TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN KENDALA TIME WINDOWS ACHMAD KAMILLUDDIN

Transkripsi

1 TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN KENDALA TIME WINDOWS ACHMAD KAMILLUDDIN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Oktober 2014 Achmad Kamilluddin NIM G

4 ABSTRAK ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan ELIS KHATIZAH. Pendistribusian barang menggunakan satu kendaraan dari suatu depot ke beberapa tempat yang memiliki batas waktu pelayanan memerlukan rute perjalanan yang efisien. Permasalahan ini dapat dimodelkan sebagai Traveling Salesman Problem dengan Time Windows menggunakan Integer Linear Programming. Model selanjutnya diimplementasikan menggunakan software LINGO 11.0 untuk kasus pengiriman barang ke sepuluh tempat dengan kendala antara lain: (1) salesman tiba dan meninggalkan setiap tempat yang dikunjungi tepat sekali, (2) setiap tempat yang dikunjungi salesman memunyai batas awal dan batas akhir pelayanan. Implementasi model menghasilkan total jarak minimum perjalanan salesman dari depot ke seluruh tempat yang harus dikunjungi hingga kembali ke depot. Kata kunci: integer linear programming, time windows, traveling salesman problem ABSTRACT ACHMAD KAMILLUDDIN. Traveling Salesman Problem with Time Windows. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and ELIS KHATIZAH. Distribution of products using a vehicle from a depot to several places that has a time limit of services requires an efficient route. This distribution problem can be modeled as a Traveling Salesman Problem with Time Windows by using Integer Linear Programming. The model is then implemented by using LINGO 11.0 for the case of delivery products from depot to ten customers. We consider the following constraints: (1) a salesman visited and left each customer exactly once, (2) each customer has limited time of service given in an interval of time. Implementation of the model provides a total minimum distance traveling from the depot to all customers and return to the depot. Keywords: integer linear programming, time windows, traveling salesman problem

5 TRAVELING SALESMAN PROBLEM DENGAN KENDALA TIME WINDOWS ACHMAD KAMILLUDDIN Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows Nama : Achmad Kamilluddin NIM : G Disetujui oleh Drs Prapto Tri Supriyo, MKom Pembimbing I Elis Khatizah, SSi, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala nikmat, rahmat, karunia, dan pertolongan-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini ialah Traveling Salesman Problem dengan Kendala Time Windows. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1 Ibu dan Bapak tercinta yang selalu memberikan yang terbaik, doa serta dukungan penuh ketulusan, Siti Nurajijah, Khairullah, Iin Sonjaya, dan Asri Desy Yanti selaku kakak, Fikriatunnisa selaku adik, Faiz, Fikri, dan Haziqa selaku keponakan yang memotivasi penulis untuk menyelesaikan karya ilmiah ini, 2 Drs Prapto Tri Supriyo, MKom selaku dosen pembimbing I yang senantiasa meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada penulis, 3 Elis Khatizah, SSi, MSi selaku dosen pembimbing II yang senantiasa meluangkan waktunya memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada penulis, 4 Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu, saran, serta dukungan, 5 seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah membimbing dan memberikan ilmunya selama ini, 6 para staf Departemen Matematika IPB, 7 Syafi ih, Irfan C, Adi, Dadan, Delis, Lilis, Rizky, Tri, Ika S, Imad, Hanif, Leny, Ando, Ayun, Vina, Kiki, Fikri, Rendi, Eric, Risma, Nurul, Anis, Putri, Zia, Fajar, dan seluruh sahabat Matematika 47, 8 kakak-kakak Matematika 46 dan 45, 9 Edo, Taufik, Wahyu, Hasan, Hariz, Asnan, Basit, dan semua sahabat FMIPA yang selalu memberi dukungan, 10 adik-adik Matematika 48 dan 49. Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar karya ilmiah ini dapat terus menambah wawasan pembaca sekalian. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan, khususnya bidang Matematika. Bogor, Oktober 2014 Achmad Kamilluddin

