ANALISIS MODEL DINAMIKA HIV DALAM TUBUH DENGAN LAJU INFEKSI TIPE HILL SKRIPSI

Transkripsi

1 ANALISIS MODEL DINAMIKA HIV DALAM TUBUH DENGAN LAJU INFEKSI TIPE HILL SKRIPSI RIYADLOTUS SHOLICHAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016

2 ANALISIS MODEL DINAMIKA HIV DALAM TUBUH DENGAN LAJU INFEKSI TIPE HILL SKRIPSI RIYADLOTUS SHOLICHAH PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016 i

3 ii

4 iii

5 PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

6 v

7 KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-nya, sehingga skripsi yang berjudul Analisis Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Laju Infeksi Tipe Hill ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia. Ucapan terima kasih disampaikan kepada : 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu. 2. Kementerian Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa untuk membantu secara ekonomis serta memacu semangat belajar. 3. Badrus Zaman, S. Kom, M. Cs selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. 4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si selaku Koordinator Program Studi S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga serta dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan. 5. Dr. Miswanto, M. Si selaku dosen pembimbing I dan Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa sabar dan teliti dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, saran, dan waktu serta motivasi. vi

8 6. Dr. Windarto, M. Si dan Auli Damayanti, S. Si, M. Si selaku dosen penguji yang memberikan arahan serta masukan dalam menyelesaikan skripsi ini. 7. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal lelah. 8. Kedua orang tua serta keluarga besar saya yang selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa serta kasih sayangnya. 9. Faul, Bachtiar, Rona, Zahro, Ainul, Chum, Ayus, Tiya, Anissa, Nisa, Siti, Fitri, Via, Gagan dan Tuhfa atas bantuan, dukungan, dan kebersamaannya selama ini. 10. Teman-teman CSSMoRA Universitas Airlangga, khususnya CSSMoRA Universitas Airlangga angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. 11. Teman-teman dan adik-adik kos atas bantuan, semangat, dan kebersamaannya selama ini. 12. Teman-teman KKN-BBM Universitas Airlangga ke-52 Ds. Pasinan Kec. Baureno atas kebersamaannya selama ini. 13. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. 14. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas vii

9 Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya. Surabaya, 09 Mei 2016 Riyadlotus Sholichah viii

10 Riyadlotus Sholichah, 2016, Analisis Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Laju Infeksi Tipe Hill. Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Miswanto, M. Si dan Dr. Fatmawati, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Human Immunodeficiency Virus (HIV) yaitu virus yang memperlemah kekebalan pada tubuh manusia. Terdapat dua tipe HIV, yaitu HIV-1 dan HIV-2. HIV menginfeksi suatu kelas limposit (sel darah putih) yang dikenal sebagai sel CD4. Tujuan dari skripsi ini adalah menganalisis model dinamika HIV dalam tubuh dengan laju infeksi tipe Hill untuk konstanta Hill bernilai 1 dan 2. Dari analisis model tersebut, masing-masing diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik dan endemik untuk konstanta Hill bernilai 1, serta titik setimbang non endemik dan endemik untuk konstanta Hill bernilai 2. Selain itu, diperoleh dan (bilangan reproduksi dasar) yaitu rata-rata banyaknya sel CD4 terinfeksi baru yang muncul akibat tertularnya sel CD4 oleh virus HIV. Titik setimbang,,, dan masing-masing stabil asimtotis lokal jika,, dan. Hal ini dapat diamati bahwa besaran basic reproduction ratio dan digunakan untuk menentukan keberadaan dan kestabilan titik setimbang. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa penggandaan virus mempengaruhi jumlah sel CD4 yang rentan maupun terinfeksi. Selain itu, besarnya nilai konstanta Hill mempengaruhi kecepatan meningkatnya jumlah virus, jumlah sel CD4 yang terinfeksi, serta jumlah sel CD4 yang rentan. Kata kunci : HIV, tipe Hill, kesetimbangan, kestabilan lokal ix

