LIMIT. Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis :

Transkripsi

1 LIMIT A. Pendahuluan. Dalam kehidupan sehari-hari pengertian limit sebenarnya sudah sering kita temui, misal seseorang yang akan jatuh ke sungai, dikatakan hampir saja si A jatuh ke sungai. Atau Rumah si B hampir terbakar, dan lainnya. Semua itu merupakan hubungan dengan pengertian limit. 2. a) Jika ada suatu garis yang memotong suatu lingkaran tepat satu titik, maka garis tersebut dikatakan menyinggung lingkaran (limit). b) Jika garis tersebut memotong kurva tepat satu kali, maka belum tentu garis tersebut menyinggung kurva. c) Jika titik P dan Q pada suatu kurva dalam bidang xy, maka garis PQ adalah garis potong pada kurva tersebut. Jika titik Q digerakkan menuju ke titik P, maka terjdilah garis singgung pada kurva tersebut di titik P. Dikatakan bahwa garis PQ menuju ke posisi limit. 3. Luas pada suatu bidang xy, yang berada dibawah suatu kurva yang sukar menghitungnya, dapat dilakukan dengan cara membuat segiempat-segiempat di bawah kurva tersebut dan menjumlahkannya. Maka hasilnya akan mendekati luas yang sebenarnya dapat dikatakan nilai limit. B. Definisi Limit. Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis : lim f x = L x c Artinya jika nilai x mendekati nilai c, maka f(x) mendekati L. Sifat sifat limit : Limit c x c = c Limit cf(x) x c Limit [f + g]x x c = c = Limit f(x) x c Limit f(x) x c + Limit g(x) x c

2 4. Limit [f. g](x) x c = Limit f(x) x c. Limit g(x) x c 5. Limit [f g ](x) x c = lim x c f(x) lim x c g(x) Dimana c adalah bilangan konstan sembarang. Contoh :. Limit 4x x 2 = 4 Limit x x 2 = 4.2 = 8 2. Limit (x 2 + 4x) x 2 = Limit x2 x 2 + Limit 4x x 2 = = = 2 Limit Besar Tak Hingga. Adalah limit dengan rumus :. lim n f x = L 2. lim n f x = L Contoh :. lim x x = = 2. lim x 3x 2 6x+ = lim x 3 2/x 6+/x = /2 Limit Palsu. Adalah limit dengan bentuk : lim x c f x = atau lim x c f x = Contoh :. lim x x 2 = = 2. lim x x 2 x = lim x x 2 lim x x = =

3 C. Derivatif Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f ) adalah fungsi dengan rumus : apabila limit ini ada. f (x) = lim x f x+ x f ( x ) x Contoh : Cari f (x) jika f(x) = x 2 f(x) = x 2 - f( x + x ) = ( x + x ) 2 = x x ( x ) + ( x ) 2 Sehingga f (x) = lim x f x+ x f ( x ) x = lim x ( x+ x ) 2 x 2 x = lim x x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 x = 2x Jadi f(x) = x 2 - f (x) = 2x. Secara umum f(x) = x n - f (x) = nx n- Rumus- Rumus :. f(x) = C, maka f (x) = ; atau y = C; maka y = dy dx = 2. y = x n, maka y = n x n- 3. Y = f(x) + g(x) ; maka Y = f (x) + g (x) 4. Y = f(x). g(x) ; maka Y = f(x). g (x) + f (x). g(x) 5. Y = f(x) g(x) ; maka Y = g(x) f (x) g (x) f(x) [g x ] 2 6. Y = [f(x)] n ; maka Y = n [f(x)] n-. f (x) Contoh : Cari y jika. y = 5; maka y = 2. y = x 5 ; maka y = 5 x 4

4 3. y = [ x ] + [ x ] ; maka y = [5x 4 ] + [2x] 4. y = [ x ]. [ x ] ; maka y = [ x ]. [ 2x ] + [ 5x ]. [ x ] 5. y = x ; maka y = x 3 [5x 4 ] [3x 2 ] [x 5 +3] x 3 [x 3 ] 2 6. y = [ x ] 7 ; maka y = 7 [ x ] 6. [ 5x 4 ] D. Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner. f(x ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x ) f(x) untuk setiap x anggota dari S. 2. f(x ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x ) f(x) untuk setiap x anggota dari S. 3. Misal f(x) = dan S = [,3], maka f() = adalah nilai maksimum dan f(3) = x 3 adalah nilai minimum. 4. Titik Stasioner diperoleh dari f (x) =. Merupakan titik yang akan memberikan f bernilai maksimum atau minimum. 5. Misal f(x) = x 2 dan S = [ -, 3], maka f( -) =, f(3) = 9. Turunan dari f(x) adalah f (x) = 2x =, jadi x =, maka f() = Sehingga f(x) = x 2, nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya =. 6. Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu tercepat jika, berlari di darat kecepatannya mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6 mil/jam. a). Dari A ke B kemudian ke C Dari A ke B naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = J K = 2 mil 6 mil /jam = 3 jam = 2 menit dari B ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = J K = jadi keseluruhan waktu yang digunakan = 56 menit. 6 mil = 6 jam = 36 menit mil /jam

5 b) Dari A langsung ke C : dari A langsung ke C maka waktu yang diperlukan : W = J K 4+36 mil = = 6,3 jam =,5 jam 6 mil /jam 6 = 63 menit. c) Dari A ke D kemudian ke C : dari A ke D naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = J = 4+ x 2 mil = 4+ x 2 K 6 mil /jam 6 jam dari D ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = J K (6 x ) mil = = (6 x ) mil /jam jam jadi keseluruhan waktu yang digunakan : W = { 4+ x (6 x ) } jam W = 4+ x (6 x ) = x 2 + ( 6 x ) = 6 ( 4 + x2 ) /2 + ( 6 x ) Maka W = 6. 2 ( 4 + x2 ) -/2 (2x) + ( ) = x - 6 ( 4+ x 2 = x 6 ( 4+ x x 2 Karena nilai ekstrim dapat dicari dari persamaan W = Dari W = x 6 ( 4+ x x x 2 Jadi x x 2 = x = x 2 x 2 = 36 ( 4 + x 2 ) x 2 = x 2 Maka didapat nilai x = 3/2 dan x 2 = - 3/2 Jadi didapat nilai W = { 4+ x (6 x ) } jam

