DIMENSI METRIK LOKAL DARI GRAF CIRCULANT

Transkripsi

1 TESIS SM DIMENSI METRIK LOKAL DARI GRAF CIRCULANT RUZIKA RIMADHANY NRP DOSEN PEMBIMBING Dr. Darmaji, S.Si., M.T. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2017

2

3 THESIS SM LOCAL METRIC DIMENSION OF CIRCULANT GRAPH RUZIKA RIMADHANY NRP SUPERVISOR Dr. Darmaji, S.Si., M.T. MAGISTER PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2017

4

5

6 DIMENSI METRIK LOKAL PADA GRAF CIRCULANT Nama : Ruzika Rimadhany NRP : Dosen Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. ABSTRAK Diberikan adalah graf terhubung dengan dua simpul dan. Jarak antara dan, dinotasikan, didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke pada. Jika himpunan terurut dari simpul-simpul dalam graf terhubung dan, maka representasi dari terhadap adalah. Jika untuk setiap berbeda, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda (resolving set) dari. Himpunan pembeda dengan banyak anggota minimum disebut dimensi metrik dan dinotasikan. Apabila untuk setiap dua simpul yang bertetangga di berbeda dengan, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal (local resolving set) dari. Himpunan pembeda lokal (local resolving set) dengan banyak anggota minimum disebut dimensi metrik lokal (local metric dimension) dari yang dinotasikan dengan. Pada penelitian ini diperoleh dimensi metrik lokal dari graf circulant adalah satu untuk genap dan dua untuk ganjil. Selanjutnya, dimensi metrik lokal dari graf circulant ( ) adalah. Untuk graf circulant dengan diperoleh ( ) untuk, ( ) untuk dan ( ) untuk. Kata kunci: dimensi metrik, dimensi metrik lokal, graf circulant. iii

7 iv

8 LOCAL METRIC DIMENSION OF CIRCULANT GRAPH Student s Name : Ruzika Rimadhany Student s Identity Number : Supervisor : Dr. Darmaji, S.Si., M.T. ABSTRACT Let is a connected graph with two vertices and. The distance between and, denoted by, is defined as length of the shortest path from to in. If an ordered set of vertices in a connected graph and a vertex of, the representation of towards is. If for each vertex is distinct, the set is a resolving set of. The resolving set of with minimum cardinality is a metric dimension and denoted by. If for every two adjacent vertices of which is distinct then the set is a local resolving set of. The local resolving set of with minimum cardinality is a local metric dimension and denoted by. The result of research is local metric dimension of circulant graph is one for even and two for odd. Furthermore, local metric dimension of circulant graph ( ) is. For circulant graph with is ( ) for, ( ) for and ( ) for. Key words: metric dimension, local metric dimension, circulant graph. v

9 vi

10 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah, puji syukur penulis panjatkan bagi Allah SWT yang telah melimpahkan kesehatan, kesempatan, petunjuk dan anugerah-nya sehingga tesis dengan judul Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant sebagai salah satu syarat kelulusan Program Studi Strata-2 (S-2) Program Magister Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW, yang telah membimbing umat-nya dari zaman jahiliyah menuju zaman yang penuh ilmu serta memberikan inspirasi kepada umat-nya untuk berkarya. Dalam penyusunan tesis ini, penulis mendapatkan kemudahan dan kelancaran berkat arahan, saran, nasehat, dukungan serta dorongan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc,.Es,. Ph.D. selaku Rektor Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2. Prof. Dr. Ir. Tri Widjaja, M.Eng., selaku an. Direktur PPs Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Asisten Direktur, Program Pascasarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 3. Dr. Imam Muklash, S. Si, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 4. Dr. Mahmud Yunus, M.Si. selaku Koordinator Program Studi Pascasarjana Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 5. Dr. Darmaji, S.Si., M.T. selaku dosen pembimbing yang senantiasa sabar memberikan arahan dan bimbingan serta meluangkan waktunya guna memberikan dukungan, ilmu, dan pengetahuan yang sangat bermanfaat bagi penyusunan tesis ini. 6. Dr. Hariyanto, M.Si., Dr. Chairul Imron, MI.Komp., Dr. Budi Setiyono, M.Si. selaku dewan penguji yang telah memberikan masukan berupa kritik dan saran guna kesempurnaan tesis ini. vii

11 7. Direktorat Jendral Perguruan Tinggi (DIKTI) yeng telah memberikan beasiswa BPPDN Freshgraduate. 8. Kedua orangtua, kedua adik, nenek dan paman penulis: Ayah Ir. Imam Suharto, Mama Asih Triwidiastuti, S.H, Farizka Fardyah, Rifdah Rusidah, Nenek (Almh.) Asiyah, Om Achmad Julianto, S.E, M.T dan segenap keluarga yang senantiasa memberikan semangat serta do a kepada penulis dalam proses penyusunan tesis. 9. Seluruh keluarga besar Jurusan Matematika yang telah memberikan kemudahan dalam menyelesaikan tesis ini. 10. Sahabat-sahabat penulis, Himmatul Mursyidah, M.Si, Indana Lazulfa, M.Si, Devy Indria S., S.Si, Rizki Fauziah, M.Si, dan Ridho Alfarisi, S.Pd, M.Si yang senantiasa memberikan semangat serta do a, serta bersedia menjadi teman diskusi dalam proses penyusunan tesis ini. 11. Teman-teman Pascasarjana Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Angkatan Semua pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa penyusunan tesis ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kepada semua pembaca tesis ini diharapkan kritik dan saran yang membangun guna memberikan karya yang lebih baik lagi ke depannya. Akhirnya, penulis berharap semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Wassalamu alaikum. Wr. Wb. Surabaya, 12 Januari 2017 Penulis viii

12 DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN... i ABSTRAK... iii ABSTRACT... v KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... ix DAFTAR GAMBAR... xi DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR SIMBOL... xv BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 3 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Terminologi Dasar Graf Definisi dan Operasi Graf Graf Isomorfik Graf Circulant Dimensi Metrik Dimensi Metrik Lokal Penelitian Terdahulu BAB 3 METODE PENELITIAN Tahapan Penelitian BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant ( ) Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant ix

13 4.4 Keterkaitan antara Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA BIOGRAFI PENULIS x

14 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Graf Terhubung... 6 Gambar 2.2 (a) Graf Lintasan (b) Graf Lintasan (c) Graf Hasil Operasi Union antara dan (d) Graf Hasil Join antara dan... 7 Gambar 2.3 Graf Isomorfik dan... 8 Gambar 2.4 Graf lengkap Gambar 2.5 Graf roda Gambar 2.6 Graf bipartit dengan dan Gambar 2.7 (a) Graf Circulant, (b) Graf Circulant 11 Gambar 2.8 (a) Graf dengan, (b) Graf dengan Gambar 4.1 Graf Circulant Gambar 4.2 Graf Circulant Gambar 4.3 Graf Circulant Gambar 4.4 (a) Graf Cycle, (b) Graf Circulant Gambar 4.5 (a) Graf Cycle, (b) Graf Circulant Gambar 4.6 (a) Graf Cycle, (b) Graf Circulant Gambar 4.7 Graf Circulant Gambar 4.8 Graf Circulant Gambar 4.9 Graf Circulant Gambar 4.10 Graf Circulant Gambar 4.11 Graf Circulant Gambar 4.12 (a) Graf Lengkap, (b) Graf Circulant Gambar 4.13 (a) Graf Lengkap, (b) Graf Circulant Gambar 4.14 (a) Graf Lengkap, (b) Graf Circulant Gambar 4.15 Graf Circulant Gambar 4.16 Graf Circulant Gambar 4.17 Graf Circulant Gambar 4.18 Graf Circulant xi

