BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG

Transkripsi

1 BILANGAN KROMATIK GRAF HASIL AMALGAMASI DUA BUAH GRAF TERHUBUNG CHROMATIC NUMBER OF AMALGAMATION OF TWO CONNECTED GRAPHS Ridwan Ardiyansah ( ) Pembimbing: Dr. Darmaji, S.Si, MT. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2013

2 Abstrak Sebuah graf G(V, E) dikatakan sebagai graf dengan n-coloring jika G dapat diwarnai dengan n warna dan tidak terdapat simpul-simpul saling bertetangga yang memiliki warna sama. Lebih lanjut, bila n menunjukkan jumlah minimum warna yang digunakan sehingga G tetap dapat diwarnai dan tidak terdapat simpul bertetangga dengan warna yang sama, maka n diakatakan sebagai bilangan kromatik dari G yang dinotasikan dengan χ(g). Dalam tugas Akhir ini dilakukan analisis bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi dua buah graf terhubung. Operan yang digunakan dalam operasi amalgamasi ini berupa graf lengkap K m dengan graf siklus C n dan dua buah graf kincir W k m dengan W l n. Kata Kunci: amalgamasi, bilangan kromatik, graf kincir, graf lengkap, graf siklus, operasi graf.

3 Latar Belakang Masalah Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma.

4 Latar Belakang Masalah Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi.

5 Latar Belakang Masalah Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi. Penelitian untuk mendapatkan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi belum ditemukan.

6 Latar Belakang Masalah Pada tahun 2009, Alauddin melakukan penelitian mengenai bilangan kromatik dari graf prisma. Pada tahun 2010, Gross, dkk melakukan penelitian mengenai distribusi genus dari graf hasil amalgamasi. Penelitian untuk mendapatkan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi belum ditemukan. Analisis bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi dua buah graf terhubung.

7 Rumusan Masalah bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi K m 2 C n.

8 Rumusan Masalah bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi K m 2 C n. bagaimana menentukan bilangan kromatik dari graf hasil amalgamasi W k m 2 W l n.

9 Batasan Masalah Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap K m dan siklus C n.

10 Batasan Masalah Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap K m dan siklus C n. Untuk graf kedua adalah graf hasil amalgamasi antara dua buah graf kincir W k m dan W l n.

11 Batasan Masalah Untuk graf pertama adalah graf hasil amalgamasi antara graf lengkap K m dan siklus C n. Untuk graf kedua adalah graf hasil amalgamasi antara dua buah graf kincir W k m dan W l n. Simpul-simpul yang menjadi operan adalah dua simpul yang saling bertetangga.

12 Tujuan Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi K m 2 C n.

13 Tujuan Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi K m 2 C n. Mendapatkan bilangan kromatik graf hasil amalgamasi W k m 2 W l n.

14 Manfaat Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang teori graf,khususnya yang terkait dengan permasalahan pewarnaan graf.

15 Manfaat Sebagai bahan referensi pada penelitian selanjutnya di bidang teori graf,khususnya yang terkait dengan permasalahan pewarnaan graf. Sebagai tambahan ilmu dan referensi dari pembahasan permasalahan pewarnaan graf dan operasi dalam graf.

16 Pengertian Graf Definisi Sebuah graf G adalah himpunan berhingga tak kosong dari objek yang disebut simpul, bersama himpunan (yang mungkin kosong) pasangan tak terurut dari simpul yang berbeda pada G yang disebut sebagai sisi.himpunan simpul dari G dinotasikan dengan V (G), sedangkan himpunan sisi dinotasikan dengan E(G).

17 Pengertian Graf Definisi Banyaknya sisi yang melekat pada simpul disebut derajat simpul. Derajat dari simpul v V (G) dinotasikan deg(v). Definisi Derajat simpul tertinggi dalam graf G dinotasikan (G).

18 Pengertian Graf Definisi Jika terdapat dua buah graf G dan H, maka graf H dikatakan subgraf dari graf G, bila himpunan simpul dan sisi pada graf H merupakan himpunan bagian dari G. Hubungan antara graf G dan H ini dinotasikan dengan H G.

19 Pengertian Graf Definisi Jika S merupakan himpunan bagian dari V (G), maka S disebut sebagai independent-set, bila tidak ada pasangan simpul di S yang merupakan simpul-simpul yang saling bertetangga. Lebih lanjut, jumlah simpul terbanyak pada independent-set disebut sebagai independence number dan dinotasikan α(g).

