SOAL LATIHAN. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan jelas!

Transkripsi

1 SOAL LATIHAN Kerjakan soal-soal berikut ini dengan singkat dan jelas! 1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu F a, F b dan F c yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W 1, W 2 dan W 3. Kapasitas gudang F a, F b dan F c masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W 1, W 2 dan W 3 masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp ,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut: Kota W 1 W 2 W 3 F a F b F c Tentukan : a. Tabel Transportasinya! b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel! d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI! 2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M 1, M 2, M 3, M 4, M 5 dan M 6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O 1, O 2, O 3, O 4 dan O 5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator. Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal. M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 O O O O O Tentukanlah : a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas! b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya! Perhatian! Hasil pengerjaan soal di atas akan dijadikan sebagai nilai Kuis dan juga akan dihitung sebagai 1 kali hadir! Selamat Mencoba! G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 1 dari 10

2 JAWABAN SOAL LATIHAN 1. Suatu perusahaan mempunyai tiga lokasi gudang yaitu F a, F b dan F c yang akan didistribusikan ke 3 kota yaitu W 1, W 2 dan W 3. Kapasitas gudang F a, F b dan F c masing-masing adalah 30, 45 dan 75 ton. Sedangkan keperluan kota W 1, W 2 dan W 3 masing-masing adalah 40, 35 dan 65 ton. Ongkos angkut per unit produk tersebut adalah Rp ,- per Kilo meter. Adapun tabel jarak antara lokasi gudang dengan kota tujuan adalah sebagai berikut: Kota W 1 W 2 W 3 Jawab: F a F b F c Tentukan : a. Tabel Transportasinya! b. Model Matematika dari persoalan transportasi tersebut! c. Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel! d. Jawab Optimalnya dengan Metode MODI! a). Tabel Transportasi: W 1 W 2 W 3 Dummy a i F a X 11 X 12 X 13 X F b X 21 X 22 X 23 X F c X 31 X 32 X 33 X b). Model Matematika: Meminimalkan : Z = (16X X X X X X X X X X X X 34 ) Rp ,- Fungsi Kendala: 1). Keterbatasan Kapasitas : a. F a : X 11 + X 12 + X 13 + X b. F b : X 21 + X 22 + X 23 + X c. F c : X 31 + X 32 + X 33 + X ). Keterbatasan Kapasitas Kota : a. Kota W 1 : X 11 + X 21 + X b. Kota W 1 : X 12 + X 22 + X c. Kota W 1 : X 13 + X 23 + X d. Kota Dummy : X 14 + X 24 + X ). Syarat non negative : X ij 0 untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3, 4. G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 2 dari 10

3 c). Ongkos Awal dengan Metode Pendekatan Vogel: Alternatif I: F a F b F c W 1 W 2 W 3 Dummy a i Penalti Baris x x 30 x 30 6 x x x x x 40 5 x x x Penalti Kolom x x 0 2 x x x Z awal = (C 13.X 13 + C 21.X 21 + C 23.X 23 + C 32.X 32 + C 33.X 33 + C 34.X 34 ) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = 1970 x Rp ,- = Rp ,- Alternatif II: F a F b F c W 1 W 2 W 3 Dummy a i Penalti Baris x x 30 x x x x x x x Penalti Kolom x x x 0 X x x 20 X x Z awal = (C 13.X 13 + C 22.X 22 + C 23.X 23 + C 31.X 31 + C 32.X 32 + C 34.X 34 ) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = 1990 x Rp ,- = Rp ,- G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 3 dari 10

