KARAKTERISTIK FUNGSI DUA VARIABEL PEMBENTUK BENDA DALAM MENENTUKAN VOLUMENYA MENGGUNAKAN INTEGRAL RANGKAP DENGAN SHELL METHOD. Keto Susanto, Fuat

Transkripsi

1 KARAKTERISTIK FUNGSI DUA ARIABEL PEMBENTUK BENDA DALAM MENENTUKAN OLUMENYA MENGGUNAKAN INTEGRAL RANGKAP DENGAN SHELL METHOD Keto Susanto, Fuat Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan Abstrak: Lesson Study yang dilakukan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Pasuruan, didapatkan hasil yang digunakan sebagai dasar penelitian ini, yaitu bahwa mahasiswa mengalami kesulitan menentukan integralnya, khususnya memutuskan bekerja dalam bentuk koordinat Kartesius atau kutub/polar dalam matakuliah Kalkulus Peubah Banyak. Metode yang dipakai pada penelitian ini adalah studi pustaka. Didapatkan hasil bahwa disarankan menggunakan bentuk polar/kutub jika terdapat rumus x dan y yang koefisiennya sama, alas terletak/sejajar bidang xoy, serta pembuatan sector alas berupa juring yang pangkalnya pada titik asal. Kata Kunci: olume, Integral, Shell-Method PENDAHULUAN Integral merupakan salah satu teori yang penting dan masih tetap berkembang, baik dari segi teori maupun penerapannya. Penerapan yang sangat berharga dengan tidak mengesampingkan yang lainnya, adalah dalam menentukan volume benda. Syarat dalam menentukan volume benda dengan integral disampaikan oleh argberg (7:81) sebagai berikut Many quantities can be thought of as a result of slicing something into small pieces, approximating each piece, adding up, and taking the limit as the pieces shrink in size. This method of slice, approximate, and integrate can be used to find the volumes of solids provided that the volume of each slice is easy to approximate Pengintegralan dalam menentukan volume benda ada banyak cara yang bisaditempuh, cara dalam mengirisnya (menggunakan slabs method, disc method, washer method, dan shell method) ataupun integralnya (menggunakan integral biasa maupun integral rangkap, baik rangkap dua atau tiga. Serta memakai koordinat Kartesius atau koordinat kutub/polar). Setiap cara tersebut memiliki kesulitan masing-masing. Dalam mengurai kesulitan-kesulitan tersebut, dilakukan melalui kegiatan Lesson Study. Diperoleh bahwa kesulitan yang dialami mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI 5

2 Pasuruan dalam menempu matakuliah Kalkulus Peubah Banyak adalah menentukan integralnya, khususnya memutuskan bekerja dalam bentuk koordinat Kartesius atau kutub/polar. Tujuan Berdasarkan latar belakang yang dikemukakan di atas, maka dalam penelitian ini dirumuskan tujuannya adalah apa karakteristik fungsi dua variabel pembentuk benda dalam menentukan volumenya menggunakan integral rangkap dengan shell method? METODE Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka. Studi pustaka merupakan penelaahan sumber pustaka yang relevan digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang diperlukan dalam penelitian. rangkap dv Dalam koordinat Kartesius, volume benda yang dibatasi oleh dapat ditentukan dengan integral rangkap tiga yaitu dzdydx dimana alasnya sejajar atau terletak pada bidang xy. Pada kasus tertentu menghitung volume benda dengan menggunakan rumus di atas memerlukan teknik pengintegralan yang tidak mudah, oleh karena itu diperlukan metode lain untuk mempermudah perhitungannya. Salah satunya adalah mengubahnya menjadi integral rangkap dalam koordinat polar/kutub. Adapun hubungan koordinat kartesius dengan koordinat polar/kutub dapat dilihat pada gambar berikut. HASIL DAN PEMBAHASAN Menurut Goodman (1963:59) menyatakan bahwa Suppose that z = f(x, y) is a continuous nonnegative function for (x, y) in some closed region R in the xy-plane, and we want to compute the volume of the solid bounded above by the surface z = f(x, y), below by the xy-plane, and on the sides by the cylinder generated by erecting at each point on the boundary of R, a line parallel to the z-axis. Dengan kata lain suatu benda yang dibatsi oleh dapat ditentukan volumenya dengan integral Gambar 1. Titik P dalam Kartesius dan Polar Dengan memperhatikan Gambar 1 tersebut di atas, cos θ = x x = r cos θ r 51

3 sin θ = y r y = r sin θ r = x + y Sehingga P (x, y) dapat ditulis dalam bentuk P (r cos θ, r sin θ) yang selanjutnya disingkat menjadi P (r, θ). Perhatikan daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini (daerah tersebut dianggap sebagai alas suatu benda yang terletak pada bidang xy atau sejajar pada bidang xy). Gambar 3. Irisan juring sebesar r Selanjutnya perhatikan daerah kecil yang berwana hitam. θ i r j r j 1 Gambar 4. Batasan irisan juring Gambar. Juring dengan batas r = a dan r = b L ij = 1 θ ir j 1 θ ir j 1 Mula α θ β dibagi menjadi n bagian yang sama menjadi sebesar θ dengan ketentuan α = θ, θ 1, θ,..., θ n = β. Selanjutnya r f(θ) dibagi menjadi m bagian yang sama masing-masing sebesar r dengan ketentuan = r, r 1, r,., r m = f (θ). Sehingga daerah yang diarsir akan terbagi-bagi seperti pada gambar di bawah ini. = 1 r j r j 1 θ i = 1 r j + r j 1 r j r j 1 θ i = 1 r j + r j 1. r j. θ i Jika n ~ maka θ Jika m ~ maka r Jika r maka r j r j 1 5

4 Sehingga L ij = 1. r j. r j. θ i Diluar karakteristik tersebut, lebih mudah integral dibentuk dalam koordinat Kartesius. adalah = r j. r j. θ i Maka luas daerah yang diarsir Contoh: Carilah olume benda di dalam x + y = 4 diluar z = x + y dan diatas bidang xy. Penyelesaian: L = lim n ~ m n m ~ i=1 j =1 β f(θ) r j. r j. θ i = r drdθ α Kesimpulan dan Saran Dengan menambah batas-batas integral dalam bentuk koordinat polar/kutub maka volume benda dengan alas yang terletak sejajar bidang xy dapat dicari dengan rumus = rdzdydx * Yang perlu diperhatikan adalah, 1. Disarankan menggunakan *) jika terdapat rumus x dan y yang koefisiennya sama.. Alas terletak/sejajar bidang xy 3. Pembuatan sektor alas berupa juring yang pangkalnya pada titik asal. Gambar 5. Grafik di dalam x + y = 4 diluar z = x + y Menentukan perpotongan x + y = 4 z = x + y z = 4 Menentukan batas-batas integral dalam koordinat polar/kutub x + y = 4 r = 4 r = z = x + y 53

5 r = z DAFTAR PUSTAKA 1 4 r = r dz dr dθ = r 3 drdθ = 4dθ = Jadi olumenya adalah 8 Bradley, GL Calculus. Prentice- Hall, Inc. Goodman, A.W Analytic Geometry and The Calculus. New York: The Macmillan Company Rose, FL.. Calculus a Complete Course. Addison Wesley. argberg, Purcell, and Rigdon. 7. Calculus 9 th Ed. Pearson Education, Inc. 54