15 xii

16 DAFTAR TABEL Tabel 4.1 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk,, Tabel 4.2 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk,, Tabel 4.3 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant dengan dan Tabel 4.4 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant ( ) dengan dan Tabel 4.5 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk, Tabel 4.6 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk, Tabel 4.7 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk, Tabel 4.8 Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant untuk, Tabel 4.9 Ringkasan Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant ( : 1,2) xiii

17 xiv

18 DAFTAR SIMBOL : Himpunan simpul graf : Himpunan sisi graf : Banyaknya simpul pada graf : Banyaknya sisi pada graf : Graf Lengkap order : Graf sikel order : Operasi join pada graf : Operasi union pada graf : Jarak simpul ke simpul : Himpunan pembeda : Representasi simpul terhadap : Dimensi metrik graf : Dimensi metrik lokal graf xv

19 xvi

20 BAB 1 PENDAHULUAN BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matematika sebagai induk ilmu pengetahuan tidak dapat dilepaskan dari berbagai ilmu yang ada. Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan menggunakan matematika. Dalam bahasa matematika, suatu masalah dapat menjadi lebih sederhana untuk disajikan, dipahami, dan dianalisis. Untuk keperluan tersebut, pertama mencari pokok masalah dari fenomena yang terjadi, kemudian merumuskan masalah tersebut pada suatu model matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah Teori Graf. Teori graf merupakan topik yang sudah tua namun memiliki banyak aplikasi modern saat ini seperti kimia molekul dan sistem jaringan. Graf pertama kali dikenal pada saat seorang matematikawan Swiss, bernama Leonhard Euler, berhasil mengungkapkan Misteri Teka-Teki Jembatan Konigsberg pada tahun 1736 (sekarang bernama Kaliningrad) (Ibrahim dkk, 2013). Buku pertama yang menulis tentang teori graf adalah Therie der endlichen und unendlichen Graphen oleh Konig pada tahun Dalam tulisannya, Euler mencoba solusi atas permasalahan bagaimana menyeberangi semua jembatan itu tepat satu kali dari tempat berangkat sampai kembali ke tempat semula. Pada permasalahan yang diungkapkan oleh Euler, simpul digunakan untuk mempresentasikan lokasi daratan yang dihubungkan oleh jembatan-jembatan. Sedangkan tiap jembatan dipresentasikan dengan sisi. Hasil dari penelitiannya tersebut adalah seseorang tidak mungkin berjalan melalui ketujuh jembatan masing-masing satu kali dan kembali ke tempat asal keberangkatan (Dewi, 2013). Suatu graf terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong yang unsur-unsurnya disebut simpul (vertices) dan himpunan (mungkin kosong) yang unsur-unsurnya disebut sisi (edges), sedemikian hingga setiap sisi 1

21 dalam merupakan pasangan dari simpul-simpul di, yang dinotasikan (Ibrahim dkk, 2013). Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun 1976, kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah NP-complete problem artinya tidak mudah untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu graf bentuk tertentu. Oleh karena itu, untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih mudah mencari dimensi metrik dari graf secara umum (Permana, 2012). Beberapa aplikasi dari himpunan pembeda pada ilmu kimia yaitu untuk mempresentasikan senyawa kimia (Chartrand, 2000). Diberikan suatu himpunan terurut dari simpulsimpul (vertices) dalam graf terhubung dan simpul di, maka representasi dari simpul terhadap adalah. Jika untuk setiap simpul berbeda, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda (resolving set) dari. Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tersebut dinamakan dimensi metrik dari, yang dinotasikan. Apabila untuk setiap dua simpul yang bertetangga di dengan adalah berbeda, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal (local resolving set) dari. Himpunan pembeda lokal (local resolving set) dengan kardinalitas minimum disebut dimensi metrik lokal (local metric dimension) dari yang dinotasikan dengan (Okamoto, 2010). Penelitian untuk mengetahui dimensi metrik dari graf sudah banyak dilakukan. Chartrand dkk. (2000) menunjukkan bahwa jika dan hanya jika adalah graf lintasan, dan jika dan hanya jika adalah graf. Selain itu, Chartrand dkk. juga mendapatkan dengan jika hanya jika. Adapun S. W. Saputro dkk. mendapatkan dimensi metrik { jika hanya jika adalah graf multipartite lengkap untuk, 2

22 dengan partisi tunggal. Selain itu ada juga penelitian tentang dimensi metrik lokal yang dilakukan oleh Mega Kristina dengan judul Dimensi Metrik Lokal pada Graf Hasil Kali Comb dari Graf Siklus dan Graf Bintang. Sejauh ini dimensi metrik lokal belum banyak diteliti sehingga penulis melakukan penelitian tentang dimensi metrik lokal pada graf circulant. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang, masalah yang akan diteliti dalam tesis ini adalah: 1. Bagaimana mendapatkan dimensi metrik lokal dari graf circulant. 2. Bagaimana keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal dari graf circulant. 1.3 Batasan Masalah Batasan masalah pada penelitian tesis ini adalah graf yang menjadi obyek penelitian adalah graf circulant, graf circulant ( ) dan graf circulant dengan. 1.4 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian tesis ini, yaitu: 1. Mendapatkan dimensi metrik lokal dari graf circulant. 2. Mengetahui keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal dari graf circulant. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan tesis ini, yaitu sebagai acuan penelitian selanjutnya tentang graf, khususnya dimensi metrik lokal, serta sebagai karakterisasi graf terhubung. 3

23 4

24 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI 2.1 Terminologi Dasar Graf Pada subbab ini akan dijelaskan mengenai terminologi dasar graf yang meliputi definisi dan operasi graf serta berbagai macam bentuk graf. Pada penelitian ini dipilih salah satu bentuk graf yaitu graf circulant Definisi dan Operasi Graf Suatu graf terdiri atas dua himpunan, yaitu himpunan tak kosong yang unsur-unsurnya disebut simpul dan himpunan (mungkin kosong) yang unsur-unsurnya disebut sisi. Setiap sisi dalam merupakan pasangan dari simpul-simpul di (Ibrahim, 2013). Misal merupakan himpunan sisi dalam maka dapat dinotasikan dengan. Sisi yang menghubungkan simpul yang sama disebut loop. Dengan kata lain, adalah loop jika. Jika terdapat dua buah sisi atau lebih yang menghubungkan dua simpul yang sama, maka sisi-sisi tersebut dikatakan sisi ganda (multiple edges atau parallel edges). Banyaknya simpul anggota dari graf disebut order graf dan dinotasikan. Banyaknya sisi anggota dari graf disebut size graf dan dinotasikan. Apabila dua simpul terhubung oleh satu sisi maka disebut simpul yang bertetangga (adjacent vertices). Sedangkan sisi yang bertetangga adalah dua sisi yang memiliki salah satu simpul ujung yang sama (Gross dkk., 2006). Graf dikategorikan menjadi dua jenis dengan memperhatikan keberadaan loop dan sisi ganda yaitu graf sederhana (simple graph) dan graf tak sederhana (unsimple graph). Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung loop maupun sisi ganda. Sedangkan graf tak sederhana adalah graf yang mengandung loop maupun sisi ganda (Gross dkk., 2006). Sebuah graf dikatakan terhubung (connected) jika untuk sebarang dua simpul yang berbeda di graf terdapat sebuah lintasan yang 5