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL x DAFTAR GAMBAR x PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 PEMBAHASAN 2 Deskripsi Masalah 2 Formulasi Masalah 2 IMPLEMENTASI MODEL 5 SIMPULAN DAN SARAN 8 Simpulan 8 Saran 8 DAFTAR PUSTAKA 9 LAMPIRAN 10 RIWAYAT HIDUP 20

10 DAFTAR TABEL 1 Jarak antartempat 5 2 Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat 6 3 Jadwal perjalanan dan pelayanan 8 DAFTAR GAMBAR 1 Perjalanan salesman yang berupa subtour 4 2 Perjalanan salesman yang berupa tour 4 3 Rute perjalanan salesman 7

11 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Distribusi barang merupakan suatu kegiatan yang bertujuan menyalurkan barang dari pihak produsen ke pihak konsumen. Masalah yang sering terjadi dalam pendistribusian barang adalah menentukan rute perjalanan yang efisien agar barang tersebut sampai di tempat tujuan. Pemilihan rute perjalanan yang kurang tepat akan menimbulkan waktu tempuh yang relatif lama dalam pendistribusian barang sehingga biaya operasional distribusi yang dikeluarkan akan semakin mahal. Akibatnya, harga barang di setiap tempat akan naik dan minat serta daya beli konsumen terhadap barang tersebut akan turun. Time windows, atau sering dikenal sebagai selang waktu pelayanan, merupakan kendala waktu yang dimiliki oleh setiap tempat untuk menerima pelayanan. Selang waktu pelayanan terdiri dari batas awal pelayanan dan batas akhir pelayanan. Batas awal pelayanan adalah waktu dimulainya pelayanan di suatu tempat, sedangkan batas akhir pelayanan adalah waktu berakhirnya pelayanan di tempat tersebut. Masalah pendistribusian barang dapat diselesaikan dengan model Traveling Salesman Problem (TSP). TSP adalah suatu perjalanan salesman dari suatu tempat asal ke n-tempat tepat satu kali. Dalam TSP, salesman tidak diperbolehkan kembali ke tempat asal sebelum semua tempat dikunjungi dalam satu kali perjalanan. Fungsi objektif TSP adalah meminimumkan jarak total rute yang dikunjungi salesman. Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan Traveling Salesman Problem dengan kendala batas waktu (time windows) menggunakan ILP (Integer Linear Programming). Selanjutnya, model diimplementasikan pada suatu kasus dengan menggunakan bantuan software LINGO TINJAUAN PUSTAKA Pendistribusian barang dari suatu produsen ke beberapa konsumen dapat diformulasikan sebagai model Traveling Salesman Problem (TSP). TSP bertujuan menemukan rute perjalanan yang mungkin agar semua tempat (kota) dapat dikunjungi dengan menghasilkan jarak yang minimum (Davendra 2010). Secara umum, TSP diklasifikasikan sebagai Symmetric Traveling Salesman Problem (stsp), Asymmetric Traveling Salesman Problem (atsp), dan Multi Traveling Salesman Problem (mtsp). Pengertian stsp adalah masalah untuk menemukan jarak minimum dari rute perjalanan yang dilakukan salesman untuk mengunjungi beberapa tempat hingga berakhir di tempat asal. Dalam stsp jarak tempat i ke tempat j sama dengan jarak tempat j ke tempat i, sedangkan dalam

