IMPLEMENTASI FUNGSI PEMBANGKIT NUMERIK DENGAN METODE PIECEWISE POLYNOMIAL

Transkripsi

1 IMPLEMENTASI FUNGSI PEMBANGKIT NUMERIK DENGAN METODE PIECEWISE POLYNOMIAL Munah Nur Sa adah, Yudh Purwananto, Rully Soelaman Teknk Informatka, Fakultas Teknolog Informas, Insttut Teknolog Sepuluh Nopember Emal: ABSTRAK Fungs numerk, sepert trgonometr, logartmk, dan akar kuadrat banyak dgunakan dalam computer graphcs, dgtal sgnal processng, communcaton systems, robotcs, dan lanlan. Khusus dalam aplkas grafs, sektar setengah dar total waktu pemrosesan dgunakan untuk menghtung fungs numerk. Dengan demkan untuk aplkas numerk ntensf atau realtme dan akselerator hardware serng dperlukan fungs pembangkt numerk. Beberapa algortma segmentas pecewse polynomal untuk fungs pembangkt numerk dbangun untuk menyelesakan permasalahan n. Namun, algortmaalgortma tersebut mash kurang efektf untuk menemukan umlah segmen optmal. Dengan menggunakan metode segmentas pecewse polynomal beserta pengecekan yang ada d dalamnya dbangunlah algortma baru untuk mendapatkan umlah segmen optmal. Hasl u coba pada Tugas Akhr n menunukkan bahwa metode segmentas pecewse polynomal untuk fungs pembangkt numerk lebh mudah dmplementaskan dan lebh efektf dalam hal mendapatkan umlah segmen optmal. Kata kunc : fungs numerk, fungs pembangkt numerk, algortma segmentas, segmentas pecewse polynomal. PENDAHULUAN Fungs numerk, sepert trgonometr, logartmk, akar kuadrat, dan kombnas dar beberapa fungs secara luas telah bayak dgunakan dalam computer graphcs, dgtal sgnal processng, communcaton systems, robotcs, dan lanlan. Khusus dalam aplkas grafs, sektar setengah dar total waktu pemrosesan dgunakan untuk menghtung fungs numerk. Dengan demkan untuk aplkas numerk ntensf atau realtme dan akselerator hardware serng dperlukan fungs pembangkt numerk. Functon generator adalah bagan dar peralatan elektronk atau perangkat lunak yang dgunakan untuk menghaslkan berbaga ens bentuk gelombang lstrk melalu berbaga frekuens. Salah satu kelebhan dar functon generator adalah kemampuannya untuk mengunc fase gelombang ke sumber snyal eksternal atau functon generator lan. Beberapa bentuk gelombang yang palng umum dhaslkan oleh functon generator adalah snus, perseg, segtga, dan bentuk gelombang gg gerga. Pecewse functon adalah fungs yang defnsnya tergantung pada varabel ndependennya. Polnomal sendr adalah ekspres terbatas yang dbangun dar beberapa varabel dan konstanta menggunakan hanya operas penumlahan, pengurangan, perkalan, dan pangkat nonnegatf blangan bulat. Jad, pecewse polynomal adalah fungs polnomal yang defnsnya tergantung pada varabel ndependen. Beberapa algortma segmentas fungs polnomal yang telah ada sebelum algortma n adalah algortma segmentas Douglas Peucker dan algortma segmentas Frenzen. Algortma segmentas fungs polnomal dbag menad dua ens, yatu segmentas nonunform dan segmentas unform. Pada Tugas Akhr n dgunakan metode segmentas pecewse polynomal yang tdak mengacu pada segmentas unform maupun nonunform karena metode n merupakan metode perbakan dar metodemetode segmentas yang telah dsebutkan sebelumnya yang kurang efektf. Metode