APLIKASI TEORI RESIDU DALAM PERHITUNGAN SUATU INTEGRAL. Oleh: Dian Devita Yohanie Dosen Jurusan Pend. Matematika FKIP UNP Kediri

Transkripsi

1 APLIKASI TEOI ESIDU DALAM PEHITUNGAN SUATU INTEGAL Olh: D Dvt Yh Ds Jurus Pd. Mtmt FKIP UNP Kdr Abstr Fugs mpls mrup sub p bhs yg sgt ptg dlm mtmt trp. Tr rsdu mrup slh stu mtr mtmt dr fugs mpls. Dlm hl tr rsdu dpls utu mghtug sutu tgrl, hususy tgrl t wjr d tgrl fugs trgmtr. Utu tgrl t wjr, d fx) fugs tu x vrbl rl, m lm f x dx f x dx. Pd tgrl fugs trgmtr dtuls Q s θ, s θ) dθ Adpu tr rsdu yg dmsud dlh dd bhw f) lt pd d d dlm lts trtutup sdrh C yg brrts pstf ul pd brhgg byy tt,,..., yg msg-msg mrup sgulrts trsg f m f d π s[f, ] s [f, ]) d d f) mmpuy utub tgt d pd tt m s[f, ] lm [-! ) f)]. d Lgh pyls sl-sl tgrl t wjr d tgrl fugs trgmtr dg tr rsdu, dlh sbg brut. Dr btu umum f xdx dubh mjd f. Dr hsl d ts dprlh l,,..., yg mud dr l rsduy d tt,,..., yg brd d dlm C. 3. Stlh l rsdu dtmu, m dg mggu trm rsdu dprlh l tgrly. d 4. Substtus btu d dlm btu umum tgrl fugs trgmtr. D lgh sljuty sm dg lgh ) d 3) smp dtmu l tgrl fugs trgmtr. Kt u: tr rsdu, tgrl PENDAHULUAN Ltr Blg Mslh Als Vrbl Kmpls tu hususy Fugs Kmpls mrup sub p bhs dlm mtmt yg mml sp yg sgt ptg dlm mtmt trp. Ksp dpt trlht pd tr sdu yg mrup bg sgt ptg 5

2 D Dvt Yh dlm Fugs Kmpls d mrup lt yg by dgu dlm trp ss. Msly dgu utu pyls tgrl, stbl sstm lr d utu mgvlus pmt pd ss phtgrf. Pd prhtug sutu tgrl, tr sdu mrup sp yg sgt ptg. Hl dmsud r btu tgrl yg dsj dlm puls td dpt dsls dg t tgrl bs, shgg prlu ltrtf l utu mtu l tgrly ytu dg tr sdu. umus Mslh Brdsr ltr blg d ts m prmslh yg tmbul dlh Bgm pls tr rsdu dlm prhtug sutu tgrl? Bts Mslh Agr pmbhs dpt trrh, m prlu pmbts pd j mslh sbg brut:. Fugs yg dgu dlh fugs dlm pubh mpls.. Itgrl yg dsj dlh tgrl t wjr d tgrl fugs trgmtr 3. Nl tgrl dhtug dg mggu tr rsdu. Tuju Pmbhs Brdsr rumus mslh d ts, m dpt dmu tuju pmbhs dlh utu mgthu pls tr rsdu dlm prhtug sutu tgrl hususy tgrl t wjr d tgrl fugs trgmtr. Pgs Istlh. sdu f pd dtuls dlm btu - s[f, ]. Tr sdu J f) lt pd d d dlm lts trtutup sdrh C yg brrts pstf, ul pd brhgg tt,,..., yg msg-msg mrup sgulrts trsg f, m f d C πs[f, ] s[f, ])...Jh D. Plurs987 59) 3. Itgrl T Wjr J fx) fugs tu pd x vrbl rl m f x dx lm f x Srg Lg 99 9) 4. Itgrl Fugs Trgmtr Q s θ, s θ) dθ dx, dm fx) sutu fugs rsl Dm Q s θ, s θ) dlh fugs rsl dr s θ d s θ pd tgrl < θ < π... Srg Lg 99 97) EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

3 D Dvt Yh 7 PEMBAHASAN Pgrt sdu Stp fugs mpls f yg lt d tt dpt dsps dlm drt Lurt yg brbtu f) ) ) ) ) +... Dfs: Blg - yg mrup fs pd suu drt Lurt yg brbtu dm rsdu f pd dtuls dg - s[f, ] Cth: Ur drt fugs f) tr du tt sgulr d - d r l rsduy. Pyls: Utu ) dlm ulus < - < d f dsps dlm drt Tylr dstr - f ) ), f) f '' ) ) ) ) f ) ) Bg f) dlh ' f ) ) ), f ) - ''' 4, f )! f ) 3) ), f ) -3, f ) ) -), jd drt Lurt ) f ) f ") f ) f ')...! Kmud dg mggu ss substtus, dprlh ) ) ) ), dm ) dgd dg drt < ) ) ), yg vrg dlm lgr EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

