partisi graf telah mendapatkan banyak perhatian. Sebagai hasil pertama, Chartrand dkk. (1998) menentukan dimensi partisi dari beberapa kelas pohon, yaitu graf bintang ganda dan graf ulat. Selanjutnya, dalam (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000), mereka mengkarakterisasi semua graf order n dengan dimensi partisi, n dan n 1 berturut-turut. Mereka juga menunjukkan bahwa pd(k m,n ) = max{m, n}. Kemudian, Tomescu (008) mengkarakterisasi semua graf order n dengan partisi dimensi n. Mereka juga meneliti dimensi partisi beberapa graf tak-hingga. Akan tetapi, penentuan dimensi partisi dari sebarang graf secara umum diklasifikasikan sebagai NP-hard problem (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000). alam disertasi ini, kami menentukan dimensi partisi dari pohon kelas tertentu, yaitu graf ulat (caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon ii

3 pisang (banana tree). Kami juga menentukan dimensi partisi graf multipartit, graf bipartit lengkap minus matching, dan graf tripartit lengkap minus matching. Hasil penelitian ini memperbaiki hasil dari Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehi dan Zhang (000). Untuk graf G dan H, graf hasil korona G H didefinisikan sebagai graf yang yang diperoleh dari G dan H dengan mengambil sebuah kopi graf G dan V (G) kopi graf H dan kemudian menghubungkan setiap simpul dari kopi ke-i graf H dengan sebuah titik ke-i dari G. Kami mendapatkan batas atas dimensi partisi graf G H jika diameter H paling banyak, yaitu pd(g H) pd(g) + pd(h). Kami menunjukkan bahwa batas atas ini ketat. Untuk kasus tertentu, kami mendapatkan pd(g H), jika G adalah graf lintasan P m, graf bintang K 1,m atau graf lengkap K m dan H adalah graf lengkap K m, graf bintang K 1,m atau beberapa kopi saling lepas dari graf lengkap K m. Kata kunci: himpunan pembeda, partisi pembeda, dimensi metrik, dimensi partisi, graf multipartisi, matching, graf hasil korona. iii

4 Abstract THE PARTITION IMENSION OF MULTIPARTITE GRAPHS AN CORONA PROUCT OF TWO CONNECTE GRAPHS by armaji NIM: Finding a set of vertices of a connected graph so that representations of all vertices to such a set are distinct is an interesting research domain in Graph Theory, due to many applications. Compound classification in chemistry, robotic navigation and network, and censor design are some examples for these applications. Slater (1975) dan Harary dan Melter (1976) introduced the concept of a resolving partition for a graph. Let G = (V, E) be a connected graph. For W = {w 1, w,, w k } V (G) and v V (G), the representation of v with respect to W is r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w ),, d(v, w k )). The set W is called a resolving set for V (G) if r(u W ) r(v W ) for any two vertices u, v V (G). The metric dimension dim(g) is the smallest integer k such that G has a resolving set with k elements. Furthermore, Chartrand dkk. (1998) introduced a variant of metric dimension concept called partition dimension of a graph, as follows. Let v V (G) and S V (G), the distance between v and S is d(v, S) = min {d(v, x) x S}. For an ordered partition Π = {S 1, S,, S k } of V (G), the representation of v with respect to Π is r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S ),, d(v, S k )). The partition Π is called a resolving partition of G if all representations of vertices are distinct. The partition dimension of a graph G is the smallest integer k such that G has a resolving partition with k elements. The investigations on the partition dimension of graphs have been receiving much attention. As the first result, Chartrand dkk. (1998) determined the partition dimension of special classes of trees, namely double stars and certain caterpillars. Furthermore, in Chartrand, Salehi dan Zhang (000), they characterized all graphs on n vertices with partition dimension, n and n 1 respectively. They also showed that pd(k m,n ) = max{m, n}. Lately, Tomescu (008) characterized all graphs on n vertices with partition dimension (n ). They also investigated the partition dimension for some infinite graphs. However, determining of the partition dimension of any graph in general is classified as an NP -hard problem (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000). In this dissertation, we determine the partition dimension of specified classes iv

5 of trees, namely caterpillars, firecrackers and banana trees. Our result for caterpillars improved the result of Chartrand dkk. (1998). We also determine the partition dimension of multipartite graphs, complete bipartite graphs minus a matchings and complete tripartite graphs minus matchings. These works are an improvement of the results in Chartrand dkk. (1998) dan Chartrand, Salehi dan Zhang (000). For graphs G and H, the corona product G H is defined as the graph obtained from G and H by taking one copy of G and V (G) copies of H and then joining each vertex of the i th -copy of H with the i th -vertex of G by an edge. We shall derive an upper bound of the partition dimension of G H if the diameter of H is at most, namely pd(g H) pd(g) + pd(h). We show that this bound is tight. For specific cases, we investigate pd(g H), if G is either a path P m, a star K 1,m or a complete graph K m and H is a complete graph K m, a star K 1,m or some disjoin copies of K m. Key words: resolving set, resolving partition, metric dimension, partition dimension, multipartite graph, matching, corona product graph. v

6 IMENSI PARTISI GRAF MULTIPARTIT AN GRAF HASIL KORONA UA GRAF TERHUBUNG Oleh armaji NIM: Program Studi oktor Matematika Institut Teknologi Bandung Menyetujui Tim Pembimbing Tanggal 14 Juni 011 Ketua Prof. r. Edy Tri Baskoro Anggota Anggota r. Saladin Uttunggadewa r. Rinovia Simanjuntak vi

7 Karena paduka memintaku terus berguru maka aku terus berguru. Peluh dalam berguru adalah kegembiraan tiada berbilang karena cinta paduka menebar tak berkesudahan, di dalam setiap ihtiar dan perolehan. vii

8 Pedoman Penggunaan isertasi isertasi oktor yang tidak dipublikasikan ini terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh disertasi haruslah seizin ekan Sekolah Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung. viii

