Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs. Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika"

Transkripsi

1 Discrete Mathematics & Its Applications Chapter 10 : Graphs Fahrul Usman Institut Teknologi Bandung Pengajaran Matematika 16/12/2015

2 2 Sub Topik A. Graf dan Model Graf B. Terminologi Dasar Graf dan Jenis Khusus Graf C. Representasi Graf dan Graf Isomorfik D. Keterhubungan

3 3 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, jembatan Konigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Ia memodelkan masalah ini ke dalam graf. Daratan (titik-titik yang dihubungkan oleh jembatan dinyatakan sebagai titik (noktah) yang disebut simpul (vertex) dan jembatan dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge).

4

5 Peta Sulawesi Sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Sulawesi. Peta tersebut adalah sebuah graf yang dalam hal ini kota dinyatakan sebagai bulatan sedangkan jalan dinyatakan sebagai garis. Dengan diberikannya peta tersebut, kita dapat mengetahui apakah ada lintasan jalan antara dua buah kota.

6 A. GRAF DAN MODEL GRAF 6 Secara matematis, graf didefinisikan sebagai berikut : Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E) yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. Simpul pada graf dapat dinomori dengan huruf, seperti a, b, c,..., v, w,... dengan bilangan asli 1, 2, 3,..., atau gabungan keduanya. Sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v dinyatakan dengan pasangan (u, v) atau dinyatakan dengan e 1, e 2, e 3,... Dengan kata lain, jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul u dengan simpul v, maka e dapat kita tuliskan, e = (u, v)

7 7 Contoh : Gambar di atas memperlihatkan tiga buah graf G 1, G 2, dan G 3. G 1 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4) G 2 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4), (3,4) sisi ganda adalah (1,3) dan (3,4) G 3 adalah graf dengan himpunan simpul V dan himpunan sisi E V = 1, 2, 3, 4 E = (1,2), (1,3), (1,3), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (3,4) gelang (loop) adalah (3,3) berawal dan berakhir pada simpul yang sama

8 Jenis-jenis Graf 8 Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf. Secara umum dapat digolongkan menjadi dua jenis : 1. Graf sederhana (simple graph) Graf yang tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. 2. Graf tak-sederhana (unsimple graph) Graf yang mengandung sisi ganda atau gelang. Ada dua macam graf tak sederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).

9 9 Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis yaitu : 1. Graf tak-berarah (undirected graph) Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Pada graf tak-berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (u, v) = (v, u) adalah sisi yang sama. 2. Graf berarah (directed graph) Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Pada graf berarah, (u, v) dan (v, u) menyatakan dua buah sisi yang berbeda dengan kata lain (u, v) (v, u).

10 10 Terminologi Graf Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan? Sisi gelang dibolehkan? Graf sederhana Tak-berarah Tidak Tidak Graf ganda Tak-berarah Ya Tidak Graf semu Tak-berarah Ya Ya Graf berarah Berarah Tidak Tidak Graf ganda berarah Berarah Ya Ya Graf campuran Berarah dan tak-berarah Ya Ya

11 Jaringan Sosial Contoh : Model Graf Acquaintanceship and Friendship Graphs Kita dapat menggunakan graf sederhana untuk mewakili apakah dua orang saling mengenal satu sama lain. Apakah mereka berkenalan atau berteman di sosial media. Setiap orang dalam kelompok tertentu diwakili oleh simpul dan sisi berarah untuk menghubungkan dua orang yang saling mengenal satu sama lain.

12 Contoh : Influence Graphs Dalam studi pengamatan perilaku suatu kelompok, orang-orang tertentu dapat mempengaruhi pemikiran orang lain. Setiap orang dari kelompok diwakili oleh simpul dan sisi berarah diwakili oleh pengaruh dari simpul. Graf ini tidak mengandung gelang (loop). Contoh, Deborah tidak dapat dipengaruhi, tapi dia bisa mempengaruhi Brian, Fred, dan Linda. Ivone dan Brian dapat mempengaruhi satu sama lain.

13 Jaringan Komunikasi Contoh : Call Graphs Secara khusus, graf-ganda berarah dapat digunakan untuk model panggilan, dimana setiap nomor telepon diwakili oleh simpul dan setiap panggilan telepon diwakili oleh sisi berarah. Sebagai contoh, pada gambar dibawah, 3 panggilan telah dibuat dari ke dan 2 arah lain, tetapi tidak ada panggilan telah dibuat dari ke salah satu 6 nomor lain kecuali

14 Turnamen Contoh : Round-Robin Tournaments Turnamen yang setiap tim bertanding dengan tim lainnya hanya sekali disebut turnamen round-robin. Turnamen semacam itu dimodelkan dengan graf berarah. Simpul menyatakan tiap tim yang bertanding. Sisi (a, b) berarti tim a berhasil mengalahkan tim b. (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) (2,3), (2,4) (4,3) (5,2), (5,3), (5,4), (5,6) (6,2), (6,3), (6,4) Syarat : tidak boleh ada yang seri Gambar tersebut memperlihatkan 6 buah tim. Tim 1 tidak terkalahkan, sedangkan tim 3 tidak pernah menang.

