Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos BASIS FOR DETERMINING THE WHEEL GRAPH

Transkripsi

1 PENETUAN BASIS BAGI GRAF RODA Nur Ulfah Dwiyanti Obed 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin Jln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos 9024 BASIS FOR DETERMINING THE WHEEL GRAPH Nur Ulfah Dwiyanti Obed 1*), Nurdin 2), Amir Kamal Amir 3) 1 Departement of Mathematic, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Hasanuddin University Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 9024 ABSTRAK Misalkan G = (V, E) suatu graf terhubung dan S adalah suatu himpunan bagian dari V. Himpunan S disebut himpunan penentu (resolving set) pada G jika untuk setiap titik pada G memiliki representasi jarak yang berbeda terhadap S. Himpunan penentu dengan banyak anggota (kardinalitas) minimum disebut himpunan penentu minimum (resolving set minimum) atau basis dari G dan kardinalitas himpunan tersebut menyatakan dimensi metrik (metric dimension) graf G, dinotasikan dengan dim(g). Pada skripsi ini telah diketahui dimensi metrik untuk graf roda W n. Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh basis-basis S bagi graf roda W n untuk n 7 adalah 1. S = v 1, v 3, v i+2, v i+4 i = 1, 2,, 2k 1, dimana n = 10k 1, n = 10k dan n = 10k + 1 untuk suatu k bilangan asli. 2. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, dimana n = 12 dan n = 13, dimana n = 10k + 2 dan n = 10k + 3, untuk k S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, dimana n = 14, n = 1 dan n = 16, v 10.k+4, dimana n = 10k + 4, n = 10k + dan n = 10k + 6, untuk k S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, v 17, dimana n = 17 dan n = 18, v 10.k+4, dimana n = 10k + 7 dan n = 10k + 8, untuk k 2. Kata Kunci : Dimensi Metrik, Graf Roda, Himpunan Penentu. ABSTRACT Let G = (V, E) be a connected graph and S be a vertices subset of V. The set S is called resolving set for G if the representation of every vertex on G with respect to S are distinct. A resolving set containing a minimum number of vertices is called a basis for G. The metric dimension of G, denoted by dim(g), is the cardinality of basis. In this thesis we have been known the metrics dimension of wheel graph W n. Based on the discussion of the results we obtained that bases S for wheels graph W n for n 7 is 1. S = v 1, v 3, v i+2, v i+4 i = 1, 2,, 2k 1, where n = 10k 1, n = 10k and n = 10k + 1 for some k natural number. 2. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, where n = 12 and n = 13, where n = 10k + 2 and n = 10k + 3, for k 2.

2 3. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, where n = 14, n = 1 and n = 16, v 10.k+4,where n = 10k + 4, n = 10k + and n = 10k + 6, for k S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, v 17, where n = 17 and n = 18, v 10.k+4, where n = 10k + 7 and n = 10k + 8, for k 2. Keyword : Metric Dimension, Wheel Graph, Resolving Set. 1. Pendahuluan Cabang matematika yang saat ini semakin berkembang dan menarik salah satunya adalah teori graf. Teori graf merupakan teori yang unik dan memiliki banyak penerapan. Kesederhanaan pokok bahasan yang dipelajari merupakan salah satu keunikan dari teori graf karena dapat disajikan sebagai titik (vertex) dan sisi (edge). Teori graf dan aplikasinya tidak hanya dijumpai dalam cabang-cabang matematika, tetapi juga dalam disiplin-disiplin ilmiah seperti teknik, ilmu komputer, riset operasi, dan manajemen sains. Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun Kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah compleks problem artinya tidak mudah untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dengan melakukan analisis dari subkelas dahulu agar lebih mudah mencari dimensi metrik dari graf secara umum. 2. Tinjauan Pustaka 2.1 Graf dan Terminologi Graf Definisi Graf G = V, E adalah pasangan himpunan V, E dimana V adalah himpunan tidak kosong yang disebut himpunan titik, dan E adalah himpunan pasangan tidak terurut titik-titik di G yang disebut himpunan sisi pada G. Definisi Misal G adalah graf dengan u, v V G. Jika e = uv adalah sisi pada G maka u dan v disebut bertetangga (adjacent), sedangkan u disebut terkait dengan e, demikian pula sebaliknya yaitu e terkait dengan v. Definisi Banyaknya anggota himpunan titik pada suatu graf G disebut order, sedangkan banyaknya anggota himpunan sisinya disebut ukuran G. Definisi Derajat (degree) titik v pada graf G,dinotasikan deg(v), adalah banyaknya sisi yang terkait dengan v. Minimum derajat titik pada G dinotasikan dengan δ(g), sedangkan maksimum derajat titik pada G dinotasikan dengan (G). Definisi 2.1. Graf G disebut graf terhubung jika terdapat lintasan untuk setiap dua titik di G. Definisi Jarak (distance) antara dua titik u dan v pada G adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan antara u dan v, dinotasikan dengan d(u, v). G. Chartrand dan Zhang P, Graf Roda Definisi Graf lingkaran (cycle) dengan n titik, dilambangkan dengan C n, adalah graf terhubung yang semua titiknya berderajat 2.

