GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Transkripsi

1 7 GI INGGUNG LINGKN ernahkah kalian memerhatikan sebuah kerekan atau katrol? Gambar di samping adalah alat pada abad ke-8 yang memperagakan daya angkat sebuah kerekan yang prinsip kerjanya menggunakan katrol. ada alat di samping terdapat beberapa katrol yang masing-masing dihubungkan oleh tali. erhatikan bahwa masing-masing tali menyinggung bagian dari katrol, yang bagian bawahnya dihubungkan dengan sebuah pemberat. apatkah kalian menentukan panjang tali yang menyinggung tiap katrol tersebut? umber: Jendela Iptek, 00 Tujuan pembelajaranmu pada bab ini adalah: dapat menemukan sifat sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan garis yang melalui titik pusat; dapat mengenali garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; dapat menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dan persekutuan luar dua lingkaran; dapat melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Kata-Kata Kunci: sifat garis singgung lingkaran garis singgung persekutuan dalam garis singgung persekutuan luar lingkaran dalam segitiga lingkaran luar segitiga

2 k k k F k3 H E Gambar 7. Gambar 7. G k ' ebelum kalian mempelajari materi pada bab berikut, coba kalian ingat kembali materi mengenai segitiga, garis-garis pada segitiga, teorema ythagoras, dan lingkaran. Materi tersebut akan memudahkan kalian dalam mempelajari materi pada bab ini.. MENGENL IFT-IFT GI INGGUNG LINGKN. engertian Garis inggung Lingkaran Untuk memahami pengertian garis singgung lingkaran, perhatikan Gambar 7. di samping. Lingkaran pusat di dengan diameter tegak lurus dengan diameter (garis k). Jika garis k digeser ke kanan sedikit demi sedikit sejajar k maka pada posisi k memotong lingkaran di dua titik (titik E dan F) dengan k. pada posisi k memotong lingkaran di dua titik (titik G dan H) dengan k. pada posisi k 3 memotong lingkaran di satu titik, yaitu titik (menyinggung lingkaran di ). elanjutnya, garis k 3 disebut garis singgung lingkaran. ekarang perhatikan Gambar 7.. Jika garis k diputar dengan pusat perputaran titik ke arah busur yang lebih kecil dari busur maka kita peroleh sama kaki. (Mengapa?) = = ( 80 ). Jika kita terus memutar garis k ke arah busur yang lebih kecil dan lebih kecil lagi maka = akan makin besar dan makin kecil. ada suatu saat garis k akan menyinggung lingkaran di titik dengan titik berimpit dengan titik dan saat itu berlaku = = ( 80 ) = ( 80 0 ) = 90 Hal ini menunjukkan bahwa jari-jari tegak lurus dengan garis singgung k di titik. 70 Matematika Konsep dan plikasinya

3 Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jari-jari di titik singgungnya. erhatikan Gambar 7.3. ada Gambar 7.3 di samping tampak bahwa garis k tegak lurus dengan jari-jari. Garis k adalah garis singgung lingkaran di titik, sedangkan disebut titik singgung lingkaran. Karena garis k, hal ini berarti sudut yang dibentuk kedua garis tersebut besarnya 90 o. engan demikian secara umum dapat dikatakan bahwa setiap sudut yang dibentuk oleh garis yang melalui titik pusat dan garis singgung lingkaran besarnya 90 o.. Melalui uatu Titik pada Lingkaran Hanya apat ibuat atu Garis inggung pada Lingkaran Tersebut erhatikan Gambar 7.4. g Gambar 7.3 k l k E l k Gambar 7.4 ada Gambar 7.4 di atas, garis k dan k adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan menyinggung lingkaran di titik dan. pabila titik digeser ke maka garis k dan k akan bergeser sehingga menjadi garis l dan l yang menyinggung lingkaran di titik dan E. pabila titik digeser ke tepat pada keliling lingkaran maka garis l dan l bergeser dan saling berimpit menjadi garis g. Jadi, hanya terdapat satu garis singgung lingkaran yang melalui suatu titik pada lingkaran. pakah garis g? (Menumbuhkan kreativitas) mati lingkungan di sekitarmu. arilah benda-benda yang menggunakan prinsip garis singgung lingkaran. eritakan hasil temuanmu secara singkat di depan kelas. Garis inggung Lingkaran 7