15 B. TERMINOLOGI DASAR GRAF DAN JENIS KHUSUS GRAF 15 Kita akan sering menggunakan istilah yang berkaitan dengan graf. Dibawah ini didefinisikan beberapa terminologi yang sering dipakai. Gambar dibawah ini akan digunakan untuk memperjelas terminologi yang kita definisikan. G 1 adalah graf sederhana, G 2 adalah graf semu, dan G 3 adalah graf dengan sebuah simpul yang terpisah dari simpul lainnya. Ketiga buah graf ini merupakan graf tidak berarah. G 1 G 2 G 3

16 16 1. Bertetangga (Adjacent) Definisi. Dua buah simpul u dan v pada graf tak-berarah G dikatakan bertetangga bila keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Dengan kata lain, u bertetangga dengan v jika (u, v) adalah sebuah sisi pada graf G. Contoh : Pada gambar dibawah, simpul 4 bertetangga dengan simpul 2 dan 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 1.

17 17 2. Bersisian (Incident) Definisi. Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v Contoh : Gambar di bawah ini, sisi (1, 3) bersisian dngan simpul 1 dan simpul 3, tetapi sisi (3, 4) tidak bersisian dengan simpul 2.

18 18 3. Simpul terpencil (Isolated Vertex) Definisi. Simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya atau dapat juga dinyatakan bahwa simpul terpencil adalah simpul yang tidak satupun bertetangga dengan simpulsimpul lainnya. Contoh : Simpul 5 adalah simpul terpencil

19 19 4. Graf Kosong (Null Graph atau Empty Graph) Definisi. Graf yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong disebut sebagai garaf kosong dan ditulis sebagai N n dalam hal ini n adalah julah simpul. Contoh :

20 Ada istilah yang digunakan untuk menggambarkan suatu himpunan pada simpul yang bertetangga pada suatu graf. Definisi. Himpunan semua tetangga pada suatu simpul v dari G = (V, E) dilambangkan dengan N(v). 5. Derajat (Degree) Definisi. Derajat suatu simpul pada graf tak berarah adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Sisi gelang (loop) dihitung berderajat dua. Derajat simpul v dilambangkan dengan deg (v).

21 Contoh 1 : Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah : deg (a) = 4 N (a) = b,d,e deg (b) = deg (e) = 6 N (b) = a,b,c,d,e deg (c) = 1 N (c) = b deg (d) = 5 N (d) = a,b,e N (e) = a,b,d Contoh 2 : Derajat simpul dan himpunan tetangga simpul dari gambar berikut adalah : deg (a) = 2 N (a) = b,f deg (b) = deg (c) = 4 N (b) = a,b,c,e,f deg (d) = 1 N (c) = b,d,e,f deg (e) = 3 N (d) = c deg (f) = 4 N (e) = b,c,f deg (g) = 0 N (f) = a,b,c,e N (d) =

22 Teorema 1 (Teorema Jabat Tangan) Biarkan G = (V, E) graf tak berarah dengan m jumlah sisi, maka Catatan : Berlaku jika memiliki sisi ganda dan gelang (loop) 2m selalu bernilai genap Teorema ini dikenal dengan (handshaking theorem). Setiap sisi dihitung dua kali, yaitu pada ujung kiri sebagai bagian dari simpul kiri dan pada ujung kanan dihitung sebagai bagian dari simpul kanan. Layaknya orang berjabat tangan maka jumlah tangan yang berjabatan adalah genap dan jumlah tangan yang berjabatan adalah dua kali jumlah jabatan tangan yang terjadi.

23 Contoh 1 : Jumlah derajat seluruh simpul pada graf dibawah ini adalah : deg(1) + deg(2) + deg(3) = = 2 jumlah sisi = 2 5 = 10 Contoh 2 : Berapa banyak sisi yang ada di graf dengan 10 simpul masingmasing 6 derajat? Solusi 60= 2m m = 30

24 Teorema 2 Graf tak berarah mempunyai jumlah simpul dari derajat ganjil, untuk sembarang graf G, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap. Bukti : Misalkan V 1 dan V 2 masing-masing adalah himpunan simpul yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada graf G = (V, E). Berdasarkan teorema sebelumnya dimana, dengan demikian, untuk v V 1 genap dan v V 2 ganjil.

25 Jika deg(v) genap untuk v V 1, maka suku pertama dari ruas kiri persamaan selalu bernilai genap. Ruas kanan juga bernilai genap. Nilai genap pada ruas kanan hanya benar bila suku kedua dari ruas kiri juga harus genap. genap + genap = genap Jika deg(v) ganjil untuk v V 2, maka banyaknya simpul v di dalam V 2 harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap. Jadi, banyaknya simpul yang berderajat ganjil selalu genap. ganjil + ganjil = genap Perhatikan graf pada gambar dibawah, banyak simpul yang berderajat ganjil ada dua buah, yakni simpul 3 dan simpul 4

26 Derajat simpul dibedakan menjadi dua macam untuk mencerminkan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul asal dan jumlah sisi dengan simpul tersebut sebagai simpul terminal. Definisi Pada graf berarah derajat simpul v dinotasikan dengan deg in (v) dan deg out (v). deg in (v) = jumlah busur yang masuk ke simpul v deg out (v) = jumlah busur yang keluar dari simpul v jadi, deg(v) = deg in (v) + deg out (v) Catatan : Sisi gelang pada graf berarah menyumbangkan 1 untuk derajat -masuk dan 1 untuk derajat-keluar

