MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL

Transkripsi

1 MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN MACAM OPERASI PADA BILANGAN REAL A. Tujuan Setelah mempelajari uraian kegiatan ini. Anda diharapkan :. Dapat membedakan macam-macam bilangan real. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dua atau lebih bilangan bulat.. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dua atau lebih bilangan bulat. B. Uraian Materi. Macam-Macam Bilangan Real a. Bilangan Asli (A) Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama-tama digunakan oleh manusia untuk membilang, yaitu :,,, 4, 5,.. b. Bilangan Cacah (C) A {,,, 4, } Pada bilangan asli kita dapat mengadakan operasi pengurangan, misalnya : 6 4, 0 9, tetapi bagaimana dengan 6 6? Oleh karena itu dikenal bilangan nol, sehingga Bilangan asli dan nol dinamakan Bilangan Cacah c. Bilangan Bulat (B) C {0,,,, } Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya : 5, Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan Bilangan Bulat. d. Bilangan Rasional B {,, -, -, 0,,,, } Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan p yang dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p,q B dan q 0. q Contoh bilangan rasional (Q) ; 0,4; ; 4 ;, jadi adalah bilangan rasional 4 0,4 jadi 0, adalah bilangan rasional 0 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

2 dan 4 jelas bilangan rasional,.. dapat dibuktikan sbb : Misal x, x 5, x (5,55 ) (,555 ) 999 x x 999 e. Bilangan Irrasional (Q) Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p dengan p,q B dan q 0. q Contoh : V, V5,π, log 5,. f. Bilangan Real Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irrasional. R Q Q Macam-macam himpunan bilangan tersebut dapat dibuat skema seperti berikut ini : Bil Real Bil Irrasional Bil Rasional Bil Pecah Bil Bulat Bil Bulat Negatif Bil Nol Bil Bulat Positif (Bil Asli) Bil Cacah MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

3 . Operasi hitung pada Bilangan Bulat a. Operasi penjumlahan Untuk a, b, c B berlaku : ) a + b b + a Hukum Komutatif ) (a + b) + c a + (b + c) Hukum Asosiatif ) a a a Nol adalah elemen identitas sifat penjumlahan Contoh : ) Jadi ) 5 + (-).. (-) + 5. Jadi 5 + (-) (-) + 5 ) ( + 4) (4 + 6) Jadi ( + 4) (4 + 6) b. Operasional Pengurangan Mengurangi a dengan b sama dengan menambah a dengan lawan b. Yaitu : a - b a + (-b) Contoh: ) (-).. ) (-4).. ) - () - + (-). 4) 7 (-) 7 +. c. Operasi Perkalian Untuk a,b,c ε B berlaku: ) a x b b x a Hukum Komutatif ) (a x b) x c a x (b x c) Hukum Asosiatif ) ab + ac a (b + c) Hukum Distributif terhadap penjumlahan 4) a x x a a adalah elemen identitas perkalian MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

4 Contoh: ) 5 x x 5.. Jadi 5 x 6 6 x 5 ) (- x 4) x 5. x x (4 x 5) - x... Jadi (- x 4) x 5 - x (4 x 5) ) (6 x 5) + (6 x 4) x (5 + 4). x Jadi (6 x 5) + (6 x 4) 6 x (5 + 4) d. Operasi Pembagian Jika a dan b bilangan-bilangan dan b 0 maka membagi a dengan b sama dengan mengalikan a dengan kebalikan dari b (invers perkalian) Yaitu: a : b a x b b a Contoh : 0 ) ) 5 7 ) ) e. Operasi Campuran 40 4 Yang dimaksud operasi campuran dalam hal ini adalah bahwa dalam satu kalimat matematika mengandung lebih dari satu operasi hitung. Untuk mendahulukan operasi yang satu dengan yang lain biasanya menggunakan tanda kurung, dengan lebih mendahulukan yang di dalam kurung. Jika tanpa penggunaan kurung maka dalam melakukan pengoperasian harus memenuhi aturan urutan operasi hitung. Mendahulukan perkalian atau pembagian daripada penjumlahan atau pengurangan. Jika operasi sama kuat, maka kerjakan operasi yang di muka dulu. Operasi yang sama kuat: penjumlahan dan pengurangan perkalian dan pembagian. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

5 Contoh : ) ) + ( 6 : ) +.. ) ( ) x x.. 4) x :.. + 5) -0 : 4 x x 5. Operasi Hitung pada Bilangan Pecah a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan pecahan terlebih dahulu menyamakan dari tiap sukunya. Contoh: ) ) b. Operasi Perkalian Untuk menyelesaikan operasi perkalian dua bilangan pecahan atau lebih dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Contoh : 4 x... ) + 5 x ) x x x x i 5 x x. x x. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 5

6 c. Operasi Pembagian Penyelesaian operasi pembagian pada bilangan pecahan dilakukan dengan mengubah tanda bagi menjadi perkalian dan membalik pecahan membagi. a b Contoh : m a : x k b ) 5 : 5 x k m ) 5 : 5 x x x x x 5 5 ) : : x x 4 4 x x. x x. C. Rangkuman. Bilangan bulat, bilangan pecahan dan bilangan desimal merupakan bilangan rasional.. Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irrasional.. Pada operasi pembagian hukum komutatif dan hukum asosiatif tidak berlaku. 4. Untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan pecahan harus terlebih dahulumenyamakan penyebut dari tiap sukunya. 5. Penyelesaian pembagian bilangan pecahan dilakukan denga mengubah tanda bagi menjadi kali dan membalik pembaginya. a b a a : x b b a b MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 6

7 D. Tugas Diskusikan penyelesaian soal berikut dengan kelompok belajar anda, dan presentasikan hasilnya di depan kelas sesuai degan pengarahan guru! Soal :. Gambarlah diaggram Venn yang menunjukkan hubungan antara himpunan Bilangan Rasional, Bilangan Irrasional,Bilangan Bulat, Bilangan Cacah, Bilangan Asli dan Bilangan Prima!. Hitung: a) ( + 4). (-5) x {4-(-)} E. Lembar Kerja Siswa. Tuliskan 4 buah bilangan asli yang pertama!. Tuliskan 5 buah bilangan cacah yang kedua!. Tuliskan bilangan bulat antara - dan 4! 4. Sebutkan definisi bilangan rasional dan berikan 4 contohnya! 5. Tuliskan buah contoh bilangan irrasional! 6. Tunjukkan bahwa, adalah bilangan rasional! 7. Buatkan skema bilangan! 8. Jumlahkan. a c. (-5) + (-0) b. 5 + (-40) d. (-5) Kurangkan : a c. (-67) 4 b. 67 (-4) d. (-67) Jumlahkan : a. + c b. + d MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 7

8 . Kurangkan : a. 5 c b d Kalikanlah : 5 a. 6 x 7 c. x 5 x b d. (-5) x 7 x (-). Bagilah : a. 58 : c. 4 5 : 6 b. 00 : 4 : 5 d. 5 5 : 4. Berapakah : a. 7 : x x b. + 6 x 5 : Berapakah : x : - 4 F. Tes Formatif Kerjakan soal berikut ini dengan teliti. Tuliskan bilangan bulat antara -4 dan 4!. Tunjukkan bahwa,6666 adalah bilangan rasional!. a. 0 + (-8) b. 5 (-5) 4. a. (-) x + 6 : 4 b. 8 : x (-4) MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 8