9 Ucapan Terima Kasih Yang ada hanya cinta karena yang kita sebut sebagai bukan cinta sesungguhnya adalah cinta jua, hanya saja ia tak menemukan wilayah untuk tumbuh dan bersemi. Karena cinta pula penulis dapat menyelesaikan pendidikan Program oktor Matematika ITB. Kegembiraan penulis adalah kegembiraan karena cinta yang menebar. Cinta dari Prof. r. Edy Tri Baskoro (promotor), r. Saladin Uttunggadewa (ko-promotor I) dan r. Rinovia Simanjuntak (ko-promotor II) adalah cinta yang melimpah mengalir tak berkesudahan dalam diskusi dan pembimbingan. Cinta beliau adalah cinta yang menggerakkan untuk menjadi matematikawan yang baik karena beliau matematikawan yang sangat baik. Beliau mumpuni dalam keilmuan, jernih dalam penyampaian, dan terampil dalam memadukan kepakaran akademik dan indahnya silaturahim. Cinta dari Prof. Martin Bača adalah cinta yang memberi makna pada indahnya keragaman dan hangatnya komunikasi akademik pada tiga bulan masa-masa program sandwich-like di Technical University of Kosice, Republik Slovakia. Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Bandung adalah cinta yang menguak cakrawala keilmuan, memberi sejumlah petunjuk dan memandu bergerak ke depan. Terus bergerak. Belajar tak berkesudahan sambil tetap menjaga kerendah-hatian. Cinta dari segenap kolega di Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya adalah cinta sawah ladang yang memberi kesuburan bagi tumbuh-kembangnya kehidupan akademik penulis. Cinta dari segenap kolega di Jurusan Matematika ITS adalah cinta yang memberi kerelaan ketika harus melakoni tugas, yang semestinya menjadi tugas penulis, selama masa-masa menempuh jenjang pendidikan S3. Cinta dari Kementerian Negara Pendidikan Nasional dan irektorat Jendral Pendidikan Tinggi adalah cinta yang memfasilitasi dengan beragam skema pendanaan: BPPS (Beasiswa Pendidikan Pasca Sarjana), Program Sandwich-like, Program Penelitian oktor, dan Program Insentif Penulisan untuk Jurnal Internaix

10 sional. Cinta dari istri, anak, dan keluarga besar adalah cinta yang men-samudra. Ke mana hendak berlayar, samudra memberi air dan kapal. Ke mana hendak bergerak, samudra memberi layar, angin dan bintang. Ketika letih menjadi keniscayaan, samudra dan segala anasirnya bersekutu memberi energi. Cinta istri dan anak adalah cinta yang juga mewujud dalam bentuk kesanggupan mengambil porsi sangat besar peran ayah pada masa-masa si ayah menempuh jenjang pendidikan S3. Cinta dari kawan-kawan di Program oktor Matematika Program Pasca Sarjana (PPS) ITB adalah cinta yang memurnikan melaui beragam diskusi dan perbincangan yang mencerahkan; adalah cinta yang tak memberi ruang bagi segala hal yang tak membahagiakan; adalah cinta yang selalu hadir ketika semua yang bernama keluarga berada dalam jarak ratusan kilometer dari Bandung. Karena cinta dan atas nama cinta, penulis menghaturkan terima kasih tak berkesudahan kepada semua yang telah memberikan cinta kepada penulis. Karena cinta penulis tumbuh dari ketulusan, tentulah ia bergerak meninggi, menjangkau langit, dan sampai jua ke Sang Maha Cinta. Bandung, 14 Juni 011 Penulis x

11 aftar Isi Abstrak Abstract Pedoman Penggunaan isertasi viii Ucapan Terima Kasih aftar Isi aftar Gambar xiii aftar Lambang Bab I Pendahuluan I.1 Latar Belakang I. Tujuan dan Lingkup Penelitian I.3 Sistematika Penulisan isertasi Bab II Berbagai Konsep imensi dalam Graf II.1 efinisi dan operasi II. imensi metrik II.3 imensi partisi II.4 Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya II.5 imensi partisi graf asal dan graf hasil operasi Bab III imensi Partisi Sejumlah Graf Pohon III.1 imensi partisi graf ulat III. imensi partisi graf kembang api III.3 imensi partisi graf pohon pisang Bab IV imensi Partisi Graf Multipartit IV.1 imensi partisi graf multipartit lengkap IV. imensi partisi graf bipartit minus matching IV.3 imensi partisi graf tripartit minus matching Bab V imensi Partisi Graf Hasil Operasi Korona V.1 Batas atas dimensi partisi graf hasil operasi korona V. imensi partisi graf lintasan korona graf lengkap V.3 imensi partisi graf lintasan korona graf bintang V.4 imensi partisi graf lengkap korona graf lengkap V.5 imensi partisi graf persahabatan V.6 imensi partisi graf kincir V.7 imensi partisi graf bintang korona graf lengkap Bab VI Simpulan dan Masalah Terbuka VI.1 Simpulan VI. Masalah terbuka aftar Pustaka ii iv ix xi xv xi

12 Indeks xii

13 aftar Gambar Gambar II.1 Graf terhubung G dengan diam(g) = Gambar II. a.union graf lintasan P 3 dan P 5, dan b.join graf lintasan P 3 dan P Gambar II.3 a.graf lengkap K 3 dan graf lintasan P 3, b.graf hasil kartesian P 3 K 3, dan c.graf hasil korona P 3 K Gambar II.4 Himpunan pembeda dari K,4 : a.w 1 = {a 1, b 1, b, b 3, b 4 }, b.w = {a 1, b 1, b, b 3 }, dan c.w 3 = {a 1, b 1, b } Gambar II.5 Sebuah graf G dengan q (G) dan p / (G) Gambar II.6 Partisi pembeda dari K,4 : a.π 1 = {S 1, S, S 3, S 4, S 5 }, b.π = {S 1, S, S 3, S 4 }, dan c.π 3 = {S 1, S, S 3 } Gambar II.7 Gambar II.8 Gambar II.9 a.pd(z, ε 4 ) = 3 dan b.pd(z, ε 8 ) = 4, namun dimensi metrik kedua graf tak berhingga a.imensi partisi dari graf G dinyatakan oleh banyak simpul anting pada simpul x 1 dan b.imensi metrik dari graf G dinyatakan oleh banyak simpul putih pada graf tersebut Graf bintang ganda T (r, s) dengan deg(u) = r + 1 dan deg(v) = s Gambar II.10 Graf pohon dengan t (T ) = Gambar II.11 Graf gir G 8 dan graf helm H Gambar II.1 Graf bunga matahari SF Gambar III.1 a.graf ulat homogen C(3; 4) dan b.graf ulat takhomogen C(4; 4, 3,, 4) Gambar III. ua kondisi subgraf graf ulat K 1,ni dan K 1,nj yang berjarak sama Gambar III.3 Partisi pembeda minimum graf C(10; 3, 4, 3, 1, 3, 4,,, 4, 4) Gambar III.4 Partisi pembeda minimum graf C(11; 3, 4, 3, 1, 3, 4,,, 4, 4, 4) Gambar III.5 a.partisi pembeda minimum graf C(6; 1, 1, 1, 1, 1, 1) dan b.partisi pembeda minimum graf C(4;,,, ) Gambar III.6 a.graf kembang api homogen dan b.graf kembang api tak-homogen Gambar III.7 ua kondisi subgraf kembang api K 1,ni dan K 1,nj Gambar III.8 berjarak sama a.partisi pembeda minimum dari graf F (; 3) dan b.partisi pembeda minimum dari graf F (; 4) Gambar III.9 Partisi pembeda minimum graf F (6;,,,,, ) Gambar III.10 Graf pohon pisang homogen B(3; 5) Gambar III.11 Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(3; 5) Gambar III.1 Partisi pembeda minimum graf pohon pisang B(16; 4).. 46 xiii