27 27 Contoh : Derajat setiap simpul adalah deg in (a) = 2 deg out (a) = 4 deg in (b) = 2 deg out (b) = 1 deg in (c) = 3 deg out (c) = 2 deg in (d) = 2 deg out (d) = 2 deg in (e) = 3 deg out (e) = 3 deg in (f) = 0 deg out (f) = 0

28 28 Teorema 3 Pada graf berarah G = (V, E) selalu berlaku hubungan Pada contoh sebelumnya cukup jelas bahwa jumlah deg in (v) = jumlah deg out (v)

29 Beberapa Graf Sederhana Graf Lengkap (Complete Graph) Graf sederhana terhubung yang setiap simpulnya mempunyai sisi ke semua simpul lainnya. Graf lengkap dengan n buah simpul dilambangkan dengan K n. Setiap simpul pada K n berderajat n 1

30 30 2. Graf Lingkaran (Cycles) Graf lingkaran berorde n, dilambangkan dengan C n, adalah graf yang titik-titiknya dapat dilabeli berturut-turut dengan v 1, v 2,..., v n-1, v n sehingga E(C n ) = {v 1 v 2, v 2 v 3,..., v n-1 v n, v n v 1 }.

31 31 3. Graf Teratur (Regular Graphs) Graf yang setiap simpulnya mempunyai derajat yang sama. Apabila derajat setiap simpul adalah r, maka graf tersebut disebut graf teratur berderajat r. Jumlah sisi pada graf teratur derajat r dengan n buah simpul adalah nr/2. n = 4, r = 3 n = 6, r = 3 n = 8, r = 3 (a) (b) (c)

32 Graf Bipartit 32 Definisi Graf G yang himpunan simpulnya dapat dikelompokkan menjadi dua himpunan bagian V 1 dan V 2, sedemikian sehingga setiap sisi di dalam G menghubungkan sebuah simpul di V 1 ke sebuah simpul di V 2 dan dinyatakan sebagai G(V 1, V 2 ). Dengan kata lain, setiap pasang simpul di V 1 dengan simpul di V 2 tidak bertetangga. Apabila setiap simpul di V 1 bertetangga dengan semua simpul di V 2, maka G(V 1, V 2 ) disebut graf bipartit lengkap, dilambangkan dengan K m,n. Jumlah sisi pada graf bipartit lengkap adalah mn.

33 33 Contoh : C 6 adalah bipartit, seperti yang ditunjukkan pada gambar 7. Himpunan simpulnya dikelompokkan menjadi dua yakni V 1 dan V 2. V 1 = {V 1,V 3,V 5 } dan V 2 = {V 2,V 4,V 6 }. Setiap sisi C 6 menghubungkan simpul di V 1 dan simpul di V 2.

34 Teorema 4 Sebuah graf sederhana dikatakan bipartit jika dan hanya jika ada kemungkinan untuk menetapkan satu dari dua warna yang berbeda untuk masing-masing simpul dari graf sehingga tidak ada dua simpul yang berdekatan mempunyai warna yang sama. Bukti : Misalkan G = (V, E) graf sederhana bipartit. V =V 1 V 2 dua himpunan yang berbeda. Setiap sisi dalam E menghubungkan simpul V 1 dan V 2, masing-masing simpul menggunakan warna yang berbeda. Biarkan V 1 himpunan simpul satu warna dan V 2 himpunan simpul dengan warna lain yang saling lepas. Selain itu, setiap sisi menghubungkan simpul di V 1 dan simpul di V 2, karena tidak ada dua simpul yang berdekatan maka G adalah bipartit.

35 35 Contoh : Graf G pada gambar 9 adalah graf bipartit lengkap K 2,3, K 3,3, K 3,5, K 2,6.

36 Teorema 5 Hall s Marriage Theorem Misalkan G adalah graf bipartit dengan V 1 dan V 2. Kemudian G mengandung pencocokan lengkap dari V 1 dan V 2 jika dan hanya jika T(S) S untuk setiap S subsets V 1. Bukti : Basis step : n = V 1, untuk n = 1 Inductive step : Misalkan n 2 berlaku untuk semua graf dengan V 1 < n. Pertimbangkan graf G dengan V 1 = n dan asumsikan Hall s Mariage terhadap 2 kasus : a) Misalkan T(S) > S untuk setiap S subset V 1. Biarkan xy berada disisi G dengan x V 1 dan y V 2. Dengan menghilangkan simpul x dan y di G dari G maka G memenuhi kondisi Hall s (jika S subset V 1 \ x maka T(S) T(S) - 1 S ) dan induksi G memiliki pencocokan lengkap dari V 1 \ x ke V 2 \ y. Dengan menambahkan sisi xy maka pencocokan lengkap. b) Jika kasus (a) not hold, maka T(S) = S untuk setiap S V 1. Graf bipartit oleh S T (S) memenuhi kondisi Hall s sehingga ada pencocokan lengkap dari S ke T (S). Perhatikan T = V 1 \ S dan U = V 2 \ T(S). Jika graf bipartit diinduksi oleh T U, maka memenuhi kondisi Hall s untuk setiap A subset T. Hal ini dapat kita buktikan dengan,

37 T(A) U = T(A S) (V 2 \ T(S) = T(A S) - (T(S) A S - S = A (karena T(A S) A S dan T(S) = S ) Dengan demikian, terdapat pencocokan lengkap dari T ke U.