9 5. a. x 5 b. 4 x 6. a. 5 : 7 6 b. : : : : x 6 9. Diketahui persegi panjang dengan panjang sisinya 7,5m dan lebar,5 m. a. Hitunglah keliling persegi panjang tersebut! b. Apabila persegi panjang itu dibagi menjadi bagian yang sama, hitunglah luas masing-masing bagian! 0. Perhatikan gambar di bawah! A B C Gambar disamping menunjukkan sebuah tangga yang terbuat dari besi beton. Jika tiap anak tangga tingginya Dan panjang besi beton meter, Berapakah panjang AB? cm II. PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN A. Tujuan Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa :. Dapat memahami konversi pecahan ke bentuk persen atau pecahan desimal.. Dapat menyelesaikan soal-soal perbandingan (senilai dan berbalik nilai). Dapat menentukan ukuran sesungguhnya jika ukuran dalam gambar dan skala diketahui atau sebalikya. 4. Dapat menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan persen. 5. Dapat menerapkan operasi hitung pada bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 9

10 B. Uraian Materi. Pecahan Pecahan bisa dinyatakan dalam tiga cara : a. Pecahan biasa Bilangan ini tidak terlalu banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Yang paling sering adalah pada ukuran baju, diameter pralon dan beberapa contoh lain. Contoh :,, 5,, b. Pecahan Desimal Bilangan ini biasa dipakai dalam banyak hal khidupan sehari-hari seperti ukuran panjang, berat, kecepatan dan banyak hal yang lain. Pecahan ini menggunakan sistem nilai tempat, nilai suatu angka dalam suatu bilangan tergantung pada tempatnya. Contoh : 0,75 Angka bernilai 0 7 Angka 7 bernilai 00 5 Angka 5 bernilai 000 c. Persen Bilangan ini biasanya digunakan untuk menyatakan kadar suatu unsur dalam campuran, aturan pembagian dalam bisnis, keuntungan maupun rugi,pajak dsb. Persen menyatakan perbandingan dengan seratus (perseratus) dan ditulis dengan tanda %. Contoh : % artinya, 97% artinya Untuk mengubah pecahan biasa ke persen, pecahan biasa tersebut dikalikan dengan 00%. Contoh : a. x 00% 00 % 75% b. 5 5 x 00% 500 % 6,5% c. x 00% 00 % 6 % MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 0

11 . Pebandingan Perbandingan dua buah nilai atau besaran sejenis dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara umum pembagian antara besaran a terhadap besaran b ditulis a : b atau b a Dibaca : a dibanding b A dan b disebut suku-suku perbandingan. Ada dua jenis perbandingan : a. Perbandingan senilai Perbandingan senilai adalah perbandingan yang harganya sama. Bentuk umum perbandingan ini adalah A : B : A : B atau A B A B Dalam fisika perbandingan ini dinayakan dengan A Konstan B Sebagai contoh adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh oleh suatu kendaraan dengan bahan bakar yang diperlukan. Jika 00 km memerlukan bahan bakar 0 liter, maka untuk menempuh jarak 50 km dibutuhkan 5 liter. b. Perbadingan Berbalik Dikatakan perbandingan berbalik nilai jika kedua perbadingan tersebut mempunyai nilai berbalikan. Bentuk umum : A : B : B : A atau A A B B Dalam fisika dinyakan dengan A A konstan Permisalan dari perbandingan ini adalah perbandingan antara banyaknya pekerja dengan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan. Misal untuk menyelesaikan suatu pekerjaan oleh 4 orang memakan waktu 5 hari. Maka pekerjaan tersebut akan selesai dalam waktu 0hari bila dikerjakan oleh 0 orang. Contoh : ) Jika harga 4 buah buku tulis adalah Rp ,00. berapakah harga 0 buah buku tulis? Jawab : Harga 4 buah buku tulis 8.000,00. Harga buah buku tulis ,00. Jadi harga 0 buah buku tulis 4 0 x Rp..000,00 Rp ,00 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

12 . Skala ) Persediaan beras untuk 5 orang akan habis dalam 6 hari. Jika untuk 8 orang beras akan habis dalam berapa hari? Jawab : Banyak orang Banyak hari 5 6 X a a b maka 5 b 6 x Didapat 6x 60 sehingga x 0 Beras akan habis dalam waktu 0 hari untuk 6 orang Jadi skala DENAH RUMAH,5 4,5 5 Skala : 00 Ukuran pada gambar Ukuran sebenarnya Skala adalah perbandingan antara ukuran suatu obyek pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misal dalam denah rumah di samping ini, tertulis skala : 00, artinya jarak cm pada denah tersebut mewakili 00 cm pada keadaan sebenarnya. Jika dalam gambar tersebut ukuran kamar 4 cm berarti sebenarnya ukuran kamar tersebut adalah 4 x 00 cm 4 m. Skala dibedakan menjadi dua macam : a. Skala Perkecilan Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yag berukuran besar yang tak mungkin muat dalam gambar, seperti : rumah, jarak dua kota dsb. b. Skala Perbesaran Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yang berukuran kecil, dengan diperbesar akan memperjelas gambar. Misalnya benda-benda elektronik yang sangat kecil. Contoh : Jawab : Panjang rumah sebenarnya m 00 cm a. Panjang suatu rumah dalam gambar 8 cm, sedangkan panjang rumah sesugguhnya m.jika tinggi pintu dalam gambar,m, tentukan : ). Skala gambar rumah tersebut! ). Tinggi pintu sesugguhnya! MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

13 ) Ukuran pada Skala gambar Ukuran sebenarnya Jadi skala rumah : 50 ) Tinggi pintu sebenarnya, x 50 cm 95 cm,95 b. Gambar disamping menunjukkan lubang berbentuk lingkaran dengan skala,7,5 :. Berapakah ukuran diameter lubang sesungguhnya? cm Jawab : Skala 7,5 : cm sesuai dengan Jadi diameter sesugguhnya : x cm 0,4 cm 4 mm 7,5,5 7,5 cm ukuran sesungguhnya. 4. Persen Persen dituliskan dengan %, yang artinya per seratus. Persen ini dipakai hampir pada smua bidang : bisnis, pendidikan, teknik dan bidang lainnya. Misal keuntugan 0%, kelulusan 99%, kadar alkohol 0,5 %, kelembaban 5%. Contoh : Pak Lukman membayar pajak 5% dari gajinya. Gaji Pak Lukman Rp ,00 per bulan. a. Berapa besar pajak yang harus dibayar? b. Berapagaji bersih Pak Lukman? Jawab : a. Pajak 5 % x Rp ,00 C. Rangkuman 5 x Rp ,00 00 Rp ,00 Rp ,00. Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen caranya : Persentase Pecahan x 00 % MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

