BAB 3 DINAMIKA STRUKTUR

Transkripsi

1 BAB 3 DINAMIKA STRUKTUR Gerakan dari struktur terapung akan dipengaruhi oleh keadaan sekitarnya, dimana terdapat gaya gaya luar yang bekerja pada struktur dan akan menimbulkan gerakan pada struktur. Untuk menganalisa gerakan gerakan tersebut diperlukan suatu formulasi yang diturunkan dari persamaan gerak dinamik. Dengan adanya pengaruh dari gaya luar dan redaman yang nonlinier maka persamaan gerak dari struktur terapoung menjadi non linier. Oleh karena itu solusi numerik menjadi solusi utama dalam menyelesaikan persamaan gerak dinamik. Dalam dinamika struktur sistem koordinat diperlukan untuk menentukan posisi dari suatu sistem yang bergerak setiap waktu yang mengacu pada jumlah derajat kebebasan. Gerakan struktur terapung dapat dinyatakann dalam 6 arah atau (6 derajat kebebasan) yakni 3 gerak translasi: surge, sway, heave dan 3 gerak rotasi: roll, pitch, yaw. Berikut ini adalah gambaran dari 6 derajat kebebasan tersebut: CG Gambar 3. 1 Silinder dengan enam derajat kebebasan. (sumber: Jordan,2007) 3.1 RESPON DINAMIK STRUKTUR Pada umumnya struktur yang tidak sederhana memiliki jumlah derajat kebebasan yang tak tehingga. Namun dalam proses penyederhanaan dan pemodelannya secara matematis dapat dilakukan pengurangan jumlah derajat kebebasan yaitu dengan cara membagi struktur tersebut kedalam beberapa bagian. Untuk kasus tertentu struktur dapat dimodelkan dalam satu derajat kebebasan. Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 1

2 Sebagai contoh pada gambar 3.2 ditunjukan suatu mosel matematis dari struktur yang akan dianalisis secara dinamik dalam sistem satu derajat kebebasan. Pada gambar tersebut terdapat elemen massa (m) yang meggambarkan karakteristik massa dan inersia dari struktur, elemen pegas (k) yang menggambarkan kekakuan dari struktur, elemen redaman (c) yang menggambarkan karakteristik gesekan dan energy losses dari struktur, gaya luar (F(t)) yang menggambarkan gayagaya yang bekerja pada pada struktur. k c m y F(t) Gambar 3. 2 Model matematis untuk sistem satu derajat kebebasan. Sistem diatas dapat digambarkan dalam bentuk free body diagram yang telah mengalami perpindahan sejauh y menjadi: ky y m F(t) Gambar 3. 3 Free body diagram. Jika gaya luar yang bekerja pada struktur sama dengan nol (F(t) = 0) maka berdasarkan hukum Newton ke dua persamaan gerak dari free body diagram diatas dapat ditulis menjadi persamaan matematis sebagai berikut: Persamaan 3.1 merupakan persamaan diferesial linier homogen orde dua, persamaan ini dapat diselesaikan dengan memisalkan, dengan mensubsitusikan persamaan ke persamaan 3.1 maka didapatkan persamaan berikut: (3.1) (3.2) Dengan mengeliminasi maka persamaan 3.2 menjadi: (3.3) Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 2

3 Dari persamaan 3.3 didapatkan akar dari persamaan tersebut: (3.4) Sehingga didapatkan solusi dari persamaan 3.1 menjadi: (3.5) Konstanta gerakan awal dimulai. didapatkan dari kondisi awal (initial condition) permasalahan bagaimana Pada persamaan 3.4 jika suku di dalam akar sama dengan nol, hanya terdapat satu solusi untuk p. Kondisi ini disebut critical damping dan koefisien dampingnya disebut dengan koefisien critical damping,. (3.6) Frekuensi natural untuk sistem tanpa redaman dinyatakan dalam rumusan matematis berikut: (3.7) Perbandingan anatara koefisien damping dengan koefisien critical damping disebut dengan faktor redaman( ) yang dinyatakan dengan rumusan berikut: (3.8) Berdasarkan faktor redaman, besar redaman suatu sistim dapat dinyatakan dalam tiga kondisi yaitu :, overdamping (3.9) Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 3