6 W = { 4+ ( 3 2 )2 6 + (6 3 2 ) } jam = { 4+ ( 9 4 ) 6 + (9 2 ) } jam = { ( 25 4 ) } jam = { 5/ } jam = { } jam = { } menit = 52 menit. 7. Suatu proyek pemasangan pipa air minum dari sumber air ke suatu lokasi penampungan. Dari sumber air ke penampungan memotong jalan raya dengan lebar 4 meter, jika jarak sumber air ke lokasi penampungan sejauh m. Hitunglah biaya minimum jika pemasangan pipa di bawah aspal jalan raya biayanya 4 juta/meter dan di tepi jalan 2 juta/meter. a) Jarak dari A ke B = 4 m dan dari B ke C = m Jika akan dilakukan pemasangan dari A ke B, kemudian dari B ke C, maka biaya yang diperlukan sebesar: dari A ke B biaya pemasangan yang diperlukan = 4 x 4 = 56 juta dari B ke C biaya pemasangan yang diperlukan = x 2 = 2 juta Jadi keseluruhan biayanya = 256 juta. b) Biaya pemasangan dari A langsung ke C sebesar = 4 x = 4 x 96 = 4 x,97 = 43,9 juta c) Jika pemasangan dilakukan dengan cara : dari A ke D biaya yang diperlukan = 4 x x juta dari D ke C biaya yang diperlukan = 2 x ( x ) juta jadi keseluruhan biaya = B = 4 x ( x ) db dx = 4 x x = 4x x = 4x x = 2 4x = 2 x x 2 = 4 ( x ) 6 x 2 = 4 x x 2 = 784

7 x 2 = 784/2 = 65,3 x = 8,8 dan x 2 = - (t.m) jadi keseluruhan biaya = B = 4 8, ( 8,8 ) = 248,5 juta 8. Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 5 cm. Jika setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb. Volume kotak terbuka adalah V = luas alas. tinggi = s. s. t = ( 5-2x ) ( 5-2x ) x V = 4x 3 6x x dv dx = 2x 2 2x = x,2 = b + b2 4ac 2a = = = x = (2+6)/24 = 7,5 ; x = (2-6)/24 = 2,5 Jadi volume terbesar jika x = 2,5 Sehingga V = 4(2,5) 3 6(2,5) (2,5) = 62, ,5 = Suatu perusahaan akan menjual barang hasil produksinya dengan harga Rp 5,- /biji. Serta setiap harinya menjual minimal satuan. Jika harga barang tersebut harganya dikurangi Rp,-/biji maka jumlah yang terjual akan meningkat satuan. Cari : a) fungsi harga, jika x = banyak barang yang terjual. b) fungsi pendapatan. c) pendapatan harian maksimum. a) h(x) = 5 [ x ] = 6 x b) p(x) = x. h(x) = 6 x x 2 c) d p(x) dx = 6 2x =, jadi x = 3. Berarti pendapatan perhari = 6(3) (3) 2 = 9..

8 INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. Definisi : Fungsi F(x) = f x dx disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) pada interval tertutup [a,b] jika F (x) = f(x) x [a,b] Rumus : x n dx = n+ xn+ + C Contoh :. x 3 dx = 4 x4 + C 2. x 5 dx = 6 x6 + C 3. x [x 2 + 3] 7 dx =...; misal A = x 2 + 3, maka da = 2x dx = x A 7 da 2x = 2 A 7 da = 6 x2 + 3 ] 8 + C B. Integral Tertentu L = f(x ). x L 2 = f(x 2 ). x 2... L n = f(x n ). x n L = n n i= L i = i= f( x i ). x i b a n L = lim xi i= f( x i ). x i = f x dx Jadi, L= b a f x dx

9 C. Pengembangan Rumus. b. L = [ f x g x ]dx a b a b a 2. V = π [ f x ] 2 dx 3. V = π { [ f x ] 2 g x ] 2 dx b 4. P(AB) = + [ dy ] a 2 dx dx b a 5. L(AB) = 2π y + [ dy dx ]2 dx Contoh :. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x 2 ; sumbu x; dan garis tegak x = 2. 2 L = x 2 dx = [ 3 x3 2 ] = Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = e x ; dari titik x= sampai dengan x = 2. 2 L = e x dx = [ e x 2 ] = e 2 e 3. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x 2 dan y = 4. L = 2 2 [ 4 x 2 ] dx = [ 4x 3 x3 ] 2 2 = [8-8/3] [ -8+8/3] = 32/3 4. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y = x, x = 4, dan sumbu x, kemudian diputar keliling sumbu x. 4 L = π x 2 dx = π[ 3 x3 4 ] = 64/3 π 5. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y = x, y = 4, dan sumbu y kemudian diputar keliling sumbu x.