25 menghubungkan kedua simpul tersebut. Pada graf, sebuah jalan (walk) dari simpul awal,, menuju simpul akhir atau simpul tujuan,, adalah sebuah barisan tidak kosong,, yang sukusukunya bergantian antara simpul dan sisi sedemikian hingga, ujung dari adalah dan, dinotasikan. Panjang sebuah jalan adalah banyaknya sisi dalam jalan tersebut. Jalan yang semua sisinya berlainan disebut jalur (trail). Suatu jalur yang tidak mengalami pengulangan simpul disebut lintasan. Suatu lintasan dikatakan memiliki panjang, jika lintasan tersebut memuat buah sisi yang dilewati dari suatu simpul awal,, ke simpul akhir,, di dalam suatu graf. Jarak antara simpul dan didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke dan dinotasikan dengan. Diameter dari suatu graf didefinisikan sebagai nilai atau jarak terjauh dari sebarang dua simpul di dan dinotasikan dengan (Gross dkk., 2006). Gambar 2.1 memberikan gambaran graf terhubung, dengan jarak antara simpul ke simpul adalah. Diameter adalah tiga yaitu jarak antara simpul ke simpul. b a c d e f Gambar 2.1 Graf Terhubung Union dari dua graf dan adalah graf dengan tiap simpul dan sisi-nya adalah graf disjoint dari himpunan simpul dan sisi dari dan (Gross dkk., 2006). Misal dan adalah dua graf yang saling asing. Union adalah graf dengan dan. Join antara dua graf dan, dinotasikan, adalah graf yang diperoleh dari dengan setiap simpul di adjacent dengan setiap simpul di demikian juga sebaliknya. Dengan kata lain, jika dan masingmasing mempunyai dan simpul, maka harus menambahkan sisi sebanyak 6

26 pada graf. Gambar 2.2 sebagai gambaran operasi join graf lintasan dan. (a) (b) (c) (d) Gambar 2.2 (a) Graf Lintasan (b) Graf Lintasan (c) Graf Hasil Operasi Union antara dan (d) Graf Hasil Join antara dan Graf Isomorfik Misalkan adalah suatu graf dengan himpunan simpul dan himpunan sisi. adalah graf dengan himpunan simpul dan himpunan sisi. isomorfik dengan jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu dan. Dua buah graf dan dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan simpul kedua graf maupun antara himpunan sisi kedua graf, sedemikian sehingga hubungan ketetanggaan tetap terjaga. Dengan kata lain, misalkan sisi berlekatan dengan simpul dan pada graf, maka sisi pada graf juga berlekatan dengan simpul dan pada graf. Dua buah graf yang isomorfik adalah graf yang sama, hanya penamaan simpul dan sisinya saja yang berbeda. Hal tersebut dikarenakan sebuah graf dapat digambarkan dalam banyak cara. Dari definisi graf isomorfik dapat dikemukakan bahwa dua buah graf isomorfik memenuhi ketiga syarat, yaitu: 1. Mempunyai jumlah simpul yang sama 2. Mempunyai jumlah sisi yang sama 3. Mempunyai jumlah simpul yang sama berderajat tertentu. Diberikan dua graf pada gambar 2.3, kedua graf tersebut isomorfik jika memenuhi ketiga syarat tersebut. Graf disebut isomorfik dengan graf sebab: 1. Graf dan mempunyai jumlah simpul yang sama, yaitu enam; 7

27 2. Graf dan mempunyai jumlah sisi yang sama, yaitu sembilan; dan 3. Keenam simpul pada dan memiliki derajat yang sama, yaitu tiga. Gambar 2.3 Graf Isomorfik dan Simpul-simpul yang berkorespondensi satu-satu antara graf dan adalah,,,, dan. Dua graf yang isomorfik memiliki matriks ketetanggan yang sama, tentunya setelah matriks yang berkorespondensi diurutkan dalam urutan yang sama. Begitu pula dengan matriks kelekatan dua graf yang isomorfik. Matriks ketetanggan dan matriks kelekatan dari graf pada gambar 2.3 diberikan sebagai berikut. 8

28 Sedangkan matriks ketetanggan dan matriks kelekatan dari graf gambar 2.3 diberikan sebagai berikut. pada Sehingga diperoleh graf dan memiliki matriks ketetanggaan yang sama, yaitu, serta memiliki matriks kelekatan yang sama, yaitu Graf Circulant Terdapat berbagai macam graf, berikut dijelaskan graf yang wellknown diantaranya graf lengkap (complete graph), graf lingkaran (cycle graph), graf roda (wheels graph), graf bipartit (bipartite graph) dan graf circulant (circulant graph). Graf circulant merupakan bahasan pada penelitian ini. Graf lengkap (complete graph) merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya bertetangga dengan seluruh simpul lain pada graf tersebut. Notasi graf lengkap adalah dengan adalah jumlah simpul pada graf tersebut (Gross dkk., 2006). Gambar 2.4 merupakan contoh dari graf lengkap. 9

29 Gambar 2.4 Graf lengkap Graf lingkaran (cycle graph) merupakan graf sederhana yang setiap simpulnya berderajat dua. Graf lingkaran dinotasikan oleh dengan adalah jumlah simpul pada graf tersebut (Gross dkk., 2006). Pada Gambar 2.3 juga merupakan contoh dari graf lingkaran. Dengan kata lain, graf lingkaran merupakan contoh dari graf lengkap. Graf roda (wheels graph) merupakan graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu simpul pada graf lingkaran, dan menghubungkan simpul baru tersebut dengan semua simpul pada graf lingkaran. Notasi graf roda adalah dengan adalah jumlah simpul pada graf tersebut (Gross dkk., 2006). Gambar 2.5 merupakan contoh dari graf roda. Gambar 2.5 Graf roda Sebuah graf sederhana dikatakan sebagai graf bipartit jika himpunan simpul pada graf tersebut dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong yang saling asing, misalkan dan, sedemikian hingga setiap sisi pada menghubungkan sebuah simpul pada dan sebuah simpul pada (Gross dkk., 2006). Jadi, pada graf bipartit tidak ada sisi yang menghubungkan dua simpul pada atau. Notasi graf bipartit adalah. Gambar 2.5 merupakan 10

30 contoh dari graf bipartit. Pada Gambar 2.6 dapat direpresentasikan menjadi graf bipartit dengan dan. Gambar 2.6 Graf bipartit dengan dan Circulant graf dinotasikan oleh dengan adalah himpunan simpul dan adalah himpunan bilangan bulat dimana dengan. Himpunan simpul pada graf circulant merupakan himpunan bilangan bulat modulo yaitu yang merupakan suatu grup dengan operasi penjumlahan. Suatu graf dapat dikatakan sebagai graf circulant apabila terdapat dua simpul bertetangga yaitu dan jika dan hanya jika terdapat bilangan sehingga atau (Gross dkk., 2006). Gambar 2.7 (a) dan (b) merupakan contoh dari graf circulant. Graf circulant merupakan salah satu contoh dari graf sederhana (simple graph). (a) Gambar 2.7 (a) Graf Circulant (b), (b) Graf Circulant 11

