{e 1. , e 2. partition dimension of a graph. Aequations Math. 59. no oleh

Transkripsi

1 BAB IV DIMENSI PARTISI PADA K n {e 1 Selain membahas mengenai dimensi partisi n 1 yang merujuk pada jurnal The partition dimension of a graph. Aequations Math. 59. no oleh Gary Chartrand, Ebrahim Salehi dan Ping Zhang. Penulis juga memberikan kontribusi pada dimensi partisi yang akan dibahas pada bab ini. Semakin besar clique pada suatu graf, dengan menggunakan lemma 3 akan semakin mudah mencari dimensi partisi-nya. Alasan inilah yang membuat penulis memilih graf K n {e 1. Sekarang penulis akan menentukan dimensi partisi pada graf K n {e 1. Misalkan G = K n {e 1. Bagi menjadi 2 kasus : 1. Salah satu ujung dari e 1 dan e 2 sama, misal e 1 = v n 2 v n 1 ; e 2 = v n 1 v n Akibat proposisi 4 dan teorema 8 maka pd(g) n 2 Menurut lemma 3 : (#) v n 2 dan v n v 1, v 2,..., v n 3 Sehingga pd(g) n 3 Gambar 22 Jadi, n 3 pd(g) n 2 35

2 Misalkan Π resolving partition dari G. Untuk mencari dimensi partisi dari G maka Π harus n 3 atau n 2 buah partisi. Kita mulai dari yang paling kecil. Misalkan Π ={S 1, S 2,, S n 3 merupakan n 3 buah partisi dari V(G). Berarti v n 2, v n 1, dan v n kita sisipkan berdasarkan (#) pada suatu S i, untuk 1 i n 3. Bagi menjadi 2 sub kasus : 1.1. Titik v n 2, v n 1, dan v n disisipkan pada partisi yang berbeda, misal : S 1 = {v 1, v n, S 2 = {v 2, v n 1, S 3 = {v 3, v n 2 (tanpa mengurangi perumuman) 1.2. Titik v n 1 berada satu partisi dengan v n 2 atau v n, misal : S 1 = {v 1, v n 1, v n, S 2 = {v 2, v n 2 (tanpa mengurangi perumuman) Gambar 23 Salah satu bentuk (a) sub kasus 1.1 (b) sub kasus 1.2 Perhatikan bahwa Π dengan kedua sub kasus diatas bukan resolving partition dari G karena terdapat koordinat titik yang sama, diantaranya r(v 1 Π ) = r(v n Π ) = {0, 1, 1,, 1. Jadi, tidak ada Π dengan n 3 buah partisi sehingga Π resolving partition dari G. Oleh karena itu, pd(g) n 2. Sehingga pd(g) = n 2. 36

3 Sebenarnya sudah ditunjukkan bahwa pd(g) = n 2. Sebagai tambahan, misalkan Π = {S 1, S 2,, S n 2, dengan S i = {v i untuk 2 i n 4, S 1 = {v 1, v n, S n 3 = {v n 3, v n 2, dan S n 2 = {v n 1. Cukup memeriksa r(v 1 Π ) dengan r(v n Π ) dan r(v n 3 Π ) dengan r(v n 2 Π ). r(v 1 Π ) = {0, 1,, 1, 1; r(v n Π ) = {0, 1,, 1, 2; r(v n 3 Π ) = {1, 1,, 0, 1; r(v n 2 Π ) = {1, 1,, 0, 2; Gambar 24 Jadi pd(g) = n Kedua ujung dari e 1 dan e 2 berbeda, misal e 1 = v n 2 v n ; e 2 = v n 3 v n 1 Akibat proposisi 4 dan teorema 8 maka pd(g) n 2 Menurut lemma 3 : (##) v n 3 dan v n 1 v n 2 dan v n v 1, v 2,..., v n 4 Gambar 25 Sehingga pd(g) n 4 Jadi, n 4 pd(g) n 2 Misalkan Π resolving partition dari G. Untuk mencari dimensi partisi dari G maka Π harus n 4, n 3 atau n 2 buah partisi. 37