11 Riyadlotus Sholichah, 2016, Analysis of Dynamics Models of HIV in the Body with Hill Type Infection Rate. This undergraduate thesis is suprivised by Dr. Miswanto, M.Si and Dr. Fatmawati, M.Si. Mathematics Departemen, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya ABSTRACT Human Immunodeficiency Virus (HIV) is the virus that weakens the immunity in the human body. There are two types of HIV, namely HIV-1 and HIV-2. HIV infects a class of lymphocytes (white blood cells) known as CD4 cells. The purpose of this paper is to analyze the HIV dynamics model in the body with Hill type infection rates for Hill constant values of 1 and 2. From the analysis of the model, we obtain two equilibriums for each value of the Hill constants; that are, the non-endemic equilibrium and endemic for Hill constant value of 1, and the non-endemic equilibrium and endemic for Hill contant value of 2. Moreover, we found the basic reproduction number and those show the average number of new infected sel CD4 emerging as a result of HIV infection on sel CD4. The equilibrium,,, and are respectively locally asymptotically stable for,,, and. Furthermore, it can be observed that the basic reproduction number and are used to determine the existence and the stability of the equilibrium points. Numerical simulation results indicate that the virus replication factors affects the number of CD4 cells which are either active or infected. On the other hand, the magnitude of the Hill constant affects the growth rate of the number of virus particles, the number of infected CD4 cells, and the number of active CD4 cells. Keywords: HIV, Hill type, equilibrium, stability x

12 DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS... KATA PENGANTAR ABSTRAK... ABSTRACT... DAFTAR ISI..... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vi ix x xi xiii xiv xv BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Manfaat Batasan Masalah... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA HIV Sel CD xi

13 2.3. Fungsi Hill Persamaan Differensial Kestabilan dari Sistem Linear Kriteria Routh-Hurwitz Basic Reproduction Ratio Analisis Sensitivitas Parameter BAB III METODOLOGI PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Laju Infeksi Tipe Hill Titik Setimbang Model Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal Analisis Sensitivitas Parameter Simulasi Numerik Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Laju Infeksi Tipe Hill BAB V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xii

14 DAFTAR TABEL Nomor Judul Tabel Halaman 4.1 Parameter dan Variabel Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Laju Infeksi Tipe Hill Data Model HIV Nilai Parameter Model Dinamika HIV dalam Tubuh Indeks Sensitivitas Parameter Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill bernilai Indeks Sensitivitas Parameter Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill bernilai 2 41 xiii

15 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Gambar Halaman 4.1 Grafik bidang fase pada model dinamika HIV dalam tubuh dengan konstanta Hill bernilai Grafik bidang fase pada model dinamika HIV dalam tubuh dengan konstanta Hill bernilai Dinamika konsentrasi sel-sel CD4 yang rentan Dinamika konsentrasi sel-sel CD4 yang terinfeksi Dinamika populasi virus Model dinamika HIV dalam tubuh dengan konstanta Hill untuk Model dinamika HIV dalam tubuh dengan konstanta Hill untuk Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill untuk Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill untuk 47 xiv

16 DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran 1. Perhitungan Titik Setimbang Endemik untuk konstanta Hill ( ) bernilai 1 2. Perhitungan Titik Setimbang Endemik untuk konstanta Hill ( ) bernilai 2 3. Perhitungan Analisis Kestabilan pada Titik Setimbang Endemik untuk Konstanta Hill ( ) bernilai 1 4. Kode Program Maple Grafik Bidang Fase pada Titik Setimbang Endemik untuk Konstanta Hill bernilai 1 5. Perhitungan Analisis Kestabilan pada Titik Setimbang Endemik untuk Konstanta Hill ( ) bernilai 2 6. Kode Program Maple Grafik Bidang Fase pada Titik Setimbang Endemik untuk Konstanta Hill bernilai 2 7. Kode Program M-File pada MATLAB untuk Simulasi Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill Bernilai 1, jika 8. Kode Program M-File pada MATLAB untuk Simulasi Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill bernilai 1, jika 9. Kode Program M-File pada MATLAB untuk Simulasi Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill Bernilai 2, jika xv

17 10. Kode Program M-File pada MATLAB untuk Simulasi Model Dinamika HIV dalam Tubuh dengan Konstanta Hill Bernilai 2, jika xvi