31 2.2 Dimensi Metrik Diberikan suatu graf terhubung, misalkan dua simpul (vertex) dan adalah simpul-simpul (vertices) pada graf terhubung. Jarak antara dua simpul dan didefinisikan sebagai panjang lintasan terpendek dari ke pada dan dinotasikan. Jika diberikan suatu himpunan terurut dari simpul-simpul dalam graf terhubung dan simpul di maka representasi dari simpul terhadap adalah: ( ) Jika untuk setiap simpul adalah unique atau jika representasi di berbeda, maka dikatakan sebagai himpunan pembeda (resolving set) dari. Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut himpunan pembeda minimum. Kardinalitas minimum dari himpunan pembeda tersebut disebut dimensi metrik dari, yang dinotasikan. Dengan kata lain, dimensi metrik dari graf adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda. Berdasarkan definisi dimensi metrik dapat diberikan Lemma 2.1 untuk menunjukkan setiap simpul yang merupakan elemen dari himpunan pembeda memiliki representasi yang berbeda. Lemma 2.1 (Permana, 2012) Untuk setiap simpul anggota himpunan pembeda pasti memiliki representasi yang berbeda terhadap. Bukti: Misalkan terdapat sebuah graf terhubung dengan himpunan simpul dan himpunan pembeda jika dilakukan analisis jarak setiap simpul anggota pada himpunan pembeda diperoleh, seterusnya sampai pada memiliki representasi yang berbeda terhadap. 12

32 Sebagai contoh, misal adalah graf yang diberikan pada Gambar 2.7. Diberikan maka diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ). Sehingga dapat dikatakan sebagai himpunan pembeda dari graf. Kardinalitas dari adalah empat. Lalu, misalkan maka diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ). Sehingga dapat dikatakan sebagai himpunan pembeda dari graf. Kardinalitas dari adalah tiga. Oleh karena itu, kardinalitas minimum dari himpunan pembeda dari graf adalah tiga, maka. 2.3 Dimensi Metrik Lokal Dimensi metrik lokal merupakan pengembangan dimensi metrik dengan menambahkan syarat tertentu pada representasi dari simpul terhadap yang dinotasikan dengan. Pada penelitian ini dibahas salah satu syarat yang harus terpenuhi untuk. Apabila untuk setiap dua simpul yang bertetangga di dengan adalah berbeda, maka dikatakan sebagai 13

33 himpunan pembeda lokal (local resolving set) dari. Himpunan pembeda lokal (local resolving set) dengan kardinalitas minimum disebut dimensi metrik lokal (local metric dimension) dari yang dinotasikan dengan (Okamoto, 2010). Berikut diberikan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 mengenai dimensi metrik lokal sebagai penunjang pembahasan pada Bab 4. Teorema 2.1 (Chartrand dan Lesniak, 2000) Sebuah graf nontrivial adalah graf bipartit jika dan hanya jika graf tersebut tidak memuat siklus gasal. Bukti : Pertama, diberikan graf adalah bipartit. Maka dapat dipartisi menjadi himpunan partite dan (sehingga di setiap sisi dari graf menghubungkan suatu simpul dari dan sebuah simpul dari ). Misal adalah sikel- dari. Diasumsikan bahwa. Sehingga,, dan seterusnya. Secara khusus berlaku untuk setiap bilangan bulat ganjil dengan dan untuk setiap bilangan bulat genap dengan. Karena,, maka dan adalah genap. Untuk sebaliknya, misal graf adalah graf nontrivial yang tidak mengandung sikel ganjil. Maka itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa setiap komponen nontrivial dari graf adalah bipartit sehingga dapat diasumsikan bahwa sendiri adalah terhubung. Misal adalah simpul dari dan dimana. Kemudian, ditunjukkan bahwa adalah bipartit dengan himpunan partit dan. Hal ini tetap menunjukkan bahwa tidak ada dua simpul dari bertetangga dan tidak ada dua simpul dari bertetangga. Diberikan memuat dua simpul bertetangga dan. Diberikan adalah geodesik dan adalah geodesik. Misal adalah simpul terakhir maka dan memiliki kesamaan (boleh jadi ). Selanjutnya, panjang merupakan sub lintasan dari dan panjang adalah sub lintasan dari yaitu dari parity yang sama. Dengan demikian, lintasan dan bersama dengan 14

34 simpul menghasilkan sebuah sikel genap. Hal ini kontradiksi dengan argument bahwa tidak ada dua simpul dari yang bertetangga adalah sama. Teorema 2.2 (Okamoto, dkk, 2010) Diberikan sebuah graf yaitu graf terhubung nontrivial berorder. Dimensi metrik lokal dari adalah,, jika dan hanya jika dan, jika dan hanya jika adalah graf bipartit. Bukti : Karena graf lengkap hanya mempunyai satu kelas ekivalen ganda. Selanjutnya hal itu mengikuti bahwa. Dengan kata lain, jika,maka sehingga (untuk detil pembuktian merujuk pada Okamoto, dkk, 2010). Hal ini tetap menunjukkan bahwa jika dan hanya jika adalah bipartit. Pertama, misalkan adalah graf bipartit dengan himpunan partite dan. Misal, dimana. Karena adalah genap untuk setiap dan adalah ganjil untuk setiap, hal ini mengikuti bahwa adalah basis lokal metrik sehingga. Untuk menujukkan sebaliknya, misal adalah graf terhubung nontrivial yang memiliki dimensi metrik lokal adalah satu dan misal adalah basis lokal metrik dari. Untuk, misal (Oleh karena itu, dan.) Karena adalah basis lokal metrik, setiap himpunan adalah himpunan yang bebas. Selanjutnya, jika dan adalah bilangan bulat dengan, dan, maka tidak ada simpul di adalah bertetangga dengan semua simpil di. Oleh karena itu, adalah graf bipartit dengan himpunan partite dan. Untuk menggambarkan konsep dimensi metrik dan dimensi metrik lokal diberikan graf pada Gambar 2.8. Misalkan maka diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu ( ) ; ( ) ; 15

35 ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ). Sehingga dapat dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal (local resolving set) dari graf. Selanjutnya, misalkan maka diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ). Sehingga dapat dikatakan sebagai himpunan pembeda lokal (local resolving set) dari graf. Oleh karena itu, himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas dua tidak tunggal. Karena kardinalitas minimum dari himpunan pembeda lokal (local resolving set) adalah dua, maka. Pada subbab 2.2 apabila diberikan maka diperoleh sebagai himpunan pembeda dari graf dengan kardinalitas tiga. merupakan kardinalitas minimum dari himpunan pembeda graf maka. 16

36 (a) Gambar 2.8 (a) Graf dengan, (b) Graf dengan (b) 2.4 Penelitian terdahulu Beberapa penelitian yang sudah ada mengenai dimensi metrik dapat dijadikan referensi. Gary Chartrand, Linda Eroh, Mark A. Johnson, Ortrud R. Oellermann dengan judul Resolvability in Graph and the Matric Dimension of a Graph menunjukkan bahwa jika dan hanya jika, jika dan hanya jika, pada, pada jika dan hanya jika dan jika selain lintasan, maka. adalah sebuah graf pohon Penelitian selanjutnya dilakukan oleh S. W. Saputro, E. T. Baskoro, A. N. M. Salman, dan D. Suprijanto dengan judul The Metric Dimension of a Complete n-partite Graph and its Product menunjukkan bahwa adalah graf multipartiet lengkap untuk dengan partisi tunggal, maka : Sejauh ini dimensi metrik lokal belum banyak diteliti. Salah satu penelitian mengenai dimensi metrik lokal dilakukan oleh Mega Kristina dengan judul Dimensi Metrik Lokal pada Graf Hasil Kali Comb dari Graf Siklus dan 17