segmentas pecewse polynomal adalah metode yang keseluruhan proses segmentasnya dlakukan dalam tga tahapan utama, yatu ESTIMATE, LOCATE, dan PINPOINT. Keuntungan menggunakan metode n adalah dalam hal kesalahan dalam perkraan polnomal d masngmasng segmen tdak lebh besar darpada kesalahan yang telah dtetapkan. Selan tu, dalam hal waktu komputas metode n beralan lebh cepat darpada algortma sebelumnya yang tela ada sekalgus mampu menghaslkan umlah segmen terkecl.. DASAR TEORI.. Fungs Pembangkt Numerk Fungs pembangkt numerk adalah sebuah rangkaan logka dar fungs artmatka, sepert = sn selama beberapa nterval tertentu. Gambaran fungs pembangkt numerk dapat dlhat pada Gambar.. Berdasarkan gambaran tersebut, fungs f(x) yang dberkan danggap sebaga satu set segmen atau potongan, dmana f memperkrakan masngmasng segmen dengan persamaan lnear (). + () Nla dar c dan c dsmpan dalam Coeffcents Memory sepert pada Gambar. d lokas yang alamatnya dtentukan oleh t Index Encoder. Dalam merancang rangkaan n, salah satu pembagan nterval menad segmen, dmana koefsen nla c dan c adalah sama d tap segmen dan mendekat fungs f(x) dalam beberapa kesalahan tertentu. Gambar. Arstektur fungs pembangkt numerk

2 Sebuah rangkaan basanya merealsaskan segmentas nonunform karena secara umum, tap segmen memlk lebar yang berbeda. Oleh karena tu dplh lebar segmen selebar mungkn yang menyebabkan aprosmas kesalahan tdak lebh besar dar aproksmas kesalahan yang telah ddefnskan. Sebalknya, terdapat pula segmentas unform. Pada kasus n, semua segmen memlk lebar segmen yang sama. Jka lebar segmen adalah maka segment ndex encoder dapat dhapus dan order yang lebh tngg bt dgunakan untuk mendapatkan alamat pada segment ndex encoder, dmana n adalah umlah bt untuk mengodekan x. Pada kasus n, rangkaan menad lebh kecl dan lebh cepat... Metode tas Pecewse Polynomal Metode segmentas pecewse polynomal terdr dar beberapa tahap, yatu mencar ttttk awal yang sesua dengan batasan doman fungs f(x), tahapan untuk mencar lebar segmen optmal, tahap ESTIMATE, tahap LOCATE, dan tahap PINPOINT... Mencar TtkTtk Sesua Batasan Doman Tahap pertama dalam mplementas fungs pembangkt numerk dengan metode segmentas pecewse polynomal adalah mencar ttkttk awal yang sesua dengan batasan doman fungs f(x). Terdapat beberapa ens batasan dalam doman fungs, sepert yang ada pada Tabel.. Tabel. Jens batasan dalam doman fungs f(x) Batasan Doman Fungs f(x),, " < $, < $, " < < Berdasarkan Tabel. terdapat empat ens batasan doman fungs f(x). Secara umum dapat delaskan sepert n. Jka terdapat kurung sku buka ( [ ) atau kurung sku tutup ( ] ) pada batasan doman fungs f(x) maka artnya kurang dar atau sama dengan untuk kurung sku buka ( [ ) dan lebh dar atau sama dengan untuk kurung sku buka ( ] ). Jka terdapat kurung buka ( ( ) atau kurung tutup ( ) ) pada batasan doman fungs f(x) maka artnya kurang dar untuk kurung buka ( ( ) dan lebh dar untuk kurung tutup ( ) )... Tahapan Mencar Lebar Bagan pentng dar algortma segmentas pecewse polynomal adalah asal mula dar pekraan lebar segmen. Perkraan yang akurat merupakan hal pentng karena kemudan pencaran harus dlakukan untuk mendapatkan lebar segmen yang tepat. yang dcar dalam norder pendekatan polnomal adalah dalam rentang [e, s]. Aproksmas kesalahan maksmum dar aproksmas Chebyshev dtunukkan pada persamaan (). % = &'()*+, *+,./! max )454'6./ 6 () Persamaan () dselesakan hngga mendapatkan lebar segmen 7 8. Sehngga ddapatkan persamaan () yang merupakan persamaan untuk mendapatkan lebar segmen. *+, 7 8 = 4 :./!; &<=>?