PENJADWALAN PETUGAS KEAMANAN MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING: STUDI KASUS DI INSTITUT PERTANIAN BOGOR RANGGA GALUH SONIWAN

Transkripsi

1 PENJADWALAN PETUGAS KEAMANAN MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING: STUDI KASUS DI INSTITUT PERTANIAN BOGOR RANGGA GALUH SONIWAN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penjadwalan Petugas Keamanan Menggunakan Integer Linear Programming: Studi Kasus di Institut Pertanian Bogor adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, September 2014 Rangga Galuh Soniwan NIM G

4 ABSTRAK RANGGA GALUH SONIWAN. Penjadwalan Petugas Keamanan Menggunakan Integer Linear Programming: Studi Kasus di Institut Pertanian Bogor. Dibimbingoleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan SISWANDI. Salah satu permasalahan yang sering timbul dalam sistem manajemen keamanan pada suatu tempat adalah masalah penjadwalan petugas keamanan. Penjadwalan petugas keamanan yang tepat sangat diperlukan untuk menghindari kelelahan petugas baik fisik maupun psikologis yang dapat menurunkan kinerjanya. Karya ilmiah ini menyajikan model integer linear programming untuk membuat jadwal bagi petugas keamanan. Fungsi objektif model ini adalah meminimumkan total beban regu petugas pada shift malam sehingga shift pagi mempunyai kesempatan lebih besar untuk di jadwalkan, tanpa mengurangi total hari bertugas. Model ini selanjutnya diterapkan pada jadwal petugas keamanan di kampus Institut Pertanian Bogor. Kata Kunci: penjadwalan, integer linear programming, meminimumkan total beban. ABSTRACT RANGGA GALUH SONIWAN. Scheduling Security Officers by using Integer Linear Programming: A Studi Case in Bogor Agricultural University. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and SISWANDI. One of the problems that often arises in a security management system is the problem of scheduling security officers. A proper scheduling of security officers is required to avoid fatigue on officers, both psychologically and physically which can degrade the performance of the officers. This paper presents an integer linear programming model to establish a timetable for the security personnels. The objective function of this model is to minimize the total load shift of officers on the night shift so that the morning shift has a greater chance to be scheduled without reducing the total days of services. This model is then applied to schedule the security officers on campus of Bogor Agricultural University. Keywords: scheduling, integer linear programming, minimize the total load.

5 PENJADWALAN PETUGAS KEAMANAN MENGGUNAKAN INTEGER LINEAR PROGRAMMING: STUDI KASUS DI INSTITUT PERTANIAN BOGOR RANGGA GALUH SONIWAN Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Penjadwalan Petugas Keamanan Menggunakan Integer Linear Programming: Studi Kasus di Institut Pertanian Bogor Nama : Rangga Galuh Soniwan NIM : G Disetujui oleh Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pembimbing I Drs Siswandi, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini yang berjudul Penjadwalan Petugas Keamanan Menggunakan Integer Linear Programming : Studi Kasus di Institut Pertanian Bogor berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. dan Bapak Drs Siswandi, M.Si selaku pembimbing, serta Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada kedua orangtua penulis, Bapak Asep Solih dan Ibu Henny Feniyati, kedua adik Novaldi Dwi Purnama dan Lira Soniawati, serta seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya. Terima kasih juga di sampaikan kepada seluruh dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas segala ilmu dan bantuannya, Hendra, Rudy, Syaepul, Dian, Steven, dan Bari atas bantuan dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, September 2014 Rangga Galuh Soniwan

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 TINJAUAN PUSTAKA 2 PEMODELAN 2 Deskripsi Masalah 2 Formulasi Masalah 3 STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA 5 Hasil dan Pembahasan 7 SIMPULAN DAN SARAN 9 Simpulan 9 Saran 9 DAFTAR PUSTAKA 9 LAMPIRAN 10 RIWAYAT HIDUP 21

10 DAFTAR TABEL 1. Hasil penjadwalan petugas keamanan menggunakan ILP 7 2. Jumlah setiap shift dan libur untuk regu petugas menggunakan ILP 8 DAFTAR LAMPIRAN 1. Sintaks dan Hasil Komputasi Program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Masalah Penjadwalan Petugas Keamanan 10

