PENDEKATAN KARTESIAN UNTUK SISTEM POTENSIAL LISTRIK GEOMETRI CAMPURAN KARTESIAN - POLAR

Transkripsi

1 PENDEKATAN KARTESIAN UNTUK SISTEM POTENSIAL LISTRIK GEOMETRI CAMPURAN KARTESIAN - POLAR Fitriaa R. H da M. Arief Bustomi Jurusa Fisika-FMIPA, Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Kampus ITS Sukolilo, Surabaya-6 v_3@physics.its.ac.id Itisari Sistem potesial listrik dega geometri campura kartesia polar diaalisa dega megguaka pedekata kartesia. Utuk peelitia ii haya dibatasi pada pegaruh jumlah titik data syarat batas pada pedekata kartesia. Ada beberapa tahapa yag dilakuka dalam peelitia ii yaitu melakuka perhituga aalitik dalam koordiat campura kartesia polar, meetuka syarat batas utuk pedekata kartesia, meghitug potesial listrik dega pedekata kartesia pada masig masig jumlah titik data syarat batas da membadigkaya dega hasil perhitugaya secara lagsug. Berdasarka peelitia ii semaki bayak jumlah titik data yag diguaka, maka selisih ilai potesial listrik atara pedekata kartesia da perhituga lagsug aka medekati suatu ilai ilai tertetu. Dari peelitia ii juga diperoleh bahwa perhituga pada pedekata kartesia utuk sistem geometri campura kartesia polar teryata diperoleh ilai yag berbeda dari ilai perhituga lagsugya. KATA KUNCI : pedekata kartesia, jumlah titik data, syarat batas, sistem geometri campura kartesia - polar Abstract Electrical potetial system with a mixture geometry of cartesia polar aalyzed usig cartesia approach. This study was oly limited by the ifluece of the umber of poits o the boudary coditio cartesia approach. There are several steps i this study, first aalytical calculatio i cartesia polar coordiate, secod determie the boudary coditios for cartesia approach, third calculate the electric potetial with cartesia approach for each umber of data poits i boudary coditios ad compared with the result of direct calculatio. Based o the study the more umber of data poits used,the the differece i the electrical potetial betwee cartesia ad direct calculatio approach will approach a particular value. From this study also foud that the calculatio of the cartesia approach for mixed system of cartesia polar geometry was obtaied by the differet values of the direct calculatio. KEY WORDS : cartesia approach, the umber of data poits, the boudary coditios, a mixture geometry system of cartesia-polar. I. PENDAHULUAN Sebagia besar persoala fisika berkaita dega suatu persamaa differesial yag merupaka suatu represetasi matematis dari hukum fisika utuk suatu persoala fisika tersebut. Salah satu persamaa differesial yag serig dijumpai dalam fisika adalah persamaa Laplace. Peyelesaia suatu persamaa differesial dalam fisika harus memeuhi suatu syarat batas tertetu yag merupaka kodisi fisis dari sistem. Utuk meggambarka kodisi dari sistem biasaya diguaka suatu sistem koordiat, misalya sistem koordiat kartesia da sistem koordiat polar. Pegguaa masig-masig sistem koordiat disesuaika dega betuk geometri sistemya [- 6].

2 Permasalahaya adalah bagaimaa jika suatu sistem tersebut mempuyai betuk geometri campura. Dalam peelitia ii, diteliti solusi persamaa Laplace berupa fugsi potesial listrik sistem dega betuk geometri campura kartesia - polar dega pedekata perhituga megguaka koordiat kartesia. Dua peelitia sebelumya telah diteliti pegaruh jumlah titik data syarat batas pada pedekata katesia utuk sistem potesial listrik geometri polar da aalisis megguaka koordiat polar utuk sistem potesial listrik geometri campura kartesia polar. Kedua peelitia tersebut meetuka fugsi potesial syarat batas da pegaruh jumlah suku Fourier pada pedekata polar fugsi potesial listrikya [7-8]. Dalam peelitia ii, meeliti aalisis megguaka koordiat kartesia utuk sistem potesial listrik geometri campura kartesia - polar. variabel. Masig-masig persamaa di atas merupaka persamaa differesial biasa yag memiliki peyelesaia aalitis : X(x)C s si (kx) + C c cos (kx) Y(y)C s sih (ky) + C c cosh (ky) (3) dimaa C da C adalah kostata yag bisa dicari apabila syarat batas diberika. Misalka syarat batasya adalah : y V(,y) V(x,L y )V o V(x,) V(L x,y) Gambar : Syarat batas koordiat kartesia x II. DASAR TEORI Metode Separasi Variabel Koordiat Kartesia Metode Pemisaha Variabel dilakuka dega memisalka fugsi potesial listrik V(x,y) X(x)Y(y). Substitusi ke persamaa Laplace ϕ, kemudia dibagi dega V(x,y) aka meghasilka [4, 5] : d X d Y + () X ( x) dx Y ( y) dy Karea persamaa ii harus sama dega ol utuk semua ilai x da y maka kedua sukuya bisa disamaka dega kostata, misalya: d X X ( x) dx k V(x,y) V(x,y) V(xL x,y), V(x,yL y )V o (4) Maka syarat ii haya dipeuhi apabila C c da C c. Kemudia pada x L x aka terpeuhi apabila k.π / L x. Oleh sebab itu, peyelesaia persamaa Laplace adalah superposisi: πx πx V ( x, y) C si sih i Lx Lx (5) Koefisie C dapat diperoleh dega memasukka ilai syarat batas pada y L y, yaitu V o sehigga peyelesaia akhirya adalah: d Y k () Y ( y) dy dimaa k adalah kostata separasi