4 Gambar 7.5. MELUKI N MENENTUKN NJNG GI INGGUNG LINGKN Untuk melukis garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran dan di luar lingkaran, perhatikan uraian berikut ini.. Melukis Garis inggung Melalui uatu Titik pada Lingkaran alinlah Gambar 7.5 di samping. Kemudian lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik pada lingkaran di samping. Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik, langkahlangkahnya sebagai berikut. a. Lukis jari-jari dan perpanjangannya. Gambar 7.6 b. Lukis busur lingkaran berpusat di sehingga memotong garis dan perpanjangannya di titik dan. Gambar 7.7 c. Lukis busur lingkaran berpusat di titik dan sehingga saling berpotongan di titik dan E. Hubungkan titik dan E. Garis E adalah garis singgung lingkaran di titik. E E Gambar 7.8 ari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut. 7 Matematika Konsep dan plikasinya

5 . Melukis Garis inggung Melalui uatu Titik di Luar Lingkaran Lukislah sebuah lingkaran dengan titik pusat di dan titik berada di luar lingkaran. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Langkah-langkah melukis garis singgung melalui suatu titik di luar lingkaran sebagai berikut. a. Lukislah lingkaran titik pusat di dan titik di luar lingkaran. b. Hubungkan titik dan. c. Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik dan titik sehingga saling berpotongan di titik dan titik. d. Hubungkan sehingga memotong garis di titik. e. Lukis lingkaran berpusat di titik dan berjari-jari = sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Namailah dengan titik E dan F. f. Hubungkan titik dengan titik E dan titik dengan titik F. Garis E dan EF merupakan dua garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran. (a) (b) (c) E F E F (d) (e) (f) Gambar 7.9 erdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. 3. Menentukan anjang Garis inggung Lingkaran dari atu Titik di Luar Lingkaran ada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai teorema ythagoras. Untuk menentukan panjang garis singgung lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema ini. Garis inggung Lingkaran 73

6 Gambar 7.0 erhatikan uraian berikut. ada Gambar 7.0 di samping, lingkaran berpusat di titik dengan jari-jari dan garis. Garis adalah garis singgung lingkaran melalui titik di luar lingkaran. erhatikan segitiga siku-siku. engan teorema ythagoras berlaku + = = = anjang garis singgung lingkaran () =. iketahui lingkaran berpusat di titik dengan jarijari = 5 cm. Garis adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Jika jarak = 3 cm maka a. gambarlah sketsanya; b. tentukan panjang garis singgung. enyelesaian: a. ketsa b. 5 cm = = cm = 69 5 = 44 = Jadi, panjang garis singgung = cm. 4. Layang-Layang Garis inggung erhatikan Gambar 7.. Gambar Matematika Konsep dan plikasinya

7 ada gambar tersebut tampak bahwa garis dan adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik. engan demikian = dan = dengan garis merupakan tali busur. erhatikan. ada, = = jari-jari, sehingga adalah segitiga sama kaki. ekarang, perhatikan. ada, = = garis singgung, sehingga adalah segitiga sama kaki. engan demikian, segi empat terbentuk dari segitiga sama kaki dan segitiga sama kaki dengan alas yang saling berimpit. leh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat merupakan layang-layang. Karena sisi layanglayang terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat disebut layang-layang garis singgung. a. ua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layanglayang. b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. Gambar 7. erhatikan gambar di atas. ari titik di luar lingkaran yang berpusat di titik dibuat garis singgung dan. Jika panjang = 9 cm dan = 5 cm, hitunglah enyelesaian: erhatikan. a. siku-siku di titik, sehingga = = 5 9 = 5 8 = 44 = 44 = cm Garis inggung Lingkaran 75