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Di zaman modern saat ini, di mana pertumbuhan ekonomi dan perkembangan teknologi yang semakin pesat khususnya di Indonesia, tentu berdampak pada perilaku masyarakat. Masyarakat cenderung menjadi lebih konsumtif, sehingga rasa ingin memiliki suatu hal, misalnya barang akan semakin tinggi. Hal ini dapat berdampak tidak baik ketika keinginan akan sesuatu tersebut tidak diimbangi dengan daya beli masyarakat tersebut. Pada akhirnya, banyak cara dilakukan seseorang untuk memenuhi keinginannya itu dan tidak sedikit dilakukan dengan cara yang salah, dalam hal ini banyak terjadi tindak pencurian, perampokan, dan tindak kriminal lainnya. Dalam usaha untuk mengurangi tindak kriminalitas, selain menghimbau masyarakat untuk meningkatkan kewaspadaan akan kriminalitas, juga diperlukan bantuan dari aparatur petugas keamanan. Dalam konteks ini, peningkatan kinerja petugas kemanan menjadi fokus masalah yang harus diselesaikan, Kurang meratanya pembagian kerja petugas keamanan menjadi salah satu faktor kurang optimalnya kinerja petugas keamanan. Oleh karena itu perlu adanya suatu penjadwalan petugas yang tepat agar tidak terjadi kelelahan baik fisik maupun psikologis pada petugas. Penjadwalan yang tepat dapat memberikan dampak positif bagi kinerja petugas dalam bertugas sehingga terpenuhinya suatu penjadwalan yang optimal. Masalah penjadwalan petugas keamanan ini pada umumnya dapat dimodelkan sebagai masalah Integer Linear Programming (ILP). ILP merupakan masalah optimasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer. Selain itu menggunakan ILP lebih fleksibel, di mana pengguna dapat dengan mudah menghilangkan serta menambahkan kendala-kendala baru yang diperlukan. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah memformulasikan masalah penjadwalan petugas keamanan menggunakan ILP serta menerapkan model tersebut dengan bantuan software LINGO Model dalam karya ilmiah ini merupakan modifikasi dari artikel yang berjudul Scheduling Security Personnel for the Vancouver 2010 Winter Olympic Games karya Bohdan L. Kaluzy and Alan Hill tahun 2010.

12 2 TINJAUAN PUSTAKA Permasalahan penjadwalan petugas pada suatu tempat dapat dikategorikan sebagai suatu Assignment Problem (AP). Beberapa aspek dalam masalah penjadwalan ini memiliki kesamaan dengan masalah penjadwalan lainnya, seperti penjadwalan perawat rumah sakit, penjadwalan mesin, dan penjadwalan masalah distribusi barang. Berbagai macam metode seperti Branch and Bound Algorithm (Kaas 1981), Combine Interior Point (Mitchell dan Borchers 2000) dan Tabu Searh Algorithm dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah penjadwalan semacam ini. Model yang dipandang cocok dengan kemudahan menambahkan tujuan serta kendala-kendala baru yang diperlukan adalah model (ILP). Metode Heuristik yang biasa digunakan untuk menyelesaikan masalah penjadwalan memerlukan waktu yang relatif cukup singkat untuk memperoleh hasil yang diinginkan akan tetapi metode tersebut belum tentu optimal (Marti dan Reinelt 2011). Namun, seiring dengan perkembangan teknologi komputer dengan kecepatan eksekusi dan kapasitas memori yang semakin besar dan dengan memperhatikan berbagai kelebihan yang bisa diperoleh menjadikan ILP sebagai salah satu pilihan yang tepat untuk membangun suatu model penjadwalan petugas keamanan. PEMODELAN Deskripsi Masalah Keamanan suatu tempat sangat penting untuk mencegah terjadinya tindak kejahatan seperti pencurian dan pemalakan. Salah satu cara untuk mengantisipasi tindak kejahatan tersebut diperlukan personil-personil keamanan yang berjaga pada tempat dan waktu tertentu. Demi kenyamanan dan keselamatan, personilpersonil keamanan ini akan dibentuk ke dalam beberapa regu yang masing-masing regu bertugas menjaga suatu tempat. Untuk mengoptimalkan kinerja masingmasing regu, setiap regu bertugas jaga dalam satu shift, yakni shift pagi atau shift malam dalam satu hari bertugas. Untuk regu yang bertugas pada shift malam sedapat mungkin tidak bertugas pada shift pagi pada keesokan harinya. Tujuan model ini adalah untuk meminimumkan total beban regu petugas pada shift malam tanpa mengurangi total hari bertugas suatu regu sehingga terpenuhinya penjadwalan yang optimal.