37 Graf Bintang. Misalkan dan adalah graf terhubung dengan adalah simpul di. Operasi comb dari graf dan graf, dinotasikan dengan, adalah graf yang diperoleh dengan mengambil satu kopian dan kopian dari serta melekatkan simpul dari masing-masing graf kopian ke- pada simpul kedari graf (Darmaji,dkk, 2015). Pada penelitian ini menunjukkan dimensi metrik lokal graf siklus adalah satu untuk genap dan dua untuk gasal, dimensi metrik lokal pada graf hasil kali comb dari graf siklus dan graf bintang ( ) adalah satu untuk genap dan dua untuk gasal, dimensi metrik lokal pada graf hasil kali comb dari graf bintang ( ) dan graf siklus adalah satu untuk genap dan untuk gasal, serta dimensi metrik lokal pada graf hasil kali comb dari dua graf bintang ( ) adalah satu. 18

38 BAB 3 METODA PENELITIAN BAB 3 METODE PENELITIAN Pada bab ini akan diuraikan beberapa metode penelitian yang akan digunakan atau dikerjakan untuk mencapai tujuan penelitian. 3.1 Tahapan Penelitian Tahapan penelitian untuk mendapatkan dimensi metrik lokal dan rumus umum pada graf circulant adalah sebagai berikut: a. Studi Literatur Pada tahap ini, dilakukan studi literatur dari beberapa buku, jurnal, dan penelitian mengenai dimensi metrik, dimensi metrik lokal, dan graf circulant. b. Mengonstruksi himpunan pembeda lokal (local resolving set) Setelah memperoleh informasi dari studi literatur, pada tahap ini dilakukan analisis masalah, berikutnya dilakukan tahap awal untuk menyelesaikan permasalahan dengan mengontruksi himpunan pembeda lokal dari graf circulant. c. Mendapatkan dimensi metrik lokal Setelah mendapatkan himpunan pembeda lokal dari graf circulant, selanjutnya dapat ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal pada graf circulant melalui himpunan pembeda lokal. Setelah itu, dapat ditentukan dimensi metrik lokal dari batas atas dan batas bawah yang telah diperoleh. d. Penarikan kesimpulan Pada tahap ini dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil penelitian yang dilakukan sebelumnya. Selanjutnya diberikan saran untuk perbaikan yang dapat dilakukan pada penelitian selanjutnya. 19

39 20

40 BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan hasil dan pembahasan mengenai dimensi metrik lokal dari graf circulant. 4.1 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant Pada sub bab ini, dibahas dimensi metrik lokal pada graf circulant dengan. Dalam menentukan dimensi metrik lokal, terlebih dahulu ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal graf tersebut. Salah satu syarat untuk mendapatkan dimensi metrik lokal adalah representasi dari semua simpul pada graf circulant terhadap harus membentuk himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas yang minimum. Graf circulant dengan sebarang dapat dilihat pada Gambar 4.1. Gambar 4.1 Graf circulant a) Dimensi metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.2 Graf circulant 21

41 Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik local adalah, maka dimensi metrik lokal. Sehingga, tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama dimensi metrik lokal dengan,, didapat hasil seperti pada Tabel

42 Tabel 4.1 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk,, Graf Circulant Dimensi Metrik Gambar Representasi Lokal ( ) b) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.3 Graf Circulant Gambar 4.3 menunjukkan graf circulant. Untuk batas atas dimensi metrik lokal dapat diperoleh dengan memisalkan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di 23

43 memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu,, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Karena kardinalitas himpunan pembeda lokal tidak dapat diperkecil lagi maka merupakan kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal adalah, maka dimensi metrik lokal. Dengan demikian, tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama diperoleh dimensi metrik lokal dengan,, seperti pada tabel berikut. Tabel 4.2 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk,, Graf Circulant Dimensi Metrik Gambar Representasi Lokal ( ) 24

44 Dari hasil observasi yang telah dilakukan diperoleh dimensi metrik lokal dari graf circulant dengan dan seperti pada tabel berikut. Tabel 4.3 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant dengan dan Graf Circulant Berdasarkan pembahasan diatas didapat informasi bahwa graf circulant isomorfik dengan graf cycle. Dimensi metrik lokal dari graf cycle diberikan pada teorema dibawah ini. Teorema 4.1 (Kristina, 2014) Diberikan graf cycle dengan order. Dimensi metrik lokal dari graf cycle dengan adalah { Bukti: Untuk genap, berdasarkan Teorema 2.1 dan Teorema 2.2 maka graf cycle adalah graf bipartit, sehingga. Untuk gasal, dipilih sehingga maka representasi semua titik dari terhadap adalah: { Karena untuk setiap titik untuk mempunyai representasi yang berbeda terhadap, maka representasi untuk 25

45 setiap pasangan titik yang bertetangga dari graf cycle berbeda terhadap, sehingga merupakan himpunan pembeda lokal. Berdasarkan teorema 2.3.1, maka graf untuk gasal bukan graf bipartit. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema maka. Terbukti bahwa adalah himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas minimum atau merupakan basis metri loka pada graf, sehingga. Dari Teorema 4.1 serta pembahasan mengenai graf circulant dapat diberikan suatu akibat berikut ini. Akibat 4.1 Diberikan graf circulant dengan order. Dimensi metrik lokal dari graf circulant sama dengan dimensi metrik lokal dari graf cycle. Selanjutnya. akan ditunjukkan bahwa graf circulant isomorfik dengan graf cycle. Dua buah graf dan dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul pada kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi bersisian dengan simpul dan pada maka sisi pada juga bersisian dengan simpul dan. Graf-graf yang isomorfik mempertahankan ketetanggaan dan kelekatan. Ambil untuk graf circulant dan graf cycle yang diberikan pada Gambar 4.4. Adapun simpul-simpul yang berkorespondensi satusatu antara graf circulant dengan graf cycle adalah,,, dan. Pada Gambar 4.4 a), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul,, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. Pada Gambar 4.4 b), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. 26

46 (a) Gambar 4.4 (a) Graf cycle, (b) Graf circulant (b) Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Matriks kelekatan dari graf circulant adalah Matriks kelekatan dari graf cycle [ ] adalah 27

47 [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf cycle memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf cycle isomorfik. Ambil untuk graf circulant dan graf cycle yang diberikan pada Gambar 4.5. Adapun simpul-simpul yang berkorespondensi satusatu antara graf circulant dengan graf cycle adalah,,,, dan. Pada Gambar 4.5 a), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. Sedangkan, pada Gambar 4.5 b), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Matriks ketetanggaan dari graf circulant diperoleh hasil sebagai berikut [ ] 28

48 (a) Gambar 4.5 (a) Graf cycle, (b) Graf circulant (b) Adapun matriks ketetanggaan dari graf cycle adalah [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Matriks kelekatan dari graf circulant adalah Matriks kelekatan dari graf cycle [ ] adalah [ ] 29

49 Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf cycle memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf cycle isomorfik. Ambil untuk graf circulant dan graf cycle yang diberikan pada Gambar 4.6. Adapun simpul-simpul yang berkorespondensi satusatu antara graf circulant dengan graf cycle adalah,,,,, dan. Pada Gambar 4.6 a), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. Pada Gambar 4.6 b), simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, ; simpul bertetangga dengan simpul, dan simpul bertetangga dengan simpul,. (a) Gambar 4.6 (a) Graf cycle, (b) Graf circulant (b) 30

50 Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf cycle. Sehingga didapat hasil mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf cycle sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil diatas diperoleh bahwa graf circulant dan graf cycle memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf cycle isomorfik. Dari pembahasan diatas dapat diperumum bahwa graf circulant dan graf cycle memiliki matriks ketetanggan yang sama sebagai berikut. 31