10 6 L = π [4 2 x 2 ] dx = π[ 6x 2 x2 6 ] = 28 π 6. Hitung panjang kurva y = x, dari titik A(,) sampai B(4,4). b P(AB) = + [ dy ] a 2 dx = + dx = 3 2 dx 7. Hitung luas luasan busur putar jika kurva y = x, dari titik A(,) sampai B(4,4), diputar keliling sumbu x. b L(AB) = 2π y + [ dy dx a dx ]2 4 = 2π x + dx = 5 2 π 4 D. Hubungan Koordinat Kartesius Dan Koordinat Polar (Kutub) P(x,y) = P(r,θ ) dimana x = r cos θ dan y = r sin θ Sehingga : Persamaan lingkaran x 2 + y 2 2ax = dalam koordinat polar r = 2a cos θ Gambar r = 2a cos θ Persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2ax = dalam koordinat polar r = - 2a cos θ Persamaan lingkaran x 2 + y 2 2ay = dalam koordinat polar r = 2a sin θ Persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 2ay = dalam koordinat polar r = - 2a sin θ Cardioda r = a ( Cos θ ) Cardioda r = a ( + Cos θ ) θ Cos θ,8,7,5 -,7 - -,7,5 r 2a,6,4a a a 2a Gambar r = 2a sin θ θ Sin θ,5,7,8,7 -,7 - -,8 r a,4a,6a 2a,4a Gambar Cardioda r = a ( Cos θ ) θ Cos θ,8,7,5 -,7 - -,7,5 r,2a,3a,5a A,7a 2a,7a a,5a

11 Dalam koordinat kutub L= β 2 r2 α dθ Contoh : Tentukan luas daerah di kuadran I, yang berada diluar lingkaran r = 2 dan didalam lingkaran r = 4 cos θ ( [cos x ] n dx = [cos x ]n. [sin x ] n + n n [cos x ] n 2 dx L= β α 2 r2 dθ = π/3 2 { [ 6 cos2 θ] 4 ] dθ = π/3 2 [ 6 cos 2 π/3 θ] dθ - 2 dθ = 8 [cos θ ] [sin θ ] π /3 2 π/3 + 4 = 4 cos (π/3).sin (π/3) + 2 (π/3) π/3 dθ - 2 dθ E. Integral Lipat Dua V = f(x, y ). L V 2 = f(x, y ). L... V n = f(x n, y n ). L n n n V = i= V i = i= f(xi, yi ). Li V = lim Li n i= f(xi, yi ). Li = f x, y dl R Contoh :. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + y + z = 2 dan bidang-bidang koordinat. V = 2 2 x = x= f x, y dl = 2 x y dy dx R y= 2 x 2 2x + 2 dx = 8/6 x= 2 2. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + z = 2 ; y = 5 dan bidang-bidang koordinat. V = R 2 x= 5 y= f x, y dl = 2 x dy dx 2 = 5x dx x= =

12 3. Sebuah tangki berbentuk kerucut penuh dengan air. Jika tinggi tangki m dan jari-jari 4 m. Maka tentukan daya yang diperlukan untuk memompa air sampai tepi atas tangki. W = F. d ( daya = gaya. jarak ) W = δ π [ 4y ]2. y. [-y] = = δ π [ 4y ]2. [-y]. y = δ π [ 6 ]. [y2 y 3 ]. y W = δ π [ 6 ]. [ y2 y 3 ] dy = 6 δ π [ 3 y3 4 y4 ] = 33,3. δ π F. Luas Permukaan L(P ) = R z x 2 + z y 2 + dr Contoh : Hitung luas permukaan bidang y+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=, y=, z=, dan x = 5. z=3-y - z z = ; dan = - x y 5 x= 3 y= L(P) = dy dx = 2 [y] x= 5 dx = 2 3 x= dx = 2 [3x] 5 = 5 2 Contoh 2 : Hitung luas permukaan bidang x+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=, y=, z=, dan y = 5. z=3-x - z z = - ; dan = x y L(P) = + + dy dx = 2 [y] x= y= x= dx = 2 5 x= dx = 2 [5y] 3 = G. Transformasi Jacobian Misal f x, y dx dy akan diganti dengan variabel baru U dan V, dimana antara U dan V R dengan x dan y terdapat hubungan fungsional x = h(u,v) dan y = g(u,v) serta setiap pasang (U,V) terdapat satu pasang (x,y); Maka

13 R f x, y dx dy = f U, V, g U, V J du dv R dimana J = x U y U x V y V Misal x = r cos θ dan y = r sin θ, maka x x y y = cos θ ; = - r sin θ dan = sin θ ; = r cos θ r θ r θ sehingga J = x r y r x θ y θ = cos θ r sin θ sin θ r cos θ = r (cos θ)2 + r (sin θ) 2 = = r { (cos θ) 2 + (sin θ) 2 } = r. = r Jadi f x, y dx dy = f r, θ J dr dθ = f r, θ r dr dθ R R R Contoh : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x 2 + y 2 ; diatas bidang z = dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 2x. V = R f x, y dx dy = [x 2 + y 2 ] dy dx x y Dengan transformasi Jacobian : z = x 2 + y 2 = r 2 ; x 2 + y 2 = 2x dirubah menjadi r 2 = 2r cos θ jadi r = 2 cos θ didapat batas untuk θ adalah θ π/2 dan untuk r adalah r 2 cos θ V = f r, θ r dr dθ R π/2 θ = 2 cos θ r= = r 2 π/2 θ= 2 cos θ r=. r dr dθ = r 3 dr dθ = π/2 = θ= 4 [r4 ] 2 cos θ dθ π/2 [ 6 (cos θ 4 )4 dθ = 4 θ = π/2 θ= 3 4 (cos θ ) 2 dθ = 3 π/2 θ= 2 dθ = [3/2] [ π/2] V = 2 V = = [3/2][ π Contoh 2 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x 2 + y 2 ; diatas bidang z = dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 2y.