@A@B 6C *+, 56 () Untuk dua kasus perkraan polnomal lnear dan perkran kuadratk, ddapatkan persamaan (4) dan (5). 7 8.'EF = 4: = 4 <=>?@A@B C GG 5 : 7 8 JKELFEMN = 4: O ; ; <=>?@A@B C GGG 5 ; (4) 6C GG BH? 5 6 = 4: O ; 6C GGG BH? 5 6 (5) dmana 7 8.'EF dan 7 8 JKELFEMN adalah lebar segmen untuk perkraan lner dan perkraan kuadratk. Berdasarkan persamaan d atas bagan max )454' 6./ 6 dan max )454' 6 6 dgant dengan yang lebh sngkat 6 '() 6 dan 6 6 secara berturutturut dapat '() mengenal ka turunan yang tepat adalah kontnu pada nterval tertutup, maka maxma d atas, masngmasng akan dcapa d beberapa ttk x* dalam nterval tersebut. Namun, pada Tugas Akhr n hanya fokus pada perkraan lnear. Sehngga persamaan yang dgunakan untuk mencar lebar segmen adalah persamaan (4)... Tahap ESTIMATE Setelah mendapatkan lebar segmen pada proses sebelumnya, maka masuk ke tahap ESTIMATE yang mampu mendapatkan perkraan ttk akhr segmen sementara 7 ')M dengan persamaan (5). 7 ')M = 'EF (5) Begtu pula dengan perkraan kesalahan untuk ttk 7 ')M yang dnotaskan % ')M dapat dketahu dengan mengurang ttk x yang telah dmasukkan pada fungs f(x) yang dnotaskan sebaga y dengan ttk 7 ')M yang telah dmasukkan pada fungs f(x) yang dnotaskan sebaga P 'B?Q sepert pada persamaan (6), (7), dan (8). = P (6) 7 ')M = P ')M (7) % ')M = P P ')M (8) Setelah dketahu lebar segmen, perkraan ttk akhr segmen 7 ')M, dan perkraan kesalahan untuk ttk 7 ')M yang dnotaskan % ')M kemudan dlakukan pengecekan ka 7 ')M > maka dtetapkan sebaga 7 ')M. Jka 7 ')M = dan % ')M % maka 7 ')M dtetapkan sebaga ttk akhr segmen 7 dan proses berhent. Proses n dakhr dengan dtetapkannya H dan L sebaga 7 ')M.

3 ..4 Tahap LOCATE Tahap LOCATE adalah tahap setelah ESTIMATE. Jka pada tahap ESTIMATE belum menemukan ttk akhr segmen 7 maka pada tahap n ttk akhr segmen 7 dcar lag dengan membandngkan perkraan kesalahan ε dengan perkraan kesalahan ttk 7 ')M, perkraan kesalahan ttk H, dan perkraan kesalahan ttk L. Tahap n dawal dengan membandngkan perkraan kesalahan untuk ttk 7 ')M yang dnotaskan % ')M dengan perkraan kesalahan ε. Jka % ')M < % maka ttk H dnakkan dengan angka tertentu yang dnotaskan sebaga sebaga batas atas ttk 7 ')M. S = S + T (9) Setelah menakkan ttk H dlakukan pengecekan kembal ka % U % < % V maka dapat melanutkan ke proses selanutnya, yatu PINPOINT. Jka tdak memenuh syarat % U % < % V maka dlakukan pengecekan kembal ka 7 V % dan S = maka 7 ')M dtetapkan sebaga ttk akhr segmen 7 dan proses berhent. Namun, ka % ')M % maka menurunkan ttk L dengan angka tertentu yang dnotaskan sebaga batas bawah 7 ')M. X = X + Y ()..5 Tahap PINPOINT Jka sampa pada tahap LOCATE belum dtemukan ttk akhr segmen 7 maka akan dproses kembal pada tahap PINPOINT hngga