14 Gambar IV.1 a.graf tripartit K 4,4,4 dan b.contoh himpunan berindeks I i Gambar IV. a.graf bipartit K 4,4 minus perfect matching dan b.graf bipartit K 4,6 minus maximum matching Gambar IV.3 a.sisi perfect matching graf K 4,4,4 dan b.sisi nearperfect matching graf K 5,5, Gambar V.1 Partisi pembeda graf P 6 K Gambar V. a.partisi pembeda graf P m K 1, dengan m = 3 dan b.partisi pembeda graf P m K 1, dengan m = Gambar V.3 Partisi pembeda graf K 11 K Gambar V.4 a.graf persahabatan f 4 dan b.graf kincir W Gambar V.5 Graf K 1,m korona K n xiv

15 aftar Lambang Pemakaian Lambang Keterangan pertama kali pada halaman B(m; n) Graf pohon pisang homogen C(m; n) Graf ulat homogen C(m; n 1, n,, n m ) Graf ulat tak-homogen cpd(g) imensi partisi terhubung graf G deg(v) erajat simpul v diam(g) iameter graf G dim(g) imensi metrik graf G d(u, v) Jarak dari simpul u ke v d(v, S) Jarak dari simpul u ke subhimpunan S t (T ) = 3 erajat terminal maksimum simpul mayor eksterior dari pohon T F (m; n) Graf kembang api homogen F (m; n 1, n,, n m ) Graf kembang api tak-homogen g(n, d) Bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga (d + 1) k n G 1 + G Graf G 1 join G G 1 G Graf G 1 kartesian G G 1 G Graf G 1 korona G G 1 G Graf G 1 union G G n Graf gir order n xv

16 H n Graf helm order n K 1,n Graf bintang order n K n Graf lengkap order n K n1,n,,n r Graf r-partit lengkap K n,n,n Graf tripartit homogen lengkap mk n m buah kopi disjoin dari graf lengkap K n pd(g) imensi partisi graf G ppd(g) imensi partisi lintasan graf G P n Graf lintasan order n spd(g) imensi partisi bintang graf G SF n Graf bunga matahari order n V (G) Himpunan simpul graf G = (V, E) w W Simpul w anggota himpunan W Wn m Graf kincir order mn W n Graf roda order n W V (G) W himpunan bagian dari atau sama dengan V (G) (Z, ε 4 ) Graf planar teratur (Z, ε 8 ) Graf teratur xvi

17 Bab I Pendahuluan Pada Bab I ini diberikan latar belakang pemilihan topik penelitian dalam disertasi, tujuan dan ruang lingkup, dan sistematika penulisan. I.1 Latar Belakang Representasi dan klasifikasi senyawa kimia adalah salah satu masalah yang dihadapi oleh para kimiawan. Permasalahan ini dapat diuraikan sebagai berikut: Pertama, bagaimana merepresentasikan dua atau lebih senyawa kimia yang mempunyai rumus kimia sama tetapi mempunyai struktur berbeda. Kedua, bagaimana merepresentasikan dua senyawa kimia yang mempunyai rumus kimia berbeda tetapi mempunyai struktur sama. alam reaksi kimia, struktur sebuah senyawa kimia menentukan karakteristik senyawa tersebut. Representasi yang unik akan memudahkan klasifikasi sebuah senyawa kimia. Johnson (1993), seorang kimiawan pada sebuah perusahaan farmasi, menggunakan konsep himpunan pembeda yang dikenalkan secara terpisah oleh Slater (1975) dan oleh Harary dan Melter (1976). engan konsep ini, senyawa kimia direpresentasikan secara unik sebagai objek matematika. Klasifikasi senyawa kimia dilakukan dengan mempelajari dan mengklasifikasi objek matematika ini (Chartrand dan Zhang, 003). Senyawa kimia direpresentasikan dalam bentuk graf. Simpul graf menyatakan atom, dan sisi graf menyatakan ikatan valensi antara dua atom. Misalkan V (G) adalah himpunan semua simpul di graf G dan W adalah himpunan sejumlah simpul terurut, dengan W V (G). engan menghitung jarak setiap simpul v V (G) terhadap setiap simpul w W, konsep himpunan pembeda memastikan setiap simpul v V (G) mempunyai representasi berbeda. Jika dua senyawa berbeda mempunyai himpunan V (G) dan jarak v ke w yang sama, untuk semua v V (G) dan w W, maka kedua senyawa tersebut dalam satu klasifikasi. Selanjutnya, Chartrand dkk. (1998) mengenalkan konsep partisi pembeda yang merupakan bentuk serupa dari himpunan pembeda suatu graf. Chartrand dkk. (1998) melakukan pengelompokan simpul di graf G ke dalam sejumlah kelas partisi dan menghitung jarak setiap simpul di G terhadap semua kelas partisi untuk 1

18 merepresentasikan setiap simpul pada graf G. Himpunan pembeda W memastikan representasi berbeda untuk semua simpul di graf G, yaitu dengan menunjukkan jarak simpul v V (G) ke semua simpul di W V (G) dan dimensi metrik memastikan kardinalitas W adalah minimal. Sedangkan partisi pembeda Π memastikan representasi berbeda untuk semua simpul di graf G, yaitu dengan menunjukkan jarak simpul v V (G) ke semua kelas partisi dalam Π dan dimensi partisi memastikan kardinalitas Π adalah minimal. Pada paper pertama tentang dimensi partisi, Chartrand dkk. (1998) menunjukkan dimensi partisi graf bintang ganda T dan memberikan batas atas dan batas bawah dimensi partisi graf ulat (caterpillar). ua tahun kemudian Chartrand, Salehi dan Zhang (000) membuktikan bahwa sebuah graf G mempunyai pd(g) = jika dan hanya jika G adalah graf lintasan P n dan menunjukkan bahwa graf G mempunyai pd(g) = n jika dan hanya jika G = K n. Selain itu, Chartrand, Salehi dan Zhang (000) mengkarakterisasi semua graf terhubung G order n yang mempunyai dimensi partisi (n 1). Jika G adalah graf terhubung order n maka pd(g) = n 1 jika dan hanya jika G adalah salah satu dari graf berikut: K 1,n 1, K n e, atau K 1 + (K 1 K n ). Karakterisasi berikutnya dilakukan oleh Tomescu (008), yaitu mengkarakterisasi semua graf terhubung G order n yang mempunyai dimensi partisi (n ). Tomescu (008) menunjukkan hanya terdapat 3 graf tak-isomorfik yang mempunyai dimensi partisi n. engan demikian, dimensi partisi dari sebarang graf terhubung G order n lainnya terletak pada selang [3, (n 3)]. Namun, problem penentuan dimensi partisi untuk sebarang graf terhubung G adalah NP-Complete (Garey dan Johnson, 1979). imensi partisi untuk beberapa kelas graf tertentu telah dikaji oleh banyak peneliti, misalnya dimensi partisi graf pohon (graf bintang ganda, graf ulat (Chartrand dkk., 1998), graf bintang, graf bipartit (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000)), graf roda (Tomescu dkk., 007), dan graf mirip roda (graf gir, graf helm, graf bunga matahari (Javaid dan Shokat, 008)). Lebih jauh, Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (010) menentukan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung. Penelitian dimensi partisi untuk graf tak hingga dimulai oleh Tomescu (008). Ia menunjukkan graf planar teratur-4 (Z, ε 4 ) mempunyai dimensi partisi 3 dan graf teratur-8 (Z, ε 8 ) mempunyai dimensi partisi 4. Graf planar teratur-4 (Z, ε 4 ) adalah graf yang memiliki himpunan simpul V ((Z, ε 4 )) = Z dan himpunan sisi