3 V V ( x, y) o C,3,5,... h πx si sih π L x ( πy / L ) x πy / sih Lx (6) Metode Separasi Variabel Koordiat Silider Persamaa Laplace dalam koordiat silider yag haya merupaka fugsi dari dua variable dalam koordiat silider, yaitu ρ da φ adalah [4, 5] : Φ + ρ ρ ρ ρ Φ φ (7) Metode separasi variabel diguaka utuk meyelesaika potesial dalam koordiat silider, yaitu Φ merupaka hasil kali dari dua fugsi Φ R( ρ) Y ( φ). Substitusi ke persamaa (7) aka meghasilka : R d dr ρ ρ dρ dρ Y d Y dφ (8) Kedua ruas dari persama (8) aka disamaka dega K, dimaa K merupaka kostata separasi variabel. d Y + K Y (9) dφ Persamaa (9) Mempuyai solusi cos(kφ ) da si(kφ ). Besara dari K harus dibatasi dalam orde tertetu utuk membuat solusi ii mempuyai ilai fugsi tuggal dari φ. Atau dega kata lai, solusi utuk membuat pegertia fisikaya seharusya sama setelah diputar π, yaitu : cos K(φ + π ) cos (Kφ ) si K(φ + π ) si (Kφ ) () dimaa meghedaki bahwa K, da adalah ol atau suatu bilaga positif. Suatu sifat petig dari solusi ii adalah keyataa bahwa si da cos orthogoal: π π cos π ( mφ) cos( φ) dφ si( mφ) si( φ) dφ πδ m ( mφ) cos( φ) dφ cos () dimaa δ m adalah delta kroecker. Kebergatuga radial dari potesial dapat diperoleh dega pegatura sisi sebelah kiri persamaa (8) da dega meyamaka K didapatka : d dr R ρ () dρ dρ ρ Utuk, potesial memeuhi persamaa dimaa potesial listrikya tidak mempuyai kebergatuga aguler, yaitu: d dr ρ dρ dρ (3) dega solusi R(ρ) kosta da R(ρ) l ρ. Utuk persamaa memiliki dua solusi ρ da ρ. Oleh karea itu, solusi yag palig umum adalah Φ ( ρ, θ ) [ A ( ρ + ρ ) cos θ + B ( ρ + ρ ) θ ] A l si Φ + + ( ρ, θ ) [ A cos θ + B si θ ] [ A ' cos θ + B ' si θ ] ρ A + A ' l p ρ (4) dimaa A, A ', B, B ' utuk, adalah kostata utuk ilai dari syarat batas. Peghituga koefisie A da B dilakuka dega megguaka itegrasi secara umerik [5, 6].