12 2 atsp jarak tempat i ke tempat j tidak sama dengan jarak tempat j ke tempat i (Davendra 2010). Masalah mtsp sering dikenal dengan istilah Vehicle Routing Problem (VRP). Pada TSP, terdapat sejumlah tempat dan seorang salesman yang harus menemukan jalur terpendek untuk mengunjungi setiap tempat tepat satu kali dan selesai di tempat asal, sedangkan pada mtsp, terdapat beberapa salesman yang akan mengunjungi sejumlah tempat tepat satu kali. Secara umum tempat-tempat pada TSP merupakan pelanggan-pelanggan yang memiliki permintaan terhadap barang dan jasa. Salesman pada mtsp dapat berupa kendaraan yang memiliki kapasitas tertentu sehingga total permintaan dari semua pelanggan tidak boleh melebihi kapasitas kendaraan dan setiap pelanggan hanya dikunjungi satu kali (Benavent dan Antonio 2009). TSP dengan time windows merupakan perkembangan dari TSP. Model TSP dengan time windows adalah masalah untuk mencari biaya perjalanan minimal dari sekumpulan tempat. Perjalanan tersebut harus berawal dan berakhir di suatu depot tertentu dan tiap tempat harus dikunjungi pada batas time windows mereka masing-masing. Biaya TSP dengan kendala time windows biasanya berhubungan dengan total jarak perjalanan atau total waktu yang terdiri atas waktu perjalanan, waktu tunggu, serta waktu pelayanan. Time windows [ menunjukkan batas waktu pelayanan tempat i, dengan batas awal dan batas akhir Kedatangan sebelum diperbolehkan tetapi mengakibatkan adanya waktu tunggu sampai batas time windows, tetapi tidak diperbolehkan kedatangan sesudah (Pesant et al. 1998). Perjalanan dalam TSP harus membentuk sebuah tour dan tidak diperbolehkan membentuk subtour. Tour adalah suatu perjalanan ke setiap simpul (kota) bermula dari simpul awal (kota asal) dan berakhir di simpul awal (Foulds 1992), sedangkan subtour adalah suatu perjalanan yang hanya mengunjungi beberapa tempat. PEMBAHASAN Deskripsi Masalah Masalah pendistribusian barang yang dimaksud dalam karya ilmiah ini adalah masalah menentukan rute perjalanan salesman dari suatu tempat asal ke beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal dengan meminimumkan jarak yang dilalui salesman dan mempertimbangkan kendala time windows. Time windows pada setiap tempat bisa berbeda-beda sehingga salesman hanya dapat melakukan pelayanan jika sudah masuk batas time windows. Formulasi Masalah Masalah distribusi barang dengan model TSP time windows menggunakan indeks, parameter, dan variabel keputusan sebagai berikut:

13 3 Indeks i, j= 1, 2,.., n merupakan indeks untuk tempat. Parameter = jarak dari tempat i ke tempat j = waktu mulai pelayanan salesman di tempat i = lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j = lamanya pelayanan di tempat i = kecepatan kendaraan yang digunakan salesman dari tempat i ke tempat j = time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i = time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i = konstanta positif yang nilainya relatif besar Variabel Keputusan i a a an r a anan ari a a { ainnya Fungsi Objektif min z =, yaitu meminimumkan total jarak perjalanan salesman dari tempat asal ke beberapa tempat hingga kembali ke tempat asal. Kendala 1 Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali. = 1 (untuk j= 1,2,3,,n). 2 Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali. = 1 (untuk i= 1,2,3,,n). 3 Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel. (untuk i j ; i=2,3, n; j=2,3,,n) untuk semua = 0 atau 1, untuk semua 0. (Winston 2004) 4 Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j. 5 Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j. +, i, j {1,2,.n}. 6 Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i., i {1,2, n}.

14 4 7 Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i., i {1,2, n}. 8 Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu. {0,1}, i, j {1,2, n}. Sebagai ilustrasi dari kendala 3, misalkan diberikan kota 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan dikunjungi oleh salesman seperti graf di bawah ini : Gambar 1 Perjalanan salesman yang berupa subtour Gambar 1 merupakan suatu subtour yang terdiri dari dan Pada Gambar 1 diperoleh nilai. Misalkan diambil subtour yang tidak memuat kota 1 (3-4-3). Representasi kendala 3 terhadap arcs dalam subtour ini adalah: dan menghasilkan. Karena maka diperoleh hasil yang kontradiksi sehingga perjalanan yang memuat suatu subtour merupakan solusi yang takfisibel Gambar 2 Perjalanan salesman yang berupa tour Pada Gambar 2 asumsikan bahwa kota 1 menjadi kota pertama yang dikunjungi salesman dan selanjutnya akan mengunjungi semua kota hingga kembali ke kota 1. Misalkan = urutan perjalanan kota i yang dikunjungi, bertujuan agar kendala 3 terpenuhi. Sebagai ilustrasi, misalkan diberikan tour seperti pada Gambar 2, yaitu dan, sehingga didapat Akan dibuktikan kendala 3 terpenuhi. Pertama, pemilihan untuk sebuah arc dengan Sebagai contoh untuk adalah. Diketahui bahwa dan sehingga menghasilkan Kedua, pemilihan tour yang memenuhi