20 Beberapa Jenis Graf Graf Lengkap Definisi Sebuah graf K dikatakan lengkap jika setiap simpul dalam K terhubung dengan setiap simpul selainnya dalam K.

21 Beberapa Jenis Graf Graf Siklus Definisi Graf siklus merupakan graf teratur yang masing-masing simpulnya berderajat 2.

22 Beberapa Jenis Graf Graf Kincir Definisi Graf kincir W k m adalah graf yang diperoleh dengan mengambil sebuah simpul pusat yang dihubungkan dengan setiap simpul pada k buah graf lengkap K m.

23 Amalgamasi Graf Definisi Amalgamasi simpul dari pasangan simpul graf (G, u) bersama (H, v) adalah graf yang diperoleh dengan menggabungkan simpul u dan v menjadi satu simpul

24 Pewarnaan Simpul Definisi Pewarnaan simpul dari sebuah graf G adalah pemberian warna pada setiap simpul di G sedemikian hingga tidak terdapat dua simpul bertetangga yang memiliki warna yang sama. Definisi Jika n adalah jumlah warna yang digunakan untuk memberi warna pada simpul di graf G maka pewarnaan tersebut disebut dengan n-coloring dari G. Lebih lanjut, bila n merupakan jumlah minimum sehingga G memiliki n-coloring maka n disebut sebagai bilangan kromatik dari graf G dan dinotasikan χ(g).

25 Pewarnaan Simpul

26 Pewarnaan Simpul

27 Pewarnaan Simpul Proposisi (2.1) Jika G adalah sebuah graf yang memiliki k simpul yang saling bertetangga maka χ(g) k. Proposisi (2.2) Jika G adalah sebarang graf dengan V (G) adalah order dari graf G dan α(g) adalah independence number, maka V (G) χ(g) α(g) Proposisi (2.3) Sebuah graf bipartite memiliki χ(g) = 2, kecuali jika G tidak memiliki sisi.

28 Pewarnaan Simpul Teorema (2.1) Jika H adalah subgraf dari graf G, maka berlaku χ(h) χ(g). Akibat (2.4) Sebuah graf siklus order genap memiliki χ(c 2 n) = 2, dengan n anggota bilangan asli. Proposisi (2.5) Sebuah graf siklus order ganjil memiliki χ(c 2 n + 1) = 3, dengan n anggota bilangan asli. Proposisi (2.6) Untuk sebuah graf lengkap berorder n, dengan n N, maka χ(k n ) = n.

29 Pewarnaan Simpul Algoritma Welch-Powell 1 Urutkan simpul v 1,v 2,...,v n pada graf G secara menurun berdasarkan derajat.

30 Pewarnaan Simpul Algoritma Welch-Powell 1 Urutkan simpul v 1,v 2,...,v n pada graf G secara menurun berdasarkan derajat. 2 Gunakan warna baru untuk mewarnai simpul pertama dalam barisan dan simpul yang tidak bertetangga dengan simpul tersebut.

31 Pewarnaan Simpul Algoritma Welch-Powell 1 Urutkan simpul v 1,v 2,...,v n pada graf G secara menurun berdasarkan derajat. 2 Gunakan warna baru untuk mewarnai simpul pertama dalam barisan dan simpul yang tidak bertetangga dengan simpul tersebut. 3 Hapus simpul yang telah diwarnai dari barisan dan urutkan kembali simpul-simpul pada graf G secara menurun berdasarkan derajat.

32 Pewarnaan Simpul Algoritma Welch-Powell 1 Urutkan simpul v 1,v 2,...,v n pada graf G secara menurun berdasarkan derajat. 2 Gunakan warna baru untuk mewarnai simpul pertama dalam barisan dan simpul yang tidak bertetangga dengan simpul tersebut. 3 Hapus simpul yang telah diwarnai dari barisan dan urutkan kembali simpul-simpul pada graf G secara menurun berdasarkan derajat. 4 Kembali ke langkah 2) hingga semua simpul telah diwarnai.