19 graf (Z, ε 4 ) adalah semua pasangan simpul di (Z, ε 4 ) yang memiliki jarak blok kota 1. Jarak blok kota dari dua simpul (i, j) dan (i, j ) pada (Z, ε 4 ) didefinisikan dengan d 4 ((i, j), (i, j )) = i i + j j. Semua daerah pada graf planar teratur-4 (Z, ε 4 ) berupa bujursangkar. Graf teratur-8 (Z, ε 8 ) adalah graf yang memiliki himpunan simpul V ((Z, ε 8 )) = Z dan himpunan sisi graf (Z, ε 8 ) adalah semua pasangan simpul di (Z, ε 8 ) yang memiliki jarak papan catur 1. Jarak papan catur dari dua simpul (i, j) dan (i, j ) pada (Z, ε 8 ) didefinisikan sebagai d 8 ((i, j), (i, j )) = maks( i i, j j ). Graf teratur-8 (Z, ε 8 ) dapat diperoleh dengan menggambarkan semua diagonal pada setiap daerah bujursangkar dari graf (Z, ε 4 ). alam hal nilai dimensi partisi dari suatu graf belum dapat ditentukan, peneliti memberikan batas atas dan batas bawah dimensi partisi dari graf tersebut. Misalkan graf roda W n, dimensi partisi graf roda pd(w n ) diberikan dalam selang (n) 1/3 pd(w n ) p + 1, dengan p adalah bilangan prima terkecil sedemikian hingga p(p 1) n (Tomescu dkk., 007). i antara banyak kelas graf, graf pohon termasuk kelas graf sederhana yang penting karena digunakan secara luas tidak hanya di banyak bidang aplikasi tetapi juga dalam Teori Graf sendiri. Graf pohon adalah graf terhubung yang tidak memuat siklus. Graf pohon digunakan antara lain pada analisis hirarki bisnis, penentuan biaya minimum pada jaringan transportasi, dan dasar struktur data pada ilmu komputer (Bóna, 00). Ketika berdiskusi tentang suatu konsep atau dugaan dalam teroi graf, biasanya orang mengkaji konsep tersebut atau memeriksa dugaan tersebut pada kelas pohon terlebih dahulu (Bin dan Zhongyi, 010). alam hal dimensi metrik, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (000) telah berhasil memberikan dimensi metrik untuk sebarang graf pohon T secara lengkap. Namun, tidak demikian untuk dimensi partisi graf pohon. Hanya beberapa graf dalam kelas pohon yang telah diketahui dimensi partisinya, seperti graf bintang ganda dan graf bintang. Lebih jauh, dimensi partisi graf ulat baru didapatkan batas atas dan batas bawahnya (Chartrand dkk., 1998). Untuk itu, kami akan membahas dimensi partisi beberapa graf dalam kelas pohon, yaitu graf ulat (caterpillar), graf kembang api (firecracker), dan graf pohon pisang (banana tree). Chartrand, Salehi dan Zhang (000) mengawali penelitian dimensi partisi untuk kelas graf multipartit dengan menentukan dimensi partisi graf bipartit. Oleh karena 3

20 baru dimensi partisi graf bipartit yang telah diketahui, dalam disertasi ini kami membahas pula dimensi partisi graf r-partit, graf bipartit minus sebuah matching, dan graf tripartit minus sebuah matching. emikian pula halnya dengan penentuan dimensi partisi graf hasil operasi biner antara dua graf. Chartrand dkk. (1998) dan Yero dkk. (010) memberikan dimensi partisi graf hasil operasi kartesian antara dua graf terhubung. alam disertasi ini kami membahas dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung. I. Tujuan dan Lingkup Penelitian Penelitian dalam disertasi ini mempunyai 3 tujuan berikut: Pertama, menentukan dimensi partisi graf kelas pohon, yaitu graf ulat, graf kembang api, dan graf pohon pisang. Kedua, menentukan dimensi partisi graf r-partit. Tujuan kedua ini dapat dipandang sebagai perumuman dari dimensi partisi graf bipartit hasil penelitian (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000). Lebih dari itu, kami juga menentukan dimensi partisi graf bipartit minus sebuah matching dan graf tripartit minus sebuah matching. Ketiga, menentukan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung, yaitu F = G H. Kami menentukan batas atas dimensi partisi G H untuk sebarang graf G dan graf H berdiameter paling banyak. Untuk kasus tertentu, kami menentukan dimensi partisi graf dari: P m K n, P m K 1,n, K m K n, K 1 mk n, dan K 1,m K n, dengan P m, K m, K 1,m dan mk n masing-masing adalah graf lintasan order m, graf lengkap order m, graf bintang order m + 1, dan m kopi disjoin graf lengkap K n. Graf K 1 mk n isomorf dengan graf kincir Wn m. Untuk n = graf kincir Wn m isomorf dengan graf persahabatan f m. I.3 Sistematika Penulisan isertasi isertasi ini ditulis dengan sistematika sebagai berikut. Bab I memberi paparan tentang latar belakang dan perumusan masalah. Peta jalan (road map) penelitian dalam bidang dimensi partisi, dari sejak awal sebagai topik penelitian sampai penelitian terbaru, juga diberikan dalam bab ini. engan demikian, pembaca akan menemukan keterkaitan penelitian dalam disertasi ini 4

21 dengan hasil-hasil yang sudah diperoleh oleh para peneliti sebelumnya dan, pada saat yang sama, dapat melihat kecenderungan penelitian dalam bidang ini pada masa yang akan datang. asar-dasar teori graf, definisi dan peristilahan yang diperlukan dalam pembahasan dimensi partisi sebuah graf diberikan dalam Bab II. Seperti disampaikan di atas, dimensi partisi dapat dipandang sebagai ragam lain dari konsep himpunan pembeda dan dimensi metrik sebuah graf. engan demikian, agar pembaca lebih mudah memahami konsep dimensi partisi, paparan tentang dimensi metrik diberikan mendahului paparan tentang konsep dimensi partisi. Pada bagian akhir Bab II diberikan teorema-teorema dimensi partisi hasil penelitian peneliti sebelumnya. Sejumlah teorema yang terkait langsung dengan penelitian dalam disertasi ini disertai dengan pembuktiannya. Hasil-hasil penelitian dalam disertasi ini diberikan dalam Bab III dan Bab IV. Bab III berisi bahasan dimensi partisi dari sejumlah graf dalam kelas pohon, seperti graf ulat, graf kembang api, dan graf pohon pisang. Pada bagian akhir Bab III diberikan bahasan dimensi partisi dari graf multipartit, graf bipartit minus sebuah matching, dan graf tripartit minus sebuah matching. Hasil-hasil dan pembahasan dimensi partisi graf hasil operasi korona antara dua graf terhubung G dan H diberikan dalam Bab IV. Pembahasan diawali dengan teorema yang memberi batas atas dari dimensi partisi graf F = G H dengan diameter diam(h). Graf hasil operasi korona yang juga dibahas dimensi partisinya dalam bab ini adalah graf P m K n, P m K 1,n, K m K n, K 1 mk n, dan K 1,m K n. Bab V berisi simpulan dan sejumlah masalah terbuka dalam penelitian dimensi partisi. Masalah terbuka pada bab ini diharapkan dapat menjadi bahan diskusi dan stimulasi dimulainya penelitian lanjut dalam bidang dimensi partisi sebuah graf terhubung G. Hasil utama penelitian disertasi ini dinyatakan dalam bentuk lema, teorema, dan akibat yang diberi tanda. 5