15 kendala Sebagai contoh untuk adalah dengan dan maka menghasilkan IMPLEMENTASI MODEL Misalkan dalam masalah pendistribusian air mineral, salesman akan mengirim barang ke beberapa tempat. Terdapat 10 tempat yang akan dikunjungi. Salesman menginginkan semua tempat yang dilalui olehnya merupakan rute terpendek dan memenuhi kendala time windows yang dimiliki oleh setiap tempat. Data yang diberikan merupakan data hipotetik yang dapat digunakan untuk keperluan simulasi. Asumsi yang digunakan pada karya ilmiah ini ialah sebagai berikut: 1 jarak antartempat adalah simetrik, artinya jarak dari tempat i ke tempat j sama dengan jarak dari tempat j ke tempat i, 2 salesman menggunakan satu kendaraan dengan kecepatan ( ) 40 km/jam, 3 waktu mulai pelayanan di tempat 1 ( ialah pukul Tabel 1 Jarak antartempat (dalam kilometer) Tempat

16 6 Tabel 2 Lama pelayanan dan time windows di setiap tempat Tempat Lama pelayanan (dalam jam) Time windows Permasalahan pendistribusian air mineral ke 10 tempat yang akan dikunjungi oleh salesman dapat diformulasikan sebagai berikut: Indeks i,j = 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 merupakan indeks untuk tempat. Parameter = jarak dari tempat i ke tempat j = waktu mulai pelayanan salesman di tempat i = lamanya perjalanan dari tempat i ke tempat j = lamanya pelayanan di tempat i = 40 km/jam = time windows yang menunjukkan batas awal pelayanan di tempat i = time windows yang menunjukkan batas akhir pelayanan di tempat i = konstanta positif yang nilainya relatif besar = Variabel Keputusan { i a a an r a anan ari a a ainnya

17 7 Kendala 1 Salesman tiba di setiap tempat tepat satu kali. = 1 (untuk j= 1,2,3,,10). 2 Salesman meninggalkan setiap tempat tepat satu kali. = 1 (untuk i= 1,2,3,,10). 3 Tidak adanya subtour yang takfisibel dan terbentuknya tour yang fisibel. (untuk i j ; i=2,3, 10; j=2,3,,10) n = 0 atau 1, untuk semua 0. a 4 Lama perjalanan dari tempat i ke tempat j. 5 Waktu mulai pelayanan salesman di tempat j. +, i, j {1,2,.10}. 6 Batas awal pelayanan (time windows) di tempat i., i {1,2, 10}. 7 Batas akhir pelayanan (time windows) di tempat i. i {1,2, 10}. 8 Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu. {0,1}, i, j {1,2, 10}. Penyelesaian TSP pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan software LINGO Sintaks program dan hasil komputasi dicantumkan pada Lampiran 1. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi objektif 22 kilometer untuk 10 tempat yang dikunjungi oleh salesman Gambar 3 Rute perjalanan salesman