33 Metode Penelitian Studi literatur

34 Metode Penelitian Studi literatur Observasi

35 Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal

36 Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi

37 Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah

38 Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah Evaluasi

39 Metode Penelitian Studi literatur Observasi Dugaan Awal Konstruksi Penentuan Batas Bawah Evaluasi Penarikan kesimpulan

40 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi K m 2 C n χ(k 3 2 C 3 ) = 3 χ(k 3 2 C 4 ) = 3 χ(k 3 2 C 5 ) = 3 χ(k 3 2 C 6 ) = 3 χ(k 4 2 C 3 ) = 4 χ(k 4 2 C 4 ) = 4 χ(k 4 2 C 5 ) = 4 χ(k 4 2 C 6 ) = 4 χ(k 5 2 C 3 ) = 5 χ(k 5 2 C 4 ) = 5 χ(k 5 2 C 5 ) = 5 χ(k 5 2 C 6 ) = 5

41 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi K m 2 C n Teorema (4.1) Diberikan sebuah graf lengkap K m dan graf siklus C n dengan m, n 3. Jika K m 2 C n adalah graf hasil amalgamasi dua buah simpul terhubung dari K m dan C n, maka bilangan kromatik dari K m 2 C n adalah m. Figure: Graf K m 2 C n

42 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bukti : Misalkan graf G adalah graf hasil amalgamasi dua simpul dari graf K m dan C n, yaitu G = K m 2 C n. Misalkan order dari graf lengkap K m = m dan graf siklus C n = n. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi. Akan tetapi, karena pada graf G terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf siklus C n, maka terdapat dua perlakuan untuk mewarnai graf K m 2 C n. Perlakuan pertama adalah untuk C n genap dan kedua adalah untuk C n ganjil. Untuk perlakuan pertama yaitu untuk C n genap dilakukan konstruksi sebagai berikut.

43 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Figure: Pewarnaan graf K m 2 C n dengan C n genap Adapun untuk langkah kedua yaitu untuk C n ganjil dilakukan konstruksi sebagai berikut.

44 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Walaupun pada konstruksi di atas terdapat dua perlakuan, akan tetapi sebagaimana yang telah ditunjukkan pada dua Gambar sebelum ini, bahwa pada graf K m 2 C n terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap K m, sehingga graf K m 2 C n dapat diwarnai dengan n warna dan tidak terdapat dua simpul saling bertetangga yang memiliki warna sama. Dengan demikian diperoleh bahwa graf K m 2 C n merupakan graf dengan m-coloring yang artinya χ(k m 2 C n ) m atau dengan kata lain batas atas dari χ(k m 2 C n ) adalah m. Selanjutnya, karena telah diketahui bahwa pada graf K m 2 C n terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap K m sehingga dengan memanfaatkan Teorema 2.1 diperoleh χ(k m 2 C n ) χ(k m ). Sementara itu diperoleh dari Proposisi 2.6 bahwa χ(k m ) = m sehingga χ(k m 2 C n ) m. Dengan kata lain batas bawah dari χ(k m 2 C n ) adalah m. Karena batas atas dan batas bawah menunjukkan hasil yang sama maka χ(k m 2 C n ) = m.

45 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi W k m 2 W l n χ(w2 2 2 W2 2 ) = 3 χ(w2 2 2 W2 3 ) = 3 χ(w2 2 2 W2 4 ) = 3 χ(w2 2 2 W3 2 ) = 4 χ(w2 2 2 W3 3 ) = 4 χ(w2 2 2 W3 3 ) = 4 χ(w2 2 2 W3 4 ) = 4 χ(w2 2 2 W4 4 ) = 5 χ(w2 3 2 W2 3 ) = 3 χ(w2 3 2 W2 4 ) = 3 χ(w2 3 2 W3 2 ) = 4 χ(w2 3 2 W2 3 ) = 4 χ(w2 3 2 W3 3 ) = 4 χ(w2 3 2 W3 4 ) = 4

46 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi W k m 2 W l n χ(w2 3 2 W4 2 ) = 5 χ(w2 3 2 W4 3 ) = 5 χ(w2 3 2 W4 4 ) = 5 χ(w3 2 2 W2 4 ) = 4 χ(w3 2 2 W3 2 ) = 4 χ(w3 2 2 W3 3 ) = 4 χ(w3 2 2 W3 4 ) = 4 χ(w3 2 2 W4 2 ) = 5 χ(w3 2 2 W4 3 ) = 5 χ(w3 2 2 W4 4 ) = 5 χ(w3 3 2 W3 3 ) = 4 χ(w3 3 2 W3 4 ) = 4 χ(w3 3 2 W4 4 ) = 5 χ(w4 4 2 W4 4 ) = 5

47 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi W k m 2 W l n Teorema (4.2) Diberikan sebuah graf kincir W k m dengan k 2 dan m 3. Jika W k m 2 W l n adalah graf hasil amalgamasi dua buah simpul terhubung dari graf kincir W k m dan W l n yang berbeda, maka bilangan kromatik dari W k m 2 W l n adalah max{χ(w k m), χ(w l n)}.