51 Selain memiliki matriks kelekatan yang sama, graf circulant cycle juga memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu dan graf Sehingga dapat dikatakan bahwa graf circulant isomorfik. dan graf cycle 4.2 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant ( ) Pada sub bab ini, dibahas dimensi metrik lokal pada graf circulant ( ) dengan. Dalam menentukan dimensi metrik lokal, terlebih dahulu ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal graf tersebut. Salah satu syarat untuk mendapatkan dimensi metrik lokal adalah representasi dari semua simpul pada graf circulant ( ) terhadap harus membentuk himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas yang minimum. 32

52 a) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.7 Graf Circulant Berikut diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik loka pada graf circulant. Graf Circulant dapat dilihat pada Gambar Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, misalkan, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu dan sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti terdapat sedikitnya dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. 33

53 b) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.8 Graf Circulant Graf circulant ditunjukkan pada Gambar Untuk batas atas dimensi metrik lokal diperoleh dengan memisalkan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di yang bukan merupakan elemen dari pasti memiliki representasi berbeda terhadap yaitu. Sedangkan simpulsimpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda. Keempat simpul elemen mempunyai representasi masing-masing adalah,, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk batas bawah akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat paling sedikit dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. 34

54 . Sehingga didapat batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal c) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.9 Graf Circulant Gambar 4.9 menunjukkan graf circulant. Berikut dibahas mengenai dimensi metrik lokal pada graf circulant. Untuk batas atas dimensi metrik lokal ambil. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di mempunyai representasi yang berbeda terhadap yaitu. Semua representasi simpul selain elemen berbeda sedangkan simpul-simpul yang merupakan elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi. Representasi simpul-simpul elemen masingmasing adalah,,,. 35

55 Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti terdapat sedikitnya dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama yaitu. Hal ini menunjukkan bahwa dengan bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Sehingga, batas bawah dimensi metrik lokal. Diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. d) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Graf circulant ditunjukkan pada Gambar Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal diperoleh dengan memisalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di mempunyai representasi yang berbeda terhadap yaitu. Terlihat bahwa semua representasi simpul selain elemen berbeda sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda. Representasi simpul dan adalah,,,,. Sehingga adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Selanjutnya, untuk menentukan batas bawah akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti terdapat paling sedikit dua simpul yang bertetangga 36

56 mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. Gambar 4.10 Graf Circulant e) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Berikut diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik lokal pada graf circulant. Untuk batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant dapat diperoleh dengan memisalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu sedangkan simpul dan dijamin oleh Lemma 2.1 memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu,,,,,.. 37

57 Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga didapat batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. Gambar 4.11 Graf Circulant Berdasarkan pengamatan yang telah dilakukan diperoleh dimensi metrik lokal dari graf circulant ( ) dengan dan seperti pada Tabel

58 Tabel 4.4 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant ( ) Graf Circulant dengan ( ) dan ( ( )) Dari penjelasan di atas didapat informasi bahwa graf circulant ( ) isomorfik dengan graf lengkap. Berdasarkan teorema diperoleh dimensi metrik lokal dari graf lengkap adalah dengan adalah order dari graf terhubung nontrivial. Sehingga dapat diberikan suatu akibat berikut ini. Akibat 4.2 Diberikan graf circulant ( ) dengan order. Dimensi metrik lokal dari graf circulant ( ) sama dengan dimensi metrik lokal dari graf lengkap. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa graf circulant ( ) isomorfik dengan graf lengkap. Dua buah graf dan dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpulsimpul pada kedua graf tersebut dan antara sisi-sisi keduanya sehingga jika sisi bersisian dengan simpul dan pada maka sisi pada juga bersisian dengan simpul dan. Graf-graf yang isomorfik mempertahankan ketetanggaan dan kelekatan. 39

59 Ambil untuk graf circulant ( ) dan graf lengkap yang diberikan pada Gambar Simpul-simpul yang berkorespondensi satu-satu antara graf circulant dengan graf lengkap adalah,,, dan. Pada Gambar 4.12 a), simpul bertetangga dengan simpul,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,. Pada Gambar 4.12 b), simpul bertetangga dengan simpul,,,, simpul bertetangga dengan simpul,,,, simpul bertetangga dengan simpul,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,. (a) Gambar 4.12 (a) Graf lengkap, (b) Graf circulant (b) Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. [ ] [ ] 40

60 Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Matriks kelekatan dari graf circulant adalah Matriks kelekatan dari graf lengkap [ ] adalah [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf lengkap isomorfik. Ambil untuk graf circulant dan graf lengkap yang diberikan pada Gambar Simpul-simpul yang berkorespondensi satusatu antara graf circulant dengan graf lengkap adalah,,,, dan. Pada Gambar 4.13 a), simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul, 41

61 ,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,,. Sedangkan, pada Gambar 4.13 b), simpul bertetangga dengan simpul,,,, simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,,. (a) Gambar 4.13 (a) Graf lengkap, (b) Graf circulant (b) Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Matriks ketetanggaan dari graf circulant diperoleh hasil sebagai berikut Adapun matriks ketetanggaan dari graf lengkap [ ] adalah [ ] 42

62 Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Matriks kelekatan dari graf circulant dan graf lengkap diberikan sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf lengkap isomorfik. Ambil untuk graf circulant dan graf lengkap yang diberikan pada Gambar Simpul-simpul yang berkorespondensi satusatu antara graf circulant dengan graf lengkap adalah,,,,, dan. Pada Gambar 4.14 a), simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,,,. Pada Gambar 4.14 b), simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,, 43

63 , ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, ; simpul bertetangga dengan simpul,,,,, dan simpul bertetangga dengan simpul,,,,,. (a) Gambar 4.14 (a) Graf lengkap, (b) Graf circulant (b) Selanjutnya, mengonstruksi matriks ketetanggaan (adjacency matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil diatas didapat graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu. 44

64 Berikutnya mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf lengkap. Sehingga didapat hasil mengonstruksi matriks kelekatan (incidence matrix) dari graf circulant dan graf lengkap sebagai berikut. [ ] [ ] Dari hasil observasi diatas diperoleh bahwa graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks kelekatan yang sama yaitu. Karena graf circulant dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggaan dan matriks kelekatan yang sama maka dapat dikatakan bahwa graf circulant dan graf lengkap isomorfik. Dari pembahasan diatas dapat diperumum bahwa graf circulant ( ) dan graf lengkap memiliki matriks ketetanggan yang sama yaitu ( ) 45

65 . Selain memiliki matriks ketetanggan yang sama, graf circulant ( ) dan graf lengkap juga memiliki matriks kelekatan yang sama sebagai berikut. Sehingga dapat dikatakan bahwa graf circulant ( ) dan graf lengkap isomorfik. 46

66 4.3 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant Pada sub bab ini, dibahas dimensi metrik lokal pada graf circulant dengan. Seperti subbab sebelumnya untuk menentukan dimensi metrik lokal, terlebih dahulu ditentukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal graf tersebut. Salah satu syarat untuk mendapatkan dimensi metrik lokal adalah representasi dari semua simpul pada graf circulant terhadap harus membentuk himpunan pembeda lokal dengan kardinalitas yang minimum. a) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Berikut ini diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik lokal dari graf circulant. Gambar dari graf circulant diberikan pada Gambar 4.7. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu 47

67 . Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. b) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.8 menunjukkan graf circulant. Untuk memperoleh batas atas dimensi metrik lokal, ambil. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Representasi dari simpul yang bukan elemen adalah sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda. Representasi simpul dan terhadap masing-masing adalah,, dan. Dari hasil observasi diatas, terlihat bahwa semua simpul di memiliki representasi yang berbeda. Sehingga jelas bahwa untuk setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. 48