38 Contoh : Job Assignments Misalkan m adalah karyawan dalam suatu kelompok dan n adalah pekerjaan yang dilakukan, dimana m n. Setiap karyawan dilatih untuk melakukan satu atau lebih pekerjaan. Kita ingin menetapkan seorang karyawan untuk setiap pekerjaan. Dalam hal ini, kita dapat menggunakan graf untuk memodelkan kemampuan karyawan. Setiap karyawan diwakili dengan simpul dan setiap pekerjaan diwakili juga dengan simpul. Masing-masing karyawan kita hubungkan dengan pekerjaan yang telah dilatih untuk melakukannya. Pertama, anggaplah bahwa kelompok ini memilik 4 karyawan yakni, Alvarez, Berkowitz, Chen, dan Davis. Ada 4 pekerjaan yang harus dilakukan yaitu, requirements, architecture, implementation, dan testing. Misalnya Alvarez telah dilatih untuk melakukan requirements dan testing, Berkowizt telah dilatih untuk melakukan architecture, implementation, dan testing, Chen dilatih requirements, architecture, dan implementation, dan Davis hanya dilatih untuk melakukan requirements. Seperti yang tertera pada gambar (a), model semacam ini menggunakan graf bipartit.

39 39 Contoh : Carilah gabungan graf G 1 dan G 2 yang ditunjukkan pada gambar 16. Solusi : Simpul G 1 G 2 merupakan gabungan dari dua himpunan simpul yaitu {a,b,c,d,e,f}. Sisi himpunan adalah gabungan dari dua sisi himpunan.

40 40 C. REPRESENTASI GRAF DAN GRAF ISOMORFIK Representasi Graf Cara lain untuk mewakili graf tanpa sisi ganda adalah dengan menggunakan daftar kedekatan yang menentukan simpul yang berdekatan dengan simpul lain dari graf.

41 41 1. Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix) Matriks ketetanggaan adalah representasi graf yang paling umum. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul, n 1. Matriks ketetanggaan G adalah matriks yang berukuran n n. a ij = 1 jika simpul i dan j bertetangga, sebaliknya a ij = 0 jika simpul i dan j tidak bertetangga.

42 42 Contoh : Memperlihatkan graf sederhana dengan matriks ketetanggaanna, masing-masing graf terhubung, graf tak-terhubung, dan graf berarah.

43 43 2. Matriks Bersisian (incidency matrix) Matriks bersisian menyatakan kebersisian simpul dengan sisi. Misalkan G = (V, E) adalah graf dengan n simpul dan m buah sisi. Matriks bersisian G adalah matriks yang berukuran n m. Baris menunjukkan label simpul, sedangkan kolom menunjukan label sisinya. a ij = 1 jika simpul i bersisian dengan sisi j, sebaliknya a ij = 0 jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j.

44 44 Contoh : Memperlihatkan matriks bersisian untuk graf yang direpresentasikan. Jumlah elemen matriks adalah 6 5 = 30

45 45 Graf Isomorfik Definisi Dua buah graf, G 1 dan G 2 dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-satu antara simpul-simpul keduanya dan antara sisi-sisi keduanya sedemikian sehingga jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di G 1, maka sisi e yang berkorespon di G 2 juga harus bersisian dengan simpul u dan v di G 2.

46 46 Tunjukkan graf G = (V, E) dan H = (W, F) adalah isomorfik. Perhatikan gambar G dan H dibawah ini.

47 47 Gambar (a) dan (b) merupakan isomorfik

48 48 D. KETERHUBUNGAN 1. Lintasan (Path) Definisi Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujuan v n di dalam graf G adalah barisan berselang-seling simpul-simpul dan sisisisi yang berbentuk v 0, e 1, v 1, e 2, v 2,..., v n-1, e n, v n sedemikian sehingga e 1 = (v 0, v 1 ), e 2 = (v 1, v 2 ),..., e n = (v n-1, v n ) adalah sisi-sisi dari graf G. Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan boleh berulang. Istilah dalam lintasan yaitu, lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali), lintasan tertutup (closed path) lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama, dan lintasan terbuka (open path) lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

49 49 Contoh : Lintasan 1, 2, 4, 3 merupakan lintasan sederhana dan lintasan terbuka. Lintasan 1, 2, 4, 3, 1 merupakan lintasan sederhana dan lintasan tertutup. Lintasan 1, 2, 4, 3, 2 bukan lintasan sederhana, tetapi lintasan terbuka

50 50 2. Siklus (cycle) atau Sirkuit (circuit) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama. Contoh : 1, 2, 3, 1 adalah sirkuit sederhana 1, 2, 4, 3, 2, 1 bukan sirkuit sederhana, sisi (1, 2) dilalui dua kali.

