Kata kata Motivasi. Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.

Transkripsi

1 M e n g e n a l H i m p u n a n 1 Kata kata Motivasi Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari. Tidak ada mata pelajaran yang sulit, kecuali kemalasan akan mempelajari mata pelajaran tersebut.

2 M e n g e n a l H i m p u n a n 2 TUJUAN Tujuan dari penulisan buku ini adalah, sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui definisi himpunan. 2. Untuk mengetahui manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari. 3. Untuk mengetahui contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari. MANFAAT Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya. Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari? Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika. Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika

3 M e n g e n a l H i m p u n a n 3 memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain: 1. Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. 2. Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. 3. Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. 4. Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis. 5. Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan. 6. Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

4 M e n g e n a l H i m p u n a n 4 Himpunan (set) A. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan suatu konsep dasar di matematika. Teori tentang himpunan dikembangkan pertama kali oleh ilmuwan George Cantor ( ). Walaupun pada mulanya teori himpunan dikembangkan secara teoritis, tetapi sekarang teori himpunan banyak sekali diterapkan baik di matematika sendiri, cabang-cabang ilmu lain maupun di kehidupan seharihari. Himpunan (set) adalah kumpulan benda-benda atau hal-hal lain yang keanggotaannya diterangkan dengan jelas. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Perhatikan kumpulan berikut ini: a. Kumpulan lukisan indah. b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia. Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di Indonesia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi, kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.

5 M e n g e n a l H i m p u n a n 5 Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan: Kelompok hewan berkaki empat. Yang merupakan anggota, misalnya : Gajah, sapi, kuda, kambing Yang merupakan bukan anggota, misalnya : ayam, bebek, itik. Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan: Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya. Mengapa disebut begitu??? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas. B. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}. - Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8, 10}. - C = {kucing, a, Amir, 10, paku} - R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

6 M e n g e n a l H i m p u n a n 6 - C = {a, {a}, {{a}} } - K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2,..., 100} - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }. Keanggotaan x A : x merupakan anggota himpunan A; x A : x bukan merupakan anggota himpunan A. Contoh 2. Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} } K = {{}} maka 3 A 5 B {a, b, c} R c R {} K {} R Contoh 3. Bila P 1 = {a, b}, P 2 = { {a, b} }, P 3 = {{{a,b}}}, maka a P 1 a P 2

7 M e n g e n a l H i m p u n a n 7 P 1 P 2 P 1 P 3 P 2 P 3 2. Simbol-simbol Baku P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3,... } N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan dengan U. Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}. 3. Notasi Pembentuk Himpunan Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 4. (i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5 A = { x x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5} atau

8 M e n g e n a l H i m p u n a n 8 A = { x x P, x < 5 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4} (ii) M = { x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah IF2151} 4. Diagram Venn Contoh 5. Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B C. Jenis-jenis Himpunan 1. Himpunan Kosong Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set). Notasi : atau {}

9 M e n g e n a l H i m p u n a n 9 Contoh 7. (i) E = { x x < x }, maka n(e) = 0 (ii) P = { orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(p) = 0 (iii) A = {x x adalah akar persamaan kuadrat x = 0 }, n(a) = 0 himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai { } himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai {, { }} { } bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong. 2. Himpunan Bagian (Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi: A B Diagram Venn:

10 M e n g e n a l H i m p u n a n 10 U A B Contoh 8. (i) { 1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5} (ii) {1, 2, 3} {1, 2, 3} (iii) N Z R C (iv) Jika A = { (x, y) x + y < 4, x, y 0 } dan B = {(x, y) 2x + y < 4, x 0 dan y 0 }, maka B A. A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan adalah improper subset dari A. A B berbeda dengan A B (i) A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh: {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}

11 M e n g e n a l H i m p u n a n 11 (ii) A B : digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. 3. Himpunan yang Sama A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan sebaliknya setiap elemen B merupakan elemen A. A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. Notasi : A = B A B dan B A Contoh 9. (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) jika A = B, maka B = A (c) jika A = B dan B = C, maka A = C

12 M e n g e n a l H i m p u n a n Himpunan yang Ekivalen Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi : A ~ B A = B Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 5. Himpunan Saling Lepas Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi : A // B Diagram Venn: U A B Contoh 11. Jika A = { x x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,... }, maka A // B.