18 8 Tabel 3 Jadwal perjalanan dan pelayanan Tempat Time windows [ Lamanya pelayanan ( (dalam jam) Waktu mulai pelayanan ( Waktu berakhir pelayanan Lamanya perjalanan ke tempat berikutnya ( ) (dalam menit) 1 (depot) Dari Tabel 4 terlihat bahwa rute perjalanan berawal dari tempat 1 atau depot, dengan waktu mulai pelayanan di tempat 1 pukul 06.00, lamanya pelayanan 1 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 7.00, perjalanan dari tempat 1 ke tempat 3 selama 3 menit, dan time windows di tempat 1 terpenuhi. Selanjutnya perjalanan dilanjutkan ke tempat 3, dengan waktu mulai pelayanan pukul 7.03, lamanya pelayanan 2 jam, waktu berakhirnya pelayanan pukul 9.03, perjalanan dari tempat 3 ke tempat 2 selama 1 menit 30 detik, dan time windows di tempat 3 terpenuhi. Demikian selanjutnya untuk rute perjalanan berikutnya. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Model TSP dengan time windows dapat diformulasikan sebagai model ILP. Model ini bertujuan meminimumkan total jarak yang ditempuh salesman dari tempat asal ke beberapa tempat tepat satu kali hingga kembali ke tempat asal dan memenuhi kendala time windows. Implementasi model pada suatu kasus pendistribusian air mineral dengan data hipotetik menggunakan bantuan software LINGO 11.0 menghasilkan rute dengan total jarak minimum 22 kilometer. Saran Pada karya ilmiah ini, data yang digunakan merupakan data hipotetik. Penelitian ini dapat dikembangkan dengan memperhitungkan maksimum jumlah

19 tempat yang dapat dikunjungi oleh salesman dalam waktu satu hari dengan mempertimbangkan jarak, kecepatan, dan time windows. 9 DAFTAR PUSTAKA Benavent E, Antonio M A polyhedral study of the multiple traveling salesman problem. Universtat de Valencia. 1:1-34. Davendra D Traveling Salesman Problem, Theory and Applications. Rijeka (HR): Intech. Foulds LR Graph Theory Applications. New York (US): Springer-Verlag. Pesant G, Gendreau M, Potvin J-Y, dan Rousseau J-M An exact constraint logic programming algorithm for the travelling salesman problem with time windows. Transportation Science. 32(1): Winston WL Operations Research: Applications and Algorithms. Ed ke-4. New York (US): Duxbury.

20 10 Lampiran 1 Sintaks dan hasil komputasi program LINGO 11.0 dalam menyelesaikan Traveling Salesman Problem dengan kendala time windows MODEL: SETS: CITY/1..10/:U,S,A,B,L; LINK(CITY,CITY):DIST,X,V,T;! S= WAKTU MULAI PELAYANAN A= BATAS AWAL TIME WINDOWS B= BATAS AKHIR TIME WINDOWS L= LAMANYA PELAYANAN ; ENDSETS DATA:!JARAK; DIST= ;!BATAS AWAL TIME WINDOWS; A= ;! BATAS AKHIR TIME WINDOWS; B= ;!LAMANYA PELAYANAN; L= ; V=40; ENDDATA M=100000; S(1)=6;! JUMLAH KOTA; N=@SIZE(CITY);!FUNGSI OBJEKTIF, MEMINIMUMKAN TOTAL JARAK YANG DILAKUKAN SALESMAN; MIN=@SUM(LINK:DIST*X);!MEMASTIKAN BAHWA SALESMAN TIBA SATU KALI DI SETIAP SALESMAN MENINGGALKAN SETIAP KOTA 1 TIDAK ADANYA SUBTOUR YANG INFISIBEL DAN TERBENTUKNYA TOUR YANG FISIBEL J#NE#1#AND#K#NE#1:U(J)- U(K)+N*X(J,K)<N-1;));!MENUNJUKKAN WAKTU MULAI PELAYANAN J#GT#1:(S(K)+(DIST(K,J)/40)+L(K)- M*(1-X(K,J))- S(J))<= 0));!hubungan lama perjalanan, jarak, dan J#NE#1 : T(K,J)=(DIST (K,J)/V)));!MENUNJUKKAN BATAS AWAL TIME

21 11!MENUNJUKKAN BATAS AKHIR TIME X BERNILAI 1 JIKA DIKUNJUNGI SALESMAN DAN 0 UNTUK TIDAK DIKUNJUNGI END Hasil yang diperoleh: Global optimal solution found. Objective value: Objective bound: Infeasibilities: Extended solver steps: 517 Total solver iterations: Variable Value Reduced Cost M N U( 1) U( 2) U( 3) U( 4) U( 5) U( 6) U( 7) U( 8) U( 9)