48 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Kasus 1 : m > n Bukti : dalam menentukan bilangan kromatik W k m 2 W l n terdapat 3 kasus yang berlaku. Kasus 1 : m > n Misalkan m = n + k dengan k adalah bilangan bulat positif. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi sebagai berikut,

49 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Kasus 1 : m > n Berdasarkan konstruksi yang telah dilakukan, karena graf W k m 2 W l n dapat diwarnai dengan n + k + 1 atau m + 1 warna, maka graf W k m 2 W l n merupakan graf dengan m + 1-coloring yang berarti χ(w k m 2 W l n) m + 1. Dengan demikian batas atas dari χ(w k m 2 W l n) adalah m + 1. Selanjutnya, berdasarkan Gambar di atas diketahui bahwa pada graf W k m 2 W l n terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap K m+1 dan K n+1. Sehingga dengan menggunakan Teorema 2.1 diperoleh χ(w k m 2 W l n) χ(k m+1 ) atau χ(w k m 2 W l n) χ(k n+1 ). Sementara itu, dari Proposisi 2.6 diperoleh bahwa χ(k m+1 ) = m + 1 dan χ(k n+1 ) = n + 1. Karena m > n maka χ(k m 2 C n )χm + 1, ini artinya batas bawah dari χ(w k m 2 W l n) adalah m + 1. Karena batas atas dan batas bawah menunjukkan hasil yang sama, maka χ(w k m 2 W l n) = m + 1. Lebih lanjut, karena operasi amalgamasi bersifat komutatif,

50 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Kasus 2 : m = n Kasus 3 : m = n Misalkan m = n. Untuk menentukan batas atas dilakukakan konstruksi sebagai berikut,

51 Bilangan Kromatik Graf Hasil Amalgamasi Dua Buah Graf Terhubung Kasus 2 : m = n Berdasarkan konstruksi di atas, karena m = n maka diperoleh bahwa graf W k m 2 W l n adalah graf dengan n + 1-coloring, ini berarti χ(w k m 2 W l n) n + 1. Oleh karena itu batas atas dari χ(w k m 2 W l n) adalah n + 1. Selanjutnya, berdasarkan Gambar di atas diketahui bahwa pada graf W k m 2 W l n terdapat subgraf yang isomorfis dengan graf lengkap K m+1 dan K n+1. Sehingga dengan menggunakan Teorema 2.1 didapat χ(w k m 2 W l n) χ(k m+1 ) atau χ(w k m 2 W l n) χ(k n+1 ). Sementara itu, dari Proposisi 2.6 diperoleh bahwa χ(k m+1 ) = m + 1 dan χ(k n+1 ) = n + 1. Karena m = n maka χ(k m 2 C n ) n + 1. Dengan kata lain, batas bawah dari χ(w k m 2 W l n) adalah n + 1. Karena batas atas dan batas bawah menunjukkan hasil yang sama maka χ(w k m 2 W l n) = n + 1.

52 Kesimpulan 1 Bilangan kromatik graf hasil amalgamasi K m 2 C n adalah m, dengan m dan n merupakan anggota himpunan bilangan asli. 2 Bilangan kromatik graf hasil amalgamasi W k m 2 W l n adalah max{χ(w k m), χ(w l n)}, dengan k, l, m, dan n merupakan anggota himpunan bilangan asli.

53 Daftar Pustaka Alauddin. (2009). Bilangan Kromatik Pada Graf Prisma, Tesis, Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya. Gross, J.L, Imran, F.K, Mehvis, I.P (2010). Genus Distribution of Graph Amalgamations: Pasting at Root-Vertices. Ars Combinatoria Vol. 94, hal Chartrand, G dan L. Lesniak. (1996). Graphs and Digraphs, third edition. Chapman & Hall/CRC.

54 Bondy, J.A dan U.S.R Murty. (2008). Graph Theory. Springer. Gross, J. L dan Jay Yellen. (2006). Graph Theory and Its Applications, 2nd edition. Chapman & Hall/CRC. Vasudev, C. (2006). Graph Theory with Apllication. New Age International (P) Limited, Publisher.

55 Wilson, R.J. (1998). Introduction to Graph Theory, fourth edition. Longman. Capobianco, M dan John, C.M. (1978). Examples and Counterexamples in Graph Theory.North-Holland. As ad, N. (2008). Aplikasi Pewarnaan Graf pada Pemecahan Masalah Penyusunan Jadwal. Makalah Striktur Diskrit, Vol.1, No.38.

56