13 3 Formulasi Masalah Masalah penjadwalan petugas keamanan ini dapat diformulasikan sebagai suatu ILP. Model dalam kasus ini menggunakan parameter dan variabel keputusan sebagai berikut: Indeks i,j = indeks untuk menyatakan regu i yang bertugas pada hari ke-j. Parameter m = banyaknya hari yang digunakan dalam penjadwalan pada satu periode, periode yang digunakan dalam penjadwalan ini adalah bulan n = banyaknya regu petugas yang bertugas I = himpunan regu petugas dengan indeks i J = himpunan hari untuk bertugas dengan indeks j Xi,j = regu i bertugas pada shift pagi di hari ke-j Yi,j = regu i bertugas pada shift malam di hari ke-j Li,j = regu i tidak bertugas di hari ke-j Xtotal = jumlah regu petugas yang diperlukan untuk shift pagi Ytotal = jumlah regu petugas yang diperlukan untuk shift malam Htotal = banyaknya jumlah hari kerja yang harus dipenuhi oleh setiap regu dalam satu periode. Variabel keputusan { { { Fungsi Objektif Fungsi objektif dari masalah ini adalah meminimumkan total beban regu petugas pada shift malam, sehingga koefisien fungsi objektifnya diboboti secara proposional sedemikian sehingga shift pagi punya kesempatan lebih besar untuk dijadwalkan kepada regu petugas. Sebagai fungsi objektif dari permasalahan ini adalah: Minimumkan dengan konstanta a dan b berturut-turut adalah bobot yang menyatakan shift pagi dan bobot yang menyatakan shift malam.

14 4 Kendala 1. Untuk setiap regu, jumlah total hari bertugas paling sedikit dalam satu periode adalah sebanyak Htotal. 2. Setiap regu bertugas sebanyak-banyaknya satu shift dalam satu harinya. 3. Jika suatu regu bertugas pada shift malam, maka regu tersebut tidak boleh bertugas pada shift pagi untuk keesokan harinya. 4. Setiap regu tidak boleh bertugas dua hari berturut-turut pada shift malam harinya.. 5. Untuk shift pagi terdapat paling sedikit Xtotal regu petugas yang bertugas di hari ke-j Untuk shift malam terdapat paling sedikit Ytotal regu petugas yang bertugas di hari ke-j. 7. Semua variabel keputusan bernilai 0 atau 1. { } { } { }