51 51 3. Terhubung (Connected) Definisi Graf tak berarah G disebut graf terhubung jika untuk setiap pasang simpul u dan v di dalam himpunan V terdapat lintasan dari u ke v. Jika tidak, maka G graf tak terhubung

52 52 Definisi Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak berarahnya terhubung (graf tak berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan arahnya). Keterhubungan dua buah simpul pada graf berarah dibedakan menjadi terhubung kuat dan terhubung lemah.

53 53 Definisi Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly connected graph) apabila untuk setiap pasang simpul sembarang u dan v Dua simpul u dan v pada graf berarah disebut terhubung kuat (strongly connected) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v. Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi tetap terhubung pada graf tak berarah, maka u dan v dikatakan terhubung lemah (weakly connected).

54 Contoh : 54 Pada gambar (a), simpul 1 dan simpul 3 terhubung kuat karena terdapat lintasan dari 1 ke 3 (yaitu 1, 2, 3), begitu juga terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 4, 5, 1). Pada gambar (b), simpul 1 dan simpul 3 terhubung lemah karena hanya terdapat lintasan dari 3 ke 1 (yaitu 3, 5, 4, 1), tetapi tidak ada lintasan dari 1 ke (a) 3 4 (b) 3

55 55 Jawaban Latihan Soal

56 56 1. Graf perkenalan yang menunjukkan bahwa Tom dan Patricia, Tom dan Hope, Tom dan Sandi, Tom dan Amy, Tom dan Marika, Jeff dan Patricia, Jeff dan Mary, Patricia dan Hope, my dan Hope, Amy dan Marika saling mengenal, tetapi tidak ada pasangan lain yang saling mengenal. Solusi :

57 57 2. Berapa banyak sisi yang ada pada graf dengan derajat barisan 4, 3, 3, 2, 2? Gambarkanlah grafnya! Solusi : Misalkan banyak sisi pada graf adalah m maka, = 2m 14 = 2m 7 = m jadi, banyak sisi pada graf tersebut adalah 7

58 58 3. Tunjukkan bahwa isomorfisma dari graf sederhana adalah relasi ekuivalen. Solusi : Misalkan G, H, dan K graf sederhana yang isomorfik. Refleksif, untuk semua graf sederhana, G G dengan f (V g ) = V g. Simetrik, jika G H maka H G. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H yang mempertahankan sisi bersisian dan sisi tak bersisian sehingga f -1 adalah fungsi korespondensi satu-satu dari H ke G yang juga mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Transitif, jika G H dan H K, maka G K. Artinya, terdapat fungsi korespondensi satu-satu f dari G ke H dan korespondensi satu-satu g dari H ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Akibatnya, g f juga memenuhi fungsi korespondensi satu-satu dari G ke K yang mempertahankan sisi bersisian dan tak bersisian. Dengan demikian, isomorfisma graf sederhana merupakan relasi ekuivalen.

59 59 4. Tunjukkan bahwa setiap graf terhubung dengan n titik mempunyai paling sedikit n -1 sisi Solusi :

60 60 #Man Jadda Wa Jada

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP

Graf. Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Graf Program Studi Teknik Informatika FTI-ITP Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan

Lebih terperinci

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5

Graf. Matematika Diskrit. Materi ke-5 Graf Materi ke-5 Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya

Lebih terperinci

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016

TEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf

Lebih terperinci

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.

PENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog:    1. MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas

Lebih terperinci

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

G r a f. Pendahuluan. Oleh: Panca Mudjirahardjo. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. G r a f Oleh: Panca Mudjirahardjo Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. 1 Pendahuluan Jaringan jalan raya di propinsi Jawa Tengah

Lebih terperinci

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER

LATIHAN ALGORITMA-INTEGER LATIHAN ALGORITMA-INTEGER Nyatakan PBB(295,70) = 5 sebagai kombinasi lanjar 295 dan 70 Tentukan inversi dari 27(mod 7) Tentukan solusi kekongruenan lanjar dari 27.x kongruen 1(mod 7) dengan cara 1 ( cara

Lebih terperinci

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Demak Semarang. Kend al. Salatiga.

Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Demak Semarang. Kend al. Salatiga. GRAF PENDAHULUAN Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan

Lebih terperinci

Kode MK/ Matematika Diskrit

Kode MK/ Matematika Diskrit Kode MK/ Matematika Diskrit TEORI GRAF 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan, Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 TEORI GRAF Tujuan Mahasiswa memahami konsep

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf

Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Penggunaan Algoritma Dijkstra dalam Penentuan Lintasan Terpendek Graf Rahadian Dimas Prayudha - 13509009 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang anggotanya

Lebih terperinci

LOGIKA DAN ALGORITMA

LOGIKA DAN ALGORITMA LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg

Lebih terperinci

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )}

GRAF. V3 e5. V = {v 1, v 2, v 3, v 4 } E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } E = {(v 1,v 2 ), (v 1,v 2 ), (v 1,v 3 ), (v 2,v 3 ), (v 3,v 3 )} GRAF Graf G(V,E) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan berhingga dan tidak kosong dari simpul-simpul (verteks atau node). Dan E adalah himpunan berhingga dari busur (vertices

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 15 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Graf Sebuah graf G adalah pasangan (V,E) dengan V adalah himpunan yang tak kosong yang anggotanya disebut vertex, dan E adalah himpunan yang

