DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF

Transkripsi

1 DIMENSI METRIK KUAT PADA BEBERAPA KELAS GRAF oleh FITHRI ANNISATUN LATHIFAH M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2015 i

2 perpustakaan.uns.ac.id ii

3 ABSTRAK Fithri Annisatun Lathifah DIMENSI METRIK KUAT PADA BE- BERAPA KELAS GRAF. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Misalkan G adalah suatu graf terhubung dengan himpunan vertex V (G) dan himpunan edge E(G). Interval I[u, v] antara u dan v merupakan kumpulan semua vertex yang termuat dalam suatu path u v terpendek. Suatu vertex s V (G) disebut sebagai pembeda kuat untuk vertex u, v V (G) jika v I[u, s] atau u I[v, s]. Himpunan S V (G) dikatakan sebagai himpunan pembeda kuat dari G jika untuk setiap dua vertex u dan v dari G dibedakan kuat oleh suatu vertex di S. Himpunan pembeda kuat dengan kardinalitas minimum disebut basis metrik kuat. Dimensi metrik kuat dari G, dinotasikan sdim(g), didefinisikan sebagai banyaknya elemen dari basis metrik kuat di G. Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik kuat pada graf tadpole, graf helm, graf closed helm, dan graf t-fold wheel. Kata Kunci : dimensi metrik kuat, himpunan pembeda kuat, graf tadpole, graf helm, graf closed helm, dan graf t-fold wheel. iii

4 ABSTRACT Fithri Annisatun Lathifah THE STRONG METRIC DIMENSION OF SOME CLASSES OF GRAPHS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences. Sebelas Maret University. Let G be a connected graph with the set of vertices V (G) and the set of edges E(G). An interval I[u, v] between u and v is defined as the collection of all vertices that belong to some shortest u v path. A vertex s V (G) is said to be strongly resolved for vertices u, v V (G) if v I[u, s] or u I[v, s]. A set S V (G) is strong resolving set of G if every pair of vertices u and v of G is strongly resolved by some vertices of S. The smallest cardinality of strong resolving set is called a strong metric basis. The strong metric dimension of G, denoted by sdim(g), is defined as the number of the elements of strong metric basis in G. In this research, we obtained strong metric dimensions of tadpole graph, helm graph, closed helm graph, and t-fold wheel graph. Keywords : strong metric dimension, strong resolving set, tadpole graph, helm graph, closed helm graph, t-fold wheel graph. iv

5 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini. Penyusunan skripsi ini tidak akan berhasil dengan baik tanpa bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penulisan ini, terutama kepada 1. Bapak Prof. Drs. Tri Atmojo K., M.Sc., Ph.D. sebagai Pembimbing I yang telah membimbing penulis dalam penyelesaian skripsi ini, dan 2. Almh. Ibu Sri Kuntari, M.Si. yang telah memberi bimbingan dan arahan dalam penulisan skripsi ini. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Surakarta, Juli 2015 Penulis v

6 PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk kedua orang tuaku dan adikku. vi

7 Daftar Isi PENGESAHAN iii ABSTRAK iii ABSTRACT iv KATA PENGANTAR v PERSEMBAHAN vi DAFTAR ISI viii DAFTAR GAMBAR ix DAFTAR NOTASI x I PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Manfaat Penelitian II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Landasan Teori Pengertian Dasar Graf Kelas-Kelas Graf Fungsi Graf Isomorfik Dimensi Metrik Kuat commit... to. user Kerangka Pemikiran vii

8 III METODE PENELITIAN 15 IV PEMBAHASAN Sifat Himpunan Pembeda Kuat Dimensi Metrik Kuat pada Graf Tadpole Dimensi Metrik Kuat pada Graf Helm Dimensi Metrik Kuat pada Graf Closed Helm Dimensi Metrik Kuat pada Graf t-fold Wheel V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 29 viii

9 Daftar Gambar 2.1 Graf G Graf G Graf tadpole T 5, Graf wheel W 5 (kiri) dan graf helm H 5 (kanan) Graf closed helm CH Graf 3-fold wheel W Dua graf yang isomorfik Graf G ix

10 Daftar Notasi G : graf G V (G) : himpunan vertex dari graf G V (G) : order atau banyaknya vertex dari graf G E(G) : himpunan edge dari graf G E(G) : size atau banyaknya edge dari graf G u, v : vertex e, uv : edge P n : graf lintasan dengan order n C n : graf cycle dengan order n K n : graf lengkap dengan order n T m,n : graf tadpole dengan order m + n W n : graf wheel dengan order n + 1 H n : graf helm dengan order 2n + 1 CH n : graf closed helm dengan order 2n + 1 Wn t : graf t-fold wheel dengan order n + t : untuk setiap : terdapat f : A B : fungsi dari himpunan A ke himpunan B G 1 = G2 : graf G 1 isomorfik dengan graf G 2 x : bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x x : bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x : akhir bukti x