4 A B πr πr π π V ( θ )cos θdθ V ( θ )si θdθ V 3, da V 4 - seperti diperlihatka pada Gambar 3. (5) V III. METODOLOGI Lagkah-lagkah yag dilakuka dalam peelitia ii digambarka dalam diagram alir berikut : V 4 V 3 V Perhituga aalitik megguaka koordiat kartesia Mecari syarat batas utuk koordiat campura Perhituga potesial listrik berdasarka pedekata kartesia dega jumlah titik data syarat batas Membuat perbadiga perhituga koordiat campura da pedekata kartesia utuk masig-masig variasi titik data syarat batas Membuat aalisa seberapa baik pedekata kartesia terhadap koordiat campura Kesimpula Gambar : Diagram alir peelitia IV. ANALISA DAN PEMBAHASAN Dalam peelitia ii diteliti sistem dua dimesi yaitu campura kartesia - polar dega syarat batas potesial listrik pada keempat sisi-sisiya masig-masig : V, V, Gambar 3 : Syarat batas sistem yag diteliti Lagkah peelitia pertama adalah perumusa potesial listrik dalam koordiat campura dega syarat batas seperti diperlihatka pada Gambar 3. Adapu solusi utuk meghitug system potesial listrik diatas adalah : ( 6 ) Lagkah kedua adalah perumusa potesial listrik berdasarka syarat batas pedekata kartesia. Dalam peelitia ii diguaka 6 variasi titik data syarat batas yaitu 5,3,6,,4, da 48. Utuk setiap sisi kartesiaya syarat batas aka diperoleh fugsi potesial syarat batas V ( x, y) yag aka diguaka utuk meetuka ilai dimaa haya dibatasi sampai pedekata suku fourier dega megguaka Pers. (5 da 6). Pada masig masig 6 titik data tersebut kemudia dibadigka dega perhituga potesial listrik lagsug. Secara keseluruha dapat dikumpulka selisih rata rata atara perhituga secara pedekata dega perhituga secara lagsug. Adapu ilaiya utuk masigmasig yaitu,96,,7,,78,,9,,7,,6. Hal ii meujukka semaki bayak titik data yag diguaka maka selisih ilai potesial pedekata dega ilai

5 potesial perhituga secara lagsug aka medekati suatu ilai tertetu. Dari ilai selisih didapat diguaka utuk membuat grafik utuk megetahui hubuga peambaha jumlah titik data terhadap kekovergeitas ilai potesial. Utuk meyederhaaka haya dibuat beberapa grafik pada titik tertetu. Adapu titik dataya yaitu (, ;,4 ), (,4 ;, ), (, ; ), ( ;,) Gambar 7 : Grafik jumlah titik data syarat batas da selisih potesial listrik utuk titik ( ;,) Gambar 4 : Grafik jumlah titik data syarat batas da selisih potesial listrik utuk titik (, ;,4) V. SIMPULAN Beberapa hal yag dapat disimpulka dari peelitia ii adalah :. Semaki bayak jumlah titik data syarat batas yag diguaka maka selisih ilai potesial listrik atara ilai pedekata da ilai potesial lagsug aka medekati suatu ilai tertetu. Berdasarka pada perhituga pedekata kartesia utuk sistem geometri campura kartesia polar aka didapatka ilai yag berbeda dari ilai perhituga potesial lagsug Gambar 5 : Grafik jumlah titik data syarat batas da selisih potesial listrik utuk titik (,4 ;,) [] Kushidayati, I. A., M. A. Bustomi, Aalisa Potesial Listrik megguaka Koordiat Polar utuk Sistem Geometri Kartesia, Skripsi S Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya, 9. [] Bustomi, M. A., I. A. Kushidayati, Pedekata Polar utuk Potesial Listrik Sistem Geometri Kartesia, Prosidig Simposium Fisika Nasioal ke-3, Surabaya,. Gambar 6 : Grafik jumlah titik data syarat batas da selisih potesial listrik utuk titik (, ; ) [3] Islamiyah, I., M. A. Bustomi, Pegaruh Jumlah Suku Fourier pada Pedekata Polar utuk Sistem Geometri Kartesia, Skripsi S Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya,. [4] Lavery, J. E., Shape-Preservig, Multiscale Iterpolatio by

6 Uivariate Curvature-based Cubic L Splies i Cartesia ad Polar Coordiates, Computer Aided Geometric Desig 9: 57-73,. [5] Al-Khaled, K., Numerical Solutios of The Laplace s Equatio, Applied Mathematics ad Computatio 7 : 7-83, 5 [6] Adrews, M., Alterative Separatio of Laplace s Equatio i Toroidal Coordiates ad its Applicatio to Electrostatics, Joural of Electrostatics 64: , 6. [7] M, Najik,, Pegaruh Jumlah Titik Data Potesial Listrik Sistem Geometri Campura Kartesia Polar Megguaka Pedekata Polar, Skripsi S Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya. [8] Wahyudi, Agustia. T,, Pegaruh Jumlah Titik Data Syarat Batas Pada Pedekata Kartesia Utuk Sistem Potesial Listrik Geometri Polar, Skripsi S Jur. Fisika FMIPA ITS, Surabaya