Lebih terperinci

Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus

Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus Analogi Pembunuhan Berantai Sebagai Graf Dalam Investigasi Kasus Elmo Dery Alfared NIM: 00 Program Studi Teknik Informatika ITB, Institut Teknologi Bandung email: if0 @students.itb.ac.id Abstract Makalah

Lebih terperinci

TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB

TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB TEORI GRAF DALAM MEREPRESENTASIKAN DESAIN WEB STEVIE GIOVANNI NIM : 13506054 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jln, Ganesha 10, Bandung

Lebih terperinci

Graph. Matematika Informatika 4. Onggo

Graph. Matematika Informatika 4. Onggo Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu

Lebih terperinci

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY

APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY APLIKASI PEWARNAAN SIMPUL GRAF UNTUK MENGATASI KONFLIK PENJADWALAN MATA KULIAH DI FMIPA UNY Latar belakang Masalah Pada setiap awal semester bagian pendidikan fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Universitas

Lebih terperinci

Graf dan Pengambilan Rencana Hidup

Graf dan Pengambilan Rencana Hidup Graf dan Pengambilan Rencana Hidup M. Albadr Lutan Nasution - 13508011 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung e-mail: albadr.ln@students.itb.ac.id

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan

BAB I PENDAHULUAN. dirasakan peranannya, terutama pada sektor sistem komunikasi dan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang. Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.

HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Lebih terperinci

PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN

PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN PEWARNAAN GRAF SEBAGAI METODE PENJADWALAN KEGIATAN PERKULIAHAN Eric Cahya Lesmana - 13508097 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI II LNSN TEORI Landasan teori dalam penyusunan tugas akhir ini menggunakan beberapa teori pendukung yang akan digunakan untuk menentukan lintasan terpendek pada jarak esa di Kecamatan Rengat arat. 2.1 Graf

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf 2.1.1 Definisi Graf Graf adalah pasangan himpunan (V, E), dan ditulis dengan notasi G = (V, E), V adalah himpunan tidak kosong dari verteks-verteks {v 1, v 2,, v n } yang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel

BAB 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Penugasan Sebagai Masalah Matching Bobot Maksimum Dalam Graf Bipartisi Lengkap Berlabel Teori Dasar Graf Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) di mana V adalah himpunan dari vertex

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi

Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi Aplikasi Pewarnaan Graf pada Penjadwalan Pertandingan Olahraga Sistem Setengah Kompetisi Ryan Yonata (13513074) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

Kendal. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga. Boyolali. Magelang. Klaten. Purworejo. Gambar 6.1 Jaringan jalan raya di Provinsi Jawa Tengah

Kendal. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga. Boyolali. Magelang. Klaten. Purworejo. Gambar 6.1 Jaringan jalan raya di Provinsi Jawa Tengah Bab 8 Graf Jangan ikuti kemana jalan menuju, tetapi buatlah jalan sendiri dan tinggalkan jejak (Anonim) Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan

Lebih terperinci

Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf

Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Aplikasi Algoritma Dijkstra dalam Pencarian Lintasan Terpendek Graf Nur Fajriah Rachmah - 0609 Program Studi Teknik Informatika, Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jalan

Lebih terperinci

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013

Dasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 4 BAB II LANDASAN TEORI A. Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang

Lebih terperinci

Graf. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Graf. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Graf Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah

Lebih terperinci

Bab 2 LANDASAN TEORI

Bab 2 LANDASAN TEORI Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

Pencarian Lintasan Hamilton Terpendek untuk Taktik Safe Full Jungle Clear dalam Permainan League of Legends

Pencarian Lintasan Hamilton Terpendek untuk Taktik Safe Full Jungle Clear dalam Permainan League of Legends Pencarian Lintasan Hamilton Terpendek untuk Taktik Safe Full Jungle Clear dalam Permainan League of Legends Reinaldo Ignatius Wijaya 13515093 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio

Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Aplikasi Pewarnaan Graf untuk Sistem Penjadwalan On-Air Stasiun Radio Muhamad Irfan Maulana - 13515037 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Terminologi graf Tereminologi termasuk istilah yang berkaitan dengan graf. Di bawah ini akan dijelaskan beberapa definisi yang sering dipakai terminologi. 2.1.1 Graf Definisi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan

Lebih terperinci

47 Matematika Diskrit BAB IV TEORI GRAF

47 Matematika Diskrit BAB IV TEORI GRAF 47 BAB IV TEOI GAF Teori graf merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini. emakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu, antara lain : optimisasi jaringan, ekonomi,

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas

Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas Aplikasi Pewarnaan Graf Pada Pengaturan Warna Lampu Lalu Lintas Andreas Dwi Nugroho (13511051) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

Matematika Diskret (Graf I) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Matematika Diskret (Graf I) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Matematika Diskret (Graf I) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di bawah

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Graf Sebuah graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), dengan V adalah himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices) pada G. Sedangkan E adalah himpunan

Lebih terperinci

Representasi Graph Isomorfisme. sub-bab 8.3

Representasi Graph Isomorfisme. sub-bab 8.3 Representasi Graph Isomorfisme sub-bab 8.3 Representasi graph:. Adjacency list. Adjacency matrix 3. Incidence matrix Contoh: undirected graph Adjacency list : tiap vertex v :, 3, di-link dengan 3:,, 5