3 Definisi Graf roda (wheel) adalah graf yang dikonstruksi dari graf C n dinotasikan dengan W n, dengan menambahkan satu titik v dan n sisi sedemikian sehingga v bertetangga dengan semua titik di C n. V 2 V 1 V 3 V 8 V 0 V Dimensi Metrik Gambar 2. Graf Roda W 8 Definisi Misal S = v 1, v 2,, v n V. Representasi titik V V relatif terhadap S adalah barisan berurutan n-tuple yaitu r v S = d v, x 1,, d v, x n. Definisi Himpunan S disebut himpunan penentu pada graf G jika untuk setiap U, V V, U V pada graf G berlaku r(u S) r(v S). Definisi Basis pada graf G adalah himpunan penentu yang memiliki jumlah anggota Definisi Dimensi metrik pada graf G, dinotasikan dengan dim(g), adalah banyaknya anggota basis S di graf G. 3. Hasil dan Pembahasan Teorema 1 Misalkan W n adalah graf roda, maka dim W n = 2n+2 untuk n 7, dengan himpunan penentu pada Lemma, Lemma 6, Lemma 7, Lemma 8 dan Lemma 9. Bukti : Perhatikan bahwa S = 4k pada graf roda W n dimana n = 10k untuk suatu k bilangan asli dengan S = v 1, v 3, v i+2, v i+4 i = 1, 2,, 2k 1. Berdasarkan Teorema A bahwa dim W n = 2n+2 V 7 untuk n 7. Selanjutnya akan dibuktikan bahwa S = 4k pada graf roda W n dimana n = 10k untuk suatu k bilangan asli, maka dim W 10k = 2 10k +2 V 6 = 4k + 1 = 4k. Karena S himpunan penentu dengan S = 4k, maka S himpunan penentu Karena basis dari W n adalah S, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa a. S = v 1, v 3, v i+2, v i+4 i = 1, 2,, 2k 1, dimana n = 10k 1, n = 10k dan n = 10k 1 untuk suatu k bilangan asli pada Lemma dan Lemma 6 adalah himpunan penentu V

4 b. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, dimana n = 12 dan n = 13 pada Lemma 7 adalah himpunan penentu dimana n = 10k + 2 dan n = 10k + 3, untuk k 2 pada Lemma 7 adalah himpunan penentu c. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, dimana n = 14, n = 1 dan n = 16 pada Lemma 8 adalah himpunan penentu v 10.k+4, dimana n = 10k + 4, n = 10k + dan n = 10k + 6, untuk k 2 pada Lemma 8 adalah himpunan penentu d. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, v 17, dimana n = 17 dan n = 18 pada Lemma 9 adalah himpunan penentu v 10.k+4, dimana n = 10k + 7 dan n = 10k + 8, untuk k 2 pada Lemma 9 adalah himpunan penentu 4. Penutup 4.1 Kesimpulan Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh basis-basis S sebagai berikut : 1. S = v 1, v 3, v i+2, v i+4 i = 1, 2,, 2k 1, dimana n = 10k 1, n = 10k dan n = 10k + 1 untuk suatu k bilangan asli. 2. S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, dimana n = 12 dan n = 13, dimana n = 10k + 2 dan n = 10k + 3, untuk k S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, dimana n = 14, n = 1 dan n = 16, v 10.k+4,dimana n = 10k + 4, n = 10k + dan n = 10k + 6, untuk k S = v 1, v 3, v 7, v 9, v 12, v 14, v 17, dimana n = 17 dan n = 18, v 10.k+4, dimana n = 10k + 7 dan n = 10k + 8, untuk k Saran Untuk melanjutkan pembahasan mengenai skripsi ini, penulis menyarankan untuk meninjau menentukan basis graf roda dengan menggunakan program. DAFTAR PUSTAKA [1] Buczkowski, P., Chartrand, G., Poisson, C., dan Zhang, P. 2003: On k-dimensional Graphs and Their Bases, Period. Math. Hungar. 46(1), 9 1. [2] Chartrand, G. dan Zhang, P.2002: Introduction To Graph Teory, Mc Graw International Edition. [3] Harary, F. dan Melter, R. 1976: On the Metric Dimension of a Graph, Ars Combin. 2,

5 [4] Hindayani. 2011: Dimensi Metrik Graf K r + mk s, m, r, s N, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. [] Kurniati HM, Ary Herlina. 2012: Dimensi Metrik Graf Gir, Universitas Hasanuddin Makassar. [6] Mudjiati,Titik Dimensi Metrik Graf Kincir Dengan Daun Bervariasi, Institut Teknologi Surabaya. [7] Suardi, Nurfuaidah. 2012: Dimensi Metrik untuk Graf Halin Bintang Ganda, Universitas Hasanuddin Makassar.