Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant Hamiltonian graf

Transkripsi

1 Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant graf Perti susanti, Wamiliana, dan Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung perti_s@yahoo.com Abstrak : graf merupakan salah satu jenis graf yang banyak diobservasi, dimana ian graf merupakan graf yang memuat sirkuit. Jika salah satu vertex atau edge di graf tersebut dibuang dan graf tersebut masih memuat sirkuit, maka graf tersebut adalah 1-fault-tolerant. Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang operator 3-join pada dua graf yang masingmasing graf adalah 1-edge-fault tolerant graf, teorema-teorema, bukti-bukti, serta contoh-contoh yang berkaitan dengan sifat operator tersebut. Kata Kunci : 1-fault-tolerant graphs, operator 3-join, sirkuit. PENDAHULUAN Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang masih menarik untuk dibahas karena teori-teorinya masih aplikatif sampai saat ini dan dapat diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Graf adalah graf yang mengandung sirkuit. Sirkuit adalah graf sirkuit yang setiap vertex tepat dilewati satu kali kecuali titik asal. Salah satu bagian dari graf adalah 1-fault-tolerant Graph. Pada penelitian ini akan didiskusikan tentang dua sifat operator 3-join yang merupakan salah satu bagian dari 1-fault-tolerant Graph tersebut. Seperti yang telah diketahui, Graph merupakan salah satu jenis graf dimana graf tersebut merupakan graf sirkuit yang berderajat genap dan setiap vertex pada Graph hanya dapat dilewati satu kali (kecuali vertex awal dan vertex akhir). 1- fault-tolerant Graph adalah graf yang jika salah satu edge atau vertex dihapus pada graf tersebut (G ) maka graf tersebut tetap, dengan f merupakan anggota dari edge atau vertex (f E V). LANDASAN TEORI Graf G = (V,E) terdiri dari V = {v 1,v 2, } yang disebut vertex (titik) yang tidak kosong, dan objek E = {e 1,e 2, } yang unsur unsurnya disebut edge (garis) yang boleh kosong, sehingga setiap edge e ij diidentifikasi dengan pasangan (v i,v j ) dari vertex [2]. Derajat (degree) adalah jumlah edge yang menempel pada sebuah vertex v i, dengan loop dihitung dua kali, dan ditulis dengan d(v i ) [2]. Walk adalah barisan berhingga dari titik (vertex) dan garis (edge), dimulai dan diakhiri dengan vertex, sedemikian sehingga setiap edge menempel dengan vertex sebelum dan sesudahnya. Tidak ada edge yang muncul lebih dari sekali dalam suatu walk [2]. Lintasan (path) adalah walk yang semua titik (vertex) nya berbeda [7]. Sirkuit adalah walk yang diawali dan diakhiri dengan vertex yang sama [2]. Graf yang setiap vertexnya mempunyai derajat yang sama disebut graf teratur atau regular. Apabila derajat setiap vertex adalah r, maka graf tersebut disebut sebagai graf teratur derajat r [5]. Semirata 2013 FMIPA Unila 423

2 Perti susanti dkk: Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant graf Graf kubik (Cubic Graphs) Graf kubik adalah suatu graf teratur dimana setiap vertexnya memiliki derajat 3 atau sering disebut graf teratur derajat 3 (3 regular graph) [1]. Neighbours Dalam teori graf, suatu vertex u dan v adalah neighbours, jika u,v G, dan vertex u dan v dihubungkan oleh edge yang sama [3]. 1-Fault Tolerant Graphs Suatu graf G=(V,E) adalah 1-edge fault tolerant jika G {e} adalah untuk setiap e E dan suatu graf G = (V,E) adalah 1-vertex fault tolerant jika G {v} adalah untuk setiap v V. Setiap graf 1-edge fault tolerant adalah. Suatu graf G = (V,E) adalah 1-fault tolerant jika G {f} adalah untuk setiap f E V [6]. Contoh. [4]. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan didiskusikan tentang sifat operator 3-join pada 1-fault-tolerant graph yang merupakan salah satu bagian dari graf. Sebelum mendiskusikan sifat operator 3- join, terlebih dahulu akan dijelaskan definisi dari operator 3-join sebagai berikut. Misal G 1 dan G 2 adalah 2 graf. Diasumsikan bahwa V(G1) V(G2) =. Misalkan x adalah vertex berderajat 3 pada G1 dan y adalah vertex berderajat 3 pada G2. Selebihnya, diasumsikan bahwa N(x) = dan N(y) =, N(x) merupakan semua neighbors dari x dan N(y) merupakan semua neighbors dari y. Operator 3-join dari G1 dan G2 pada x dan y menghasilkan graf K yang disajikan sebagai berikut. V(K) = (V( ) E(K) = (E (G1) 1 ) (E (G2) 1 Gambar 1. Contoh operator 3-join Lemma 3.1 (Hsu and Lin, 2009) G = J(G 1, N(x); G 2, N(y)) adalah 1- edge fault-tolerant jika dan hanya jika kedua G 1 dan G 2 adalah 1-edge fault-tolerant. Bukti: Misalkan G adalah 1-edge faulttolerant. Klaim bahwa kedua G 1 dan G 2 adalah 1-edge faulttolerant. Dengan simetri, cukup dibuktikan bahwa G 1 adalah 1-edge fault-tolerant. Misalkan e adalah salah satu edge di G 1. Maka e adalah salah satu edge yang menempel pada x atau tidak. Asumsikan bahwa e tidak menempel pada x. Jika e tidak menempel pada x maka e adalah edge di G. Karena G adalah 1-edge fault-tolerant, maka ada cycle C di G Karena tepat ada 3 edge di G gabungan dari V(G 1 ) sampai V(G 2 ), C dapat ditulis dengan P,, Q,, untuk beberapa 424 Semirata 2013 FMIPA Unila