14 Daftar Pustaka Referensi.. Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Kalkulus Dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga, Jakarta. 2. Frank Ayres JR, Differential And Integral Calculus, Schaum s Outline Series 3. Earl W. Swokowski, Calculus With Analytic Geometry, Marquette University

15 INTEGRASI NUMERIK Pendahuluan. Integral suatu fungsi disajikan dalam bentuk : b a f x dx Integral tersebut digunakan untk menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x, dengan batas x=a dan x=b. Metode Trapesium. Metode Trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik, dalam metode ini kurva lengkung dari fungsi f(x) dianggap garis lurus. Metode Trapesium pias. Sehingga untuk menghitung suatu luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x dari x=a sampai x = b, dihitung dengan rumus L = [b-a] f a + f(b) Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x 2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5. x = 2 f(x ) = 4 ; x 2 = 5 f(x ) = 25 ; L = [5-2] = 87 2 = 43,5 Metode Trapesium n-pias. b L= f x dx a x = f x dx a x + x f x dx + 2 b f x dx f x dx x x x n = x f x + f(a) 2 + x f x + f( x ) 2 + x f x 2 + f( x ) x f b + f( x n ) 2 + = x 2 [ f(x ) + f(a) + f(x ) + f(x ) + f(x 2 ) + f(x ) f(b) + f(x n- ) ] = x 2 [ f(a) + f(b) + 2 n i= f(x i ) ] Contoh :. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x 2 ; sumbu x; dari x=2 sampai x=5

16 Misal ambil pias n=3, maka x = b a n Jadi, titik a = 2, b = 5 dan x = 3, x = 4 f(a) = 4; f(b) = 25 ; f(x ) = 9 ; f(x ) = 6 = =. L = x 2 [ f(a) + f(b) + 2 n i= f(x i ) ] = 2 [ (9+6) ] = 39,5 2. Diberikan data sebagai berikut : x 2 3 f(x) Hitung luasan dibawah f(x) dan diantara x = dan x = 3. Jadi, L = [ (9+7)] = Dalam suatu pengamatan pada jumlah kendaraan yang melewati suatu ruas jalan didapat data sebagai berikut : No Waktu Kend/mnt Hitunglah jumlah kendaraan yang melewati jalan tersebut dalam satu hari. No Waktu Kend/mnt f(x)

17 Jumlah kendaraan dalam hari = (44/2)/2 * 63 = 978 Metode Simpson. Metode Simpson /3 dengan 2 pias L = b a 6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ] Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x 2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5. Ambil 3 titik a = 2, b = 5 dan c = 3,5 ; maka f(a) = 4 ; f(b) = 25 ; dan f(c) = 2,25 L = b a 6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ] = [ (2,25) + 25 ] = 39 Metode Simpson /3 dengan n-pias L = x [ f(a) + f(b) + 4 n f x n 2 3 i + 2 i=2 f x i i= ] Dimana 4 n n 2 i= f x i untuk i gasal dan 2 i=2 f x i untuk i genap Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x 2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5.

18 Misal banyak pias n = 4, maka x = =,75, didapat a=2 ; x = 2,75 ; x 2 = 3,5 ; x 3 = 4,25 ; b = 5 Jadi f(a) = 4 ; f(x ) = 7,56 ; f(x 2 ) = 2,25 ; f(x 3 ) = 8,6 ; f(b) = 25. L =,75 3 [ ( 7,56 + 8,6 ) + 2 ( 2,25) ] = 38,995 AKAR-AKAR PERSAMAAN Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial derajad dua, misal bentuk ax 2 + bx + c = dapat dicari dengan rumus x,2 = b ± b 2 4ac 2a. Misal : x 2 x 6 =, maka x,2 = b ± b2 4ac 2a = ± ; jadi x = 3 dan x 2 = -2 Sedangkan untuk polinomial derajad tiga, empat dapat dilakukan dengan metode sebagai berikut : Metode Newton Raphson : x i+ = x i f(x i ) f (x i ) Contoh : Cari salah satu akar dari : x 3 + x 2-3x 3 = ) f(x) = x 3 + x 2-3x 3 f (x) = 3x 2 + 2x -3 2) ambil x = f(x=) = -4 dan f (x=) = 2 3) x 2 = x f(x i ) = - 4 = 3 f (x i ) 2 4) ambil x 2 = 3 f(x=3) = 24 dan f (x=3) = 3 5) x 3 = x 2 f(x i ) = 3-24 = 2,2 f (x i ) 3 6) ambil x 3 = 2,2 f(x=2,2) = 5,89 dan f (x=2,2) = 5,92 7) x 4 = x 3 f(x i ) 5,98 = 2,2 =,83 f (x i ) 5,92 8) ambil x 5 =,83 f(x=,83) =,98 dan f (x=,83) =,7 9) x 6 = x 5 f(x i ),98 =,83 =,73 f (x i ),7 ) ambil x 6 =,7 f(x=,7) = -,2 dan f (x=,7) = 9,9 ) x 7 = x 6 f(x i ) 2 =,7 - =,73 f (x i ) 9,9

19 INTERPOLASI Intepolasi digunakan untuk mencari suatu nilai dari beberapa nilai yang sudah diketahui. Interpolasi Linier. f (x) = f(x ) + f x f (x ) x x (x x ) Interpolasi Kuadrat. f 2 = b + b (x x ) + b 2 (x x ) (x x ) f x2 f(x ) dengan b = f(x ) ; b = f x f (x ) x2 x ; b 2 = x x Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f x f( x ) x x x 2 x f (x) = x x x x f (x ) + x x x x f( x ) Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f 2 (x) = x x x x x x 2 x x 2 f (x ) + x x x x x x 2 x x 2 f( x ) + x x x 2 x x x x 2 x f( x 2 ) Contoh : Diberikan data sebagai berikut X,6,,6 f(x) 2,39 2,85 3,955 Jika x =,4 maka cari f(x=,4). Interpolasi Linier. f (x) = f(x ) + f x f (x ) x x (x x ) = 2,39 + 2,85 2,39,,6 (,4,6 ) = 3,22 Interpolasi Kuadrat. f 2 = b + b (x x ) + b 2 (x x ) (x x ) b = f(x ) = 2,39 b = f x f (x ) 2,85 2,39 = x x,,6 =,352 b 2 = f x2 f(x ) x2 x f x f( x ) x x x 2 x = 3,995 2,85,6,,6,6 2,85 2,39,,6 =,928