14 . Perbandingan Perbandingan antara besaran a terhadap besaran b ditulis a : b atau Perbandingan senilai, jika dua perbandingan harganya sama. Α Α Β Β a b Atau Α konstan Β Perbandingan berbalik nilai, jika ada perbandingan harganya saling berkebalikan. A A B B atau A A konstan. Skala Ukuran Gambar Ukuran Sebenarnya 4. Persen adalah perseratus dan ditulis dengan lambang % D. Tugas Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok masing-masing orang!. Ubahlah ke bentuk pecahan biasa dan persen! a. b. c Dalam waktu 45 menit Ali mampu membaca buku sebanyak 0 halaman. Dalam waktu berapa lama ia akan menyelesaikan membaca buku sejarah Nabi Muhammad setebal 900 halaman?. Dalam kelompok yang terdiri atas siswa, seseorang mendapat kewajiban membayar Rp ,00 untuk merangkai sebuah personal komputer. Jika orang keluar dari kelompok itu, berapa rupiah beban yang ditanggung masingmasing siswa sekarang? 4. Carilah sebuah peta atau atlas Pulau Jawa!Ukurlah jarak antara dua kota berikut, kemudian hitunglah jarak sebenarnya dengan melihat skala yang tercantum pada peta atau atlas tersebut! a. Jogja Bandung b. Surabaya Jogja 5. Siti membeli sepeda motor dengan membayar Rp ,00 sesudah ia mendapat diskon lebaran sebesar 0%. Berapakah harga sepeda motor siti jika tanpa diskon? 6. Carilah label atau bungkus sesuatu yang di dalamnya memuat %, atau perbandingan, kadar dan lainnya yag sejenis, seperti bungkus susu, kemasan obat dalam kaplet! Terangkan maksudnya di depan kelas! 4 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

15 E. Tes Formatif Kerjakan Soal berikut ini!. Sebuah benda tenggelam di air /8 bagian. Berapa persenkah bagian yang terapung?. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang, pada gambar yang berskala : 50 tergambar panjangnya cm dan lebar 6 cm. berapakah luas kebun itu sebenarnya?. Campuran zat A : B : C : 4 :. Berapa liter zat A dan C dalam campuran itu jika ternyata zat B yang dikandung sebanyak liter? 4. Seekor sapi pada usia bulan beratnya 50 kg. Harus dipacu menjadi berapa kilogram berat sapi itu agar pada bulan ke beratnya naik sebesar,5%? III. BILANGAN BERPANGKAT A. Tujuan Setelah mempelajari materi pembelajaran ini, diharapkan siswa :. Dapat memahami sifat-sifat bilangan berpangkat. Dapat menyederhanakan bilangan berpagkat. Dapat menyelesaikan soal-soal bilangan berpangkat 4. Dapat menyelesaikan persamaan dalam bilangan berpangkat B. Uraian Materi. Pengertian Bilangan Berpangkat Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut : a n a x a x a x...x a n faktor disebut bilangan berpangkat a disebut bilangan pokok (dasar) n disebut pangkat a n. Sifat Bilangan Berpangkat a. a p x a q a p + q p,q A b. a p x a q a p - q p,q A c. (a p ) q a pq p A d. (a.b) p a p. b p p A e. a b p n a p b p A Contoh : a. a 4 x a a 4+ a 6 b. a 4 x a a 4+ a 6 c. x 6 : x x 6- x 5 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 5

16 d. (a 5 ) a 5x a 0 e. (a.b ) a.b x a.b 6 f. m n 4 x4 m x4 n m n 8 h. Persamaan perpangkatan x 7 x + g. X + X X ( ) X x + x x x. Macam-macam Bilangan Berpangkat. Bilangan berpangkat Bulat Positif Contoh : x x 5 x 5 x x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0. Bilangan Berpangkat tak Sebenarnya a. Bilangan Berpangkat Nol Contoh : A 0, 0, 5 0, a 0 dengan a 0 Jadi setiap bilangan berpangkat nol selalu menghasilkan satu. b. Bilangan Berpangkat Negatif Contoh : 00; 0; ; 0,; 0,0; 0,00;. Dapat ditulis : 00 ; 0 ; ; 0 ; 00 ; 000 ; 0 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 ; 0 0 ; 0 ; 0 0 ; 0 - ; 0 - ; 0 - Jadi a n a n MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 6

17 c. Bilangan Berpangkat Pecahan n n n n n n n n n a4 444 a a 4a a a n 4 n faktor n suku n n a a a n Jadi a adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan dirinya sendiri sebanyak n faktor akan menghasilkan a. hal itu dapat diartikan Jadi a n Jika a m n dengan n A, a R. dengan m, n A dengan mengambil analog dari bilangan a m n a n Maka dikalikan sebanyak n faktor. m m m m m + m + m + m m a n x a n x a n x x a n a n n n n n a a m m n Jadi a dapat diartikan sama dengan n a m n x m n n m n a n m a dengan m, n A. C. Rangkuman contoh : Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri secara beruntun. a n a x a x a x a x a sebanyak n faktor. Sifat-sifat pangkat : a. a p x a q a p+q p,q A b. a p : a q a p-q p,q A c. (a p ) q a pq p A d. (a.b) p a p.b p p A ( ) p ( ) p a a p e. b p A b p 4 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 7

18 D. Tugas Kerjakan soal-soal berikut ini secara berkelompok!. Sederhanakanlah! a. y x y b. 6 (x ) c. (x ) 5 y 5. Carilah x dari persamaan berikut! a. x 8 b. x 6 64 c. 9 x 7 x+. Nyatakan dalam bentuk akar! a. 5 a b. 6 x x c. ( ) 4. Nyatakan dalam bentuk pangkat a. q b. 5 y c. 4 4 x y 5. Jika x 64 tentukan harga E. Tes Formatif x + x x + x Selesaikanlah soal-soal berikut ini!. Nyatakan dalam pangkat positif! x y a. b. (a - ) ( ) -4 x y a. Nyatakan dalam bentuk akar atau sebaliknya! a. ( p) b. 4 x 4 y. Sederhanakan! a 0 a - a - a. x x b. b b b 4. Tentukan nilai x! a. 6 -x+ b. 9x+ 7 x+4 4 x 5. Jika a 7 dan b tentukan harga a 4b! IV. BILANGAN IRRASIONAL A. Tujuan ( ) ( ) ( ) 4 a b 8 b Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan :. Dapat memahami tentang konsep bilangan irrasional MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 8 c c 5 4

19 . Dapat menentukan penjumlahan dan pengurangan dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar. dapat menentukan pekalian dan pembagian dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar 4. Dapat merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar B. Uraian Materi. Pengertian Bilangan irrasional (bilangan tak terukur) adalah bilangan yang idak dapat dinyatakan dalam bentuk q p, dengan p,q B dan p 0. Bilangan irrasional disebut juga bilangan tak rasional. Bilangan irrasional diklasifikasikan menjadi kelompok yaitu : a. Bilangan Pecahan Desimal tak Terbatas tak Berulang Contoh : e,788. π,4857 b. Bilangan yang Berbentuk Akar Contoh :,4456, Operasi Bilangan Irrasional a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan irrasional tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan kecuali bilangan itu sejenis, karena besarnya tidak terukur (letak/posisinya tidak dapat ditentukan dengan tepat pada suatu garis bilangan). Contoh : ) e + π e + π ) e - π e - π ) ) 7-5 5) + 4 (+ 4) 5 b. Perkalian bentuk akar ingat bahwa : a x a a MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 9