3 dengan i j, dimana P adalah path dari G 1 gabungan x i sampai x j. Jelas bahwa, Q,, bentuk suatu cycle dari G. Asumsikan bahwa e menempel pada x. Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, asumsikan bahwa e = (x,x 1 ). Karena G adalah 1-edge fault-tolerant, sehingga ada cycle C dari G. Oleh karena itu tepat ada tiga edge gabungan dari V(G 1 ) sampai V(G 2 ), C dapat ditulis dengan, P,,, Q,,, dimana P adalah path dari G 1. Jelas,,P, bentuk cycle dari G 1 Maka G 1 adalah 1-edge fault-tolerant. Asumsikan bahwa kedua G 1 dan G 2. Misal e adalah suatu edge di G. Seandainya e. Maka e adalah salah satu di E(G 1 ) atau di E(G 2 ). Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, asumsikan bahwa e ada di E(G 1 ). Karena G 1 adalah 1-edge fault-tolerant, sehingga ada cycle C 1 di G 1. Sehingga C 1 dapat ditulis dengan,,p, untuk beberapa i, j dengan i j. Misalkan k adalah satu elemen di. Karena G 2 adalah 1-edge fault-tolerant, sehingga ada cycle C 2 dari G 2 Maka C 2 dapat ditulis dengan,,q,,. Jelas bahwa, bentuk cycle dari G. Asumsikan bahwa e. Tanpa menghilangkan bentuk umumnya, asumsikan bahwa e = (x 1, y 1 ). Karena G 1 adalah 1-edge faulttolerant, maka ada cycle C 1 di G 1 Karena G 2 adalah 1-edge fault-tolerant, maka ada cycle C 2 di G 2 Sehingga C 2 dapat ditulis dengan,,q,,. Jelas, P,,, Q,, bentuk cycle dari G. Jadi G adalah 1-edge faulttolerant. Berikut beberapa contoh dari Lemma 3.1. Contoh 1 Lemma 3.1. G Gambar 2. Graf 1-edge fault-tolerant maka graf G juga merupakan 1-edge fault-tolerant. Salah satu cycle C pada graf G yaitu (x 2, e 7, x 4, e 8, x 5, e 6, x 1, e 2, x 3, ex 3 y 3, y 3, h 2, y 1, h 5, y 5, h 8, y 4, h 7, y 2, ex 2 y 2, x 2 ) sehingga jika ex 1 y 1 dihapus terbentuk graf. cycle pada graf G ditunjukkan pada gambar berikut. Gambar 3. Cycle pada graf G Semirata 2013 FMIPA Unila 425

4 Perti susanti dkk: Operator 3-Join pada Dua Graf yang Masing-masing adalah 1-edge fault- tolerant graf Contoh 2 Lemma 3.1 : Contoh 3 Lemma 3.1 : G Gambar 4. Graf 1-edge fault-tolerant maka graf G juga merupakan 1-edge fault-tolerant. Salah satu cycle C pada graf G (x 2, e 8, x 4, e 6, x 1, e 2, x 5, e 9, x 3, x 3y3, y 3, h 6, y 1, h 4, y 4, h 5, y 2, ex 2 y 2, x 2 ) sehingga jika edge ex 1 y 1 dihapus terbentuk graf. cycle pada graf G ditunjukkan pada gambar berikut. Gambar 6. Graf 1-edge fault-tolerant maka graf G juga merupakan 1-edge faulttolerant. Salah satu cycle C pada graf G yaitu (x 2, e 5, x 4, e 4, x 1, e 6, x 3, ex 3 y 3, y 3, h 5, y 4, h 7, y 1, h 1, y 2, ex 2 y 2, x 2 ) sehingga jika edge ex 1 y 1 dihapus terbentuk graf. cycle pada graf G ditunjukkan pada gambar berikut. Gambar 5. cycle pada graf G Gambar 7. cycle pada graf G 426 Semirata 2013 FMIPA Unila

5 KESIMPULAN G = J(G 1, N(x); G 2, N(y)) adalah 1-edge-fault-tolerant Graph jika dan hanya jika kedua graf G 1 dan G 2 adalah 1-edge -fault -tolerant Graph. DAFTAR PUSTAKA Brinkmann, G., Goedgebeur, J., and McKay, B.D., Generation of Cubic Graphs: Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science, Deo, N Graph Theory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentic Hall Inc, New York. Harju, T Lecture Notes on Graph Theory. Departemen of Mathematics, University of Turku. Hsu, L.H., and Lin, C.K Graph Theory and interconnection network. Taylor and Franci Group, LLC, New York. Munir, R Matematika Diskrit Revisi Keempat. Informatika Bandung. Teng, Y.H., Tan, J.J.M., Hsu, L.H Honeycomb Rectangular Disks. Parallel Computing 31. Wibisono, S Matematika Diskrit. Graha Ilmu, Yogyakarta Semirata 2013 FMIPA Unila 427