20 f 2 = 2,39 +,352 (,4-,6) +,928 (,4-,6) (,4-,) = 3,443 Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f (x) = x x x x f (x ) + x x,4, f( x ) = x x,6, (2,39 ) +,4,6,,6 (2,85 ) = 3,22 Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f 2 (x) = x x x x x x 2 x x 2 f (x ) + x x x x x x 2 x x 2 f( x ) + x x x 2 x x x x 2 x f( x 2 ) =,4,,6,,4,6,6,6 (2,39 ) +,4,6,,6,4,6,,6 ( 2,85 ) +,4,6,6,6,4,,6, ( 3,955 ) = 3,87 Contoh 2 : Diberikan nilai ln sebagai berikut : Interpolasi Linier. x f(x) = ln x,693,98,792 Cari nilai ln 5? Nilai ln 5 =,69 f (x) = f(x ) + f x f (x ) x x (x x ) =,98 +,792, (5 3 ) =,56 Interpolasi Kuadrat. f 2 = b + b (x x ) + b 2 (x x ) (x x ) b = f(x ) =,693 b = f x f (x ),98,693 = x x 3 2 =,45 b 2 = f x2 f(x ) x2 x f x f( x ) x x x 2 x =,792, ,98, =,23,45 4 f 2 =,693 +,45 (5-2),43 (5-2) (5-3) =,98,258 =,65 = -,43

21 Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu. f (x) = x x x x f (x ) + x x f( x ) = 5 3 x x 2 3 (,693 ) (,98) =,98 Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua. f 2 (x) = x x x x x x 2 x x 2 f (x ) + x x x x x x 2 x x 2 f( x ) + x x x 2 x x x x 2 x f( x 2 ) = (,693 ) (,98 ) (,792 ) =,648 Contoh 3 : Diberikan data dari hasil pengamatan antara kecepatan dan jarak henti sebagai berikut Kecepatan (km/jam) Jarak henti (m) Jawab a) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 45 km/jam, perkirakan jarak hentinya. b) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 55 km/jam, perkirakan jarak hentinya.

22 MATRIKS Notasi Matriks. A = [ a ij ] A = a a 2. a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn A disebut matrik bertipe m x n, artinya terdiri dari m baris dan n kolom.. Penjumlahan Matriks Jika A = a ij dan B = ba ij betipe/berdimensi mxn maka C = A ± B = a ij ± ba ij = c ij juga bertipe mxn Contoh : A = C = A + B = dan B = = Perkalian 2 Matriks. Perkalian 2 matriks dapat dilakukan jika, banyaknya elemen kolom matriks pertama sama dengan banyaknya elemen baris matriks kedua. A x B = a ij mxn x b jk nxp = c ik mxp = C Contoh : A = dan B = A x B = x = (9) (2) (9) (2) =

23 Contoh 2 : A = dan B = Invers Matrik. Matrik A - disebut invers dari matrik A, jika A.A - = A -. A = I Dimana I = atau dst Contoh : Matrik A = dan A- = A - merupakan invers dari A, sebab A. A - = = ( 3) ( 3) = = Contoh 2 : Matrik A = dan A - = A - merupakan invers dari A, sebab A. A - = = Mencari Invers Matrik. Contoh : Cari Invers Matrik A = baris dikalikan (/2)

24 /2 /2 3 4 /2 /2 5/2 3/2 baris dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2 baris 2 dikalikan (-2/5) /2 /2 3/5 2/5 baris 2 dikalikan (/2) ditambahkan ke baris 4/5 /5 3/5 2/5 jadi A- = 4/5 /5 3/5 2/5 = Contoh 2 : Cari Invers Matrik A = baris 2 baris ; baris 3 baris baris 2 dikalikan ( 3) ditambahkan ke baris baris 3 dikalikan ( 3) ditambahkan ke baris dan A - = Contoh 3 : Cari Invers Matrik A =

25 baris dikalikan 2 3/ /2 baris dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 2; baris dikalikan (-) ditambahkan ke baris 3. 3/2 2 / /2 6 /2 Baris 2 dikalikan (/9) 3/2 2 /2 2/9 /9 7/2 6 /2 Baris 2 dikalikan (3/2) ditambahkan ke baris ; baris 2 dikalikan (-7/2) ditambahkan ke baris 3. /2 5/2 baris 3 dikalikan (-2/5) /2 3/8 3/8 2/9 /9 5/8 7/8 3/8 3/8 2/9 /9 /9 4/9 2/5 Penyebut disamakan menjadi per-9 /2 5/9 5/9 2/9 /9 /9 4/9 36/9 Baris 3 ditambahkan ke baris 2; baris 3 dikalikan (-/2) ditambahkan ke baris. 2/9 8/9 8/9 3/9 24/9 36/9 /9 4/9 36/9 Jadi dan A - = 2/9 8/9 8/9 3/9 24/9 36/9 /9 4/9 36/9 =

26 Sistem Persamaan Linier. a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b n dapat ditulis dalam bentuk matrik : a a 2. a n a 2 a 22 a 2n x x 2 = b b 2 a m a m2 a mn x n b n Contoh : Diberikan sistem persamaan linier x + 2x 2 + x 3 = 2 3x + x 2 2x 3 = 4x 3x 2 x 3 = 3 Cari x ; x 2 ; x x + 2x 2 + x 3 = 2-5x 2 5x 3 = -5 baris dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2 baris dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 3 baris 2 dikalikan (-/5) ditambahkan ke baris 3 baris 2 dikalikan (-/5) ditambahkan ke baris 3 6x 3 = 6, jadi x 3 = ; x 2 = ; x =

27 Atau : baris 2 dikalikan (-/5) didapat baris 2 dikalikan (-2) ditambahkan ke baris didapat 6 6 Baris 3 dikalikan (/6) didapat Baris 3 dikalikan (-) ditambahkan ke baris 2 ; baris 3 ditambakan ke baris. jadi x = ; x 2 = ; dan x 3 = Contoh 2 : Seorang yang tinggal pada satu perumahan, memilih alat transportasi untuk pergi ke tempat kerjanya yakni dengan taksi, angkot dan bus. Adapun karakteristik dari ke-tiga moda adalah sebagai berikut : Taksi (x ) Angkot (x 2 ) Bus (x 3 ) Waktu tempuh /3 ½ Jumlah tempat henti 2 7 Biaya 4 /2 Dalam satu bulan orang tersebut menghabiskan waktu 4 jam,76 kali berhenti, biaya 26 rupiah. Hitung berapa kali orang tersebut menggunakan setiap moda. Waktu tempuh : /3 x + ½ x 2 + x 3 = 4 Jumlah henti : 2x 2 + 7x 3 = 76 Biaya : 4x + x 2 + /2x 3 = 26