menemukan ttk akhr segmen 7. Pada tahap PINPOINT dbentuk satu ttk baru dar persamaan Z = V/U () & yang merupakan ttk tengah antara ttk H dan ttk L, yatu ttk A. Kemudan ttk A dtetapkan sebaga perkraan ttk akhr segmen yang baru menggantkan 7 ')M. Lalu dhtung perkraan kesalahan antara ttk x dengan ttk A sebaga perkraan ttk akhr segmen yang baru. Perkraan kesalahan tersebut dnotaskan % [ dapat dketahu dengan mengurang ttk x yang telah dmasukkan pada fungs f(x) yang dnotaskan sebaga y dengan ttk A yang telah dmasukkan pada fungs f(x) yang dnotaskan sebaga P [. Jka % [ > % maka ttk H dgantkan oleh ttk A. Namun, ka % [ % maka ttk L dgantkan oleh ttk A. Ttk H atau L yang dgantkan oleh ttk A dangap sebaga ttk Hpp atau Lpp. Langkah selanutnya adalah menghtung perkraan kesalahan Hpp yang dnotaskan % V\\ dan perkraan kesalahan Lpp yang dnotaskan % U\\. Langkahlangkah untuk mencar % V\\ dan % U\\ sama sepert mencar % [. Kemudan ka % U\\ % < % V\\ maka ttk Lpp dtetapkan sebaga ttk akhr segmen 7.. IMPLEMENTASI Secara umum, sstem perangkat lunak n mengmplementaskan fungs pembangkt numerk dengan metode pecewse polynomal. Dagram alr perancangan sstem secara umum dapat dlhat pada Gambar.. Gambar. Dagram alr sstem secara umum Langkahlangkah untuk mengmplementaskan fungs pembangkt numerk dengan metode segmentas pecewse polynomal datas adalah sebaga berkut:. Tahap pertama dalam mplementas fungs pembangkt numerk dengan metode segmentas pecewse polynomal adalah mencar ttkttk awal yang sesua dengan batasan doman fungs f(x) [x low, x hgh ].. Selanutnya mendapatkan asal mula dar pekraan lebar segmen. Perkraan yang akurat merupakan hal pentng karena kemudan pencaran harus dlakukan untuk mendapatkan lebar segmen yang tepat.. Setelah mendapatkan lebar segmen pada proses sebelumnya, maka masuk ke tahap ESTIMATE yang mampu mendapatkan perkraan ttk akhr segmen sementara 7 ')M dan perkraan kesalahan untuk ttk 7 ')M yang dnotaskan % ')M. 4. Jka pada tahap ESTIMATE belum menemukan ttk akhr segmen 7 maka masuk tahaplocate. Tahap n dawal dengan membandngkan perkraan kesalahan untuk ttk 7 ')M yang dnotaskan % ')M dengan perkraan kesalahan ε. Jka % ')M < % maka ttk H dnakkan dengan angka tertentu yang dnotaskan sebaga sebaga batas atas ttk 7 ')M. Namun, ka % ')M % maka menurunkan ttk L dengan angka tertentu yang dnotaskan sebaga batas bawah 7 ')M. 5. Jka sampa pada tahap LOCATE belum dtemukan ttk akhr segmen 7 maka akan dproses kembal pada tahap PINPOINT hngga menemukan ttk akhr segmen 7. Pada tahap PINPOINT dbentuk satu ttk baru yang merupakan ttk tengah antara ttk H dan

4 ttk L, yatu ttk A. Jka % [ > % maka ttk H dgantkan oleh ttk A. Namun, ka % [ % maka ttk L dgantkan oleh ttk A. Ttk H atau L yang dgantkan oleh ttk A dangap sebaga ttk Hpp atau Lpp. Langkah selanutnya adalah menghtung perkraan kesalahan Hpp yang dnotaskan % V\\ dan perkraan kesalahan Lpp yang dnotaskan % U\\. Jka % U\\ % < % V\\ maka ttk Lpp dtetapkan sebaga ttk akhr segmen UJI COBA DAN EVALUASI 4.. Skenaro Pada skenaro pertama, fungs f(x) yang dgunakan adalah 5. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε yang dgunakan adalah (] dan umlah ttk N adalah ^..8 ^standart pont Plot of x n standart pont 4.. Skenaro Pada skenaro kedua, fungs f(x) yang dgunakan adalah. Doman 5, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^. y = /x Gambar 4.4 Kurva fungs _` = untuk ttk x b` y = /x x = Doman[, ).9.7 Plot of /x n standart pont Plot of /x n yeld pont /standart pont /yeld pont Gambar 4. Kurva fungs _` = a`untuk ttk x Gambar 4. Kurva fungs _` = a`untuk ttk hasl segmentas e Gambar 4. Kurva fungs _` = a`untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e y = x y = x y = x x = Doman[, ) ^yeld pont x = Doman[, ) ^ttk standart ^ttk hasl Tabel 4. Percobaan nla dan pada skenaro Plot of x n yeld pont Plot of x between standart pont and yeld pont x = Doman[, ) Gambar 4.5 Kurva fungs _` = untuk ttk hasl b` segmentas e y = /x Gambar 4.6 Kurva fungs _` = untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas b` e x = Doman[, ) x = Doman[, ) Tabel 4. Percobaan nla dan pada skenaro I Skenaro Plot of /x between standart pont and yeld pont /ttk standart /ttk hasl Pada skenaro ketga, fungs f(x) yang dgunakan adalah. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^. y = sqrt(x) sqrt(standart pont) Plot of sqrt(x) n standart pont x = Doman[, ) Gambar 4.7 Kurva fungs _` = ` untuk ttk x

5 . sqrt(yeld pont) Plot of sqrt(x) n yeld pont Plot of /sqrt(x) n yeld pont /sqrt(yeld pont) y = sqrt(x). y = /sqrt(x) 5.75 Gambar 4.8 Kurva fungs _` = ` untuk ttk hasl segmentas e y = sqrt(x) x = Doman[, ) sqrt(standart pont) yeld pont x = Doman[, ) Gambar 4.9 Kurva fungs _` = ` untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e Tabel 4. Percobaan nla dan pada skenaro Skenaro 4 Plot of sqrt(x) between standart pont and yeld pont Keteran gan 5 Pada skenaro keempat, fungs f(x) yang dgunakan adalah. Doman, untuk fungs n adalah [, 5 ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^ Plot of sqrt(x) n standart pont /sqrt(standart pont) Gambar 4.Kurva fungs _` = b untuk ttk hasl ` segmentas e y = /sqrt(x) Gambar 4. Kurva fungs _` = b untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas ` e x = Doman[, ) x = Doman[, ) Tabel 4.4 Percobaan nla dan pada skenaro 4 I Skenaro 5 Pada skenaro kelma, fungs f(x) yang dgunakan adalah log &. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^. y = log(x).4. Plot of /sqrt(x) between standart pont and yeld pont /sqrt(standart pont) /sqrt(yeld pont) x = Doman[, ) Gambar 4. Kurva fungs _` = gh a ` untuk ttk x log(standart pont) log(yeld pont) Plot of log(x) n standart pont Plot of log(x) n yeld pont y = /sqrt(x) 5.75 y = log(x) x = Doman[, ) Gambar 4. Kurva fungs _` = b untuk ttk x ` x = Doman[, ) Gambar 4.4 Kurva fungs _` = kl a `untuk ttk hasl segmentas e