15 5 STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA Studi kasus yang diambil dalam penelitian ini adalah membuat suatu model penjadwalan petugas keamanan di Kampus Institut Pertanian Bogor (IPB). Pelayanan keamanan kampus IPB dikelola oleh suatu unit yang diberi nama Unit Keamanan Kampus. Unit Keamanan Kampus ini bertugas untuk menjaga beberapa tempat di lingkungan sekitar kampus yang terdiri dari beberapa fakultas yang ada di kampus maupun beberapa tempat di sekitar kampus. Pihak Unit Keamanan Kampus membentuk 15 regu dimana masing-masing regu terdiri dari 21 orang petugas. Terdapat 5 sektor yang harus dijaga dan masing-masing sektor dijaga oleh satu regu. Sektor-sektor tersebut adalah: 1. Sektor pertama terdiri dari Gedung Rektorat, Gerbang depan IPB, Gedung Grha Widya Wisuda (GWW), Fakultas Pertanian. 2. Sektor kedua terdiri dari Fakultas Kedokteran Hewan, Fakultas Ilmu Kelautan dan Perikanan, Fakultas Peternakan, Rumah Sakit Hewan. 3. Sektor ketiga terdiri dari Fakultas Ekologi Manusia, Fakultas Ekonomi dan Manajemen, Perpustakaan LSI, Fakultas Teknologi Pertanian. 4. Sektor keempat terdiri dari Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Gedung Common Class Room (CCR), Fakultas Kehutanan, Asrama Putri TPB, Gymnasium. 5. Sektor kelima terdiri dari Asrama Putra TPB, Masjid Al-Hurriyah, GOR Lama,Pintu Belakang IPB. Pihak Unit Keamanan Kampus mengambil kebijakan untuk membagi jam kerja petugas menjadi 2 shift, yakni shift pagi dan shift malam. Waktu kerja untuk shift pagi dimulai pukul , sedangkan untuk shift malam dimulai pukul Berdasarkan permasalahan yang ada, formulasi matematik dari masalah tersebut dapat ditulis sebagai berikut: Indeks i,j = indeks untuk menyatakan regu i yang bertugas pada hari ke-j. Parameter m = banyaknya hari yang digunakan dalam penjadwalan pada satu periode yaitu selama 30 hari n = banyaknya regu petugas yang bertugas = 15 regu I = himpunan regu petugas dengan indeks i = 1,2,3,4,5,,n J = himpunan hari untuk bertugas dengan indeks j= 1,2,3,4,5,,m Xi,j = regu i bertugas pada shift pagi di hari ke-j Yi,j = regu i bertugas pada shift malam di hari ke-j Li,j = regu i tidak bertugas dihari ke-j Xtotal = jumlah regu petugas yang diperlukan untuk shift pagi = 5 regu Ytotal = jumlah regu petugas yang diperlukan untuk shift malam = 5 regu Htotal = banyaknya jumlah hari kerja yang harus dipenuhi oleh setiap regu dalam satu periode = 20 hari.

16 6 Htotal disini diambil yaitu sebanyak 20 hari, pengambilan 20 hari disini berdasarkan kebijakan dari unit keamanan kampus IPB. Variabel Keputusan { { { Fungsi Objektif Fungsi objektif dari masalah ini adalah meminimumkan total beban regu petugas pada shift malam, sehingga koefisien fungsi objektifnya diboboti secara proposional sedemikian sehingga shift pagi mempunyai kesempatan lebih besar untuk dijadwalkan kepada regu petugas. Sehubungan dengan hal tersebut diambil 1 untuk bobot regu petugas yang ditugaskan pada shift pagi dan 2 untuk bobot regu petugas yang ditugaskan pada shift malam. Sehingga fungsi objektif masalah ini dapat ditulis sebagai: Minimumkan Kendala 1. Untuk setiap regu, jumlah total hari bertugas paling sedikit dalam satu periode adalah sebanyak 20 hari. 2. Setiap regu bertugas sebanyak-banyaknya satu shift dalam satu hari. 3. Jika suatu regu bertugas pada shift malam, maka regu tersebut tidak boleh bertugas pada shift pagi untuk keesokan harinya. 4. Setiap regu tidak boleh bertugas dua hari berturut-turut pada shift malam.

17 7 5. Untuk shift pagi terdapat paling sedikit 5 regu yang bertugas di hari ke-j. 6. Untuk shift malam terdapat paling sedikit 5 regu petugas yang bertugas di hari ke-j. 7. Semua variabel keputusan bernilai 0 atau 1. { } { } { } Hasil dan Pembahasan Penyelesaian masalah pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan software LINGO Sintaks program dan hasil komputasi yang diselesaikan dengan software tersebut dapat dilihat pada Lampiran. Solusi yang diperoleh dari kasus ini ialah solusi optimal dengan nilai fungsi objektif 450 jam yang merupakan waktu total minimum bertugas dalam satu periode didapatkan pada iterasi ke 2699 dengan waktu eksekusi 00:00:02 detik. Hasil penjadwalan untuk setiap petugas keamanan di kampus Institut Pertanian Bogor dengan ILP diberikan pada Tabel 1 dan 2. Tabel 1 Hasil penjadwalan petugas keamanan menggunakan ILP Kode Regu Tanggal L L M P M M M P M P L P L L P 2 M M L P L L L P L P M P P M M 3 L L M M P P M P P M L M P L L 4 M P L L M P L P P L M L M P M 5 L M M P L P P M M P L M L P L 6 M L L M M M P L L P P L P M P 7 L M P L L L P P P M M M M L P 8 M L M P M P P M P L L L L M P 9 L M L P L P M L M P P M P L M 10 P L P M M M L P L M M L P P L 11 P P M L L L M M P L L M P P M 12 M P L P P M L L M P P L M M L 13 L P P P P L M M L M M M L L P 14 P P M P M M L L M L L L P M P 15 P M L M L L M M L P P P P L M 16 P L P L P M L L P M P M M M L 17 P P P M P L M M P L M L L L M 18 M P M L P P L L M M L P M P L