13 M e n g e n a l H i m p u n a n Himpunan Semesta Himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}, dan C = {6, 7, 8, 9}. Himpunan yang memuat semua anggota A, B, dan C dapat dikatakan sebagai himpunan semesta. Secara umum himpunan semesta didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga universum dan biasanya dinotasikan dengan S. Himpunan semesta (S) adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Contoh Soal: Tentukanlah himpunan semesta dari A = {3, 4, 5, 6, 7}. Penyelesaian: Semesta untuk himpunan A sangat banyak. Untuk contoh dapat diambil beberapa himpunan. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} S = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} S = himpunan bilangan asli kurang dari 12 S = himpunan bilangan cacah kurang dari 15

14 M e n g e n a l H i m p u n a n Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga Himpunan Berhingga Himpunan A berhingga apabila A memiliki anggota himpunan tertentu atau n(a) = a, a bilangan cacah. Dengan perkataan lain, himpunan berhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya dapat dinyatakan dengan suatu bilangan cacah. Contoh 6: a. A = karena n(a) = 0, 0 bilangan cacah. b. B = n(b) = 75, 75 bilangan cacah. c. C = n(c) = 7, 7 bilangan cacah. Himpunan Tak Berhingga Himpunan A disebut himpunan tak berhingga apabila tidak memenuhi syarat himpunan berhingga. Himpunan A apabila anggota-anggotanya sedang dihitung, maka proses perhitunganya tidak akan berakhir. Dengan perkataan lain himpunan A, n banyak anggotanya tidak dapat ditentukan/ditulis dengan bilangan cacah. Contoh 7: Q= Apabila kita menghitung anggota himpunan Q, maka proses perhitungan anggota Q tidak akan

15 M e n g e n a l H i m p u n a n 15 berakhir. Jadi Q adalah himpunan tak berhingga dan n(q) = ~. D. Operasi Terhadap Himpunan a. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh 14. (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka A B =. Artinya: A // B b. Gabungan (union) Notasi : A B = { x x A atau x B }

16 M e n g e n a l H i m p u n a n 16 Contoh 15. (i) Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka A B = { 2, 5, 7, 8, 22 } (ii) A = A c. Komplemen (complement) Notasi : A = { x x U, x A } Contoh 16. Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 9 }, (i) jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 6, 8} (ii) jika A = { x x/2 P, x < 9 }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

17 M e n g e n a l H i m p u n a n 17 Contoh 17. Misalkan: A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri B = himpunan semua mobil impor C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990 D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu (i) mobil mahasiswa di universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri (E A) (E B) atau E (A B) (ii) semua mobil produksi dalam negeri yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta A C D (iii) semua mobil impor buatan setelah tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta C D B

18 M e n g e n a l H i m p u n a n 18 d. Selisih (difference) Notasi : A B = { x x A dan x B } = A B Contoh 18. (i) Jika A = { 1, 2, 3,..., 10 } dan B = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B A = (ii) {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {5}, tetapi {1, 2, 3} {1, 3, 5} = {2} E. Hukum-hukum Himpunan 1. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A 2. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

19 M e n g e n a l H i m p u n a n Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) F. Aplikasi Himpunan Dalam Kehidupan Seharihari Konsep irisan himpunan sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan beberapa contoh dibawah ini. Misalnya: seorang guru menanyakan kepada siswanya siapa yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola. Ada 30 orang yang mengangkat tangan. Untuk ekstrakurikuler basket ternyata ada 20 orang. Guru tersebut terkejut karena di dalam kelas hanya ada 40 orang, sedangkan menurut hitungannya ada 50 orang yang ada di dalam kelas, di manakah letak kesalahannya? Ternyata di dalam kelas itu ada murid yang mengangkat tangan dua kali karena mereka mengikuti dua ekstrakurikuler, yaitu basket dan sepak bola. Selain konsep irisan, konsep gabungan juga banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Agar kalian lebih paham perhatikan contoh soal berikut ini. Contoh Soal: 1. Di dalam suatu kelas ada 40 siswa. 25 siswa suka matematika, 20 siswa suka fisika, dan ada 15 siswa suka keduanya.

20 M e n g e n a l H i m p u n a n 20 a. Buatlah diagram Venn-nya. b. Tentukanlah banyak siswa yang tidak suka keduanya. Penyelesaian: a. Misalkan: A = siswa yang suka matematika B = siswa yang suka fisika b. Banyak siswa yang tidak suka keduanya adalah = Di dalam kelompok ada 40 orang. 30 orang suka warna merah, 20 orang suka warna biru, dan ada 5 orang yang tidak suka keduanya. Dengan menggunakan diagram Venn, tentukanlah jumlah orang yang suka kedua-keduanya. Penyelesaian: M = orang yang suka warna merah N = orang yang suka warna biru

21 M e n g e n a l H i m p u n a n 21 Misalnya: X = banyak orang suka keduanya 40 5 = 30 X + X + 20 X 35 = 50 X X = 15 Jadi, banyak orang yang suka keduanya = 15 orang. 3. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak, terdapat 32 anak gemar voli, 40 anak gemar sepak bola, dan 25 anak gemar kedua kegiatan tersebut. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan berapa anak yang tidak gemar kedua kegiatan tersebut?