22 Bab II Berbagai Konsep imensi dalam Graf Pada Bab II ini akan dipaparkan beberapa definisi dan istilah dalam teori graf yang terkait dengan dimensi partisi sebuah graf terhubung G. i bagian akhir bab ini juga diberikan hasil-hasil penelitian dalam bidang dimensi partisi dari para peneliti sebelumnya. II.1 efinisi dan operasi Graf G = (V, E) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong V (G) yang elemennya disebut simpul (vertex) dan himpunan (mungkin kosong) E(G) V = {{u, v} u, v V }. Setiap elemen di E(G) disebut sisi (edge). Jika e = {u, v} E(G) maka u dikatakan bertetangga dengan v dan sisi e dikatakan melekat pada simpul u dan v. Untuk penyederhanaan penulisan, sisi e = {u, v} ditulis e = uv dan graf G = (V, E) ditulis G. Simpul u dikatakan terhubung dengan simpul v jika terdapat lintasan dari u ke v di G. alam hal ini, simpul v disebut dapat dicapai (accessible) dari simpul u. Jika simpul u dan v terhubung maka panjang lintasan terpendek dari u ke v disebut jarak dari u ke v dan dinotasikan dengan d(u, v). Jika G tidak memiliki lintasan dari u ke v maka didefinisikan d(u, v) =. Graf G dikatakan terhubung jika setiap dua simpul berbeda u, v V (G) terhubung. Graf G pada Gambar II.1 adalah graf terhubung. Jarak simpul a ke g, d(a, g) = 3. Jika simpul u V (G) dan subhimpunan S V (G), maka jarak dari u ke S didefinisikan sebagai min{d(u, x) x S} dan dinotasikan dengan d(u, S). Jelas, untuk u S, d(u, S) = 0. iameter dari graf G didefinisikan sebagai b S c h a g d f e i. Gambar II.1: Graf terhubung G dengan diam(g) = 4 6

23 Gambar II.: a.union graf lintasan P 3 dan P 5, dan b.join graf lintasan P 3 dan P 5 max{d(x, y) x, y V (G)} dan dinotasikan dengan diam(g). Perhatikan graf G pada Gambar II.1, d(a, S) = dan diam(g) = 4. Misalkan G 1 = (V 1, E 1 ) dan G = (V, E ) dua graf terhubung. Suatu graf baru G dapat dibangun dengan mengenakan operasi biner pada graf G 1 dan G. Berikut ini diberikan empat contoh operasi biner, yaitu union, join, kartesian, dan korona. Union G = G 1 G adalah graf G(V, E) dengan V (G) = V (G 1 ) V (G ) dan E(G) = E(G 1 ) E(G ). Jadi, graf G = G 1 G terdiri atas sebuah kopi graf G 1 bersama-sama dengan sebuah kopi graf G. Gambar II..a memberikan gambaran graf hasil operasi union P 3 dan P 4. Join dua graf G 1 dan G, dinotasikan dengan G = G 1 + G, mempunyai himpunan simpul V (G) = V (G 1 ) V (G ) dan himpunan sisi E(G) = E(G 1 ) E(G ) {uv u V (G 1 ) dan v V (G )}. engan kata lain, graf G = G 1 + G diperoleh dengan menambahkan pada G 1 G sisi-sisi yang mempunyai satu simpul ujung di G 1 dan simpul ujung lainnya di G. Jika graf G 1 dan G masing-masing berorder m dan n, maka untuk mendapatkan graf G 1 + G kita menambahkan mn buah sisi pada graf G 1 G. Gambar II..b memberikan gambaran graf hasil operasi join P 3 dan P 4. Hasil kali kartesian antara graf G 1 dan graf G, dinotasikan dengan G = G 1 G, menghasilkan sebuah graf baru G yang mempunyai himpunan simpul V (G) = V (G 1 ) V (G ) dan himpunan sisi E(G) = E(G 1 ) V (G ) V (G 1 ) E(G ). Simpul ujung sisi (d, v) E(G) V (G ) adalah simpul-simpul (x, v) dan (y, v) dengan x dan y adalah simpul ujung dari sisi d E(G 1 ). Simpul ujung sisi (u, e) V (G) E(G ) adalah simpul (u, s) dan (u, t), dengan s dan t adalah simpul ujung dari sisi e E(G ). Gambar II.3.b mengilustrasikan graf hasil kali kartesian P 3 K 3. 7

24 b c (b,x) (c,x) K3: P3: a x y z (a,x) (b,y) (c,y) (a,y) (b,z) (c,z) (a,z) b1 a1 x c1 b c b3 a y a3 c3 z (a) (b) (c) Gambar II.3: a.graf lengkap K 3 dan graf lintasan P 3, b.graf hasil kartesian P 3 K 3, dan c.graf hasil korona P 3 K 3 Hasil kali korona G = G 1 G didefinisikan sebagai graf yang yang diperoleh dari G 1 dan G dengan mengambil sebuah kopi dari G 1 dan V (G 1 ) kopi dari G dan kemudian menghubungkan dengan sebuah sisi setiap simpul dari kopi ke-i dari G dengan sebuah simpul ke-i dari G 1, dengan 1 i V (G 1 ), Gambar II.3.b mengilustrasikan graf hasil kali korona P 3 K 3. Misalkan G i adalah kopi ke-i dari graf G dalam G 1 G. Karena semua simpul pada G i dihubungkan dengan sebuah simpul di G 1, dan bila diam(g ) 3, maka operasi korona menyebabkan diam(g i K 1 ) =. Jika diam(g ), maka diam(g i ) K 1 tidak berubah. Seperti ditunjukkan pada Gambar II.3.b, graf lengkap K 3 mempunyai diam(k 3 ) = 1 = diam(k3 x i i ) untuk suatu i pada selang [1, 3]. II. imensi metrik Slater (1975) mengenalkan konsep himpunan pembeda dengan istilah locating set, sedangkan Harary dan Melter (1976) menamakan konsep tersebut dengan resolving set. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan himpunan simpul V (G) dan himpunan sisi E(G). Jika subhimpunan terurut W V (G), dengan W = {w 1,w,, w k }, dan v V (G) maka representasi v terhadap W didefinisikan sebagai pasangan-k terurut (d(v, w 1 ),d(v, w ),, d(v, w k )) dan dinotasikan dengan r(v W ). Jika untuk setiap dua simpul berbeda u, v V (G) berlaku r(u W ) r(v W ), maka W disebut himpunan pembeda dari V (G). Himpunan pembeda W dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum atau basis dari G. Semua simpul anggota basis dari G disebut simpul basis dari G. imensi metrik dari graf G, dinotasikan dim(g), adalah banyak simpul dalam basis 8