4 D Dvt Yh 8 EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu Sljuty, utu f) dsps dlm drt Tylr f) ) -,f ) f ) -) ) -, f ) - f ) -)-) ) -3, f )! f ) -) ) -4, f ) -3 f ) ) -)! ) - + ), f ) ) -)! Shgg dlm pgt - ), dg pust mjd ) ), Kr bsr dpt dsubttus utu dlm smbrg drt yg vrg utu - <, m dprlh, ) ) ) ) ) Jd drt Lurt bg f) dlh... ) ) 3 Bruty dg mggd drt dg yg mrup drt Lurt dlm - ), dprlh ) ) ) ) ) Pd tt dlur dr drh vrgsy shgg mjd. M, ) 8 4 )... ) ) ) 4 f... Jd l yg mmuh - dlh. sdu pd d - s, s, f f B. Hubug tr sdu dg Pl J mrup Pl brtgt, m ddpt hubug:

5 D Dvt Yh 9 ) d lm ) f ) ) )! d But:Murut Hptss, f mmpuy utub tgt pd m,, dm f )) Dg mgl du rus dg ), dprlh ) f ) ) )... )... Yg mrup drt Tylr, jd dpt dtgrl suu dm suu d stlh - ) dmbl turuy. Kt mmpuy, ) ) d d ) ) )! ) f ) ) d d Stp suu pd drt trhr mmpuy ftr - ). Olh r tu, j m sluruh drt mjd hlg. Jd ) d lm ) d )) )! f M trbut hubug tr sdu dg Pl, ytu ) d f ) ) )! lm ) d Yg mrup rumus sdrh utu. Pl brtgt. Sr lbh sdrh utu Pl sdrh), blm f ) s f, lm d tu )) f d Cth: J lm ) ) ) m d - yg mrup Pl brtgt d Pl brtgt. Dg mggu rumus d ts - ) utu, m, sdu d dlh lm) ) ) 4 d lm d sdu d dlh )! ) ) 4 EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

6 D Dvt Yh C. Trm sdu Trm. J f) lt pd d d dlm lts trtutup sdrh C yg brrts pstf, ul pd brhgg byy tt,,..., yg msgmsg mrup sgulrts trsg f. M, f ) s[ f, ]... s[ f, ]) But: Kr stp Z mrup sgulrts trsg f d dlm C, m utu mmu lgr C,,, 3,..., sdm hgg msg-msg trlt d dlm C, lgr-lgr tu brpust pd Z yg brsgut. M, utu stp C yg brrts pstf t mmpuy f ) d s[ f, ] Shgg dprlh f ) d f ) d s[ f, f ) d... ] s[ f, f ) d ]... s[ f, Trm. J f) mmpuy utub tgt pd tt m, ) s [, ] [))] ) )! lm d f f d Utu brturut-turut,, d 3 rumus d ts mjd s[ f, ] lm[))] f, d s[ f, ] lm [))] f d 3 s[ f, ] [))] f Cth: Htuglh lm f ) ) ) f ) d j Dm C lgr yg brpust pd d brjr-jr Msl f) ) ) m d - mrup Pl brtgt d Pl brtgt.dg mggu rumus sdu utu m, sdu d dlh: lm ) ) ) 4 rsdu d - dlh: d 3 lm! d ) ) 4 M murut trm s 3 f ) d f ) d f ) d s[ f, ] s[ f, ] 4 4 ]) EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

7 D Dvt Yh Gmbr D. Apls sdu. Prhtug Itgrl T Wjr J fx) fugs tu pd x vrbl rl m, f x) dx lm Pdg tgrl f x) dx f ) d, dm fx) sutu fugs rsl. spjg lts trtutup C yg trdr dr grs spjg sumbu rl x dr d stgh lgr bg ts S. Gmbr J t dpt tuju f, m sdu t prlh, lm s f x) dx sdu pd f dlm stgh lgr bg ts. Trm j M f ) utu f ) d lm utu stgh lgr S dlh, lm s dm > d M stt, m But. f ) d, dm S dlh stgh lgr brjr-jr s yg dtuju pd gmbr M murut sft tgrl yg muju, f ) d ML Dm ) M, f ytu M dlh sutu bts ts dr f ) dlh pjgy C, t mmpuy, M M f ). Kr pjg busur L π m, S lm S f ) d, shgg f ) d lm pd C, d L Brut dbr th sbg pls dr tr sdu dlm prhtug tgrl t wjr. EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