20 b x d b. d a b x c d ac b. d Contoh : ) 8 x 8x 4 4 x 6 6 ) x 5 (x) ( x 5 ) 6 0. Menyederhanakan bentuk akar Ini dilakukan dengan menerapkan perkalian bentuk akar di atas, yaitu sifat b x d b. d Contoh : a b. 75 5, Merasionalkan Penyebut suatu Pecahan a. b b. b b b a b b. k a + b k c. a + b k d. a b k e. a b k a + a a + k a. b a k a b b a b. b a b a +. a a + k. b k( a b) k ( a a b a b b k( a + b) b a b a + a + b k( b k ( a b) a b a b - b ) k ( a + b) a b a + b) Contoh : a b. 5 c. d ( ) ( 5 + 7) MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 0

21 C. Tugas Sisiwa Kerjakan soal berikut ini secara berkelompk!. Buktikan bahwa, 5 adalah bilangan irasional!. Sederhanakan! a. 48 b Sederhanakan! a. 8 + b Tentukan a. 5 b Rasionalkan penyebut dari! a. 5 D. Tes Formatif b. Selesaikan soal-soal berikut!. Sederhanakanlah! a. 000 b. 75 c. 80. Sederhanakanlah! a. 8x b. (5 + ) (5- ). Sederhanakanlah! a b. ( + 4 ) 4. Rasionalkan penyebutnya! a. 5 V. LOGARITMA A. Tujuan b. + + MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa :. Dapat memahami pengertian logaritma.. Dapat menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan daftar logaritma.. Dapat menentukan anti logaritma suatu bilangan 4. Dapat memahami sifat-sifat logaritma 5. Dapat mempergunakan logaritma dalam perhitungan-perhitungan. B. Uraian Materi. Pengertian Logaritma Ingat kembali pada bilangan berpangkat, misal : a n b

22 dengan a bilangan pokok, n pangkat dan b hasil pangkat. Sekarang jika masalahnya dibalik yaitu hasil pangkat b dan bilangan pokok a diketahui kemudian menentukan n, yaitu : a b atau dengan kata-kata a pangkat berapa sama dengan b? atau b sama dengan a pangkat berapa? pertanyaan itu jawabnya adalah n. Maka dalam matematika pertayaan itu dinyatakan dengan a log b n Jadi logaritma adalah invers dari perpangkatan. Jika b a n (a>0dan a ) adalah bilangan berpangkat dengan pokok a dan pangkat (eksponen),maka inversnya adalah : n a log b disebut logaritma dengan bilangan a. Kesimpulan : a log b n b a n dengan a > 0, a, a bilangan pokok logaritma, y radikal, n haisl penarikan logaritma. Jika bilangan pokok suatu logaritma tidak ditulis, bilangan pokok logaritma tersebut adalah 0. Contoh :. Nyatakan dalam bentuk logaritma! a. 8 c. 9 - b d. P q Jawab : a. 8 log 8 b log. c. - log d. P q log. Tentukan nilainya! a. log b. log 7 c. 5 log 5 Jawab : a. log x x 0 x x 0 b. log 7 x 7 x x x c. 5log x 5 5 x x x -. Sifat-Sifat Logaritma a. a log (bx c) a log b + a log c b. a log a log b a log c c. d. b c a log b n n x a log b a log b logb log a MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

23 e. f. a log b b log a a log b x b log c a log c g. a log b m a log b i. a a log b b contoh : a. a log + log 7 log ( x.) log 9 log. b. log 9 - log7... log... log... log - - c. log 6- log 4 + log64 log 6 - log 4 + log (64) log (4 ) ½ - log 4 + log ( 6 ) ½ log 4 - log 4 + log...x... log... log 6 log d. Jika log a, nyatakan logaritma di bawah ini dalam dalam a : 8 log! Jawab : 8 log log log8 log log log log x log x a a e. log 5 x 5 log 64 log 5 x 5 log 64 log 64 log 6 6 f. log Menggunakan Daftar Logaritma MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

24 Daftar logaritma yang biasa digunakan disbut daftar logaritma biasa yaitu dengan bilangan pokok 0. Dalam daftar logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis. Lajur-lajur dalam logaritma terdiri dari: a. Lajur N (lajur pertama) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan secara berurutan dari nol sampai 000. b. Lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari kiri ke kanan berturutturut berisi dengan bilangan 0,,,,, 8, 9. Lajur yang memuat angka nol disebut lajur nol, yang memuat angka 9 disebut lajur sembilan. Cara Menentukan Logaritma Bilangan Pokok 0 Sebagai contoh: Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan nilai logaritma dari : a. log 4,6 b. log 46 c. log 460 Jawab: a. log 4,6 Antara log 0 dan log 0 Log 4,6 0,. Angka di depan tanda koma, disebut indek (karateristik). Angka di belakang tanda koma disebut mantis dari logaritma bilangan itu. Mantis didapat dalam daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke jadi log 4,6 0,668. b. log 46.. Antara log 0 dan log 00 Log 46, Mantis didapat pada daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke Jadi log 46,668 c. log antara log 00 dan log 000 log 460, dengan cara yang sama dengan di atas diperoleh log 460, Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan Apabila nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma. Jadi daftar logaritma sekaligus juga merupakan daftar anti logaritma. Sebagai contoh: Tentukan bilangan yang logaritmanya: a. 0,666 b.,668 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

25 c.,668 d.,668 Jawab: a. Misal bilangan yang akan ditentukan itu x, maka log x 0,668 Oleh karena log x 0,668 (antara 0 dan ) maka antara dan 0. 0 < log x < maka < x < 0 Kemudian dicari pada daftar logaritma sehingga didapat angka 668. Selanjutnya dari angka 668 ditarik garis ke arah kiri sampai lajur N diperoleh angka 4 dan ditarik garis vertikal ke atas diproleh angka 6. Kemudian hasilnya ditulis 46 Maka mantis 668 berhubungan dengan bilangan 46. Oleh karena bilangan x nilainya di antara dan 0 maka x 4,6 b. Log x,668 maka x antara 0 dan 00 Dengan cara seperti di atas diperoleh x 46. c. Log x,668 maka x antara 00 dan 000 x 460 d. Log x,668 maka x antara 000 dan x 4600 C. Rangkuman. Logaritma didefinisikan sebagai a log b n b a n. Sifat-sifat logaritma a. a log (bxc) a log b + a log c b. a b log c a log b + a log c c. d. a log b n n x a log b a logb log b log a e. a log b b log a f. a log b x b log c a log c g. n a log b m m a log b n n a n` h. log b a log b i. a n log b b D. Tugas Siswa. Nyatakan dengan posisi pangkat! a. log 8 4 b. log 4 -. Hitunglah nilai logaritma di bawah ini! a. 0 log 00 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 5