22 M e n g e n a l H i m p u n a n 22 Jawab : 4. Dalam sebuah kelas terdapat 40 anak, ternyata 25 anak gemar minum susu, 35 anak gemar minum teh, dan yang gemar kedua minuman tersebut sebanyak x anak. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas dan berapa anak yang gemar kedua minuman tersebut?

23 Jawab: M e n g e n a l H i m p u n a n 23

24 M e n g e n a l H i m p u n a n 24 G. Soal Latihan!! 1. Dari sekelompok anak terdapat 15 anak gemar bulu tangkis, 20 anak gemar tenis meja, dan 12 anak gemar keduanya. Jumlah anak dalam kelompok tersebut adalah A. 17 orang B. 23 orang C. 35 orang D. 47 orang 2. Dalam suatu kelas terdapat 47 siswa, setelah dicatat terdapat 38 anak senang berolahraga, 36 anak senang membaca, dan 5 orang anak tidak senang berolahraga maupun membaca. Banyak anak yang senang berolahraga dan senang membaca adalah A. 28 anak B. 32 anak C. 36 anak D. 38 anak 3. Diketahui himpunan pasangan berurutan : (1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } (2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) } (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) } (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) } Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan/fungsi adalah... A. (1) dan (2)

25 M e n g e n a l H i m p u n a n 25 B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4) 4. Dari suatu kelas terdapat 25 siswa suka membaca dan 30 siswa suka mengarang. Jika12 orang siswa suka membaca dan mengarang, banyak siswa dalam kelas tersebut adalah... A. 67 orang C. 43 orang B. 55 orang D. 37 orang 5. Diketahui : P = { 6 bilangan ganjil yang pertama } ` Q = { 5 bilangan prima yang pertama} P-Q =.. A. {1,9} C. {1,2,11} B. {1,9,11} D. {1,2,9,11} 6. Banyaknya himpunan bagian dari A = { bilangan prima kurang dari 15} adalah A. 32 C. 18 B. 4 D Jika A = {0,1} maka n(a) =... A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

26 M e n g e n a l H i m p u n a n Jika K = {a,b,c} dan R = {1,2,3,4} maka n(r) - n(k) + 2 =... A. 2 C. 3 B. 5 D Diberikan {15,4,7,6,2} {2,4,6,8} = {4,x,6}, maka x adalah A. 6 B. 4 C. 8 D Diketahui K = {a,b,c,d,e} dan L = {b,d,p}, maka K L adalah... A. {a,b,c} B. {a,d,p} C. {a,c,d} D. {a,c,e}

27 M e n g e n a l H i m p u n a n 27 Kunci Jawaban Latihan 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. D 7. C 8. C 9. D 10. D

28 M e n g e n a l H i m p u n a n 28 DAFTAR PUSTAKA

29 M e n g e n a l H i m p u n a n 29 Petunjuk Penggunaan Quis Maker 1. Buka folder yang bernama... lalu akan muncul tampilan seperti berikut 2. Masukan Pasword yang kami beri yaitu: rimaade kemudian klik oke

30 M e n g e n a l H i m p u n a n Selanjutnya akan muncul gambar kemudian klik star untuk mulai 4. Kemudian akan muncul soal latihan seperti berikut

31 M e n g e n a l H i m p u n a n 31 jawab soal-soal tersebut kemudian klik icon submit untuk mengetahui jawaban anda benar atau salah 5. Setelah anda menyelesaikan semua soal anda akan mengetahui anda lulus atau gagal dalam tes tersebut karena dengan sendirinya akan muncul halaman yang memuat hasil skor yang anda peroleh seperti berikut

32 M e n g e n a l H i m p u n a n 32 kemudian klik finish 6. Sekian petunjuk penggunaan Quis Maker yang dapat kami sampaikan dan selamat mencoba teman-teman

33 M e n g e n a l H i m p u n a n 33 Tentang Penyusun Halo guys,,, saya RIMA AMALIA saya yang bertugas menyusun buku ini, tidak terdapat banyak kesulitan dalam penyusunan buku ini saya mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan buku ini. Semoga buku MENGENAL HIMPUNAN yang kami susun dapat membantu belajar kalian guys. Thank You Saya ADE ISTIANA sebagai penyusun Quis makker di dalam menyusun quis makker saya tidak terlalu mengalami kendala, tetapi sesuatu hal itu pasti ada kekurangannya, jika di dalam quis makker terdapat kekurangan saya minta maaf dan mohon kritik yang membangun, terimakasih untuk semua teman-teman yang telah memberikan semangat dan bantuannya. Mohon maaf atas kekurangan buku dan Quis makker yang kami susun semoga dapat bermanfaat untuk kalian semua..