28 /3 / /2 26 baris dikalikan (-2) ditambahkan ke baris 3 /3 / /2 42 baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3 /3 / baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3 /3 x + ½ x 2 + x 3 = 4 2x 2 + 7x 3 = 76 6x 3 = 48, maka x 3 = 8 ; x 2 = ; x = 3 Jadi orang tersebut untuk pergi ke tempat kerja 3 kali naik taksi naik angkot dan 8 kali naik bus. Buku Acuan : Amrinsyah Nasution & Hasballah Zakaria, Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil, Penerbit ITB Bandung. Budi Murtiyasa, 22, Matriks & Sistem Persamaan Linear, Muhammadiyah University Pres, Surakarta. Bambang Triatmodjo, 22, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta.

29 PROGRAM LINIER Program Linier merupakan salah satu model dari Riset Operasi, dimana Riset Operasi ini merupakan alat untuk menjawab masalah, yakni mengoptimalkan atau meminimalkan suatu fungsi, yakni fungsi sasaran dengan syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi. Jika fungsi sasaran dan syarat-syaratnya linier maka Program Linier dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut. Permasalah Program Linier : Fungsi Tujuan : f(x) = a x + a 2 x a n x n Syarat-syarat : a x + a 2 x a n x n b a 2 x + a 22 x a 2n x n b 2... a m x + a m2 x a mn x n b m dan x i ; untuk setiap i =... n Masalah Program Linier dan Penyelesaian Cara Grafik. Contoh : Suatu industri rumah tangga pembuat kerudung. Ada 2 macam model yang dibuat yakni model A dan model B. Ada 3 karyawan yang bekerja, karyawan perminggu hanya bekerja 8 jam, karyawan 2 selama 5 jam, dan karyawan 3 selama 3 jam. Proses pembuatan kerudung setiap losin (2 biji) untuk model A dikerjakan oleh karyawan selama 2 jam, karyawan 3 selama 6 jam, sedangkan model B dikerjakan oleh karyawan 2 selama 3 jam dan karyawan 3 selama 5 jam.. Jika setiap penjualan losin kerudung Model A memberi keuntungan 3. dan losin model B memberi keuntungan 5.. Maka berapa lusin model A dan model B harus dibuat agar keuntungannya maksimal. Karyawan Karyawan 2 Karyawan 3 Model A Model B Jam Kerja Keuntungan x. 3 5 Fungsi tujuan : f = 3x + 5y Syarat-syarat : ) 2x 8 2) 3y 5

30 3) 6x + 5y 3 Untuk fungsi tujuan : f = 3x + 5y didapatkan hasil : Untuk titik A(4,) f = 2 B(4, 6/5) f = = 8 C(5/6, 5) f = 5/ = 27,5 D(,5) f = 25 Jadi, model A = 5/6 lusin, model 5 lusin dan keuntungan Contoh 2 : Seorang petani memiliki 6 ha tanah yang akan padi dan jagung. Adapun datanya sebagai berikut : Sarana Padi Jagung b i satuan Tanah Modal Air / / Ha Ribu rupiah jam 2 Ribu rupiah Fungsi tujuan : f = 2x + y Syarat-syarat : ) /5 x + 2/5 y 6 2) 3x + 2y 2 3) 2x 36 Disederhanakan menjadi : ) x + 2 y 8 2) 3x + 2y 2 3) x 3 Untuk fungsi tujuan : f = 2x + y didapatkan hasil : Untuk titik A(3,) B(3, 5) f = = 75 C(2, 3) f = = 7

31 D(,4) f = 4 Untuk syarat-syarat didapatkan hasil : Untuk titik : A(3,) ) /5 x + 2/5 y ) 3x + 2y ) 2x B(3, 5) ) /5 x + 2/5 y = 2 6 2) 3x + 2y = 2 2 3) 2x C(2, 3) ) /5 x + 2/5 y = 6 6 2) 3x + 2y = 2 2 3) 2x D(,4) ) /5 x + 2/5 y ) 3x + 2y ) 2x Masalah Program Linier dan Penyelesaian Metode Simplex. Jawab : Fungsi tujuan : f = 3x + 5y Syarat-syarat : ) 2x 8 2) 3y 5 3) 6x + 5y 3

32 Langkah-langkah penyelesaian :. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut : Fungsi tujuan : f = 3x + 5y diubah menjadi f 3x 5y = Syarat-syarat : ) 2x 8 diubah menjadi 2x + s = 8 2) 3y 5 diubah menjadi 3y + s 2 = 5 3) 6x + 5y 3 diubah menjadi 6x + 5y + s 3 = 3 2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut : F s s 2 s 3 f x y s s 2 s 3 b i Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-5) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s ada nilai = 8 = ~ ; baris s 2 = 5 = 5; 3 baris s 3 = 3 = 6. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s 2 = 5 = F s s 2 s 3 F s y s 3 f x y s s 2 s 3 b i Baris kunci dikalikan /3 didapat F s s 2 s 3 F s y s 3 f x y s s 2 s 3 b i / Pada kolom y, setiap barisnya dibuat (nol)

33 a) Baris y dikalikan 5 ( 5 5/3 25), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris y dikalikan (-5) ( -5-5/3-25), ditambahkan ke baris s 3. F s s 2 s 3 F s y s 3 f x y s s 2 s 3 b i /3 2 /3 6-5/ Kembali ke langkah 3 yakni : F s y s 3 f x y s s 2 s 3 b i -3 5/ / /3 5 Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat 2 (-3) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 6 8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s ada nilai = 8 2 = 4 ; baris y = 5 = ~ ; baris s 3 = 5 6. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s 3 = 5 6. F s y s 3 F s y x f x y s s 2 s 3 b i -3 5/ / / / Baris kunci dikalikan /6 didapat : F s y s 3 F s y x f x y s s 2 s 3 b i -3 5/ / /3 5-5/8 /6 5/6