26 b. 0 log 00. Sederhanakan! a. log 48 log 6 b. log 5 - log 0 c. 6 log 4 - log 9 d. 7 log log - 7 log 6 e. log 7 + log 4. Hitunglah : log 5 x log x 0 x 5 log 4 5. Jika log a dan log 5 b, maka nyatakan 6 log 50 dalam a dan b E. Tes Formatif Selesaikan soal-soal berikut ini!. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma! a. 5 b. 60 c Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi pangkat! a. 0 log 0 b. log 6 6 c. log 9 - VI. EVALUASI. Gunakan daftar logaritma untuk menentukan nilai tiap logaritma berikut! a. log b. 00 c. log, 4. Tentukan bilangan yang nilai logaritmanya sebagai berikut! a. 0,888 b.,888 c., Sederhanakan! a. log 5 + log + log 4 b. log 7 + log 8 c. log + log 9 6. Jika log a a. 4log 8 b. 8 log 7 7. Jika a dan b 64, hitunglah a log b 8. Tentukan nilai x pada persamaan log x- + log 9 log x! Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!. Pada gambar di samping tentukanlah panjang AB! 4 ½ A. Sederhanakan! a. (4a) - x (a) 7 ½ mm B MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 6

27 . a. b. 4 5x x 5 log 9 + log 8 - log 6 b. log (x-) + log tentukan nilai x! 4. Seorang menjual mobil dega harga Rp ,00. ternyata ia menderita kerugian sebesar 0%. Berapakah ia membeli mobil tersebut? 5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang tergambar dengan ukuran,5 cm x 8 cm pada denah dengan skala : 00. Luas sebenarnya tanah tersbut adalah 6. Dalam tabung yang dapat diubah-ubah volumenya terdapat gas dengan suhu tetap. Pada saat volumenya 4 dm, tekanannya atmosfir. Maka pada volume 6 dm tekanannya adalah.. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 7

28 MODUL : APROKSIMASI KESALAHAN I. MEMBILANG DAN MENGUKUR A. Tujuan Setelah mempelajari uraian materi belajar ini, Anda diharapkan :. Memiliki pemahaman tentang pengertian aproksimasi. Memiliki konsep membilang dan mengukur. Dapat menentukan pembulatan ke satuan ukuran terdekat 4. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka desimal 5. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka signifikan B. Uraian Materi Dalam kehidupan sehari-hari membilang dan mengukur sering dianggap sama. Padahal kedua kata tersebut sangatlah berbeda pengertiannya. Hasil membilang merupakan sesuatu yang pasti, tepat atau eksak. Sedangkan mengukur merupakan pendekatan. Contoh hasil kegiatan membilang antara lain :. Banyaknya murid suatu sekolah. Banyaknya botol pada tiap krat minuman. Banyaknya lembaran kertas dalam sebuah buku Contoh hasil kegiatan mengukur antara lain :. Panjang ruangan kelas. Berat badan si Ali. Kecepatan lari seorang atlet Hasil dari membilang adalah pasti, sedang hasil mengukur merupakan pendekatan sehingga hasilnya berbeda-beda menurut ketelitian yang diiginkan. Dalam pelaksanaan pengukuran kita sering mengadakan pembulatan hasil pengukuran. Ada tiga hasil pembulatan, seperti dalam uraian berikut :. Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat Aturan pembulatan suatu bilangan adalah : a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan lima ( 5), maka nilai angka di depannya ditambah satu. b. Jika angka berikutnya kurang dari lima (< 5), angka ini dihilangkan dan nilai angka di depannya tetap. Contoh : a. 5,8 kg 6 kg dibulatkan ke kg terdekat b., km, km dibulatkan ke persepuluh km terdekat c. 8,5 detik 8,5 detik, dibulatkan ke perseratus detik terdekat.. Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal Pembulatan ini selain untuk menyatakan pendekatan hasil pengukuran juga kadang-kadang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 8

29 Contoh : 50,564 50,564 (dibulatkan sampai empat tempat desimal) 50,56 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal) 50,56 (dibulatkan sampai dua tempat desimal) 50,6 (dibulatkan sampai satu tempat desimal). Pembulatan ke Banyaknya Angka Signifikan Angka signifikan adalah angka yang bermakna/berarti. Semua angka adalah signifikan kecuali angka yang dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal. Nol adalah angka signifikan kecuali bila dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal. Contoh: C. Rangkuman a. 0,05 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, maka tidak signifikan. Jadi 0,05 mempunyai angka signifikan. b.,50 kg, nol menyatakan bahwa berat diukur sampai ke perseratusan kg terdekat. Jadi,50 mempunyai angka signifikan. c. 0,09050 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga dan keempat menunjukkan bahwa jarak telah diukur sampai perseratusribuan yang terdekat, maka nol yang ketiga dan keempat signifikan. Jadi 0,09050 mempunyai 4 angka signifikan. d.,8 x 0 kg, disini 0 tidak dianggap sebagai angka signifikan. Dalam hal ini ada dua angka signifikan. Macam-macam pembulatan: a. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat b. Pembulatan ke banyaknya angka desimal c. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan D. Tugas Diskusikan soal-soal berikut ini dalam kelompok Anda, kemudian presentasikan hasilnya sesuai yang dikehendaki guru pembimbing!. Bentuk pembulatan dari: a. 4,5 km ke persepuluh km terdekat adalah b. 67,84 ke perseratusan terdekat adalah. Bulatkan ke tempat desimal yang dikehendaki! a. 9,07 (satu tempat desimal) b.,98979 (tiga tempat desimal). Bulatkan ke banyaknya angka signifikan a. 7,45 (dua angka signifikan) b. 0,05445 (tiga angka signifikan) 7 4. Panjang seutas tali 5 meter. Tulislah ukuran tersebut dalam bentuk desimal sampai tujuh tempat desimal kemudian, a. Tentukan banyaknya angka signifikan! MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 9

30 b. Bulatkan sampai 4 angka signifikan! 5. Sebuah karung pupuk tertulis netto 90 kg. Jika harganya Rp.75,000 maka harga kg adalah.(bulatkan dalam puluhan rupiah terdekat) E. Tes Formatif Isilah titik-titik di bawah ini dengan tepat!. Pembulatan 66,57 ke a. Seperseratus terdekat adalah b. Sepersepuluh terdekat adalah c. Satuan terdekat adalah.. d. Ratusan terdekat... Pecahan jika dinyatakan dalam bentuk desimal dengan 7 a. Dibulatkan sampai 5 tempat desimal adalah.. b. Dibulatkan sampai tempat desimal adalah.. Bilangan jika dinyatakan dalam bentuk desimal, kemudian 5 a. Dibulatkan sampai 4 angka signifikan adalah. b. Dibulatkan sampai angka signifikan adalah II. KESALAHAN DALAM PENGUKURAN A. Tujuan Setelah mempelajari uraian materi ini diharapkan Anda dapat:. Menentukan salah mutlak dari suatu pengukuran. Menentukan salah relatif dari suatu pengukuran. Menghitung persentase kesalahan 4. Menentukan toleransi suatu pengukuran B. Uraian Materi. Satuan Pengukuran Terkecil Seperti telah kita ketahui bagaimanapun telitinya kita melakukan suatu pengukuran, kita tidak dapat menyatakan ukuran yang tepat (sebenar-benarnya). Selisih antara ukuran yang sebenarnya dan ukuran yang diperoleh dari pengukuran itu disebut kesalahan. Agar pengukuran kita dapat dipercaya, kita harus mengetahui kesalahan pengukuran. Maksimum yang masih dapat diterima. Besarnya suatu kesalahan dapat diperkecil dengan menggunakan alatalat yang lebih teliti. Tingkat ketelitian dari suatu pengukuran ini disbut dengan Satuan Ukuran Terkecil. Contoh: a. kg satuan ukuran terkecilnya kg b. 5,7 meter satuan ukuran terkecilnya 0, meter c. 40,5 menit satuan ukuran terkesilnya 0,0 menit d.,50 ohm satuan ukuran terkcilnya 0,00 ohm MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 0