8 D Dvt Yh. Htuglh dx x Pdg d dm C lts trtutup yg trdr dr grs d stgh lgr S yg djl dlm rh pstf brlw rh putr jrum jm). Utu mtu l Z dgu r blg mpls shgg - {s π + π) + s π + π)},, +, +,... Msl r s θ + s θ). M murut Trm D Mvr, r s θ + s θ) {sπ + π) + s π + π)} d jug r, θ π + π, shgg r, θ, r tu s s J m s s m m 3 3 m 4 4 m 5 5 m 3 s s 5 5 s s 7 7 s s 9 9 s s s s Gmbr 3 Lt l dtuju dlm gmbr bdg mpls d ts d r-ry dsj sbg tt-tt sutu sg by brtur dg llg lgr yg brpust d tt O d brjr-jr. EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

9 D Dvt Yh 3 Kr + blm, sdrh dr. Hy Pl 3,, 3 5,, d 7, 5 9,, m dlh pl yg trlt d dlm C, r lts trtutup C trdr dr sumbu rl x dr d stgh lgr bg ts S. M dg mggu tur L Hsptl, - lm sdu d sdu d sdu d Jd Ytu )f) rsdu f) d dlh. 5 lm lm lm3 lm lm5 lm π dx d x S 3 d + Kt mbl lmt du rus trsbut utu, d M < f lm S J f) f) f d M.π shgg lm utu r pjg busur L π m S f d brlu f) M, > m utu > shgg M, d tsm + - dg Kr d, m t mmprlh lm dx x dx x m dx x. Prhtug Itgrl Fugs Trgmtr dx x 3 5 dx 5 x 3 EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

10 D Dvt Yh 4 Tr rsdu dpt dpls btu tgrl θ, s θ) dlh fugs rsl dr s θ d s θ, ytu s θ d d s θ tu dθ d. Shgg f) Q Q, s θ, s θ) dθ, dm Qs r dm dlh pybut d fugs f dlh fugs rsl pd. Trm 3. J Qx, y) fugs rsl yg tu pd x + y d f) Q,, m Q dlm lgr stu. But: J C lgr stu, m C f d π rsdu pd f dlm lgr stu. D dfs tgrl rus r prsmy, f θ ) θ dθ Q s θ, s θ) dθ Itgrl yg dbr str dg dg pust tt sl. Cth:. Htuglh Msl d 3 s s, m s θ. d dθ shgg f d, s θ d 3 s s m s θ, s θ) dθ π rsdu pd f dm C dlh lgr stu d 3 EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

11 D Dvt Yh 5 d C ) d tt sl pl dr dm C dlh lgr stu yg brpust dlh pl sdrh, d utu myls prsm ) + dgu rumus b b 4 m, b, - shgg 4 tu 5 hy 5 4 yg trlt d dlm C, r trlt d lur lgr stu Gmbr 5 m dg tur L Hsptl, - lm sdu d 5 )f), rsdu f) d dlh lm 5 lm 5 d Jd π π 5 PENUTUP Ksmpul Pd pls tr rsdu dlm prhtug sutu tgrl, hususy tgrl t wjr d tgrl fugs trgmtr, brup pyls sl-sl yg brt EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu

12 D Dvt Yh dg tgrl trsbut, dm pylsy dlu dg r sbg brut:. Utu prhtug tgrl t wjr. Dr btu umum f xdx dubh mjd C f d b. Dr hsl d ts dprlh l,,..., yg mud dr l rsduy d tt,,..., yg brbd d dlm C.. Stlh l rsdu dtmu, m dg mggu trm rsdu dprlh l tgrl yg dmsud.. Utu prbdg tgrl fugs trgmtr. Btu tgrl Q s,s dr s θ d s θ, dm, d s θ dθ dm Qs θ, s θ) mrup fugs rsl m utu d s θ mrup btu umum tgrl fugs trgmtr, yg str dg C f d dm C dlh lgr stu dg pust tt sl. Kmud lgh strusy sm dg tgrl t wjr smp dtmu l tgrl yg dmsud ytu l tgrl fugs trgmtr. DAFTA PUSTAKA Churhll, ul V. & Brw Jms Wrd Cmplx Vrbls d Applts. Amr: M Grw Hll B Cmpy. Lg Srg Cmplx Alyss. Nw Yr: Sgr Bs. O Nl, Ptr V. & Mu, S.G Advd Egrg Mthmts. Ch: Ctrl B Cmpy. Plurs, Jh D. & Wbs Guw Pubh Kmpl utu Ilmuw d Isyur. Surby: Erlgg. Prstly, H.A. & Suryt Pgtr Alss Kmpls. Bdug: ITB. Spgl, M.. & Mrt K. 99. Tr d Sl-sl Pubh Kmpls. Bdug: PT. Glr Asr Prtm. EFEKTO N.7, OKTOBE, Thu