4 d). Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif I) F a F b F c W 1 W 2 W 3 Dummy a i u i x x 30 x 30 u 1 = 0 x 40 5 x 45 u 2 = 12 x u 3 = 14 v j v 1 = 2 v 2 = 6 v 3 = 6 v 4 = 14 1). Evaluasi Variabel Basis: *) c 13 = u 1 + v 3, misalkan u 1 = 0, maka: 6 = 0 + v 3 v 3 = 6 *) c 23 = u 2 + v 3 18 = u u 2 = 12 *) c 21 = u 2 + v 1 10 = 12 + v 1 v 1 = 2 *) c 33 = u 3 + v 3 20 = u u 3 = 14 *) c 32 = u 3 + v 2 20 = 14 + v 2 v 2 = 6 *) c 34 = u 3 + v 4 0 = 14 + v 4 v 4 = 14 2). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z 11 C 11 = u 1 + v 1 c 11 = = 18 *) Z 12 C 12 = u 1 + v 2 c 12 = = 24 *) Z 14 C 14 = u 1 + v 4 c 14 = = 14 *) Z 22 C 22 = u 2 + v 2 c 22 = = 2 *) Z 24 C 24 = u 2 + v 4 c 24 = = 2 *) Z 31 C 31 = u 3 + v 1 c 31 = = 2 Karena semua nilai dari Z ij C ij 0, maka tabel sudah optimal dengan Z opt. = Rp ,- Jawab Optimalnya dengan Metode MODI (Alternatif II) F a F b F c W 1 W 2 W 3 Dummy a i u i x x 30 x 30 u 1 = 6 x x 45 u 2 = x u 3 = 18 v j v 1 = 6 v 2 = 2 v 3 = 0 v 4 = 18 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 4 dari 10

5 1). Evaluasi Variabel Basis: *) c 13 = u 1 + v 3, misalkan v 3 = 0, maka: 6 = u u 1 = 6 *) c 23 = u 2 + v 3 18 = u u 2 = 18 *) c 22 = u 2 + v 2 20 = 18 + v 2 v 2 = 2 *) c 32 = u 3 + v 2 20 = u u 3 = 18 *) c 31 = u 3 + v 1 12 = 14 + v 1 v 1 = 6 *) c 34 = u 3 + v 4 0 = 14 + v 4 v 4 = 18 2). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z 11 C 11 = u 1 + v 1 c 11 = = 16 *) Z 12 C 12 = u 1 + v 2 c 12 = = 22 *) Z 14 C 14 = u 1 + v 4 c 14 = = 12 *) Z 21 C 21 = u 2 + v 1 c 21 = = 2 *) Z 24 C 24 = u 2 + v 4 c 24 = = 0 *) Z 33 C 33 = u 3 + v 3 c 33 = = 2 Karena masih ada nilai dari Z ij C ij 0, maka tabel belum optimal, maka dapat ditentukan Entering Variable dan Leaving Variable. 3). Menentukan Entering Variable dengan memilih Max { Z ij C ij } = 2 yang merupakan nilai dari Z 21 C 21, maka X 21 masuk menjadi basis. 4). Menentukan Leaving Variable dengan: a). Loop yang melalui X 21 adalah X 22 X 23 + X 31 X 21 b). Yang keluar basis adalah Min { X 22, X 31 } = Min {10, 40} = 10 yang merupakan nilai X 22, maka X 22 keluar basis. c). Penyesuaian nilai variabel dalam loop: X 22 = Keluar Basis, X 32 = = 35 X 31 = = 30 X 21 = 10, sehingga tabelnya berubah menjadi: F a F b F c W 1 W 2 W 3 Dummy a i u i x x 30 x 30 u 1 = 6 10 x 35 x 45 u 2 = x u 3 = 20 v j v 1 = 8 v 2 = 0 v 3 = 0 v 4 = 20 6). Evaluasi Variabel Basis: *) c 13 = u 1 + v 3, misalkan v 3 = 0, maka: 6 = u u 1 = 6 *) c 23 = u 2 + v 3 18 = u u 2 = 18 *) c 21 = u 2 + v 1 10 = 18 + v 1 v 1 = 8 *) c 31 = u 3 + v 1 12 = u 3 8 u 3 = 20 *) c 32 = u 3 + v 2 20 = 20 + v 2 v 2 = 0 *) c 34 = u 3 + v 4 0 = 20 + v 4 v 4 = 20 7). Evaluasi Variabel Non Basis: *) Z 11 C 11 = u 1 + v 1 c 11 = = 18 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 5 dari 10

6 *) Z 12 C 12 = u 1 + v 2 c 12 = = 24 *) Z 14 C 14 = u 1 + v 4 c 14 = = 14 *) Z 22 C 22 = u 2 + v 2 c 22 = = 2 *) Z 24 C 24 = u 2 + v 4 c 24 = = 2 *) Z 33 C 33 = u 3 + v 3 c 33 = = 0 Karena semua nilai dari Z ij C ij 0, maka tabel sudah optimal dengan Z opt. = (Z awal (2 x 10)) x Rp ,- = ( ) x Rp ,- = (1970) x Rp ,- = Rp ,- Solusi dengan LINDO: MIN 16 X X X X X X X X X33 SUBJECT TO 2) X11 + X12 + X13 + X14 <= 30 3) X21 + X22 + X23 + X24 <= 45 4) X31 + X32 + X33 + X34 <= 75 5) X11 + X21 + X31 >= 40 6) X12 + X22 + X32 >= 35 7) X13 + X23 + X33 >= 65 8) X14 + X24 + X34 >= 10 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 9 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 6 dari 10