68 c) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.15 Graf Circulant Gambar 4.13 diatas menunjukkan graf Circulant. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Sehingga didapat representasi dari semua simpul terhadap adalah,,,,,. Terdapat representasi yang sama pada simpul-simpul selain elemen akan tetapi memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Hal ini dikarenakan simpul dan tidak bertetangga. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu dan 49

69 . Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. d) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Gambar 4.16 Graf Circulant Berikut diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik lokal dari graf Circulant. Gambar dari graf circulant diberikan pada Gambar Untuk batas atas dimensi metrik lokal dapat diperoleh dengan memisalkan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Representasi dari semua simpul terhadap diberikan sebagai berikut. Dari penjelasan diatas, didapat representasi yang sama pada simpul-simpul selain elemen akan tetapi memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Hal ini 50

70 dikarenakan simpul dan tidak bertetangga. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti terdapat paling sedikit dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu maka, dan. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Dengan demikian, didapat batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal. Jadi dimensi metrik lokal. e) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Berikut diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik lokal pada graf circulant. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, ambil akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Berikut hasil observasi pada graf. Diperoleh representasi dari simpul-simpul yang bukan merupakan elemen adalah,,,, Dari hasil observasi diatas, terlihat bahwa semua simpul yang bukan merupakan elemen mempunyai representasi yang berbeda. Sedangkan menurut Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen membedakan adalah posisi memiliki representasi yang berbeda dan yang pada representasi ketiga simpul tersebut, yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum 51

71 tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal. Jadi dimensi metrik lokal. Gambar 4.17 Graf Circulant f) Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Pada Gambar 4.18 diatas diberikan graf circulant dengan yaitu Untuk batas atas dimensi metrik lokal dapat diperoleh dengan memisalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Sehingga didapat semua representasi dari simpul terhadap yaitu,,,, 52

72 ,,,,. Dari observasi diatas, terlihat bahwa semua representasi simpul di berbeda. Sehingga jelas bahwa untuk setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Sehingga didapat batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. Gambar 4.18 Graf Circulant 53

73 Dari pembahasan diatas dapat ditarik sebuah simpulan mengenai dimensi metrik lokal dari graf circulant dengan. Simpulan tersebut dituangkan pada sebuah teorema berikut. Teorema 4.2 Diberikan graf circulant dengan order. Dimensi metrik lokal dari graf circulant dengan didapat ( ) { Bukti: Diberikan graf circulant dengan order sehingga didapat dimensi metrik lokal dari graf circulant, dengan adalah dua untuk, tiga untuk dan empat untuk. Dikarenakan adalah bilangan bulat terkecil yang membentuk pola, sehingga dapat dicari bentuk umum dari graf circulant untuk, dan. Dengan diperoleh bentuk umum tersebut serta dapat dibuktikan bahwa untuk mempunyai dimensi metrik lokal adalah dua untuk, tiga untuk dan empat untuk dengan membentuk sebuah teorema dan dibuktikan, berikut pembuktian atas teorema tersebut. Untuk menentukan batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal ( ) dibagi menjadi tiga kasus. Perhatikan ketiga kasus tersebut. a. Untuk. i. Untuk. Dalam kasus ini dapat ditulis dengan. Misalkan dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Ambil, sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu,,,. Terdapat representasi yang sama pada simpul-simpul selain elemen akan tetapi memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Hal ini dikarenakan simpul dan tidak bertetangga. Sedangkan simpul-simpul elemen 54

74 dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal karena terdapat simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu dan. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. Lalu ambil dan tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama dimensi metrik lokal dengan, didapat hasil seperti pada Tabel 4.5. Sehingga dapat diperumum untuk dengan mengambil yang sama,, akan diperoleh dengan adalah dua. ii. Untuk. Dalam kasus ini dapat ditulis dengan. Misalkan dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal. Ambil, sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu,,,,. Terlihat bahwa ada representasi yang sama pada simpul-simpul selain elemen yaitu simpul dan. Tetapi dapat disebut himpunan pembeda lokal karena simpul dan tidak bertetangga. Sedangkan 55

75 menurut Lemma 2.1, simpul dan yang merupakan elemen dari memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasi kedua simpul tersebut, yaitu dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, dapat dikatakan sebagai batas atas dimensi metrik lokal atau dapat ditulis. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti terdapat dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu, dan. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Dengan demikian, diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga, dimensi metrik lokal. Selanjutnya, ambil dan tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama dimensi metrik lokal dengan, diperoleh hasil seperti pada Tabel 4.6. Sehingga dapat diperumum untuk dengan mengambil yang sama yaitu, akan didapat dengan adalah dua. b. Untuk. Dalam kasus ini dapat ditulis dengan. Misalkan dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Ambil, maka himpunan yang digunakan adalah. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu. Sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang 56

76 membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika kurang dari, misalkan maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal, maka dimensi metrik lokal. Lalu ambil dan tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama dimensi metrik lokal dengan, diperoleh hasil seperti pada Tabel 4.7. Dengan demikian, dapat diperumum untuk dengan mengambil akan diperoleh dengan adalah tiga. c. Untuk Dalam kasus ini dapat ditulis dengan. Misalkan dapat ditunjukkan bahwa untuk setiap simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda lokal yaitu setiap dua simpul yang bertetangga memiliki representasi yang berbeda terhadap. Ambil, sehingga didapat representasi dari simpul terhadap yaitu. Sedangkan simpul-simpul yang merupakan elemen dari dijamin oleh Lemma 2.1 pasti memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu,, dan. Dengan demikian adalah 57

77 himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Jika kurang dari, misalkan maka terdapat paling sedikit dua simpul yang bertetangga mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Jadi bukan merupakan himpunan pembeda lokal. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik lokal. Sehingga didapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik lokal. Jadi dimensi metrik lokal. Lalu ambil dan tanpa mengurangi keumuman serta dengan langkah yang sama diperoleh hasil dimensi metrik lokal dengan, seperti pada Tabel 4.8. Sehingga untuk dengan mengambil himpunan yang sama yaitu akan didapat dengan adalah empat. 58

78 Tabel 4.5 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk, Dimensi Metrik Graf Circulant Lokal Representasi ( ) 59

79 Tabel 4.6 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk, Dimensi Metrik Graf Circulant Lokal Representasi ( ) 60

80 Tabel 4.7 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk, Graf Circulant Representasi ( ) Dimensi Metrik Lokal, 61

81 Tabel 4.8 Dimensi Metrik Lokal Graf Circulant untuk, Dimensi Metrik Graf Circulant Lokal Representasi ( ) 62

82 4.4 Keterkaitan Antara Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal dari Graf Circulant Pada sub bab ini, dibahas mengenai keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal pada graf circulant. Berdasarkan hasil yang diperoleh dari subbab 4.3 dapat ditulis kembali hasil dimensi metrik lokal dari graf circulant seperti pada Tabel 4.9. Selanjutnya, dibahas mengenai dimensi metrik pada graf circulant dengan. a) Dimensi Metrik dari Graf Circulant Pada Gambar 4.7 menunjukkan graf circulant. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal dapat diperoleh dengan memisalkan. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda yaitu setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik. Selanjutnya, untuk mendapatkan batas bawah akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda karena terdapat paling sedikit dua simpul mempunyai representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi simpul yang sama yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik, maka dimensi metrik. 63