Lebih terperinci

Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2

Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2 Penggunaan Graf Semi-Hamilton untuk Memecahkan Puzzle The Hands of Time pada Permainan Final Fantasy XIII-2 Michael - 13514108 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut

Lebih terperinci

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Graph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Graph Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Pengantar Teori graph merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak penerapan. Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Menurut catatan sejarah, masalah jembatan KÖnigsberg adalah masalah yang pertama kali menggunakan graf (tahun 1736). Di kota KÖnigsberg (sebelah timur Negara bagian

Lebih terperinci

Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition

Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition Aplikasi Graf pada Hand Gestures Recognition Muthmainnah 13515059 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

Graf. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 1

Graf. Bahan Kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Rinaldi Munir/IF2120 Matematika Diskrit 1 Graf Bahan Kuliah IF22 Matematika Diskrit Rinaldi Munir/IF22 Matematika Diskrit Pendahuluan Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar di

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf

LANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex

Lebih terperinci

Penyelesaian Teka-Teki Sudoku dengan Didasarkan pada Teknik Pewarnaan Graf

Penyelesaian Teka-Teki Sudoku dengan Didasarkan pada Teknik Pewarnaan Graf Penyelesaian Teka-Teki Sudoku dengan Didasarkan pada Teknik Pewarnaan Graf William, 13515144 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI 6 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pengertian Algoritma Menurut (Suarga, 2012 : 1) algoritma: 1. Teknik penyusunan langkah-langkah penyelesaian masalah dalam bentuk kalimat dengan jumlah kata terbatas tetapi tersusun

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Graf G didefenisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G = (V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul

Lebih terperinci

Graph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga

Graph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan

BAB I PENDAHULUAN. himpunan bagian bilangan cacah yang disebut label. Pertama kali diperkenalkan 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pelabelan graf merupakan suatu topik dalam teori graf. Objek kajiannya berupa graf yang secara umum direpresentasikan oleh titik dan sisi serta himpunan bagian bilangan

Lebih terperinci

Aplikasi Shortest Path dengan Menggunakan Graf dalam Kehidupan Sehari-hari

Aplikasi Shortest Path dengan Menggunakan Graf dalam Kehidupan Sehari-hari Aplikasi Shortest Path dengan Menggunakan Graf dalam Kehidupan Sehari-hari Andika Mediputra NIM : 13509057 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

Aplikasi Teori Graf dalam Permainan Instant Insanity

Aplikasi Teori Graf dalam Permainan Instant Insanity Aplikasi Teori Graf dalam Permainan Instant Insanity Aurelia 13512099 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 39 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Teori Graf 2.1.1 Definisi Graf Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang paling banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari hari. Salah satu bentuk dari graf adalah

Lebih terperinci

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun

MA3051 Pengantar Teori Graf. Semester /2014 Pengajar: Hilda Assiyatun MA3051 Pengantar Teori Graf Semester 1 2013/2014 Pengajar: Hilda Assiyatun Bab 1: Graf dan subgraf Graf G : tripel terurut VG, E G, ψ G ) V G himpunan titik (vertex) E G himpunan sisi (edge) ψ G fungsi

Lebih terperinci

Permodelan Pohon Merentang Minimum Dengan Menggunakan Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal

Permodelan Pohon Merentang Minimum Dengan Menggunakan Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Permodelan Pohon Merentang Minimum Dengan Menggunakan Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Salman Muhammad Ibadurrahman NIM : 13506106 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesha

Lebih terperinci

Aplikasi Graf pada Fitur Friend Suggestion di Media Sosial

Aplikasi Graf pada Fitur Friend Suggestion di Media Sosial Aplikasi Graf pada Fitur Friend Suggestion di Media Sosial Octavianus Marcel Harjono - 13513056 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha

Lebih terperinci

Matematik tika Di Disk i r t it 2

Matematik tika Di Disk i r t it 2 Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat

Lebih terperinci

Teori Graf. Matema(ka Komputasi - Teori Graf. Agi Putra Kharisma, ST., MT.

Teori Graf. Matema(ka Komputasi - Teori Graf. Agi Putra Kharisma, ST., MT. Teori Graf The whole of mathema,cs consists in the organiza,on of a series of aids to the imagina,on in the process of reasoning. Alfred North Whitehead 1 Struktur Graf Simpul (vertex // verbces) Sisi

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)

Lebih terperinci

Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial

Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial Graf Sosial Aplikasi Graf dalam Pemetaan Sosial Muhammad Kamal Nadjieb - 13514054 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung

Lebih terperinci

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf

KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON Pada bab ini akan dijabarkan teori graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada bagian ini

Lebih terperinci

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf

Lebih terperinci

PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF

PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORITIS

BAB 2 LANDASAN TEORITIS xvi BAB 2 LANDASAN TEORITIS Dalam penulisan laporan tugas akhir ini, penulis akan memberikan beberapa pengertian yang berhubungan dengan judul penelitian yang penulis ajukan, karena tanpa pengertian yang

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. DASAR TEORI. Penggunaan Teori Graf banyak memberikan solusi untuk menyelesaikan permasalahan yang terjadi di dalam masyarakat.