34 . Pada kolom x, setiap barisnya dibuat (nol) a) Baris x dikalikan 3 (3-5/6 /2 5/2), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-2) (-2 5/9 -/3-5/3), ditambahkan ke baris s. F s y s 3 F s y x f x y s s 2 s 3 b i -3 5/ / /3 5 5/6 /2 5/9 -/3 /3-5/8 /6 27,5 9/3 5 5/6 Jadi, didapat x = 5/6 ; y = 5 dan f = 27,5 Jawaban Contoh 2 : Fungsi tujuan : f = 2x + y Syarat-syarat : ) /5 x + 2/5 y 6 2) 3x + 2y 2 3) 2x 36 Disederhanakan menjadi : ) x + 2 y 8 2) 3x + 2y 2 3) x 3 Langkah-langkah penyelesaian :. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut : Fungsi tujuan : f = 2x + y diubah menjadi f 2x y = Syarat-syarat : ) x + 2y 8 diubah menjadi x + 2y + s = 8 2) 3x + 2y 2 diubah menjadi 3x + 2y + s 2 = 2 3) x 3 diubah menjadi x + s 3 = 3 2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut : F s s 2 s 3 f x y s s 2 s 3 b i

35 3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat (-2) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 3 4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s ada nilai = 8 = 8 ; baris s 2 = 2 = 4; 3 baris s 3 = 3 = 3. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s 3 = 3 = 3. F s s 2 s 3 F s s 2 x f x y s s 2 s 3 b i Baris kunci dikalikan, nilai pada kolom pertama. 6. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat (nol) a) Baris x dikalikan 2 (2 2 6), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-) (- - -3), ditambahkan ke baris s. c) Baris x dikalikan (-3) ( ), ditambahkan ke baris s 2. F s s 2 s 3 F s s 2 x f x y s s 2 s 3 b i Kembali ke langkah 3 yakni : F s s 2 x f x y s s 2 s 3 b i Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat 2 (-) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : 2

36 8. Pilih baris kunci; (lihat 7) baris s ada nilai = 5 = 25 ; baris s 2 = 3 = 5 ; baris x 2 2 = 3 = ~. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s 2 = 3 = 5. 2 f s s 2 x f s y x f x y s s 2 s 3 b i Baris kunci dikalikan /2 didapat : f s s 2 x f s y x f x y s s 2 s 3 b i /2-3/2 5. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat (nol) a) Baris y dikalikan ( /2-3/2 5), kemudian ditambahkan ke baris f. b) Baris x dikalikan (-2) ( ), ditambahkan ke baris s. f s s 2 x f s y x f x y s s 2 s 3 b i ½ /2-2 /2-3/ Jadi, didapat x = 3 ; y = 5 dan f = 75

37 ANALISA NETWORK Analisa Network biasanya disusun untuk memudahkan pengurutan kegiatan yang kompleks, dimana kegiatan tersebut saling berhubungan. Contoh : Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut : Kegiatan Keterangan Kegiatan yang mendahului A B C D E F G Merencanakan Memesan mesin Menyesuaikan mesin Pesan material Buat rangka Finishing rangka Pasang mesin pada rangka - A B A D E C, F Waktu (minggu) Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut. Perencanaan tersebut disusun Network sbb : A B C G 7 D E F Kemudian mencari jalur kritis sbb: A, B,3 4 D,5 6 4 C, E,4 2 2 F, G,6 29

38 Jadi waktu penyelesaian proyek 29 minggu. Contoh 2 : Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut : Kegiatan Kegiatan yang mendahului Waktu (minggu) A B C D E F G H - - A B C C D,E F,G Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut. Perencanaan tersebut disusun Network sbb : F A C E H B D G Kemudian mencari jalur kritis sbb: B,4 4 A,3 3 4 D,5 9 3 C,3 6 6 E,5 6 F,3 9 G,5 6 6 H,3 9

39 MODEL TRANSPORTASI Model Transportasi merupakan model yang berkaitan dengan pendistribusian barang dari pusat penyediaan barang (sumber) ke tempat-tempat penerimaan barang (tujuan). Adapun persoalan yang akan dipecahakan pada model transportasi yakni menentukan pengiriman barang dari sumber ke tujuan dengan meminimalkan biaya. Contoh : Seorang saudagar beras memiliki 3 gudang, yang akan mengirimkan berasnya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing gudang, permintaan dari 3 lokasi, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut : Kapasitas masing-masing Gudang Gudang Kapasitas Gudang A B 7 C 6 Total 23 Permintaan masing-masing Kota Permintaan Kapasitas Gudang Solo 6 Yogya 2 Semarang 5 Total 23 Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi. Dari Biaya Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Gudang A 22 7 Gudang B Gudang C

40 Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) Tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A 22 7 Gudang B Gudang C Permintaan Beras Penyelesaian berdasarkan tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A a b Gudang B c Gudang C Permintaan Beras d e Jadi biaya pengiriman = 6(22) + 4(7) + 7(22) + (2) + 5(2) = 43 Perbaiki tabel dengan coba-coba. Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A 22 7 a b Gudang B c Gudang C Permintaan Beras d e Jadi biaya pengiriman = (7) + 6(7) + (22) + (2) + 5(2) = 3

41 Perbaiki tabel dengan coba-coba yang ke dua. Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A a b Gudang B c Gudang C Permintaan Beras d e Jadi biaya pengiriman = 5(7) + 5() + 6(7) + (22) + 6(2) = 28 Dengan memilih biaya minimal lebih dulu. Tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A 22 7 Gudang B Gudang C Permintaan Beras Pengerjaan : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Gudang Gudang A 22 7 a Gudang B c b Gudang C Permintaan Beras e d Jadi biaya pengiriman = (7) + 2(7) + 5(2) + 4(27) + 2(2) = 296.