25 a1 a a1 a a1 a b1 b b3 b4 (a) b1 b b3 b4 (b) b1 b b3 b4 (c) Gambar II.4: Himpunan pembeda dari K,4 : a.w 1 = {a 1, b 1, b, b 3, b 4 }, b.w = {a 1, b 1, b, b 3 }, dan c.w 3 = {a 1, b 1, b } G. Jika dim(g) = k maka G dikatakan berdimensi metrik k. Representasi dari dua sebarang simpul w i, w j W, dengan i j, masingmasing mempunyai 0 pada koordinat ke-i dan ke-j. Oleh karena itu, representasi r(w i W ) r(w j W ) berbeda untuk i j.engan demikian, untuk menentukan apakah W adalah sebuah himpunan pembeda pada graf G, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua simpul di V (G) W. Jika d(u, x) d(v, x) maka simpul x dikatakan membedakan simpul u dan v, atau simpul u dan v dapat dibedakan oleh simpul x. Hal yang sama, jika r(u W ) r(v W ), maka dikatakan himpunan W membedakan simpul u dan v, atau simpul u dan v dibedakan oleh himpunan W. Gambar II.4 mengilustrasikan suatu himpunan terurut W K,4 untuk graf bipartit lengkap K,4. Gambar II.4.a menunjukkan bahwa W 1 = {a 1, b 1, b, b 3, b 4 } adalah himpunan pembeda karena semua simpul di K,4 mempunyai representasi yang berbeda. Akan tetapi, kardinalitas W 1 tidak minimum, karena pada Gambar II.4.b dapat ditunjukkan bahwa W = {a 1, b 1, b, b 3 } adalah himpunan pembeda. Himpunan W 3 = {a 1, b 1, b } pada Gambar II.4.c bukanlah himpunan pembeda, karena representasi r(b 3 W 3 ) = r(b 4 W 3 ) = (1,, ). Selanjutnya, kami menunjukkan himpunan pembeda dari K,4 mempunyai kardinalitas sedikitnya 4. Misalkan terdapat himpunan pembeda W dari K,4 dengan W = 3 dan V 1 dan V masing-masing adalah partisi dari K,4. Karena order K,4 sama dengan 6, maka sedikitnya terdapat dua simpul u, v V 1 atau u, v V sedemikian hingga u, v W. Oleh karena d(u, w) = d(v, w) untuk semua w V (K,4 ) {u, v}, maka r(u W ) = r(v W ), kontradiksi dengan pemisalan W sebagai himpunan pembeda. Jadi, W 4. engan demikian, W adalah salah satu himpunan pembeda minimum dari K,4 dan karena itu dimensi metrik dari graf K,4 adalah 4. Saputro dkk. (010) memberikan Teorema II.1 untuk menentukan dimensi metrik dari graf r-partit lengkap untuk r. 9

26 Gambar II.5: Sebuah graf G dengan q (G) dan p / (G). Teorema II.1. (Saputro dkk., 010) Jika G = K n1,n,,n r adalah graf multipartit lengkap untuk r dengan m partisi tunggal, maka dim(g) = { V (G) 1 (r m), jika m > 0, V (G) r, jika m=0. Lebih jauh, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (000) memberikan batas bawah dan batas atas untuk dimensi metrik G, dim(g), yang dinyatakan dalam diameter dari G pada Teorema II. berikut ini. Teorema II.. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 000) Misalkan G adalah graf terhubung dengan diameter k dan orde n, dimana k < n. Maka, berlaku f(n, k) dim(g) n k, f(n, k) adalah bilangan bulat positif terkecil r sedemikian hingga k + k r n. Pandang sebuah graf G = (V, E). Misalkan u, v V (G). Simpul u disebut simpul batas dari simpul v jika d(w, v) d(u, v) untuk setiap w N(u), dengan N(u) adalah himpunan semua simpul di G yang bertetangga dengan u. Selanjutnya, simpul u disebut simpul batas dari G jika u adalah sebuah simpul batas untuk suatu simpul di G. Himpunan semua simpul batas dari G disebut batas dari G, dinotasikan dengan (G) (Chartrand dkk., 003). Gambar II.5 menunjukkan bahwa simpul q adalah simpul batas dari p tapi tidak untuk sebaliknya. Lebih jauh, simpul p / (G). Caceres dkk. (005) menyatakan bahwa batas atas dimensi metrik suatu graf G adalah kardinalitas himpunan batas G sebagaimana yang dinyatakan dalam 10

27 Teorema II.3 berikut ini. Teorema II.3. (Caceres dkk., 005) Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial dan (G) adalah himpunan batas dari G. Maka dim(g) (G). imensi metrik untuk beberapa graf G dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema II.. Jika G = P n maka diameter G adalah n 1 dan fungsi f(n, k) pada II. bernilai 1. engan menggunakan Teorema II., diperoleh dim(p n ) = 1. Selanjutnya, andaikan ada graf lain G yang terhubung orde n dengan dim(g) = 1 dan basis W = {w}. Untuk setiap simpul v G, r(v W ) = d(v, w) adalah suatu bilangan bulat tak negatif yang kurang dari n. Karena representasi dari setiap simpul v V (G) terhadap W berbeda maka terdapat sebuah simpul u V (G) sedemikian hingga d(u, w) = n 1. Oleh karena itu, diameter G adalah n 1 dan mengakibatkan G = P n. Misalkan G = K n dengan n dan W adalah basis dari G. Jika u / W maka setiap komponen dari representasi r(u W ) bernilai 1. Sehingga setiap himpunan pembeda pada G harus memuat semua simpul kecuali satu simpul dari G. Jadi, dim(k n ) = n 1. engan menggunakan Teorema II., jika G graf terhubung yang bukan graf lengkap maka dim(g) n. engan demikian, jika dim(g) n maka haruslah graf G = Kn. Selain mengkarakterisasi dim(g) = 1 dan n 1 seperti pada dua paragraf di atas, Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann (000) juga menunjukkan karakterisasi dim(g) = n, dan menentukan dimensi metrik dari graf lingkaran C n dan graf pohon T. Hasil-hasil di atas ditulis dalam Teorema II.4 berikut ini dan merupakan hasil fundamental untuk dimensi metrik graf G. Teorema II.4. (Chartrand, Eroh, Johnson dan Oellermann, 000) Misalkan G adalah sebuah graf terhubung dengan orde n. (i) dim(g) = 1 jika dan hanya jika G = P n. (ii) dim(g) = n 1 jika dan hanya jika G = K n. (iii) Untuk n 3, dim(c n ) =. (iv) Untuk n 4, dim(g) = n jika dan hanya jika G = K r,s, (r, s 1), G = K r + K s, (r 1, s ), atau G = K r + (K 1 K s ), (r, s 1). 11