8 a. panjang ; b. luas ; c. luas layang-layang ; d. panjang tali busur. b. Luas = = 9 = 54 cm c. Luas layang-layang = luas = 54 = 08 cm d. Luas layang-layang = 08 = 5 08 = 5 = 4,4 cm Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. m l 4. erdasarkan keterangan pada gambar berikut, hitunglah panjang setiap garis k singgung lingkarannya. a. n p ari garis-garis k, l, m, n, dan p pada gambar di atas, manakah yang merupakan garis singgung lingkaran?. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran berpusat di titik (0, 0) dengan jari-jari 5 satuan panjang. elanjutnya lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik (0, 5). 3. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik (3, ) dan jari-jari 4 satuan panjang. elanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik (, ). b. c. 5 cm 0 cm cm 7 cm 6 cm 0 cm 76 Matematika Konsep dan plikasinya

9 5. a. panjang garis singgung ; b. luas layang-layang ; c. panjang tali busur. ada gambar di atas, garis dan adalah garis singgung lingkaran yang melalui titik. Jika = 0 cm dan = 6 cm maka tentukan. KEUUKN U LINGKN Jika terdapat dua lingkaran masing-masing lingkaran L berpusat di dengan jari-jari dan lingkaran L berpusat di dengan jari-jari r di mana > r maka terdapat beberapa kedudukan lingkaran sebagai berikut. (i) L terletak di dalam L dengan dan berimpit, sehingga panjang = 0. alam hal ini dikatakan L terletak di dalam L dan konsentris (setitik pusat). (ii) L terletak di dalam L dan < r <. alam hal ini dikatakan L terletak di dalam L dan tidak konsentris. (iii) L terletak di dalam L dan = r =, sehingga L dan L bersinggungan di dalam. (iv) L berpotongan dengan L dan r < <. (v) L berpotongan dengan L dan r < < + r. (i) (ii) (iii) L L r, = 0 L L < r < L L (vi) L terletak di luar L dan = + r, sehingga L dan L bersinggungan di luar. (vii) L terletak di luar L dan > + r, sehingga L dan L saling terpisah. = r = L L L L L L L L r< < r< < + r = + r > + r (iv) (v) (vi) (vii) Gambar 7.3 Garis inggung Lingkaran 77

10 (Menumbuhkan kreativitas) mbillah dua buah koin yang berbeda ukuran. eragakanlah kedudukan dua buah lingkaran seperti pada Gambar 7.0. eritakan secara singkat di depan kelas. ada beberapa kedudukan lingkaran seperti tersebut di atas, dapat dibuat garis singgung persekutuan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan adalah garis yang menyinggung dua buah lingkaran sekaligus. pakah untuk setiap dua lingkaran selalu dapat dibuat garis singgung persekutuan? erhatikan kemungkinan berikut. (i) ada Gambar 7.4 kedua lingkaran tidak mempunyai garis singgung persekutuan. (ii) ada Gambar 7.5 kedua lingkaran mempunyai satu garis singgung persekutuan. (iii) ada Gambar 7.6 kedua lingkaran mempunyai dua garis singgung persekutuan. Gambar 7.4 Gambar 7.5 Gambar 7.6 (iv) ada Gambar 7.7 kedua lingkaran mempunyai tiga garis singgung persekutuan. (v) ada Gambar 7.9 kedua lingkaran mempunyai empat garis singgung persekutuan. Gambar 7.7 Gambar 7.8. GI INGGUNG EEKUTUN U LINGKN ada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. ekarang, kalian akan mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. da dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. gar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini. 78 Matematika Konsep dan plikasinya