18 8 19 L P L M M M P P L L P M L P M 20 P P P L L L M M M M P L P M L 21 M M P M P M L L L L P P M L P 22 L L P L M L P M M M M P L P P 23 M M P M L P P L L L L P P M M 24 L L P L P M P M M M P P M L L 25 P P M M M L M L L L P M L P P 26 P M L L L M L P P P P L M M M 27 P L M M M L P P P M M P L L L 28 M M L L L P P M M L L M P P P 29 L L M P P P M L L P M L M P M 30 P M L P P M L M M M L P L P L Keterangan : P= Pagi, M = Malam, L = Libur Tabel 2 Jumlah setiap shift dan libur untuk regu petugas menggunakan ILP Regu Shift Total Hari Pagi Malam Libur Bertugas Dari Tabel 2 di atas dapat dilihat bahwa banyaknya total hari bertugas yang di terima oleh setiap regunya adalah sama sebanyak 20 hari dengan rata-rata jumlah shift yang didapat yaitu 11 hari shift pagi dan 9 hari shift malam yang diterima oleh 5 regu petugas, kemudian 10 hari shift pagi dan 10 hari shift malam yang diterima oleh 6 regu petugas dan 9 hari shift pagi dan 11 hari shift malam yang diterima oleh 4 regu petugas dengan waktu bertugas selama 12 jam perhari pada satu periode penjadwalan. Hal ini menunjukan bahwa total waktu beban petugas yang diberikan pada shift malam dapat diminimumkan sehingga diperoleh penjadwalan yang optimal.

19 9 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dalam penulisan karya ilmiah ini telah diperlihatkan penyelesaian dari masalah penjadwalan petugas keamanan di kampus Institut Pertanian Bogor yang bertujuan meminimumkan total beban regu petugas pada shift malam, sehingga shift pagi mempunyai kesempatan lebih besar untuk dijadwalkan kepada regu petugas. Masalah ini dapat dipandang sebagai masalah Integer Linear Programming yang dapat diselesaikan dengan bantuan software LINGO 11.0 sehingga diperoleh hasil yang optimal. Saran Model penjadwalan menggunakan ILP dapat menjadi alternatif bagi pihak unit keamanan kampus dalam menentukan jadwal petugasnya secara optimal. Untuk penelitian lebih lanjut dapat dilakukan modifikasi model untuk kasus yang lebih kompleks. DAFTAR PUSTAKA Alan H, Kaluzy BL scheduling security personnel for the Vancouver 2010 winter olympic games by integer programming: A Case Study.49(3): Kaas R A branch and bound algorithm for the acylic subgraph problem. European Journal of Operation Research, 8: Marti R, Reinelt G The Linear Ordering Problem, Exact and Heuristic Methods in Combinatorial Optimization. Berlin(GER):Springer Mitchell JE, Borchers B Solving linear ordering problems with a combined interior point/simplex cutting plane algorithm. In H. L. Frenk et al., editor, High Performance Optimization, pages