6 log(standart pont) log(yeld pont) Plot of log(x) between standart pont and yeld pont.7 log(standart pont) log(yeld pont) Plot of log(x) between standart pont and yeld pont.5 y = log(x).4 y = log(x) Gambar 4.5 Kurva fungs _` = kl a ` untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e x = Doman[, ) Tabel 4.5 Percobaan nla dan pada skenaro Skenaro Keteran gan 76 6 Pada skenaro keenam, fungs f(x) yang dgunakan adalah m. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^..7.5 log(standart pont) Plot of log(x) n standart pont x = Doman[, ) Gambar 4.8 Kurva fungs _` = n` untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e Tabel 4.6 Percobaan nla dan pada skenaro Skenaro Ketera ngan Optma l Optma l Optma l Pada skenaro ketuuh, fungs f(x) yang dgunakan adalah sn7 5. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^..5 Plot of sn(exp(x)) n standart pont sn(exp(standart pont)) y = log(x).4. y = sn(exp(x)) x = Doman[, ) Gambar 4.6 Kurva fungs _` = n` untuk ttk x x log(yeld pont) Plot of log(x) n yeld pont x = Doman[, ) Gambar 4.9 Kurva fungs _` = opnq` untuk ttk x.5 Plot of sn(exp(x)) n yeld pont sn(exp(standart pont)) y = log(x).4. y = sn(exp(x)) x = Doman[, ) Gambar 4.7 Kurva fungs _` = n` untuk ttk hasl segmentas e x = Doman[, ) Gambar 4. Kurva fungs _` = opnq` untuk ttk hasl segmentas e

7 Plot of sn(exp(x)) between standart pont and yeld pont lsn(exp(standart pont)) tan(p*standart pont) Plot of tan(p*x) between standart pont and yeld pont.5 sn(exp(yeld pont)) tan(p*yeld pont) y = sn(exp(x)) y = tan(p*x).4.5. Gambar 4. Kurva fungs _` = opnq` untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e x = Doman[, ) Tabel 4.7 Percobaan nla dan pada skenaro Skenaro Keterang an Pada skenaro kedelapan, fungs f(x) yang dgunakan adalah tan. Doman, untuk fungs n adalah [, ). Sedangkan nla aproksmas kesalahan ε dan umlah ttk N yang dgunakan tetap, yatu (] dan ^. y = tan(p*x).4. tan(p*standart pont) Plot of tan(p*x) n standart pont x = Doman[,.5) Gambar 4. Kurva fungs _` = stnu` untuk ttk x y = tan(p*x) tan(p*yeld pont) Plot of tan(p*x) n yeld pont x = Doman[,.5) Gambar 4. Kurva fungs _` = stnu` untuk ttk hasl segmentas e x = Doman[,.5) Gambar 4.4 Kurva fungs _` = stnu` untuk untuk ttkttk x dan ttkttk hasl segmentas e Tabel 4.8 Percobaan nla dan pada skenaro KESIMPULAN Pada bab n delaskan mengena kesmpulan akhr yang ddapat setelah melakukan serangkaan u coba pada bab sebelumnya:. Metode segmentas pecewse polynomal mampu menghaslkan umlah segmen optmal dengan aproksmas kesalahan yang ddapat adalah kurang dar atau sama dengan aproksmas kesalahan ε.. Pemlhan nla dan sangat berpengaruh terhadap umlah segmen yang dhaslkan. Nla dan yang dhaslkan berbeda untuk setap fungs f(x). Berdasarkan hasl u coba, nla dan terdapat pada rentang.66 hngga.76. Sehngga pemlhan nla dan yang tepat akan menghaslkan fungs pembangkt numerk dengan umlah segmen yang opmal. REFERENSI [] C.L.Frenzen, TsutomuSasao, JonT.Butler,, On the number of segments needed n a pecewse lnear approxmaton, Elsever Computatonal and Appled Mathematcs ScenceDrect. [] T. Sasao, J. T. Butler, M. D. Redel, 4, Applcaton of LUT Cascades to Numercal Functon Generators. [] N.Macara, 7, Hghspeed numerc functon generator usng pecewse quadratc approxmatons, Naval Postgraduate School, Master s Thess. [4] Shnobu Nagayama, Tsutomu Sasao, Jon T. Butler,, Numerc Functon Generators Usng Pecewse Arthmetc Expressons. [5] Burden Rchard, Fares Douglas,, Numercal Analyss. [6] Jaan Kusalaas, 5, Numercal Method n Engneerng wth MATLAB.