11 . Melukis Garis inggung ersekutuan alam ua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran sebagai berikut. (a) Lukis lingkaran L berpusat di titik dengan jari-jari dan lingkaran L berpusat di titik dengan jari-jari r ( > r). elanjutnya, hubungkan titik dan. (b) Lukis busur lingkaran berpusat di titik dan sehingga saling berpotongan di titik dan. (c) Hubungkan titik dengan titik sehingga memotong garis di titik T. (d) Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari T. (e) Lukis busur lingkaran pusat di titik, jari-jari + r sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V. (f) Hubungkan titik dan U sehingga memotong lingkaran L di titik. Hubungkan pula titik dan V sehingga memotong lingkaran L di titik. (g) Lukis busur lingkaran pusat di titik, jari-jari U sehingga memotong lingkaran L di titik. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik jari-jari V sehingga memotong lingkaran L di titik. (h) Hubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik. Garis dan merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L dan L. T (d) V U T (e) r (a) (b) T (c) V T U (f) V V T U T U (g) Gambar 7.9 (h) Garis inggung Lingkaran 79

12 . anjang Garis inggung ersekutuan alam ua Lingkaran Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema ythagoras. L d L p r Gambar 7.0 ada Gambar 7.0 di atas, dua buah lingkaran L dan L berpusat di dan, berjari-jari dan r. ari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di = ; jari-jari lingkaran yang berpusat di = r; panjang garis singgung persekutuan dalam adalah = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah = p. Jika garis digeser sejajar ke atas sejauh maka diperoleh garis. Garis sejajar, sehingga = = 90 o (sehadap). erhatikan segi empat. Garis //, //, dan = = 90 o. Jadi, segi empat merupakan persegi panjang dengan panjang = d dan lebar = r. erhatikan bahwa siku-siku di titik. engan menggunakan teorema ythagoras diperoleh = = ( r) = + Karena panjang =, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah ( ) d = p + r 80 Matematika Konsep dan plikasinya

13 M 5 cm5 cm N 4 cm Gambar 7. ada gambar di atas, panjang jari-jari M = 5 cm, panjang jari-jari N = 4 cm, dan panjang MN = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalamnya. enyelesaian: iketahui M = 5 cm, N = 4 cm, dan MN = 5 cm. Garis singgung persekutuan dalamnya adalah. ( ) = MN M + N ( ) = + = 5 8 = 44 = Jadi, panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah cm. 3. Melukis Garis inggung ersekutuan Luar ua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sebagai berikut. (a) Lukis lingkaran L dengan pusat di berjari-jari dan lingkaran L pusat di berjari-jari r ( > r). Hubungkan titik dan. (b) Lukis busur lingkaran dengan pusat di dan sehingga saling berpotongan di titik dan. (c) Hubungkan sehingga memotong di titik T. (d) Lukis busur lingkaran dengan pusat di T dan berjari-jari T. (e) Lukis busur lingkaran dengan pusat di, berjari-jari r sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V. (f) Hubungkan dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L di titik. Hubungkan pula dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L di titik. (g) Lukis busur lingkaran dengan pusat di, jari-jari U sehingga memotong lingkaran L di titik. Lukis pula busur lingkaran pusat di, jari-jari V sehingga memotong lingkaran L di titik. (h) Hubungkan titik dengan titik dan titik dengan titik. Garis dan merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L dan L. (a) (b) r Garis inggung Lingkaran 8

14 T T V U T (c) (d) (e) V U T V U T V U T (f) (g) (h) Gambar anjang Garis inggung ersekutuan Luar ua Lingkaran Kalian telah mempelajari cara melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran. ekarang, kalian akan menentukan panjang garis singgung persekutuan luar tersebut. erhatikan Gambar 7.3. d r L p L Gambar 7.3 ari gambar tersebut diperoleh jari-jari lingkaran yang berpusat di = ; jari-jari lingkaran yang berpusat di = r; panjang garis singgung persekutuan luar adalah = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah = p. Jika garis kita geser sejajar ke bawah sejauh maka diperoleh garis. Garis sejajar, sehingga = = 90 o (sehadap). erhatikan segi empat. Garis //, //, dan = = 90 o. 8 Matematika Konsep dan plikasinya

