DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR

Transkripsi

1 DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Oleh : Novian Syah NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

2 DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR TUGAS AKHIR Diajukan untuk memenuhi persyaratan Sidang Sarjana Matematika Oleh : Novian Syah NIM Bandung, Februari 2008 Telah diperiksa dan disetujui oleh Prof. Dr. Edy Tri Baskoro NIP PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008

3 ABSTRACT For any S V(G) and a vertex v G, the distance between v and S is d(v, S) = min { d(v, x) x S}. For an ordered k-partition Π = {S 1, S 2,..., S k } of V(G) and a vertex v of G, the representation of v with respect to Π is the k-vectors r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). The partition Π is called a resolving partition if the k-vectors r(v Π), v V(G) are distinct. The minimum k for which there is a resolving k-partition of V(G) is the partition dimension of G (written pd(g)). This final project determines the partition dimensions of Fan (F n ) and Windmill graphs. Precisely, we find the partition dimensions of Fans (F n ) for 4 n 13. We also give the partition dimension of Windmill (Ki) n, namely 1 pd [( Ki) n] = ( 1+ 8n + 1) 2. Key Words : partition dimension, Fans, Windmill graphs. i

4 ABSTRAK Misalkan S V(G) dan titk v G, jarak antara v dengan S adalah d(v, S) = min { d(v, x) x S}. Misalkan k buah partisi Π = {S 1, S 2,..., S k } dari V(G) dan v titik di G, koordinat v terhadap Π didefinisikan sebagai r(v Π) = (d(v, S 1 ), d(v, S 2 ),..., d(v, S k )). Partisi Π dikatakan resolving partition jika k buah vektor r(v Π), untuk setiap v V(G) berbeda. Nilai minimum k sehingga Π resolving partition adalah dimensi partisi dari G (dinotasikan pd(g)). Tugas akhir ini menentukan dimensi partisi dari graf Kipas dan graf Kincir. Tepatnya, ditemukan dimensi partisi dari graf Fan (F n ) untuk 4 n 13. Akan juga diberikan dimensi partisi dari graf Kincir, yaitu ( Ki) 1 pd [ n] = ( 1+ 8n + 1) 2. Kata Kunci : dimensi partisi, graf Fan, graf Windmill ii

5 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Illahi Robbi, di mana atas rahmat dan karunia-nya, alhamdulillah penulis telah dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini, yang merupakan salah satu syarat bagi penulis untuk menempuh ujian Sarjana pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung. Dalam Tugas Akhir ini penulis membahas tentang permasalahan graf dengan judul Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir. Tugas Akhir ini membahas mengenai banyaknya dimensi partisi graf dan beberapa sifatnya. Penulis memilih permasalahan tersebut adalah untuk memperdalam kajian ilmu graf khususnya dalam bidang dimensi partisi. Graf yang dibahas adalah graf Kipas dan graf Kincir. Hal ini dikarenakan masih sedikitnya penelitian dimensi partisi pada grafgraf tersebut. Penulis menyadari sepenuhnya, Tugas Akhir ini jauh dari sempurna. Namun, dengan segala kerendahan, penulis mengajukan Tugas Akhir ini dengan harapan dapat memenuhi fungsinya sebagaimana mestinya. Dengan selesainya Tugas Akhir ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Orang tua yang selalu memberikan semangatnya dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. 2. Bapak Prof. Dr. Edy Tri Baskoro, selaku pembimbing yang telah memberikan arahan dalam penyusunan Tugas Akhir ini. 3. Ibu Dr. Pudji Astuti selaku dosen wali penulis. 4. Bapak/ Ibu Dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis selama menuntut ilmu di Program Studi Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung. iii

6 5. Ibu Diah dan staf Tata Usaha Matematika ITB lainnya yang banyak membantu urusan administrasi penulis. 6. Teman-teman program studi Matematika ITB : Onta, Opik, Anggun, Gia, Micke, Dinnar, Riswan, Rina, Gindo, Ghifari, Asnaini, Aditya, Kunarto, Erdi, Cica, Rity, Savitri, Dita, Kisar dan teman-teman lainnya yang tidak bisa penulis tuliskan satu per satu. Terima kasih atas dorongan semangatnya sehingga Tugas Akhir ini dapat diselesaikan. Akhir kata, disertai ketawakalan, penulis menyampaikan segenap permasalahan yang dihadapi kepada Allah Subhanahu Wataala. Semoga Tugas Akhir ini memberikan manfaat bagi semua pihak yang memerlukannya. Bandung, Februari 2008 Penulis iv

7 DAFTAR ISI Abstract... i Abstrak...ii Prakata...iii Daftar Isi... v 1. Pendahuluan Dimensi Partisi Graf Definisi dasar dan keterkaitannya dengan metric dimension Dimensi Partisi Graf Lintasan dan Graf Lengkap Dimensi Partisi Graf Wheel Dimensi Partisi Graf Kipas dan Graf Kincir Dimensi Partisi Graf Kipas (F n ) Dimensi Partisi Graf Kincir (Ki) Beberapa dimensi partisi untuk n kecil Pola umum dimensi partisi graf Kincir (Ki) n Kesimpulan Daftar Pustaka v