31 . Salah Mutlak Jika kita mengukur panjang buku kita menggunakan penggaris yang ukurannya dalam sentimeter, kita dapat mengatakan panjangnya 5 cm. tetapi ini tidak berarti bahwa panjangnya tepat 5 cm. kita dapat mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran itu adalah cm. Jadi panjang sebenarnya lebih dekat ke 5cm daripada ke 4 cm atau 6 cm, yaitu terletak pada suatu tempat antara 4,5 cm dan 5,5 cm. kesalahan pengukuran terbesar yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm atau salah mutlak pengukuran itu adalah 0,5 cm. Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa Salah Mutlak (SM) suatu pengukuran adalah setengah dari satuan ukuran terkecilnya. Contoh : Salah mutlak x Satuan Ukuran Terkecil Hasil pengukuran berat Badan Ahmad adalah 65,45 kg. Tentukan a. Satuan ukuran terkecilnya! b. Salah mutlaknya! Jawab: a. 65,45 kg satuan ukuran terkecilnya 0,0 kg b. Salah mutlak ½ x Satuan Ukuran Terkecil ½ x 0,0 kg 0,005 kg. Salah Relatif Salah Relatif Salah mutla k Hasil pengu kuran 4. Persentase Kesalahan Persentase Kesalahan Salah Mutlak x 00% Contoh : Hasil pengukuran jarak kota A dan B yang dilakukan oleh Departemen Perhubungan adalah 50 km. Tentukan kesalahan relatif dan persentase kesalahan dari hasil pengukuran tersebut! Jawab: Hasil pengukuran 50 km, maka Satuan ukuran terkecilnya km Salah mutlak ½ x km 0,5 km Salah Mutla k Salah Relatif Hasil Pengu kuran 0, 5 km 50 km 0,0 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

32 Persentase Kesalahan salah relatif ½ x 00% 0,0./ x 00% % 5. Toleransi Suatu hasil pengukuran akan bisa diterima jika kesalahan yang dimiliki tidak terlalu besar. Untuk itu perlu ditentukan batas-batas pengukuran yang masih bisa diterima. Batas-batas tersbut adalah : a. Ukuran maksimum ( mak ) Hasil Pengukuran + Salah Mutlak b. Ukuran Minimum ( min ) Hasil Pengukuran Salah Mutlak Selanjutnya didefinisikan tolransi adalah selisih antara batas atas dan batas bawah. Toleransi mak - min Batas atas pengukuran dan batas bawah pengukuran sering disbut juga dengan ukuran maksimum dan ukuran minimum. C. Rangkuman. Kesalahan adalah selisih antara ukuran sebenarnya dengan hasil pengukuran.. Satuan Ukuran Terkecil (SUT) adalah tingkat ketelitian dari suatu pengukuran. Salah Mutlak (SM) setengah dari ukuran terkecil. 4. Salah Relatif (SR) adalah perbandingan antara salah mutlak dengan hasil pengukuran. 5. Persentase Kesalahan (PK) adalah salah relatif dikalikan 00%. 6. Toleransi adalah selisih antara ukuran maksimum dan ukuran minimum. 7. Ukuran Maksimum ( mak ) adalah hasil pengukuran ditambah salah mutlak 8. Ukuran minimum ( min ) adalah hasil pengukuran dikurangi salah mutlak D. Tugas Belajar Lakukan kegiatan pengukuran secara berkelompok, tiap kelompok terdiri atas orang. Tiap kelompok melakukan kegiatan sekali pengukuran terhadap obyek berikut dengan ketelitian yang sesuai kesepakatan antar kelompok. Bandingkan hasil dari tiap-tiap kelompok dengan mempresentasikan di depan kelas! Tuangkan hasilnya dalam tabel berikut! No Nama Benda Panjang meja siswa paling depan Tinggi pintu Berat sebuah batu bata 4 Tebal buku tulis (±00hal) 5 Diameter pensil Nama Alat Ukur Satuan Ukuran Terkecil Salah Mutlak Salah Relatif Persentase Kesalahan MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

33 E. Tes Formatif Lengkapi tabel berikut! No Pengukuran 0 m 5, kg 7,5 volt 4 5 menit 5 0,50 derajat Satuan Ukuran Terkecil Salah Mutlak Salah Relatif Persentase Kesalahan III. OPERASI HASIL PENGUKURAN A. Tujuan Setelah mempelajari materi diharapkan siswa dapat :. Menentukan hasil penjumlahan dari suatu pengukuran. Menentukan selisih dari suatu pengukuran. Menentukan hasil kali dari suatu pengukuran B. Uraian Materi. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran, misalkan ukuran I dan II masing-masing mempunyai ukuran maksimum dan ukuran minimum, kemudian kedua ukuranitu kita jumlahkan, maka akan didapatkan hasil penjumlahan berikut : a. Jumlah Maksimum Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II b. Jumlah Minimum Ukuran Minimum I + Ukuran Minimum II c. Salah mutlak dari jumlahdua pengukuran jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II. Contoh: Dari dua kali penimbangan hasil panen ikan didapatkan 57 kg dan 6 kg. Tentukan berapakah total minimum dan maksimum dari kedua penimbangan tersebut! Jawab: Ukuran I 57 kg, maka salah mutlaknya 0,6 kg sehingga ukuran maksimumnya 57,5 kg, minimumnya 56,5 kg. Ukuran II 6 kg, maka salah mutlaknya 0,5 kg sehingga ukuran maksimumnya 6,5 kg, minimumnya 6,5 kg. Jumlah maksimum 57,5 kg + 6,5 kg Jumlah minimum kg 56,5 kg + 6,5 kg 9 kg. Pengurangan Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran kita kurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Selisih Maksimum Ukuran Maksimum I Ukuran Minimum II b. Selisih Minimum Ukuran Minimu I Ukuran Maksimum II c. Salah Mutlak dari selisih dua pengukuran jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X