15 siku-siku di, sehingga berlaku = = = ( r) Karena = = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah ( ) d = p r anjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut 3 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 3 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. enyelesaian: anjang garis singgung persekutuan luar adalah cm, maka d =. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 3 cm, maka p = 3. anjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5. anjang jari-jari lingkaran yang lain =, sehingga ( ) ( ) = d p r ( ) = 3 3,5 ( ) ( ) = 3 3,5 44 = 69 3,5 3,5 = 5 3,5 = 5 3,5 = 5 = 5+ 3,5= 8,5cm Garis inggung Lingkaran 83

16 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. 3. erhatikan gambar di atas. erdasarkan gambar tersebut, benar atau salahkah pernyataan-pernyataan berikut? a. sejajar b. c. = d. = e. di titik. anjang jari-jari dua lingkaran masingmasing adalah cm dan 5 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 4 cm. Hitunglah a. panjang garis singgung persekutuan dalam; b. panjang garis singgung persekutuan luarnya. erhatikan gambar di atas. anjang jari-jari lingkaran yang berpusat di adalah 9 cm dan panjang jari-jari lingkaran yang berpusat di adalah 4 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya cm, tentukan a. jarak kedua pusat lingkaran; b. luas segi empat yang diarsir. 4. anjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah 4 cm dan jarak kedua pusatnya adalah 6 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 6 cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain. 5. anjang jari-jari dua buah lingkaran yang berpusat di dan masing-masing adalah 8 cm dan 4 cm. Jarak kedua titik pusatnya 0 cm. a. Lukislah garis singgung persekutuan dalamnya. b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan dalam tersebut. E. MENENTUKN NJNG UK LILITN MINIML YNG MENGHUUNGKN U LINGKN alam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan mengangkat. Mungkin juga beberapa tong minyak kosong 84 Matematika Konsep dan plikasinya

17 dikumpulkan menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kalian akan mempelajari cara menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang tersebut agar memudahkan pekerjaan. enyelesaian: H G I 7 7 F Gambar 7.4 Gambar 7.4 di atas menunjukkan penampang tiga buah pipa air berbentuk lingkaran yang masingmasing berjari-jari 7 cm dan diikat menjadi satu. Hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang diperlukan untuk mengikat tiga pipa tersebut. (Menumbuhkan inovasi) matilah lingkungan di sekitarmu. Temukan pemanfaatan sabuk lilitan minimal pada benda-benda di sekitarmu. Lalu, hitunglah panjang sabuk lilitan minimal yang digunakan untuk mengikat benda-benda tersebut. Tulislah hasilnya dalam bentuk laporan dan serahkan kepada gurumu. Gambar 7.5 E Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada Gambar 7.5, sehingga diperoleh panjang E = FG = HI = = = = jari-jari = 4 cm. egitiga sama sisi, sehingga = = = 60 o ; F = E = 90 o (siku-siku); FE = GH = I = 360 o (60 o + 90 o + 90 o ) = 0 o Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa panjang busur lingkaran = sudut pusat keliling lingkaran, sehingga diperoleh 360 panjang EF = panjang GH = panjang I 0 = = = cm 3 anjang sabuk lilitan minimal = E + FG + HI + panjang EF + panjang GH + panjang I Garis inggung Lingkaran 85

18 ( ) ( 3 panjang E) 3 panjang EF = + 44 = = = 86 cm Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.. 4. Gambar di atas adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 4 cm. erapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut?. ua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 44 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu Gambar di atas adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung dengan jari-jari 0 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut. Gambar di atas adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 4 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut. Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di atas. Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipapipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm. (Menumbuhkan kreativitas) Gambarlah dua buah lingkaran berpusat di dan, berjari-jari 8 cm dan 3 cm dengan jarak = 3 cm. Lukislah garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut, kemudian tentukan panjang garis singgung tersebut berdasarkan a. pengukuran, b. perhitungan. erapa selisih hasil a dan b? uatlah kesimpulannya. 86 Matematika Konsep dan plikasinya