42 Contoh 2 : Perusahaan air minum memiliki sumber air di 3 lokasi yakni Boyolali, Klaten dan Sarangan, yang akan mengirimkan produknya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing sumber air dan permintaan dari 3 kota, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut : Kapasitas masing-masing Gudang Sumber Kapasitas Produksi Boyolali 5 Klaten 6 Sarangan 7 Total 8 Permintaan masing-masing Kota Permintaan Kapasitas Bak Air Solo 6 Yogya 55 Semarang 65 Total 8 Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi. Dari Biaya Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Boyolali Klaten 8 5 Sarangan Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method) Tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Produksi Boyolali Klaten Sarangan Kapasitas Bak air

43 Penyelesaian berdasarkan tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Produksi Boyolali a Klaten b c Sarangan Kapasitas Bak air d e Jadi biaya pengiriman = 5(6) + (8) + 55(5) + 5(4) + 65(5) =. Dengan memilih biaya minimal lebih dulu. Tabel awal : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Produksi Boyolali Klaten Sarangan Kapasitas Bak air Pengerjaan : Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas Produksi Boyolali d Klaten c Sarangan Kapasitas Bak air a b Jadi biaya pengiriman = 6(8) + 55(4) + 5(9) + 5(5) = 22.5.

44 MODEL PENUGASAN. Model ini digunakan untuk masalah-masalah penugasan, yakni pemberian tugas dari pimpinan kepada karyawannya. Tujuannya untuk meminimalkan biaya atau memaksimalkan keuntungan. Contoh : Suatu perusahaan mendapatkan 3 poyek, maka diperlukan 3 karyawannya yang bertanggung jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masingmasing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut : Karyawan Proyek A B C Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawan tersebut harus dilakukan, agar biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin.. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut. Karyawan Proyek A B C Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka (nol). Pada kolom B belum ada angka, maka kurangilah setiap elemen kolom B dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

45 Karyawan Proyek A B C Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C Jika banyak garis yang melingkupi angka sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya. Jadi ada 2 garis yang melingkupi angka. Maka perlu memperbaiki matriks. 5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis. Karyawan Proyek A B C Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal. 7. Kesimpulan : Karyawan ditugaskan ke proyek C dengan gaji 8. Karyawan 2 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 2, dan Karyawan 3 ditugaskan ke proyek A dengan gaji. Jadi total pengeluaran = 3.

46 Contoh 2 : Suatu perusahaan mendapatkan 4 poyek, maka diperlukan 4 karyawannya yang bertanggung jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masingmasing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut : Karyawan Proyek A B C D Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawn tersebut harus dilakukan, agar biaya yang dikeluarkan seminimal mungkin.. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut. Karyawan Proyek A B C D Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka (nol). Pada kolom C belum ada angka, maka kurangilah setiap elemen kolom C dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Karyawan Proyek A B C D

47 4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D Jika banyak garis yang melingkupi angka sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya. Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka. Maka perlu memperbaiki matriks. 5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI GARIS BERSILANGAN. Karyawan Proyek A B C D Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal. 7. Kesimpulan : Karyawan ditugaskan ke proyek C dengan gaji 2 (kalau ke-proyek A, maka karyawan 2 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 7, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 23, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek D dengan gaji 9. Jadi total pengeluaran = 8.

48 Contoh 3 : Suatu perusahaan memiliki 4 karyawan, yang akan menyelesaikan 4 proyek yang diperoleh tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan : Karyawan Proyek A B C D Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh keuntungan yang semaksimal mungkin.. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan angka pada setiap elemen baris tersebut. Karyawan Proyek A B C D Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka (nol). Pada kolom A dan kolom D belum ada angka, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kurangilah setiap elemen kolom D dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

49 Karyawan Proyek A B C D Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D Jika banyak garis yang melingkupi angka sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya. Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka. Maka penugasan sudah optimal. 5. Kesimpulan : Karyawan ditugaskan ke proyek D dengan keuntungan 75 (kalau ke-proyek B, maka karyawan 3 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek C dengan keuntungan, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan keuntungan, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek A dengan keuntungan 85. Jadi total keuntungan = 37.

50 Contoh 4 : Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan, yang akan menyelesaikan 5 proyek yang diperoleh tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan : Karyawan Proyek A B C D E Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh keuntungan yang semaksimal mungkin.. Matriks awal : Karyawan Proyek A B C D E Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan angka pada setiap elemen baris tersebut. Karyawan Proyek A B C D E Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka (nol). Pada kolom A dan kolom B, dan kolom C belum ada angka, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kolom-kolom yang lainnya

51 Karyawan Proyek A B C D E Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D E Jika banyak garis yang melingkupi angka sama dengan banyak baris (kolom) maka penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya. Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka. Maka penugasan sudah optimal. 5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2, kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI GARIS BERSILANGAN. Karyawan Proyek A B C D E Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin ) Karyawan Proyek A B C D E

52 Jadi ada 5 garis yang melingkupi angka. Berarti banyak garis = banyak baris, maka penugasan sudah optimal. 7. Kesimpulan : Karyawan Proyek Untung Karyawan Proyek Untung B 22 E 25 2 A 24 2 D 25 3 E 22 3 A 9 4 D 26 4 B 25 5 C 24 5 C 24 TOTAL 8 TOTAL 8 Buku Acuan: B. Susanta, Program Linier, PMIPA, Univ. Gadjah Mada, Yogyakarta. Hamdy A. Taha, Riset Operasi, Binarupa Aksara, Jakarta. Pangestu Subagyo, Marwan Asri, T.Hani Handoko, Dasar-Dasar Operations Research, BPFE, Yogyakarta. Richard Bronson Ph.D, 996, Teori Dan Soal Operation Research, Penerbit Erlangga, Jakarta. Sukanto Reksohadiprodjo, Manajemen Produksi Dan Operasi, BPFE, Yogyakarta Siswato, 26, Operations Researc