oleh BANGKIT JOKO WIDODO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

Transkripsi

1 DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN GRAF DOUBLE CONES oleh BANGKIT JOKO WIDODO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i

2 perpustakaan.uns.ac.id ii

3 ABSTRAK Bangkit Joko Widodo, DIMENSI METRIK PADA GRAF SUN, GRAF HELM DAN GRAF DOUBLE CONES Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Graf G terdiri dari himpunan vertex V (G) = {v 1, v 2,..., v n } dan himpunan edge E(G) = {e 1, e 2,..., e n }. Suatu graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap vertex pada G. Jarak antara dua vertex u dan v, dinotasikan d(u, v), adalah panjang lintasan terpendek dari vertex u ke v. Misalkan W = {w 1, w 2,..., w n } adalah subhimpunan vertex-vertex dari graf terhubung G dan v V (G), representasi vertex v terhadap W didefinisikan sebagai k-pasang terurut r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w 2 ),..., d(v, w k )). Himpunan W dikatakan sebagai himpunan pembeda dari G jika untuk setiap dua vertex berbeda x, y V (G) berlaku r(x W ) r(y W ). Himpunan pembeda dengan kardinalitas terkecil disebut himpunan pembeda minimum atau basis dari G. Sedangkan banyaknya elemen dari suatu basis di G disebut dimensi metrik dari G, dinotasikan Dim(G). Dalam penelitian ini diperoleh dimensi metrik pada graf sun S n, graf helm H n dan graf double cones DC n. Kata kunci: dimensi metrik, himpunan pembeda, basis, graf sun, graf helm, graf double cones. iii

4 ABSTRACT Bangkit Joko Widodo, METRIC DIMENSION OF SUN GRAPH, HELM GRAPH AND DOUBLE CONES GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Let G be a graph with vertex set V (G) = {v 1, v 2,..., v n } and edge set E(G) = {e 1, e 2,..., e n }. G is connected if there exists a path connecting every vertex in G. The distance between two vertices u and v, denoted by d(u, v), is the length of a shortest path from u to v in G. Let W = {w 1, w 2,..., w n } be a subset of vertices in a connected graph G. For v V (G), a representation of v with respect to W is defined as the k-tuple r(v W ) = (d(v, w 1 ), d(v, w 2 ),..., d(v, w k )). The set W is called a resolving set of G if every two distinct vertices x, y V (G) satisfy r(x W ) r(y W ). The resolving set of G with minimum cardinality is called a minimum resolving set or basis of G and the cardinality of minimum resolving set is called metric dimension, denoted by Dim(G). In this research, we obtained the metric dimensions of a sun graph S n, a helm graph H n and a double cones graph DC n. Keywords: metric dimension, resolving set, basis, sun graph, helm graph, double cones graph. iv

5 MOTO Tidak boleh menyerah ketika keadaan sedang sulit. v

6 PERSEMBAHAN Karya ini kupersembahkan untuk Kedua orang tuaku, adikku Dyah Kartika Sari dan Viona Natalia yang selalu memberi semangat dan motivasi. vi

7 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini, penulis memperoleh bantuan dari berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Tri Atmojo Kusmayadi, M.Sc, Ph.D dan Ibu Sri Kuntari, M.Si. sebagai Pembimbing I dan Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan maupun materi. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada teman-teman yang senantiasa memberikan dukungan, kritik, dan saran kepada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada semua pihak yang membutuhkan. Surakarta, September 2013 Penulis vii

8 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL i PENGESAHAN ii ABSTRAK iii ABSTRACT iv MOTO v PERSEMBAHAN vi KATA PENGANTAR vii DAFTAR ISI viii DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL xi I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Manfaat II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Landasan Teori Pengertian Dasar Graf Operasi pada Graf Kelas-Kelas Graf Dimensi metrik.. commit.... to. user III METODE PENELITIAN 13 viii

9 IV PEMBAHASAN Dimensi metrik pada graf sun S n Dimensi metrik pada graf helm H n Dimensi metrik pada graf double cones DC n V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 32 ix

10 DAFTAR GAMBAR 2.1 Graf G Graf G (kiri) dan komplemen dari graf G (kanan) Graf G 1 dan G 2 (kiri) dan Union G 1 dan G 2 (kanan) Join (kiri) dan product (kanan) dari G 1 dan G Graf sun S (a) Graf wheel W 4 (b) Graf helm H Graf double cones DC Graf G Graf sun S n Graf helm H n Graf double cones DC n x

11 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL G : graf G V (G) : himpunan vertex dari graf G E(G) : himpunan edge dari graf G V (G) : banyaknya vertex dari graf G (order) E(G) : banyaknya edge dari graf G (size) u, v : vertex e, uv : edge deg v : degree dari vertex v C n : graf cycle dengan order n W n : graf wheel dengan order n + 1 F n : graf fan dengan order n + 1 A n : graf antiprism dengan order 2n A n : graf antiprism related dengan order 3n K n : graf lengkap (complete) dengan order n K r,s : graf complete bipartite dengan order r + s Ḡ : komplemen dari graf G : operasi union + : operasi join : operasi product : himpunan bagian : anggota = : isomorfik S n : graf sun dengan order 2n H n : graf helm dengan order 2n + 1 DC n : graf double cones dengan order n + 2 r(v W ) : representasi vertex v terhadap W xi