19 F. MELUKI LINGKN LM N LINGKN LU EGITIG. Melukis Lingkaran alam egitiga Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya. Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga. oba kalian ingat kembali pengertian garis bagi suatu segitiga dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut. (a) Lukis, kemudian lukis garis bagi. Gambar 7.6 (b) Lukis pula garis bagi sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik. Gambar 7.7 (c) Lukis garis sehingga memotong garis di titik. Lukis lingkaran berpusat di titik dengan jari-jari. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam. Gambar 7.8. Menentukan anjang Jari-jari Lingkaran alam egitiga elanjutnya, mari kita temukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Namun, terlebih dahulu akan kita ingat kembali rumus keliling dan luas segitiga. erhatikan pada Gambar 7.9. anjang sisi di hadapan dinyatakan dengan a. anjang sisi di hadapan dinyatakan dengan b. anjang sisi di hadapan dinyatakan dengan c. Keliling segitiga adalah jumlah seluruh panjang sisi segitiga. b a c Gambar 7.9 Garis inggung Lingkaran 87

20 Jika keliling dinyatakan dengan s maka K = a+ b+ c s= a+ b+ c s= ( a+ b+ c) i kelas VII, kalian telah mempelajari rumus luas segitiga yang diketahui panjang alas dan tingginya, yaitu L = alas tinggi = a t Kali ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang dinyatakan dengan keliling segitiga. alam hal ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dengan memanfaatkan rumus s = keliling segitiga = b t a x c x c Gambar 7.30 ( ). a+ b+ c ekarang, perhatikan pada Gambar ada gambar tersebut, garis tinggi dinyatakan dengan t dan panjang dinyatakan dengan x. Karena diketahui panjang = c, maka panjang = c x. erhatikan bahwa siku-siku di titik, sehingga diperoleh = t = b x... (i) ekarang, perhatikan pada Gambar siku-siku di titik, sehingga diperoleh = + a = t + (c x) a = b x + (c x) t = b x a = b x + c cx + x a = b + c cx cx = b + c a x = b + c a c... (ii) b + c a Jadi, panjang = x =. elanjutnya, dengan c memanfaatkan rumus tersebut, kita akan menentukan rumus garis tinggi t. 88 Matematika Konsep dan plikasinya

21 erdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh = t b x b + c a = b c b + c a b + c a = b+ b a b = a+ b a b c c bc + b + c a bc ( b + c a ) = c c bc + b + c a bc b c + a ) = c c ( b+ c) a = ( a ( b bc+ c ) ) c ( b+ c) a a ( b c) = c c (( b c) a)( ( b c) a) ( a ( b c) )( a ( b c) ) Ingat bahwa ( )( ) = c c ( b+ c+ a)( b+ c a)( a+ b c)( a b+ c) = 4c ( a+ b+ c)( a+ b+ c a)( a+ b+ c c)( a+ b+ c b) = 4c s(s a)(s c)(s b) = 4c Ingat bahwa s = a + b + c. s ( s a) ( s c) ( s b) = 4c 6 ss ( a)( s c)( s b) = 4c 4 ss ( a)( s b)( s c) = c t t 4 ss ( a)( s b)( s c) = c = ss ( a)( s b)( s c) c erdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus garis tinggi t adalah t = ss ( a)( s b)( s c). c Garis inggung Lingkaran 89

22 engan demikian, rumus luas adalah L = alas tinggi = t = c s( s a)( s b)( s c) c = ss ( a)( s b)( s c) Jadi, luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan rumus L = ss ( a)( s b)( s c) dengan L = luas segitiga s = keliling segitiga; dan b E r a F c Gambar 7.3 a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga. elanjutnya, rumus luas segitiga tersebut digunakan untuk menentukan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. elajari uraian berikut. erhatikan Gambar 7.3. ada gambar tersebut lingkaran dengan pusat di titik adalah lingkaran dalam dari. erhatikan bahwa terbentuk dari,, dan. Misalkan panjang sisi = a, = b, = c, jari-jari lingkaran = = E = F = r, keliling = + + = s, dan luas = L. engan demikian, luas = luas + luas + luas L= E F + + = r + r + r = r( + + ) = r( b+ c+ a) = r( a+ b+ c) = rs 90 Matematika Konsep dan plikasinya