20 10 Lampiran 1 Sintaks dan Hasil Komputasi Program LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Masalah Penjadwalan Petugas Keamanan. MODEL: TITLE : JADWAL SATPAM; SETS: REGU/1..15/; HARI/1..30/; LINK1(REGU,HARI):X,Y,L; ENDSETS DATA: Xtot=5; Ytot=5; Htot=20; a=1; b=2; enddata Min=@SUM(HARI(J):@SUM(REGU(I):a*X(I,J) + b*y(i,j)));!kenala 1 Untuk setiap regu terdapat jumlah total hari paling sedikit dalam satu periode yaitu sebanyak 2 Untuk setiap regu sebanyak banyaknya bertugas satu shift dalam satu 3 Jika regu petugas bertugas pada shift malam hari, maka regu pertugas tersebut tidak boleh bertugas untuk keesokan harinya di shift pagi J#LE#29:Y(I,J)+X(I,J+1)<=1);!Kendala 4 Regu petugas yang bertugas pada shift malam tidak boleh bekerja dua hari berturut-turut pada malam J#LE#29:Y(I,J)+Y(I,J+1)<=1);!Kendala 5 Untuk shift pagi terdapat paling sedikit Xtotal regu petugas yang bertugas di hari ke-j 6 Untuk shift Malam terdapat paling sedikit Ytotal regu petugas yang bertugas di hari ke-j 7 Semua variabel keputusan bernilai 0 @FOR(LINK1(I,J):@BIN(L(I,J))); END

21 11 Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 2699 Model Title: : JADWAL SATPAM Variable Value Reduced Cost HTOT A B XTOT( 1) XTOT( 2) XTOT( 3) XTOT( 4) XTOT( 5) XTOT( 6) XTOT( 7) XTOT( 8) XTOT( 9) XTOT( 10) XTOT( 11) XTOT( 12) XTOT( 13) XTOT( 14) XTOT( 15) XTOT( 16) XTOT( 17) XTOT( 18) XTOT( 19) XTOT( 20) XTOT( 21) XTOT( 22) XTOT( 23) XTOT( 24) XTOT( 25) XTOT( 26) XTOT( 27) XTOT( 28) XTOT( 29) XTOT( 30) YTOT( 1) YTOT( 2) YTOT( 3) YTOT( 4) YTOT( 5) YTOT( 6) YTOT( 7) YTOT( 8) YTOT( 9) YTOT( 10) YTOT( 11) YTOT( 12) YTOT( 13) YTOT( 14) YTOT( 15)

22 12 YTOT( 16) YTOT( 17) YTOT( 18) YTOT( 19) YTOT( 20) YTOT( 21) YTOT( 22) YTOT( 23) YTOT( 24) YTOT( 25) YTOT( 26) YTOT( 27) YTOT( 28) YTOT( 29) YTOT( 30) X( 1, 10) X( 1, 11) X( 1, 14) X( 1, 15) X( 1, 16) X( 1, 17) X( 1, 20) X( 1, 25) X( 1, 26) X( 1, 27) X( 1, 30) X( 2, 4) X( 2, 11) X( 2, 12) X( 2, 13) X( 2, 14) X( 2, 17) X( 2, 18) X( 2, 19) X( 2, 20) X( 2, 25) X( 3, 7) X( 3, 10) X( 3, 13) X( 3, 16) X( 3, 17) X( 3, 20) X( 3, 21) X( 3, 22) X( 3, 23) X( 3, 24) X( 4, 1) X( 4, 2) X( 4, 5) X( 4, 8) X( 4, 9) X( 4, 12) X( 4, 13) X( 4, 14) X( 4, 29) X( 4, 30) X( 5, 3) X( 5, 12) X( 5, 13)

23 X( 5, 16) X( 5, 17) X( 5, 18) X( 5, 21) X( 5, 24) X( 5, 29) X( 5, 30) X( 6, 3) X( 6, 4) X( 6, 5) X( 6, 8) X( 6, 9) X( 6, 18) X( 6, 23) X( 6, 28) X( 6, 29) X( 7, 5) X( 7, 6) X( 7, 7) X( 7, 8) X( 7, 19) X( 7, 22) X( 7, 23) X( 7, 24) X( 7, 27) X( 7, 28) X( 8, 1) X( 8, 2) X( 8, 3) X( 8, 4) X( 8, 7) X( 8, 10) X( 8, 19) X( 8, 26) X( 8, 27) X( 9, 3) X( 9, 4) X( 9, 7) X( 9, 8) X( 9, 11) X( 9, 16) X( 9, 17) X( 9, 26) X( 9, 27) X( 10, 1) X( 10, 2) X( 10, 5) X( 10, 6) X( 10, 9) X( 10, 12) X( 10, 15) X( 10, 26) X( 10, 29) X( 11, 6) X( 11, 9) X( 11, 12) X( 11, 15) X( 11, 16) X( 11, 19)