34 Contoh: Dari dalam drum minyak yang berisi 0 liter minyak diambil sebanyak 5 liter. Tentukan sisa maksimum dan minimum minyak yang masih berada dalam drum itu! Jawab: Ukuran 0 liter mempunyai : Ukuran maksimum 0,5 liter Ukuran 5 liter mempunyai Sehingga Sisa maksimum Sisa minimum : Ukuran minimum 09,5 liter : Ukuran maksimum 5,5 liter : Ukuran minimum 4,5 liter 0,5 liter 4,5 liter 86 liter 09 liter 5,5 liter 84 liter. Perkalian Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran dikurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Hasil Kali Maksimum Ukuran Maksimum I x Ukuran Maksimum II b. Hasil Kali Minimum Ukuran Minimum I x Ukuran Minimum II Contoh: Sebuah kamar mempunyai ukuran panjang 5 meter dan lebar meter. Tentukan ukuran luas maksimum dan minimum kamar tersebut! Jawab: Panjang 5 meter maka Lebar meter maka : Panjang maksimum 5,5 meter Panjang minimum 4,5 meter : Lebar maksimum,5 meter Lebar minimum,5 meter Luas maksimum Luas minimum 5,5 meter x,5 meter 9,5 meter 4,5meter x,5 meter,5 mter C. Rangkuman. Jumlah Maksimum Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II. Jumlah Minimum Ukuran minimum II. Salah mutlak dari jumlah dua pengukuran jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II 4. selisih Maksimum Ukuran Maksimum I Ukuran Minimum II 5. Selisih Minimum Ukuran Minimum I Ukuran Maksimum II 6. Salah mutlak dari selisih dua pengukuran jumlah salah mutlak ukuran I dan salah mutlak ukuran II. 7. Hasil Kali Maksimum Ukuran Maksimum I x Ukuran Maksimum II 8. hasil kali mimimum Ukuran Minimum I x Ukuran Minimum II MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

35 D. Tugas Kerjakan soal berikut secara berkelompok dengan membikin kelompok beranggotakan orang!. Tentukan : a. Keliling b. Keliling maksimum, c. Keliling minimum Dari bangun berikut! 5cm 0cm 8cm 5cm 5cm cm. Tentukan a. Luas b. Luas maksimum c. Luas minimum Dari bangun berikut! 6cm 0cm 6cm 8cm E. Tes Formatif Kerjakanlah soal-soal di bawah ini dengan benar!. Dua buah kawat dengan panjang masing-masing m dan 4 m disambung. Tentukan panjang maksimum sambungan kedua kawat tersebut!. Sebuah botol yang berisi 900 ml minyak wangi, diambil kali masing-masing 50 ml. tentukan sisa maksimum minyak wangi tersebut!. Ketika panen ikan dilakukan pada dua kolam yang berbeda, menghasilkan berat ikan yang berbeda walaupun banyak benihnya sama. Kolam A menghasilkan 5, kg dan kolam b 75, kg. Tentukan : a. Jumlah maksimum dan minimumnya! b. Selisih maksimum dan minimunya! 4. Tentukan kebutuhan ubin maksimum untuk menutup lantai berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 m dan lebar 9 m, jika tiap m lantai membutuhkan 9 ubin! 5. Sebuah akuarium dibuat berukuran 00 cm x 50 cm x 60 cm. Tentukan volume air maksimum yang bisa ditampung dalam akuarium tersebut! IV. EVALUASI Kerjakan Soal berikut ini! 6. Nyatakan sebagai pecahan desimal, bulatkan sampai : a. 5 tempat desimal b. tempat desimal c. 6 angka signifikan MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 5

36 . Lengkapi tabel di bawah ini: No Pengukuran 7 m 750 kg 5, jam 4,0 ampere 5 5,5 Satuan Ukuran Terkecil Salah Mutlak Salah Relatif Persentase Kesalahan. Carilah batas-batas keliling bentuk-bentuk lmpengan berikut! cm 4 cm 5cm 8 cm cm 4. Suatu batang logam panjangnya 8 cm dipotong spanjang 0 cm. berapakah batasbatas sisa batang logam tersebut! 5. Berapakah luas maksimum dan minimum dari : a. Persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m dan lebar 4m b. Persegi dengan sisi (6 ± 0,) cm. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 6

37 MODUL : PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN I. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR A. Tujuan Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan:. Memiliki pemahaman mengenai pengertian persamaam dan pertidaksamaan linear.. Dapat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear. B. Uraian Materi. Sifat Umum Persamaan Persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.. Pengertian Persamaan Linear a. Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Contoh : Ari mempunyai satu kantong kelereng. Budi menambahkan 5 kelereng ke dalam kantong tersebut. Setelah dihitung semua kelerengnya, ternyata ada7 biji. Berapa kelereng Ari seblum ditambah kelereng Budi? Hal tersebut dapat ditulis ke dalam kalimat matematikan sebagai berikut : X Berapa x? c. kalimat tertutup adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya dari contoh di atas x dapat digenti dengan : o bernilai benar o bernilai salah. Penyelesaian Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel adalah ax + b 0, a, b R, a 0 a. Persamaan Linear Satua Variabel Bentuk nilai x dari persamaan x - 0! Jawab: x - 0 x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari - yaitu ) x x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari yaitu ) x 7 Jadi nilai x adalah 7 Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan x x! Jawab: x x 5 x + x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -x yaitu x) MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 7

38 5x (disederhanakan) 5x (-5) 5 + (-5) (kedua ruas ditambah dengan lawan dari 5 yaitu -5) 5x 0 (disederhanakan).5x. 0 (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari yaitu ) 5 x 4 Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 4 Contoh 4: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x-64-x! Jawab: x 6 4 -x x 6 + x 4 -x + x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari (- x yaitu x) 6x 6 4 (disederhanakan) 6x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -6 yaitu 6) 6x 0 (disederhanakan) 6x. 0 (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari yaitu ) 6 x 5 Jadi himpunan penyelesaian dari persamaannya adalah {5} b. Persamaan Linear Dua Variabel Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat dari kdua variabel adalah satu. Bentuk umum : ax + by c di mana a,b,c R, dan a,b 0 Penyelesaian satu persamaan linear dua variabel : Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari x + y 6 untuk y {-,0,}! Jawab: y -, Maka x + y 6 x +.(-) 6 x 6 6 x x x : x 6 diperoleh (6,-) y 0, maka x + y 6 x +.(0) 6 x x 6 x diperoleh (,0) MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 8

39 y, maka x + y 6 x +.() 6 x x 6-6 x 0 x 0 diperoleh (0,) Jadi HP {(6,-).(.0),(0,)} 4. Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka tidak sama dengan (#) yang dapat menggunakan tanda: <, >, atau Contoh: -x<8 X x-4>0 Sedangkan kalimat tertutup yang menggunakan tanda tanda: <,>, atau disebut ketidaksamaan. Contoh: <0 0-5 Kostanta pengganti variabel yang menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian. Sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian. 5. Sifat-sifat Pertidaksamaan Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan positif atau bilangan negatif yang sama,maka arah tanda pertidaksamaan tetap. Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang sama, maka tanda arahpertidaksamaan tetap Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang sama, maka tanda arah pertidaksamaan dibalik. 6. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi satu. a. Pertidaksamaan linear satu variabel Bentuk umum: ax + b < 0; ax + b >; ax + b 0 atau ax + 0, dengan a 0 Contoh : x + 4 < 0 x > 0 x-4 0 Mencari himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukkan dengan notasi himpunan atau dengan garis bilangan. MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 9