23 L r = s s( s a)( s b)( s c) atau r = s ari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jarijari lingkaran dalam segitiga adalah L ss ( a)( s b)( s c) r = atau r = s s dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga s = keliling segitiga L = luas segitiga a, b, c adalah panjang sisi-sisi segitiga Gambar 7.3 ada gambar di atas, lingkaran yang berpusat di merupakan lingkaran dalam. Jika panjang = 3 cm, = 4 cm, dan siku-siku di, tentukan panjang jarijari lingkaran dalam. enyelesaian: = 3 cm, maka c = 3. = 4 cm, maka b = 4. = + = = 9+ 6 = 5 = 5 Jadi, panjang = a = 5 cm. s= ( a+ b+ c) = ( ) = = 6 Karena siku-siku di titik, maka luas adalah luas segitiga = L= 3 4 6cm = = Garis inggung Lingkaran 9

24 anjang jari-jari lingkaran dalam adalah L r = s 6 = = cm 6 3. Melukis Lingkaran Luar egitiga Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak di luar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. oba kalian ingat kembali pengertian garis sumbu dan cara melukisnya. Langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga sebagai berikut. (a) Lukis, kemudian lukis garis sumbu sisi. Gambar 7.33 (b) Lukis pula garis sumbu sisi, sehingga kedua garis sumbu saling berpotongan di titik. Gambar 7.34 (c) Lukis lingkaran berpusat di dengan jari-jari. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran luar. Gambar Matematika Konsep dan plikasinya

25 4. Menentukan anjang Jari-jari Lingkaran Luar egitiga Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, perhatikan Gambar ada gambar tersebut, lingkaran yang berpusat di titik adalah lingkaran luar. Misalkan = = E = r; = a, = b, = c; luas = L. Tariklah garis tinggi dan diameter E. b c a E Gambar 7.36 matilah dan E. = E (sudut keliling yang menghadap busur yang sama) dan = E (siku-siku). kibatnya = E. Hal itu menunjukkan bahwa sebangun dengan E, sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut. = E = E E =...(i)...(ii) i lain pihak, kita memperoleh luas = L= L = L =...(iii) engan menyubstitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii), kita peroleh E = L r =...(karena E = d = r) L b a c a b c r = atau r = 4L 4L Garis inggung Lingkaran 93

26 ari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jarijari lingkaran luar segitiga adalah abc abc r = atau r = 4L 4 ss ( a)( s b)( s c) dengan r = jari-jari lingkaran luar a, b, dan c = panjang sisi L = luas s = keliling segitiga anjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 3 cm, 4 cm, dan 5 cm. Hitungah panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut. enyelesaian: Misalkan a = 3, b = 4, dan c = 5. s= ( a+ b+ c) = ( ) = 4 = abc r = 4 ss ( a)( s b)( s c) = 4 ( 3)( 4)( 5) = = = = = 8,5 Jadi, panjang jari-jari lingkaran luar segitiga = 8,5 cm. 94 Matematika Konsep dan plikasinya

27 Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu... r erhatikan gambar di atas. Jika panjang = 8 cm, = 9 cm, dan = 45 cm, tentukan a. luas ; b. keliling ; c. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. ada gambar di atas, diketahui panjang = = = 9 cm. Tentukan a. luas ; b. panjang jari-jari lingkaran luar. 3. anjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 6 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 0 cm. Tentukan a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. 4. anjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 8 cm, dan 38 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga. 5. anjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 5 cm, dan 7 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong suatu lingkaran di satu titik dan berpotongan tegak lurus dengan jarijari di titik singgungnya.. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut. 3. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut. 4. ua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang. Garis inggung Lingkaran 95