7 5) ) ) ) NO. ITERATIONS= 9 2. Sebuah perusahaan mempunyai 6 unit mesin, yaitu M 1, M 2, M 3, M 4, M 5 dan M 6 yang dioperasikan oleh 5 operator, yaitu O 1, O 2, O 3, O 4 dan O 5 yang memiliki kemampuan berbeda. Tabel berikut memperlihatkan biaya produksi per hari yang diperlukan setiap mesin dengan masing-masing operator. Tentukan penugasan masing-masing operator dan biaya produksi setiap harinya sehingga diperoleh hasil yang optimal. M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 O O O O O Tentukanlah : a. Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas! b. Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya! Jawab: a). Model Matematika dari Masalah Penugasan di atas adalah: *) Fungsi : Meminimumkan Z = 9X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 66 *) Fungsi Kendala: Kapasitas Sumber (Operator) 1). Operator 1 : X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 + X 16 = 1 2). Operator 2 : X 21 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 + X 26 = 1 3). Operator 3 : X 31 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 + X 36 = 1 4). Operator 4 : X 41 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 + X 46 = 1 5). Operator 5 : X 51 + X 52 + X 53 + X 54 + X 55 + X 56 = 1 6). Dummy : X 61 + X 62 + X 63 + X 64 + X 65 + X 66 = 1 Kapasitas (Mesin) 1). Mesin 1 : X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 + X 61 = 1 2). Mesin 2 : X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 + X 62 = 1 3). Mesin 3 : X 13 + X 23 + X 33 + X 43 + X 53 + X 63 = 1 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 7 dari 10

8 4). Mesin 4 : X 14 + X 24 + X 34 + X 44 + X 54 + X 64 = 1 5). Mesin 5 : X 15 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 + X 65 = 1 6). Mesin 6 : X 16 + X 26 + X 36 + X 46 + X 56 + X 66 = 1 *) Syarat Non Negatif : X ij = 0 atau 1 untuk i = 1, 2,, 6, dan j = 1, 2,, 6 b). Penugasan masing-masing operator dan berapa biaya optimalnya dapat ditentukan dengan menggunakan Metode Hungarian: Tabel 1 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 O O O O O D Tabel (Jumlah garis = 6) = (Jumlah baris = 6) Maka tabel sudah optimal. Tabel Optimal Tabel 1 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 O O O O O D Penugasannya adalah: O 1 ditugaskan kepada M 5, O 2 ditugaskan kepada M 1 O 3 ditugaskan kepada M 3, O 4 ditugaskan kepada M 2 O 5 ditugaskan kepada M 4, D ditugaskan kepada M 6 Dengan Ongkos minimal : Z = C 15 + C 21 + C 33 + C 42 + C 54 + C 66 = = 26 Satuan. Pemecahan dengan LINDO: MIN 9X X12 + 9X13 + 8X14 + 7X15 + 8X16 + 8X X X X X X26 + 8X31 + 8X32 + 5X33 + 6X34 + G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 8 dari 10

9 5X35 + 7X X41 + 6X42 + 7X43 + 8X X45 + 9X46 + 8X51 + 7X52 + 5X53 + 5X55 + 6X56 SUBJECT TO 2) X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 = 1 3) X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 = 1 4) X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 = 1 5) X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 = 1 6) X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 = 1 7) X61 + X62 + X63 + X64 + X65 + X66 = 1 8) X11 + X21 + X31 + X41 + X51 + X61 = 1 9) X12 + X22 + X32 + X42 + X52 + X62 = 1 10) X13 + X23 + X33 + X43 + X53 + X63 = 1 11) X14 + X24 + X34 + X44 + X54 + X64 = 1 12) X15 + X25 + X35 + X45 + X55 + X65 = 1 13) X16 + X26 + X36 + X46 + X56 + X66 = 1 END LP OPTIMUM FOUND AT STEP 13 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 9 dari 10

10 X X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 13 G:\Materi TRO\SOAL jawab Kuis TRO.doc Hal. 10 dari 10