4 Koefisien redaman sangat besar sehingga sistim butuh waktu yang lama untuk mencapai posisi setimbangnya karena tertahan dengan redaman yang besar seperti Tabel 3.1., critical damping Pada kondisi ini, sistim paling cepat mencapai posisi setimbang tanpa adanya osilasi atau dengan kata lain mengalami decay seperti Tabel 3.1., underdamping Untuk kondisi ini, koefisien redaman kecil sehingga sistim mengalami osilasi yang lama sehingga pencapaian kesetimbangan butuh waktu yang lama seperti Tabel 3.1. Tabel 3. 1 Beberapa kondisi redaman pada struktur (sumber : R. Pratap & A. Ruina, 2001). Over-damping Critical damping Under-damping Pada sistem under damping dimana koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis (c < c cr ), pada persamaan 3.4 suku di dalam akar akan bernilai negatif. Maka untuk menyelesaikan permasalahan ini persamaan 3.4 diubah kedalam bentuk kompleks. sehingga persamaan 3.4 dapat ditulis menjadi: (3.10) Untuk menyederhanakan rumusan diatas maka digunakan persamaan Euler s yang berhubungan dengan fungsi trigonometri dengan fungsi eksponensial. Berikut ini adalah rumusan Euler s tersebut: Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 4

5 (3.11) Dengan mensubsitusikan persamaan 3.10, 3.11 ke persamaan 3.5 akan menghasilkan solusi umum untuk sistem under damping sebagai berikut: (3.12) A dan B adalah konstanta integrasi dan dinyatakan dalam rumusan matematis: adalah frekuensi redaman yang (3.13) Atau (3.14) Dengan memasukan kondisi awal dan kecepatan awal (y o dan v 0 ) maka konstanta integrasi dapat ditentukan sehingga persamaan 3.12 akan menjadi: (3.15) Persamaan 3.15 merupakan solusi untuk persamaan diferensial linier homogen orde dua (persamaan 3.1) yang disebut dengan respon transient, dimana respon ini muncul berdasarkan frekuensi natural struktur dan seiring nilai t yang semakin besar maka respon tersebut semakin kecil. Jika struktur struktur dikenai gaya luar yang harmonik (F(t) = ) maka berdasarkan hukum Newton ke dua persamaan gerak dari free body diagram diatas dapat ditulis menjadi persamaan matematis sebagai berikut: (3.16) Persamaan 3.16 dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan cara mensubsitusikan persamaan 3.16 dengan persamaan Euler s (persamaan 3.11) maka akan didapatkan persamaan: Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 5

6 (3.17) Persamaan (3.17) merupakan persamaan differensial biasa orde dua dimana solusinya terdiri dari solusi homogen dan solusi khusus. Solusi homogen telah disajikan pada persamaan Sedangkan untuk mendapatkan solusi khusus dari persamaan (3.17), yang disebut juga sebagai respon steady state, maka dimisalkan solusi khusus tersebut dalam bentuk matematis berikut: (3.18) Dengan mensubsitusikan persamaan 3.17 dengan persamaan 3.18 maka didapatkan persamaan: Atau (3.19) (3.20) Sehingga didapatkan y p (3.21) Persamaan 3.21 dapat dinyatakan dalam koordinat polar sehingga persamaan tersebut menjadi: Atau (3.22) (3.23) Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 6

7 (3.24) Dengan memisalkan (3.25) Maka persamaan 3.23 menjadi (3.26) (3.27) Perbandingan antara amplitudo steady state (y p ) dengan defleksi statik (y st ) dinamakan dynamic amplification factor (D) dinyatakan dalam persamaan berikut: 3.2 RESPON AMPLITUDE OPERATOR (RAO) (3.28) Pengaruh dari gaya luar terhadap suatu struktur terapung dapat menyebabkan struktur tersebut bergerak. Gerakan dari struktur terapung ini merupakan respon dari struktur akibat adanya gaya luar. Respon dari suatu struktur terapung tergantung kepada karakteristik struktur tersebut. Untuk mengetahui respon dari struktur akibat gaya luar maka perlu dilakukan perhitungan mengenai RAO. Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 7