I. PENDAHULUAN II. DASAR TEORI. Penggunaan Teori Graf banyak memberikan solusi untuk menyelesaikan permasalahan yang terjadi di dalam masyarakat. Aplikasi Pohon Merentang (Spanning Tree) Dalam Pengoptimalan Jaringan Listrik Aidil Syaputra (13510105) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:

BAB 2 LANDASAN TEORI. Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pembagian Ilmu Statistik Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu: 1. Statistik Parametrik Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk

Lebih terperinci

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang

BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF. Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang BAB III KONSEP DASAR TEORI GRAF Teori graf adalah salah satu cabang matematika yang terus berkembang dengan pesat. Teori ini sangat berguna untuk mengembangkan model-model terstruktur dalam berbagai keadaan.

Lebih terperinci

Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data

Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data Pemanfaatan Directed Acyclic Graph untuk Merepresentasikan Hubungan Antar Data dalam Basis Data Winson Waisakurnia (13512071) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut

Lebih terperinci

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf

BAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya

Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya 1 Aplikasi Pewarnaan Graf dalam Penyimpanan Senyawa Kimia Berbahaya Ario Yudo Husodo 13507017 Jurusan Teknik Informatika STEI-ITB, Bandung, email: if17017@students.if.itb.ac.id Abstrak Teori Graf merupakan

Lebih terperinci

Aplikasi Teori Graf dalam Manajemen Sistem Basis Data Tersebar

Aplikasi Teori Graf dalam Manajemen Sistem Basis Data Tersebar Aplikasi Teori Graf dalam Manajemen Sistem Basis Data Tersebar Arifin Luthfi Putranto (13508050) Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesha 10, Bandung E-Mail: xenoposeidon@yahoo.com

Lebih terperinci

Representasi Graf dalam Jejaring Sosial Facebook

Representasi Graf dalam Jejaring Sosial Facebook Representasi Graf dalam Jejaring Sosial Facebook Muhammad Harits Shalahuddin Adil Haqqi Elfahmi 13511046 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan

II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON. Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan V(G) menyatakan II. KONSEP DASAR GRAF DAN GRAF POHON 2.1 Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf yang akan digunakan dalam penelitian ini diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ( V(G), E(G)), dengan

Lebih terperinci

Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri

Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri Pengaplikasian Graf dalam Pendewasaan Diri Syafira Fitri Auliya 13510088 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

Aplikasi Graf dalam Pembuatan Game

Aplikasi Graf dalam Pembuatan Game Aplikasi Graf dalam Pembuatan Game Felicia Christie / 13512039 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V).

GRAF. Graph seperti dimaksud diatas, ditulis sebagai G(E,V). GRAF GRAF Suatu Graph mengandung 2 himpunan, yaitu : 1. Himpunan V yang elemennya disebut simpul (Vertex atau Point atau Node atau Titik) 2. Himpunan E yang merupakan pasangan tak urut dari simpul. Anggotanya

Lebih terperinci

Aplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi

Aplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi Aplikasi Pohon dan Graf dalam Kaderisasi Jonathan - 13512031 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dengan notasi G=(V,E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices

Lebih terperinci

BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari

BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF. Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari BAB II TEORI GRAF DAN PELABELAN GRAF Dalam bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dari teori graf, serta akan dijelaskan beberapa jenis pelabelan graf yang akan digunakan pada bab-bab

Lebih terperinci

Aplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal

Aplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal Aplikasi Pewarnaan Graph pada Pembuatan Jadwal Janice Laksana / 13510035 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

Pertemuan 12. Teori Graf

Pertemuan 12. Teori Graf Pertemuan 2 Teori Graf Derajat Definisi Misalkan adalah titik dalam suatu Graf G. Derajat titik (simbol d()) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Informasi Geografis (SIG) Sistem Informasi Geografis atau Geographic Information System (GIS) merupakan suatu sistem informasi yang berbasis komputer, dirancang untuk bekerja

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini

II. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep

Lebih terperinci

Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer

Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer Pemanfaatan Algoritma Sequential Search dalam Pewarnaan Graf untuk Alokasi Memori Komputer Vivi Lieyanda - 13509073 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3

PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(2, n), UNTUK n 3 PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF HALIN G(, n), UNTUK n 3 SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH : YUNIZAR BP. 914336 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS 13 DAFTAR

Lebih terperinci

7. PENGANTAR TEORI GRAF

7. PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. Sebuah garf G terdiri dari: 1. Sebuah himpunan V=V(G) yang memiliki elemen2 yg dinamakan verteks/titik/node. 2. Sebuah kumpulan E=E(G) merupakan

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2

PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR. Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 PELABELAN GRACEFUL SISI BERARAH PADA GRAF GABUNGAN GRAF SIKEL DAN GRAF STAR Putri Octafiani 1, R. Heri Soelistyo U 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan konsep dasar dalam teori graf dan pelabelan graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Definisi dan Istilah Dalam Teori Graf

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, istilah istilah yang berhubungan dengan materi yang akan dihasilkan pada penelitian ini. 2.1 Beberapa Definisi dan Istilah 1. Graf (

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori dari penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Beberapa konsep dasar

Lebih terperinci

Graph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga

Graph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang

Lebih terperinci