28 (v) Jika T adalah graf pohon yang bukan lintasan maka dim(t ) = σ(t ) ex(t ), dimana σ(t ) menyatakan jumlah derajat terminal dari simpul utama T, dan ex(t ) menyatakan jumlah simpul utama bagian luar T. II.3 imensi partisi imensi partisi dari sebuah graf G dikenalkan oleh Chartrand dkk. pada tahun Mereka mengelompokkan semua simpul di G ke dalam sejumlah kelas partisi dan menentukan jarak setiap simpul terhadap setiap kelas partisi tersebut. Secara tepat, misalkan Π = {S 1, S,, S k } merupakan partisi terurut dari V (G) dan v V (G). Representasi dari v V (G) terhadap Π didefinisikan sebagai pasangank terurut (d(v, S 1 ), d(v, S ),, d(v, S k )). Jika untuk setiap dua simpul berbeda u, v V (G) berlaku r(u Π) r(v Π), maka Π disebut partisi pembeda dari V (G). Partisi pembeda Π dengan kardinalitas minimum disebut partisi pembeda minimum dari G. imensi partisi pd(g) dari graf G adalah kardinalitas dari partisi pembeda minimum dari G. Misalkan Π = {S 1, S,, S k } adalah partisi terurut dari V (G). Jika u S i dan v S j, dan i j, maka jelas bahwa r(u Π) r(v Π) (karena d(u, S i ) = 0 tetapi d(v, S i ) 0). engan demikian, ketika diberikan sebuah partisi Π dari V (G) dan hendak menentukan apakah Π adalah partisi pembeda untuk V (G) atau bukan, pemeriksaan cukup dilakukan pada semua simpul yang termasuk dalam suatu kelas partisi yang sama. Jika semua simpul dalam setiap kelas partisi yang sama mempunyai representasi berbeda terhadap Π, maka Π merupakan partisi pembeda. Jika d(u, S i ) d(v, S i ), maka kelas partisi S i dikatakan memisahkan simpul u dan v di G. Sebuah kelas partisi yang mempunyai satu anggota disebut kelas partisi singleton. engan sendirinya, simpul dalam kelas partisi singleton mempunyai representasi yang unik. Sekarang, pandang dua simpul berbeda u, v V (G). Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v} maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di G. Hal ini jelas, karena jika tidak demikian, r(u Π) = r(v Π). engan demikian diperoleh Lema II.1 berikut ini. Lema II.1. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000) Misalkan G suatu graf terhubung tak-trivial. Misalkan Π suatu partisi pembeda dari G dan u, v V (G). 1

29 S a1 S3 a S a1 S3 a S1 a1 S a S1 S4 S5 S1 S4 S3 b1 b b3 b4 (a) b1 b b3 b4 (b) b1 b b3 b4 (c) Gambar II.6: Partisi pembeda dari K,4 : a.π 1 = {S 1, S, S 3, S 4, S 5 }, b.π = {S 1, S, S 3, S 4 }, dan c.π 3 = {S 1, S, S 3 } Jika d(u, w) = d(v, w) untuk setiap w V (G) {u, v}, maka u dan v harus termuat dalam kelas partisi yang berbeda di Π. Pada bab-bab selanjutnya Lema II.1 ini banyak digunakan dalam menentukan dimensi partisi sebuah graf terhubung G. Pada Gambar II.6, diilustrasikan sebuah partisi untuk graf bipartit lengkap K,4. Gambar II.6.a menunjukkan bahwa Π 1 = {S 1, S, S 3, S 4, S 5 }, dengan S 1 = {b 1 }, S = {a 1, b }, S 3 = {a },S 4 = {b 3 } dan S 5 = {b 4 }, adalah partisi pembeda karena semua simpul di K,4 mempunyai representasi terhadap Π 1 ) yang berbeda. Akan tetapi Π 1 bukan partisi pembeda minimum karena pada Gambar II.4.b dapat ditunjukkan bahwa Π = {S 1, S, S 3, S 4 } dengan S 1 = {b 1 }, S = {a 1, b }, S 3 = {a, b 3 } dan S 4 = {b 4 }, adalah partisi pembeda dari G juga. Partisi Π 3 = {S 1, S, S 3 }, dengan S 1 = {a 1, b 1 }, S = {a, b } dan S 3 = {b 3, b 4 }, pada Gambar II.6.c bukanlah partisi pembeda karena r(b 3 Π 3 ) = r(b 4 Π 3 ) = (1, 1, 0). Untuk menunjukkan pd(k,4 ) = 4, andaikan terdapat partisi pembeda Π dari K,4 dan Π = 3. Misalkan V (K,4 ) terdiri atas partit V 1 dan V dengan V 1 = dan V = 4. Maka, sedikitnya terdapat dua simpul u, v V sedemikian hingga u, v termuat dalam kelas partisi yang sama. Oleh karena d(u, w) = d(v, w) untuk semua w V (K,4 ) {u, v}, maka r(u W ) = r(v W ), kontradiksi dengan pemisalan Π sebagai partisi pembeda. Jadi, Π 4 dan karena Gambar II.6.b telah memberikan partisi pembeda dengan 4 anggota dari K,4 maka pd(k,4 ) = 4. Fehr dkk. (006) mengembangkan konsep dimensi partisi graf berarah dengan menerapkan dimensi partisi pada graf berarah. Misalkan adalah sebuah graf berarah dan u, v V (). Sisi berarah e E() disebut busur. Kemudian jarak dari u ke v, dinotasikan dengan d(u, v), adalah jumlah busur dalam lintasan 13