22 12 U( 10) S( 1) S( 2) S( 3) S( 4) S( 5) S( 6) S( 7) S( 8) S( 9) S( 10) A( 1) A( 2) A( 3) A( 4) A( 5) A( 6) A( 7) A( 8) A( 9) A( 10) B( 1) B( 2) B( 3) B( 4) B( 5) B( 6) B( 7) B( 8) B( 9) B( 10) L( 1) L( 2) L( 3) L( 4) L( 5) L( 6) L( 7) L( 8) L( 9) L( 10) V( 1) V( 2) V( 3) V( 4) V( 5) V( 6) V( 7)

23 V( 8) V( 9) V( 10) DIST( 1, 1) DIST( 1, 2) DIST( 1, 3) DIST( 1, 4) DIST( 1, 5) DIST( 1, 6) DIST( 1, 7) DIST( 1, 8) DIST( 1, 9) DIST( 1, 10) DIST( 2, 1) DIST( 2, 2) DIST( 2, 3) DIST( 2, 4) DIST( 2, 5) DIST( 2, 6) DIST( 2, 7) DIST( 2, 8) DIST( 2, 9) DIST( 2, 10) DIST( 3, 1) DIST( 3, 2) DIST( 3, 3) DIST( 3, 4) DIST( 3, 5) DIST( 3, 6) DIST( 3, 7) DIST( 3, 8) DIST( 3, 9) DIST( 3, 10) DIST( 4, 1) DIST( 4, 2) DIST( 4, 3) DIST( 4, 4) DIST( 4, 5) DIST( 4, 6) DIST( 4, 7) DIST( 4, 8) DIST( 4, 9) DIST( 4, 10) DIST( 5, 1) DIST( 5, 2) DIST( 5, 3) DIST( 5, 4) DIST( 5, 5)

24 14 DIST( 5, 6) DIST( 5, 7) DIST( 5, 8) DIST( 5, 9) DIST( 5, 10) DIST( 6, 1) DIST( 6, 2) DIST( 6, 3) DIST( 6, 4) DIST( 6, 5) DIST( 6, 6) DIST( 6, 7) DIST( 6, 8) DIST( 6, 9) DIST( 6, 10) DIST( 7, 1) DIST( 7, 2) DIST( 7, 3) DIST( 7, 4) DIST( 7, 5) DIST( 7, 6) DIST( 7, 7) DIST( 7, 8) DIST( 7, 9) DIST( 7, 10) DIST( 8, 1) DIST( 8, 2) DIST( 8, 3) DIST( 8, 4) DIST( 8, 5) DIST( 8, 6) DIST( 8, 7) DIST( 8, 8) DIST( 8, 9) DIST( 8, 10) DIST( 9, 1) DIST( 9, 2) DIST( 9, 3) DIST( 9, 4) DIST( 9, 5) DIST( 9, 6) DIST( 9, 7) DIST( 9, 8) DIST( 9, 9) DIST( 9, 10) DIST( 10, 1) DIST( 10, 2) DIST( 10, 3)

25 DIST( 10, 4) DIST( 10, 5) DIST( 10, 6) DIST( 10, 7) DIST( 10, 8) DIST( 10, 9) DIST( 10, 10) X( 1, 1) X( 1, 2) X( 1, 3) X( 1, 4) X( 1, 5) X( 1, 6) X( 1, 7) X( 1, 8) X( 1, 9) X( 1, 10) X( 2, 1) X( 2, 2) X( 2, 3) X( 2, 4) X( 2, 5) X( 2, 6) X( 2, 7) X( 2, 8) X( 2, 9) X( 2, 10) X( 3, 1) X( 3, 2) X( 3, 3) X( 3, 4) X( 3, 5) X( 3, 6) X( 3, 7) X( 3, 8) X( 3, 9) X( 3, 10) X( 4, 1) X( 4, 2) X( 4, 3) X( 4, 4) X( 4, 5) X( 4, 6) X( 4, 7) X( 4, 8) X( 4, 9) X( 4, 10) X( 5, 1)