24 14 X( 11, 20) X( 11, 21) X( 11, 24) X( 11, 25) X( 11, 26) X( 12, 1) X( 12, 2) X( 12, 15) X( 12, 18) X( 12, 21) X( 12, 22) X( 12, 23) X( 12, 24) X( 12, 27) X( 12, 30) X( 13, 2) X( 13, 3) X( 13, 6) X( 13, 9) X( 13, 10) X( 13, 11) X( 13, 14) X( 13, 15) X( 13, 20) X( 13, 23) X( 13, 28) X( 14, 4) X( 14, 5) X( 14, 10) X( 14, 11) X( 14, 18) X( 14, 19) X( 14, 22) X( 14, 25) X( 14, 28) X( 14, 29) X( 14, 30) X( 15, 1) X( 15, 6) X( 15, 7) X( 15, 13) X( 15, 14) X( 15, 21) X( 15, 22) X( 15, 25) X( 15, 28) Y( 1, 2) Y( 1, 4) Y( 1, 6) Y( 1, 8) Y( 1, 12) Y( 1, 18) Y( 1, 21) Y( 1, 23) Y( 1, 28) Y( 2, 2) Y( 2, 5) Y( 2, 7) Y( 2, 9)

25 Y( 2, 15) Y( 2, 21) Y( 2, 23) Y( 2, 26) Y( 2, 28) Y( 2, 30) Y( 3, 1) Y( 3, 3) Y( 3, 5) Y( 3, 8) Y( 3, 11) Y( 3, 14) Y( 3, 18) Y( 3, 25) Y( 3, 27) Y( 3, 29) Y( 4, 3) Y( 4, 6) Y( 4, 10) Y( 4, 15) Y( 4, 17) Y( 4, 19) Y( 4, 21) Y( 4, 23) Y( 4, 25) Y( 4, 27) Y( 5, 1) Y( 5, 4) Y( 5, 6) Y( 5, 8) Y( 5, 10) Y( 5, 14) Y( 5, 19) Y( 5, 22) Y( 5, 25) Y( 5, 27) Y( 6, 1) Y( 6, 6) Y( 6, 10) Y( 6, 12) Y( 6, 14) Y( 6, 16) Y( 6, 19) Y( 6, 21) Y( 6, 24) Y( 6, 26) Y( 6, 30) Y( 7, 1) Y( 7, 3) Y( 7, 9) Y( 7, 11) Y( 7, 13) Y( 7, 15) Y( 7, 17) Y( 7, 20) Y( 7, 25) Y( 7, 29) Y( 8, 5) Y( 8, 8)

26 16 Y( 8, 11) Y( 8, 13) Y( 8, 15) Y( 8, 17) Y( 8, 20) Y( 8, 22) Y( 8, 24) Y( 8, 28) Y( 8, 30) Y( 9, 1) Y( 9, 5) Y( 9, 9) Y( 9, 12) Y( 9, 14) Y( 9, 18) Y( 9, 20) Y( 9, 22) Y( 9, 24) Y( 9, 28) Y( 9, 30) Y( 10, 3) Y( 10, 7) Y( 10, 10) Y( 10, 13) Y( 10, 16) Y( 10, 18) Y( 10, 20) Y( 10, 22) Y( 10, 24) Y( 10, 27) Y( 10, 30) Y( 11, 2) Y( 11, 4) Y( 11, 7) Y( 11, 10) Y( 11, 13) Y( 11, 17) Y( 11, 22) Y( 11, 27) Y( 11, 29) Y( 12, 3) Y( 12, 5) Y( 12, 7) Y( 12, 9) Y( 12, 11) Y( 12, 13) Y( 12, 16) Y( 12, 19) Y( 12, 25) Y( 12, 28) Y( 13, 4) Y( 13, 7) Y( 13, 12) Y( 13, 16) Y( 13, 18) Y( 13, 21) Y( 13, 24) Y( 13, 26) Y( 13, 29)