30 terpendek dari u ke v. Jika S V (), jarak v ke S didefinisikan dengan d(v, S) = min{d(v, x) x S}. Sebagaimana pada graf tak berarah, simpul x V () (atau subhimpunan S V ()) membedakan dua simpul u dan v jika d(u, x) d(v, x) (atau d(u, S) d(v, S). Saenpholphat dan Zhang (00) mengenalkan konsep partisi pembeda terhubung. Suatu himpunan partisi Π = {S 1, S,, S k } disebut partisi pembeda terhubung jika (1) Π suatu partisi pembeda dari G dan () setiap subgraf yang diinduksi oleh S i adalah graf terhubung di G, dengan 1 i k. Nilai minimum k sedemikian hingga terdapat suatu k-partisi pembeda terhubung dari V (G) adalah nilai dimensi partisi terhubung dari G dan ditulis cpd(g) = k. Selanjutnya, Ruxandra (009) mengkaji partisi pembeda dari suatu graf yang setiap subgraf S i berbentuk lintasan. Suatu himpunan partisi Π = {S 1, S,, S k } disebut partisi pembeda lintasan jika (1) Π suatu partisi pembeda dan () setiap subgraf yang diinduksi oleh S i adalah graf lintasan di G, dengan 1 i k. Jika k adalah kardinalitas minimum dari sebarang partisi pembeda lintasan untuk V (G) maka dimensi partisi lintasan dari G adalah k dan ditulis ppd(g) = k. Lebih jauh, Marinescu-Ghemeci dan Tomescu (010) mengenalkan partisi pembeda bintang. Suatu himpunan partisi Π = {S 1, S,, S k } disebut partisi pembeda bintang jika (1) Π suatu partisi pembeda dan () setiap subgraf yang diinduksi oleh S i adalah graf bintang di G, dengan 1 i k. Nilai k minimum sedemikian hingga terdapat suatu k-partisi pembeda bintang dari V (G) adalah nilai dimensi partisi bintang dari G dan ditulis spd(g) = k. II.4 Kaitan antara dimensi partisi dan parameter lainnya Misalkan G suatu graf dengan dimensi metrik k dan W = {w 1, w,, w k } adalah himpunan pembeda dari G. Pandang partisi terurut Π = {S 1, S,, S k+1 } dari V (G), dengan S i = {w i }, bila i [1, k], dan S k+1 = V (G) W. Maka, diperoleh r(v Π) = (d(v, {w 1 }), d(v, {w }),, d(v, {w k }), 0) berbeda untuk semua simpul v S k+1 karena W himpunan pembeda dari G. Selain itu, bila v = w i, untuk suatu i [1, k], maka r(w i Π) mempunyai nilai 0 pada entri ke-i tetapi tidak untuk entri lainnya. engan demikian, r(w i Π) juga unik. Oleh karena itu, Π merupakan partisi pembeda dari G. Sehingga diperoleh Teorema II.5 berikut ini. 14

31 Teorema II.5. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000) Jika G adalah graf terhubung tak-trivial, maka pd(g) dim(g) + 1. Batas atas Teorema II.5 dipenuhi di antaranya oleh graf lintasan P n, graf siklus C n, graf lengkap K n dan graf bintang K 1,n. imensi partisi dari graf G tidak selalu sedikit lebih kecil dari dimensi metriknya. Hal ini ditunjukkan oleh graf planar teratur-4 (Z, ε 4 ) dan graf teratur-8 (Z, ε 8 ) yang memiliki dimensi metrik tidak berhingga (Melter dan Tomescu, 1984), namun dimensi partisinya berturut-turut 3 dan 4 (Tomescu, 008). Graf (Z, ε 4 ) adalah graf planar teratur-4 yang daerahnya berbentuk bujursangkar, sedangkan graf teratur- 8 (Z, ε 8 ) dapat diperoleh dengan menggambarkan semua diagonal pada daerah bujursangkar pada graf (Z, ε 4 ). Indeks 4 dan 8 masing-masing menunjukkan banyak simpul berjarak 1 dari sebarang simpul pada graf tersebut. Simpul u pada Gambar II.7.a mempunyai empat buah simpul tetangga dan simpul v pada Gambar II.7.b mempunyai delapan buah simpul tetangga. Teorema II.6. (Tomescu, 008) imensi partisi graf planar teratur 4 pd(z, ε 4 ) = 3 dan dimensi partisi graf teratur 8 pd(z, ε 8 ) = 4. Bukti. Misalkan Π 1 = {S 1, S, S 3 } adalah partisi pembeda dari graf (Z, ε 4 ) dengan S 1 = {(x, y) Z x 0, y 0}, S = {(x, y) Z x 1, y 0} dan S 3 = {(x, y) Z y 1} (lihat Gambar II.7.a). Maka, dapat ditunjukkan bahwa setiap simpul v V ((Z, ε 4 )) mempunyai representasi r(v Π 1 ) unik. engan demikian, pd(z, ε 4 ) 3. Selanjutnya, Chartrand, Salehi dan Zhang (000) menunjukkan bahwa pd(g) = jika dan hanya jika G adalah graf lintasan. Oleh karena itu, pd(z, ε 4 ) 3. Jadi, pd(z, ε 4 ) = 3. Selanjutnya, misalkan Π = {S 1, S, S 3, S 4 } adalah partisi pembeda dari graf (Z, ε 8 ) dengan S 1 = {(x, y) Z x 0, y 0}, S = {(x, y) Z x 1, y 0}, S 3 = {(x, y) Z x 0, y 1} dan S 4 = {(x, y) Z x 1, y 1} (lihat Gambar II.7.b). Maka, dapat ditunjukkan bahwa setiap dua simpul berbeda u, v V ((Z, ε 8 )) mempunyai r(u Π ) r(v Π ). engan demikian, pd(z, ε 8 ) 4. Lebih jauh, dapat ditunjukkan bahwa jika terdapat suatu partisi pembeda Π dari graf (Z, ε 8 ) maka terdapat sedikitnya sebarang dua simpul berbeda u, v V ((Z, ε 8 )) sedemikian hingga r(u Π ) = r(v Π ), kontradiksi. 15

32 Gambar II.7: a.pd(z, ε 4 ) = 3 dan b.pd(z, ε 8 ) = 4, namun dimensi metrik kedua graf tak berhingga Lebih jauh, dalam Teorema II.7 berikut, Chartrand, Salehi dan Zhang (000) menunjukkan bahwa untuk setiap pasang bilangan bulat positif a, b, dengan b + 1 a b + 1, terdapat suatu graf terhubung G yang mempunyai pd(g) = a dan dim(g) = b. Misalkan K s,t adalah graf bipartit dengan s = a, t = b a +, dan memenuhi b + 1 a b + 1. Teorema II.4 menunjukkan bahwa dim(k s,t ) = s + t = a + (b a + ) = b. Selanjutnya, jelas dari nilai s, t, dan syarat yang diberikan, bahwa s > t. pd(k s,t ) = max{s, t} = s = a. Menurut Teorema II.17, Teorema II.7. (Chartrand, Salehi dan Zhang, 000) Untuk setiap pasang bilangan bulat positif a, b dengan b +1 a b+1, terdapat suatu graf terhubung G yang mempunyai dimensi partisi pd(g) = a dan dimensi metrik dim(g) = b. ari Teorema II.7, muncul pertanyaan baru, yakni apakah ada graf G yang memiliki dimensi partisi kurang dari separuh dimensi metriknya. Pertanyaan ini selanjutnya dijawab oleh Chappell dkk. (008) dengan menunjukkan bahwa graf seperti pada Gambar II.8 mempunyai dim(g) = b, pd(g) = a dan 3 a b + 1 dengan himpunan pembeda dan partisi pembedanya ditunjukkan pada Gambar II.8.a dan Gambar II.8.b, berturut-turut. Karena terdapat a buah simpul anting yang terkait dengan simpul x 1, dan a adalah banyak simpul anting maksimum di graf G, maka berdasarkan Lema II.1 pd(g) a. Misalkan Π = {S 1, S,, S a } adalah suatu partisi untuk V (G), dengan S 1 = 16