26 16 X( 5, 2) X( 5, 3) X( 5, 4) X( 5, 5) X( 5, 6) X( 5, 7) X( 5, 8) X( 5, 9) X( 5, 10) X( 6, 1) X( 6, 2) X( 6, 3) X( 6, 4) X( 6, 5) X( 6, 6) X( 6, 7) X( 6, 8) X( 6, 9) X( 6, 10) X( 7, 1) X( 7, 2) X( 7, 3) X( 7, 4) X( 7, 5) X( 7, 6) X( 7, 7) X( 7, 8) X( 7, 9) X( 7, 10) X( 8, 1) X( 8, 2) X( 8, 3) X( 8, 4) X( 8, 5) X( 8, 6) X( 8, 7) X( 8, 8) X( 8, 9) X( 8, 10) X( 9, 1) X( 9, 2) X( 9, 3) X( 9, 4) X( 9, 5) X( 9, 6) X( 9, 7) X( 9, 8) X( 9, 9)

27 X( 9, 10) X( 10, 1) X( 10, 2) X( 10, 3) X( 10, 4) X( 10, 5) X( 10, 6) X( 10, 7) X( 10, 8) X( 10, 9) X( 10, 10) T( 1, 1) T( 1, 2) T( 1, 3) E T( 1, 4) T( 1, 5) E T( 1, 6) T( 1, 7) T( 1, 8) T( 1, 9) E T( 1, 10) E T( 2, 1) T( 2, 2) T( 2, 3) E T( 2, 4) E T( 2, 5) T( 2, 6) E T( 2, 7) E T( 2, 8) E T( 2, 9) T( 2, 10) T( 3, 1) T( 3, 2) E T( 3, 3) T( 3, 4) T( 3, 5) E T( 3, 6) E T( 3, 7) E T( 3, 8) T( 3, 9) T( 3, 10) T( 4, 1) T( 4, 2) E T( 4, 3) T( 4, 4) T( 4, 5) E T( 4, 6) E T( 4, 7)

28 18 T( 4, 8) T( 4, 9) T( 4, 10) T( 5, 1) T( 5, 2) T( 5, 3) E T( 5, 4) E T( 5, 5) T( 5, 6) E T( 5, 7) E T( 5, 8) E T( 5, 9) T( 5, 10) T( 6, 1) T( 6, 2) E T( 6, 3) E T( 6, 4) E T( 6, 5) E T( 6, 6) T( 6, 7) T( 6, 8) T( 6, 9) T( 6, 10) E T( 7, 1) T( 7, 2) E T( 7, 3) E T( 7, 4) T( 7, 5) E T( 7, 6) T( 7, 7) T( 7, 8) E T( 7, 9) E T( 7, 10) E T( 8, 1) T( 8, 2) E T( 8, 3) T( 8, 4) T( 8, 5) E T( 8, 6) T( 8, 7) E T( 8, 8) T( 8, 9) T( 8, 10) T( 9, 1) T( 9, 2) T( 9, 3) T( 9, 4) T( 9, 5)

29 T( 9, 6) T( 9, 7) E T( 9, 8) T( 9, 9) T( 9, 10) T( 10, 1) T( 10, 2) T( 10, 3) T( 10, 4) T( 10, 5) T( 10, 6) E T( 10, 7) E T( 10, 8) T( 10, 9) T( 10, 10)

30 20 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 15 Februari 1992 dari ayah Muhammad dan ibu Saniah. Penulis adalah putra ketiga dari empat bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 90 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan sebagai staf divisi Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) 2011/2012, dan ketua Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) 2012/2013. Selain itu, penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan sebagai ketua pelaksana Training and Talkshow 2011, staf divisi perlengkapan ASPECT FMIPA 2011, ketua divisi konsumsi Masa Perkenalan Fakultas (MPF) 2011, dan staf divisi sponsorship Masa Perkenalan Kampus Mahasiswa Baru (MPKMB) 2010.