4 Misalkan Π ={S 1, S 2,, S n 4 merupakan n 4 buah partisi dari V(G). Berarti v n 3, v n 2, v n 1, dan v n kita sisipkan berdasarkan (##) pada suatu S i, untuk1 i n 3. Bagi menjadi 3 sub kasus : 1.1. Titik v n 3, v n 2, v n 1, dan v n disisipkan pada partisi yang berbeda, misal : S 1 = {v 1, v n, S 2 = {v 2, v n 1, S 3 = {v 3, v n 2, S n 4 = {v n 4, v n 3 (tanpa mengurangi perumuman) 1.2. Titik v n 3 dan v n 2 berada dalam satu partisi sedangkan v n 1 dan v n disisipkan pada partisi yang berbeda, misal : S 1 = {v 1, v n, S 2 = {v 2, v n 1, S n 4 = {v 2, v n Titik v n 3 dan v n 2 berada dalam satu partisi sedangkan v n 1 dan v n dalam satu partisi yang lain, misal : S 1 = {v 1, v n 1, v n, S 2 = {v n 4, v n 3, v n 2 Gambar 26 Salah satu bentuk (a) sub kasus 1.1 (b) sub kasus 1.2 (c) sub kasus 1.3 Perhatikan bahwa Π dengan ketiga sub kasus diatas bukan resolving partition dari G karena terdapat koordinat titik yang sama, diantaranya r(v 1 Π ) = r(v n Π ) = {0, 1, 1,, 1. Jadi, tidak ada Π dengan n 4 buah partisi sehingga Π resolving partition dari G. Oleh karena itu, pd(g) n 3. 38

5 Misalkan Π ={S 1, S 2,, S n 4, S n 3 merupakan n 3 buah partisi dari V(G). Berarti S n 3 memuat v n 3, v n 2, v n 1, atau v n. Berdasarkan (##), S n 3 tidak mungkin memuat 4 atau 3 titik tersebut. Jadi, kita bagi menjadi 2 sub kasus : 1.1 Partisi S n 3 memuat 2 titik, misal : S n 3 ={v n 3, v n 2 Gambar 27 Untuk sub kasus ini, v n 1 dan v n kita sisipkan berdasarkan (##) pada suatu S i, untuk1 i n 4. Bagi menjadi 2 kemungkinan : 1. Titik v n 1 dan v n disisipkan pada partisi yang berbeda, misal : S 1 = {v 1, v n, S 2 = {v 2, v n 1 2. Titik v n 1 dan v n berada dalam satu partisi, misal : S 1 = {v 1, v n 1, v n Gambar 28 Salah satu bentuk (a) kemungkinan.1 (b) kemungkinan 2 Perhatikan bahwa Π dengan 2 kemungkinan diatas bukan resolving partition dari G karena terdapat koordinat titik yang sama, diantaranya r(v 1 Π ) = r(v n Π ) = {0, 1, 1,, 1. 39

6 1.2 Partisi S n 3 memuat 1 titik, misal : S n 3 ={v n 3 Gambar 29 Jika v n 2, v n 1 atau v n disisipkan pada S n 3 akan seperti sub kasus 1.1. Jadi, v n 2, v n 1 dan v n kita sisipkan berdasarkan (##) pada suatu S i, untuk1 i n 4. Bagi menjadi 2 kemungkinan : 1. Titik v n 2, v n 1 dan v n disisipkan pada partisi yang berbeda, misal : S 1 = {v 1, v n, S 2 = {v 2, v n 1, S 3 = {v 3, v n 2 2. Titik v n 1 berada satu partisi dengan v n 2 atau v n, misal : S 1 = {v 1, v n 1, v n, S 2 = {v 2, v n 2 Gambar 30 Salah satu bentuk (a) kemungkinan.1 (b) kemungkinan 2 Perhatikan bahwa Π dengan 2 kemungkinan diatas bukan resolving partition dari G karena terdapat koordinat titik yang sama, diantaranya r(v 1 Π ) = r(v n Π ) = {0, 1, 1,, 1. 40

7 Perhatikan bahwa Π dengan kedua sub kasus diatas bukan resolving partition dari G. Jadi, untuk kasus 2 tidak ada Π dengan n 3 buah partisi sehingga Π resolving partition dari G. Oleh karena itu, pd(g) n 2. Jadi pd(g) = n 2. Sama dengan kasus 1, walaupun pada kasus 2 telah dibahas bahwa pd(g) = n 2 sebagai tambahan, misalkan Π = {S 1, S 2,, S n 2, dengan S 1 = {v 1, v n, S n 4 = {v n 4, v n 3, dan sisanya tiap partisi memuat satu titik. Cukup memeriksa r(v 1 Π ) dengan r(v n Π ) dan r(v n 4 Π ) dengan r(v n 3 Π ). r(v 1 Π ) = {0, 1,, 1, 1, 1; r(v n Π ) = {0, 1,, 1, 2, 1; r(v n 4 Π ) = {1, 1,, 0, 1, 1; r(v n 3 Π ) = {1, 1,, 0, 2, 1; Gambar 31 Jadi pd(g) = n 2. Setelah pembahasan diatas, dimensi partisi untuk kasus 1 maupun kasus 2 sama, yaitu pd(g) = n 2. Jadi, jika G = K n {e 1 maka pd(k n {e 1 ) = n 2. 41