83 b) Dimensi Metrik dari Graf Circulant Gambar 4.8 menunjukkan graf Circulant. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik lokal pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda. Sehingga dapat diperoleh representasi simpul bukan elemen,, terhadap adalah sedangkan simpul dan yang merupakan elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda yaitu,, dan. Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti terdapat sedikitnya dua simpul yang mempunyai representasi sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama pada simpul yang bertetangga yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik. Dengan demikian, didapat batas atas dan batas bawah dimensi metrik, maka dimensi metrik. c) Dimensi Metrik dari Graf Circulant Pada Gambar 4.15 menunjukkan graf Circulant. Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda. Dengan demkian, didapat hasil representasi semua simpul terhadap yaitu:,,,,,. 64

84 Jadi adalah himpunan pembeda lokal dengan. Namun, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik lokal. Untuk mendapatkan batas bawah, akan ditunjukkan bahwa jika maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda karena terdapat paling sedikit dua simpul mempunyai representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi simpul yang sama yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik. Sehingga dapat diperoleh batas atas dan batas bawah dimensi metrik, maka dimensi metrik. d) Dimensi Metrik dari Graf Circulant Berikut diberikan pembahasan mengenai dimensi metrik dari graf circulant. Gambar dari graf circulant diberikan pada Gambar Untuk mendapatkan batas atas dimensi metrik pada graf circulant,, misalkan akan ditunjukkan bahwa semua simpul di memenuhi syarat himpunan pembeda yaitu setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap. Sehingga diperoleh representasi dari simpul terhadap yaitu : Sedangkan simpul-simpul elemen dijamin oleh Lemma 2.1 bahwa setiap simpul elemen memiliki representasi yang berbeda dan yang membedakan adalah posisi pada representasinya yaitu, dan. Jadi adalah himpunan pembeda dengan. Akan tetapi, belum tentu memiliki kardinalitas yang minimum. Oleh karena itu, batas atas dimensi metrik. 65

85 Untuk batas bawah ditunjukkan bahwa jika maka pasti bukan merupakan himpunan pembeda karena terdapat simpul dengan representasi yang sama. Tanpa mengurangi keumuman, misalkan maka terdapat representasi yang sama yaitu. Oleh karena itu, batas bawah dimensi metrik. Jadi didapat batas atas dan batas bawah dimensi metrik, maka dimensi metrik. Sehingga, hasil dimensi metrik pada graf circulant diberikan pada preposisi berikut. Preposisi 4.1 (Borchert, 2014) Diberikan graf circulant circulant dapat diperoleh dapat dengan order. Dimensi metrik dari graf 1. untuk, dan 2. untuk yang lainnya. Tabel 4.9 Ringkasan Dimensi Metrik dan Dimensi Metrik Lokal pada Graf Circulant No. Graf Circulant Dimensi Metrik Dimensi Metrik Lokal 66

86 Dari Tabel 4.9 dapat dilihat bahwa terdapat keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal pada graf circulant yaitu. Kondisi kurang dari dipenuhi pada saat atau. Sedangkan kondisi sama dengan dipenuhi pada saat : graf circulant isomorfik dengan graf lengkap, dan pada saat. 67

87 68

88 BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah diberikan, dapat diperoleh simpulan dan saran berikut. 5.1 Simpulan Dari hasil penelitian dan pembahasan yang telah dilakukan pada bab sebelumnya, simpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian dan pembahasan adalah sebagai berikut: 1. Graf circulant dengan order, isomorfik dengan graf sikel. Sehingga, dimensi metrik lokal pada graf circulant yaitu satu untuk genap dan dua untuk ganjil. 2. Graf circulant ( ) dengan order, isomorfik dengan graf lengkap. Sehingga, dimensi metrik lokal pada graf circulant ( ) yaitu. 3. Dimensi metrik lokal pada graf circulant degan adalah dua untuk, tiga untuk dan empat untuk. 4. Terdapat keterkaitan antara dimensi metrik dan dimensi metrik lokal pada graf circulant yaitu. Kondisi kurang dari dipenuhi pada saat atau. Sedangkan kondisi sama dengan dipenuhi pada saat: graf circulant isomorfik dengan graf lengkap, dan pada saat. 69

89 5.2 Saran Dimensi metrik lokal untuk sebarang graf terhubung adalah masalah terbuka. Penelitian dalam tesis ini dengan mengambil graf circulant merupakan awalan untuk mendapatkan dimensi metrik lokal pada sebarang graf terhubung. Graf circulant yang digunakan pada penelitian ini adalah graf circulant, graf circulant ( ) dan graf circulant dengan. Sehingga, untuk penelitian selanjutnya dapat digunakan graf circulant, dan. 70

90 DAFTAR PUSTAKA Borchert, A., & Gosselin, S. (2014). The Metric Dimension of Circulant Graph and Cayley Hypergraphs. Department of Mathematics and Statistics, University of Winnipeg, Canada. Chartrand, G., Eroh, L., Johnson, M., & Oellermann, O. (2000), "Resolving in Graph and The Metric Dimension of a Graph". Discrete Applied Mathematics(105), Chartrand, G., Lesniak, L., & Zhang, P. (2010), "Graphs and Digraphs (fifth edition)". Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Graph, New York. Darmaji dan Umilasari, R. (2015), "Bilangan Dominasi pada Graf Hasil Operasi Comb Lintasan dengan Lintasan, Sikel dan Bintang". Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika ISBN No , Eds: Amin, S.M dkk, hal Dewi, N. R. (2013). Pelabelan Total Super (a, d) Sisi Antimagic pada Graf Siput. Skripsi, FKIP Universitas Jember, Jember. Gross, J., & Yellen, J. (2006). Graph Theory and Its Aplications (second edition). Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Graph, New York. Harraay, F., & Melter, R. (1976). On The Metric Dimension of a Graph. Ars combin , Ibrahim, N. (2013). Pengantar Kombinatorika & Teori Graf. Graha Ilmu, Yogyakarta. Kristina, M. (2014). Dimensi Metrik Lokal pada Graf Hasil Kali Comb dari Graf Siklus dan Graf Bintang. Skripsi, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, Surabaya. Okamoto, F., Phinezy, B. dan Zhang, P. (2010), "The Local Metric Dimension of a Graph". Mathematica Bohemica, Vol. 135, No. 3, Permana, A. (2012). Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu. Jurnal Politeknik Pomits, 1(1), 1-4. S. W, Saputro., E. T, Baskoro., D, Suprijanto., A. N. M, Salman. (2012). The Metric Dimension of A Complete n-partite Graf and Its Products. ITB. 71

91 72

92 BIOGRAFI PENULIS Penulis yang memiliki nama lengkap Ruzika Rimadhany, lahir di Sidoarjo, 6 Desember Penulis merupakan putri pertama dari Ir. Imam Suharto dan Asih Triwidiastuti, S.H. Penulis telah menempuh pendidikan formal di mulai dari SD Kemala Bhayangkari 10 Porong pada tahun , SMP Negeri 1 Sidoarjo pada tahun , SMA Negeri 1 Porong pada tahun , dan menyelesaikan studi Strata-1 (S-1) Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya pada tahun 2014 dengan gelar Sarjana Sains (S.Si). Kemudian penulis memperoleh beasiswa BPPDN freshgraduate DIKTI untuk melanjutkan program Strata-2 (S-2) di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya pada tahun 2014 dengan NRP , penulis mengambil Bidang Minat Teori Graf dan Aplikasinya. Untuk membentuk jejaring yang luas dan jika ada kritik, saran, ataupun membutuhkan informasi yang berhubungan dengan tesis ini, penulis dapat dihubungi melalui ruzika.rimadhany@gmail.com. 73