8 Dalam laporan ini RAO yang dimaksud adalah RAO menggambarkan frekuensi respon struktur terapung (kapal) terhadap suatu gelombang sinusoidal. RAO dapat berupa RAO gaya atau RAO simpangan. RAO dapat didefinisikan sebagai amplitudo respon struktur per satuan amplitudo gelombang. RAO disebut juga dengan fungsi transfer, karena dengan RAO, gelombang (gaya luar) dapat ditransfer menjadi fungsi respon struktur. Pada sebuah sistim linear, fungsi respon pada suatu frekuensi gelombang dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut: (3.29) η ( t) elevasi muka gelombang sebagai fungsi waktu. Dalam konteks spektrum, untuk suatu sistim yang linear, fungsi RAO dikuadratkan dan dikalikan dengan spektrum gelombang untuk memperoleh spektrum respon. Persamaan untuk menentukan spektrum respon tersebut dinyatakan dalam persamaan: (3.30) Pada persamaan 3.30 S RR merupakan spektrum respon dari struktur yang merupakan fungsi dari frekuensi, sedangkan merupakan spektrum gelombang yang merupakan fungsi dari frekuensi. 3.3 PERSAMAAN GERAK STRUKTUR TERAPUNG Gerakan dari struktur terapung digambarkan dalam 6 derajat kebebasan, berikut ini akan diberikan gambarannya: X 3 X 6 X 1 X 2 X 5 X 4 Gambar 3. 4 Enam derajat kebebasan dari struktur terapung. Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 8

9 : surge : roll : sway : pitch : heave : yaw Berdasarkan pada hukum Newton II persamaan gerak dari struktur terapung dalam 6 derajat kebebasan dinyatakan sebagai berikut: : (3.31) F M a : resultan gaya yang bekerja pada struktur : massa struktur : percepatan dari struktur Persamaan 3.31 dapat ditulis dalam bentuk lain dimana percepatan (a) merupakan turunan kedua dari posisi: (3.32) Dalam konteks laporan ini resultan dari gaya gaya yang bekerja pada struktur terdiri dari gaya apung (buoyancy) dan gaya luar. Gaya luar terdiri gaya eksitasi dan gaya radiasi. persamaan matematisnya dapat ditulis sebagai berikut: (3.33) : Gaya eksitasi : Gaya radiasi : Gaya hidrostatik Rumusan dari masing masing gaya tersebut telah dijabarkan pada bab sebelumnya yakni pada persamaan 2.38 dan 2.39, sedangkan gay hidrostatik berpengaruh pada koefisien kekakuan dari struktur. Maka persamaan 3.33 dapat ditulis kembali menjadi: Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 9

10 (3.34) Dengan menjabarkan gaya radiasi yang terdiri dari koefisien massa tambah dan koefisien redaman maka persamaan 3.34 dapat ditulis menjadi: : matriks masa dan inersia dari struktur : massa tambah (added mass) : koefisien redaman : kekakuan struktur : total dari gaya luar yang bekerja pada struktur Untuk j = 1,2,3,,6 (2.41) Gaya luar yang bekerja pada struktur terdiri dari gaya akibat gelombang datang dan gaya akibat difraksi gelombang. Dengan memisalkan dan disubsitusikan ke persamaan 2.41 maka persamaannya menjadi: : matriks masa dan inersia dari struktur : massa tambah (added mass) : koefisien redaman : kekakuan struktur : total dari gaya luar yang bekerja pada struktur Untuk j = 1,2,3,,6 (2.42) Dengan mengasumsikan struktur terapung (kapal) memiliki bentuk yang simetri secara lateral dan memiliki koordinat pusat gravitasi pada (0,0,z g ) maka matriks massanya menjadi: Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 10

11 M jk = M Mzg 0 0 M 0 Mz g M Mzg 0 I4 0 I46 Mzg I I46 0 I6 (2.43) M I j I jk : massa struktur : momen inersia arah j : momen inersia Sedangkan matriks masa tambah, koefisien redaman dan matriks kekakuan adalah sebagai berikut: A B jk jk = = A11 0 A13 0 A A22 0 A24 0 A 26 A31 0 A33 0 A A42 0 A44 0 A46 A51 0 A53 0 A A62 0 A64 0 A66 B11 0 B13 0 B B22 0 B24 0 B 26 B31 0 B33 0 B B42 0 B44 0 B46 B51 0 B53 0 B B62 0 B64 0 B66 (2.44) (2.45) C jk = C 0 C C C 0 C (2.46) Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 11

12 Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 12

13 Contents BAB DINAMIKA STRUKTUR RESPON DINAMIK STRUKTUR RESPON AMPLITUDE OPERATOR (RAO) PERSAMAAN GERAK STRUKTUR TERAPUNG... 8 Gambar 3. 1 Silinder dengan enam derajat kebebasan. (sumber: Jordan,2007)... 1 Gambar 3. 2 Model matematis untuk sistem satu derajat kebebasan... 2 Gambar 3. 3 Free body diagram... 2 Gambar 3. 4 Enam derajat kebebasan dari struktur terapung Tabel 3. 1 Beberapa kondisi redaman pada struktur (sumber : R. Pratap & A. Ruina, 2001)... 4 Laporan Tugas Akhir Respon Dinamik Struktur Terapung 3 13