27 Y( 14, 2) Y( 14, 6) Y( 14, 8) Y( 14, 12) Y( 14, 14) Y( 14, 16) Y( 14, 20) Y( 14, 23) Y( 14, 26) Y( 15, 2) Y( 15, 4) Y( 15, 9) Y( 15, 11) Y( 15, 15) Y( 15, 17) Y( 15, 19) Y( 15, 23) Y( 15, 26) Y( 15, 29) L( 1, 1) L( 1, 3) L( 1, 5) L( 1, 7) L( 1, 9) L( 1, 13) L( 1, 19) L( 1, 22) L( 1, 24) L( 1, 29) L( 2, 1) L( 2, 3) L( 2, 6) L( 2, 8) L( 2, 10) L( 2, 16) L( 2, 22) L( 2, 24) L( 2, 27) L( 2, 29) L( 3, 2) L( 3, 4) L( 3, 6) L( 3, 9) L( 3, 12) L( 3, 15) L( 3, 19) L( 3, 26) L( 3, 28) L( 3, 30) L( 4, 4) L( 4, 7) L( 4, 11) L( 4, 16) L( 4, 18) L( 4, 20) L( 4, 22) L( 4, 24) L( 4, 26) L( 4, 28)

28 18 L( 5, 2) L( 5, 5) L( 5, 7) L( 5, 9) L( 5, 11) L( 5, 15) L( 5, 20) L( 5, 23) L( 5, 26) L( 5, 28) L( 6, 2) L( 6, 7) L( 6, 11) L( 6, 13) L( 6, 15) L( 6, 17) L( 6, 20) L( 6, 22) L( 6, 25) L( 6, 27) L( 7, 2) L( 7, 4) L( 7, 10) L( 7, 12) L( 7, 14) L( 7, 16) L( 7, 18) L( 7, 21) L( 7, 26) L( 7, 30) L( 8, 6) L( 8, 9) L( 8, 12) L( 8, 14) L( 8, 16) L( 8, 18) L( 8, 21) L( 8, 23) L( 8, 25) L( 8, 29) L( 9, 2) L( 9, 6) L( 9, 10) L( 9, 13) L( 9, 15) L( 9, 19) L( 9, 21) L( 9, 23) L( 9, 25) L( 9, 29) L( 10, 4) L( 10, 8) L( 10, 11) L( 10, 14) L( 10, 17) L( 10, 19) L( 10, 21) L( 10, 23) L( 10, 25)

29 19 L( 10, 28) L( 11, 1) L( 11, 3) L( 11, 5) L( 11, 8) L( 11, 11) L( 11, 14) L( 11, 18) L( 11, 23) L( 11, 28) L( 11, 30) L( 12, 4) L( 12, 6) L( 12, 8) L( 12, 10) L( 12, 12) L( 12, 14) L( 12, 17) L( 12, 20) L( 12, 26) L( 12, 29) L( 13, 1) L( 13, 5) L( 13, 8) L( 13, 13) L( 13, 17) L( 13, 19) L( 13, 22) L( 13, 25) L( 13, 27) L( 13, 30) L( 14, 1) L( 14, 3) L( 14, 7) L( 14, 9) L( 14, 13) L( 14, 15) L( 14, 17) L( 14, 21) L( 14, 24) L( 14, 27) L( 15, 3) L( 15, 5) L( 15, 10) L( 15, 12) L( 15, 16) L( 15, 18) L( 15, 20) L( 15, 24) L( 15, 27) L( 15, 30) Row Slack or Surplus Dual Price

30

31 21 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 9 Agustus 1991 anak dari pasangan Henny Feniyati dan Asep Solih, anak pertama dari tiga bersaudara. Pada tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Ibu Dewi 2 Cianjur, kemudian pada tahun 2006 lulus dari SLTP Negeri 2 Cianjur. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Cilaku Cianjur dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB) dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan penulis aktif sebagai anggota Divisi Sosial Lingkungan IPB (GUMATIKA IPB) 2011/2012. Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan sebagai staf divisi Logistik dan Transportasi IPB Mathematics Challenge, staf divisi konsumsi Matematika Ria 2011/2012, staf divisi Logistik dan Transportasi Masa Perkenalan Fakultas (MPF) 2011.