40 Contoh: Tentukan HP dan grafik garis bilangan dari pertidaksamaan berikut ini,jika x R (x anggota bilangan real)! ) x 7 > Jawab : x - 7 > x > +7 Kedua ruas ditambah lawan dari 7- yaitu 7 x > 9 disederhanakan.x >.9 Kedua ruas dikali kebalikan yaitu x > HP {x / x >, x R} 0 Karena tandanya >, maka digambarkan denga noktah berlubang dan arah panah ke kanan. ) 5x - 4x + 6 5x + (-4) 4x + 6+ (-4x) Kedua ruans ditambah dengan lawan dari 4x yaitu -4x x 6 disederhanakan x Kedua ruas ditambah x 8 Jadi HP {x / x 8, x R} 8 Karena tandanya, maka digambarkan dengan noktah padat pada bilangan 8 dan arah panah ke kiri. ) (-x) x x x + 9 Ruas kiri diselesaikan dahulu dengan cara mengalikan bilanga yang diluar kurung dengan ada yang didalam kurung. 6-x + (-x) x + 9 (-x) Kedua ruas ditambah dengan lawan dari x yaitu (-x) 6 x 9 6-x + (-6) 9 + (-6) Kedua ruas ditambah dengan 6 -x [ x ] Kedua ruas dikali dengan kebalikan x - Dari - yaitu dan diperhatikan tanda petidaksamaannya berubah arah MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 40

41 - Karena tanda pertidaksamaannya maka digambar dengan noktah padatdan arah panahnya ke kiri. 4) x 5 x + < 5x-9 Karena pada soal pertidaksamaan ini ada tiga ruas, maka pertidaksamaan ini dikerjakan dengan dua penyelesaian. Penyelesaian pertamadikerjakan dari ruas kiri dengan ruas tengah. Penyelesaian yang kedua dikerjakan dari ruas tengah dengan ruas kanan. Penyelesaian I x -5 x + x -5 + (-x) x + + (-x) Kedua ruas ditambah (-x) x -5 x Kedua ruas diytambah 5 x 8 ) Penyelesaian x + < 5x 9 x + + (-5x) < 5x -9 + (-5x) Kedua ruas ditambah (-5x) -4x + < -9-4x + (-) < -9 + (-) Kedua ruas ditambah - -4x < - [ 4 ] x > [ ] Kedua ruas dikali dengan kebalikan 4 4 dari -4 yaitu dan perhatikan tanda 4 pertidaksamaan berubah arah x >.) Karena ada dua nilai x, maka nilai xdapat ditulis sebagai berikut : x 8 atau < x 8 Grafik himpunan penyelesaian pada garis bilangan pada titik berupa noktah berlubang dan pada titik 8 berupa noktah padat. b. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Bentuk umum: ax + by < c; ax + by > c; ax + by c atau ax + by c dengan a 0 dan b 0 contoh : 8 Tentukan HP dari 4x -y ; x,y R! MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

42 Jawab: ) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -y! Untuk x 0, maka 4.(0) y - y y -4 Jadi titiknya (0,-4) Untuk y 0, maka 4x -.(0) 4x x Jadi titiknya (,0) x 0 y -4 0 (x,y) (0,-4) (,0) ) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan garis 4x-y! Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x 0 Dan y 0. Subtitusikan titik tersebut ke 4x -y, sehingga didapat 4 (0) (0) Ternyata benar bahwa 0, sehingga titik (0,0) memenuhi (benar) ) Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri garis 4x -y merupakan daerah penyelesaian (yang diarsir) (,0) X Contoh : Tentukan HP dari 4x -y > ; x,y R! Jawab: ) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -y! Untuk x 0, maka 4.(0) -y -y y -4 Jadi titiknya (,0) x 0 y -4 0 (x,y) (0,-4) (,0) ) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan dikiri atau kanan garis 4x- y Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x 0 dan y 0. Substitusikan titik tersebut ke 4x-y sehingga didapat 4(0) (0) Ternyata benar bahwa 0, sehingga titik (0,0) tidak memenuhi (salah) MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4 (0,-4)

43 ) Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri garis 4x-y bukan merupakan daerah penyelesaian(tidak diarsir) Y,0 (0,-4) C. Rangkuman Persamaan linear adalah suatu persamaan dengan variabelnya berpangkat satu, Persamaan linear yang dibahas adalah: Persamaan linear satu variabel Persamaan linear dua variabel Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >,, atau, Pertidaksamaan linear satu dan dua variabel adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu. D. Lembar Kerja Siswa Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok Anda kemudian presentasikan hasilnya dengan bimbingan guru!. Tentukan HP dari: a. x 5 0 b. + x x 4 c. 4x x. Tentukan HP dari persamaan x + y 6 Untuk y {-,0,,,}. Tentukan HP untuk : a. x < x + 0 b. x + 5 > 5 c. 0x + 5 >5 d. 5 < + x <5 E. Lembar Kerja Siswa (45 menit). Tentukan apakah yang berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat tertutup, jika kalimat tertutup, tentukan benar atau salah! a. 8 : 5 b. x c. 5 > d. 00 x 5 0. Tentukan apakah yang berikut ini persamaan, pertidaksamaan, kesamaan atau ketidaksamaan! a b. 0x -5x c. 5 4x d. 0 > 9. Tentukan HP dari: a. 5 -x 5 MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 4

44 b. (x-4) (x-) x x + c. 5 x x x d Tentukan HP dari : a > x b. x c. x - d. 7 > -4 x 5. Carilah HP dari x + 4y untuk x {-,-,0,,}! II. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Tujuan Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini Anda diharapkan dapat: Memahami pengertian tentang persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat Menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat Menyusun persamaan kuadrat B. Uraian Materi. Pengertian Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat a x bx c 0 Dengan a,b,c R dan a 0 Bentuk persamaan kuadrat lainnyaadalah : i. ax c 0:a.b R dan a 0 disebut persamaan kuadratbentuk asli ii. ax bx 0 :a, b R dan a 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Akar-akar Persamaan Kuadrat Untuk menentukan himpunan penyelesaian akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara : a. Memfaktorkan Persamaan kuadrat dengan bentuk umum a x + bx + c 0 Dengan a,b,c R. dan a 0, maka c a merupakan hasil kali dua bilangan (x + x ) dan b/a merupakan dua jumlah dua bilangan (x + x ) sehingga ax bx c 0 (x x )(x x ) 0 Contoh. Tentukan HP dari persamaan kuadrat x 8x 0! Jawab : Cara dua bilangan yang bila dikalikan dan bila dijumlahkan -8 Ternyata bilangan itu adalah -6 dan - Jadi x 8x 0 dapat difaktorkan menjadi (x-6) (x-) 0 x -6 0 atau x - 0 x 6 atau x Jadi HP {,6} MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 44