28 5. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung. 6. anjang garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran. p r ( ) = = + p r 7. anjang garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran. ( ) = = p r 8. anjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah L ( )( )( ) r = atau r = ss a s b s c s s dengan r = panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga s = keliling segitiga L = luas segitiga a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga 9. anjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah abc abc r = atau r = 4L 4 ss ( a)( s b)( s c) dengan r = panjang jari-jari lingkaran luar segitiga a, b, c = panjang sisi-sisi segitiga L = luas segitiga s = keliling segitiga 96 Matematika Konsep dan plikasinya

29 etelah mempelajari bab ini, bagaimana pemahaman kalian mengenai Garis inggung Lingkaran? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembali materi tersebut dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materi yang belum kamu pahami, catat dan tanyakan kepada gurumu. atat pula manfaat apa saja yang dapat kalian peroleh dari materi ini. uatlah dalam sebuah laporan dan serahkan kepada gurumu. Kerjakan di buku tugasmu.. ilihlah salah satu jawaban yang tepat.. anjang garis singgung lingkaran berjari-jari 6 cm dari titik di luar lingkaran yang berjarak 0 cm dari pusat lingkaran adalah... a. 6,5 cm c. 7,5 cm b. 7 cm d. 8 cm. ari titik di luar lingkaran yang berpusat di dibuat garis singgung. Jika panjang jari-jari 0 cm dan jarak = cm maka panjang adalah... a. 3 cm c. 8 cm b. 5 cm d. 9 cm 3. ua lingkaran dengan pusat dan, berjari-jari 7 cm dan 5 cm. Jika jarak = 0 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalamnya adalah... a. cm c. 6 cm b. 5 cm d. 4 cm 4. ada gambar di atas dan adalah garis singgung lingkaran titik di luar lingkaran. Jika panjang = x cm, = y cm, dan = z cm panjang =... xy a. cm xy b. cm z c. xy cm z d. z cm xy Gambar di bawah ini untuk soal nomor iketahui dan adalah garis singgung lingkaran. Jika panjang = 6 cm, = 0 cm maka panjang =... a. cm c. cm b. 8 cm d. 9 cm Garis inggung Lingkaran 97

30 6. Luas layang-layang adalah... a. 46 cm c. 48 cm b. 45 cm d. 50 cm 7. anjang tali busur adalah... a. 6,9 cm c. 6, cm b. 9,5 cm d. 9,6 cm 8. a. 8 cm c. 6 cm b. 44 cm d. 7 cm 9. anjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 5 cm, dan 7 cm. anjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah... a. 3 cm c. 5 cm b. 4 cm d. 6 cm 7 cm erhatikan gambar di atas. anjang tali yang digunakan untuk mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah anjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 35 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya adalah cm. anjang jari-jari lingkaran luarnya adalah... a. 5,5 cm c. 7,5 cm b. 6,5 cm d. 8 cm. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.. anjang jari-jari dua lingkaran adalah 7 cm dan 3 cm. Jika panjang garis singgung persekutuan luarnya 5 cm maka tentukan a. jarak kedua pusat lingkaran; b. panjang garis singgung persekutuan dalamnya.. F E b. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran tersebut. 4. iketahui empat tong minyak berbentuk tabung diikat menjadi satu untuk diisi kembali. usunlah empat tong tersebut agar panjang tali yang digunakan untuk mengikatnya minimal, kemudian hitung pula panjangnya, jika diameter tong 4 cm. 5. ada gambar di atas, kedua lingkaran bersinggungan di luar dengan pusat di titik dan. Jika = 5 cm dan E = 3 cm, hitunglah panjang a. E; c. EF. b. F; 3. iketahui lingkaran L berpusat di (0, 0), dengan jari-jari r = 3 satuan dan L pusat di (6, 6), berjari-jari r = satuan. a. Gambarlah garis singgung persekutuan dalam L dan L. E ada gambar di atas siku-siku di. anjang = 8 cm dan = cm. Hitunglah a. panjang jari-jari ; b. panjang ; c. panjang ; d. luas E. 98 Matematika Konsep dan plikasinya