DAFTAR PUSTAKA. Borrelli RL, Coleman CS Differential Equations: A Modelling Respective. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Transkripsi

1 DATAR PUSTAKA Borrelli RL, Coleman CS Differential Equations: A Modelling Respective. ew York: John Wiley & Sons, Inc. Dougherty RD Probability and Statistics for Engeneering, Computing, and Physical Science. ew Jersey. Edelstein-Keshet L Mathematical Models in Biology. ew York: Random House. Edelstein-Keshet L, Watmough J, Grunbaum D Do travelling band solutions describe cohesive swarms? An investigation for migratory locusts. J Math Biol 36: Kokasih PB Komputasi umerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: Penerbit Andi. Okubo A Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models. ew York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. Riley K, Hobson M, Bence S Mathenatical Methods for Physics and Engineering. ew York: Cambridge University Press.

2 LAMPIRA

3 43 Lampiran 1 Hubungan antara momen kedua dan ragam (persamaan (4.5)) t t d ( ) (, ) 1 X X X (, t ) d 1 X X (, t ) d (, t ) d X (, t ) d 1 V X X 0 V X X V X, dengan 1. X

4 44 Lampiran Pusat massa (persamaan (4.7)) Pusat massa diperoleh dari persamaan (3.43) dengan cara sebagai berikut: D ( w v ) t D ( w v ) t ( ) d D ( w v ) d t Misal u dan dv D ( w v ) d sehingga du d dan v D ( w v ). t udv uv vdu d D ( w v ) D ( w v ) d. t Asumsi pendekatan kernel akan menjamin kecepatan w v pada batasan. Jika diasumsikan kepadatan kelompok dan derivatifnya bernilai nol (lebih cepat dari pada 1 ), maka pada d1 D ( w v ) D ( w v ) d dt D ( w v ) D d w d vd D ( w v ) D d w ( K * ) d. D (0) ( w v ) D (0) d w ( K * ) d d 1 w ( K * ) d, dt

5 45 dengan d Sehingga dapat diperoleh d 1 1 w ( K * ) d dt d X dt 1 w ( K * ) d.

6 46 Lampiran 3 Ragam sebaran (persamaan (4.8)) Ragam yang diperoleh dari persamaan (3.43) adalah: D ( w v ) t X X D ( w v ) t X d X D ( w v ) d. t Seperti cara sebelumnya dengan mengasumsikan (,t ) dan derivatifnya bernilai nol pada saat (lebih cepat dari 1 X ), maka diperoleh X d X D ( w v ) d t Misal u X X X maka du X d X d dan dv D ( w v ) d sehingga v D ( w v ). t udv uv vdu t X d X D ( w v ) D ( w v ) X d Misal u X maka du d dan dv D ( w v ) d sehingga v D ( w v ) d. d 1 X d X D ( w v ) dt - X D ( w v ) d D ( w v ) d d

7 47 dv ( t ) dt X D ( w v ) X D X ( w v ) d D d - ( w v ) dd - dv ( t ) dt X D (0) ( w v )(0) X D (0) X ( w v) d D d (0) dv ( t ) D d X ( w v ) d dt Dengan pendefinisian adalah suatu konstanta dan v K * diperoleh dv (t) D X ( w K * ) d dt dv (t) D X ( w K * ) d dt

8 Lampiran 4 ilai konvolusi (persamaan (4.8)) Untuk mencari nilai pengintegralan dari persamaan (4.15), dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: i mencari ( ') ( ') d ' (1) 48 a Misalkan u ' maka du d ' dan dv ( ') d ' sehingga v ( ') d '. udv uv vdu ( ') ( ') d ' ( ') ( ') d ' ( ') d ' d '. () b Untuk mencari ( ') d ' d ' dengan memisalkan u ( ') d ' maka du ( ' ) dan dv d ' sehingga v '. udv uv vdu ( ') d ' d ' ' ( ') d ' ' ( ') d '. (3) Substitusi persamaan () dan (3) ke persamaan (1), sehingga diperoleh ( ') ( ') d ' ( ') ( ') d ' ' ( ') d ' ' ( ') d ' ( ') ' 1 1 ( ') ( ') d ' X, (4) 1 dengan ( ') d ', 1 (, t ) d ', dan X.

9 49 ii mencari 3 ( ') ( ') d ' (5) a Untuk mencari (4) dengan memisalkan 3 u ( ') maka du 3( ' ) d ' dan dv ( ') d ' sehingga dan v ( ') d '. udv uv vdu ( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d d 3 3 ' ' ' ' ' ' 3 ' ' ' ' 3 3 ( ' ) ( ' ) d ' ( ' ) 3 ( ' ) d ' d ' 6 ' ( ') d ' d ' 3 ( ') ( ') d ' d '. (6) dengan ( ') d ' b Untuk mencari ( ) d d dengan memisalkan 3 ' ' ' u ( ') d ' maka du ( ' ) dan dv d ' sehingga dan v '. udv uv vdu ( ) ( ) ( ) 3 ' d ' d ' 3 ' d ' ' ' ' d ' ( ) d d (7) 3 ' ' ' 3 ' 3 1. dengan ( ') d ' c Untuk mencari 6 ' ( ') d ' d ' dengan memisalkan u ( ') d ' maka du ( ' ) dan dv ' d ' sehingga 1 ( '). v. udv uv vdu ' ( ') d ' d ' 6 ( ') d ' ( ') ( ') ( ') d '

10 ( ') ( ) d d ( ) (8) 6 ' ' ' ' 3 ' 3, dengan ( ') d ' dan ( ') ( ') d '. d Untuk mencari ( ) ( ) d d dengan memisalkan 3 ' ' ' ' u ( ') d ' maka du ( ' ) dan dv ( ') d ' sehingga 1 ( ') 3 v. 3 udv uv vdu 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' d ' d ' 3 ' d ' ' ' ' d ' ( ') ( ) ( ) d d ( ) (9) 3 3 ' ' ' ' ' 3, dengan ( ') d ' dan 3 3 ( ') ( ') d '. Substitusi persamaan(6), (7), dan (8) ke persamaan(4), sehingga diperoleh ( ') ( ') ' ( ') 3 ' d 1 3 ( ') 3 ( ') ( ') ( ') ' d X V X (10) 1 dengan X dan V X

11 51 Dari persamaan (3) dan (9) dapat diperoleh: A B A B v d d a b a b 3 ( ') ( ') ' ( ') ( ') ' A B 6 6 a b 5 ( ') ( ') '... d A B A B 3 v X 3 X 3 V X a b a b (11)

12 5 Lampiran 5 ilai ragam dari persamaan (4.19) dv ( t ) D X ( K * ) d dt dv ( t ) A B D X X d dt a b dv ( t ) A B D X d dt a b dv ( t ) B A 1 D X d dt b a dv ( t ) B A D V. dt b a (5.1)

13 Lampiran 6 Prosedur simulasi model V Syarat awal (icfun) ungsi sebaran normal Kanan S1 Silinder m=1 a b mesh Syarat batas (bcfun) p q q q=0 0 Kiri Kiri Kanan r l Eliptik PDP Solusi PDP S m m=0 Irisan c>0 Hasil numerik S3 m= tmesh c c=0 Parabolik Difusi=DuD : tugas yang dilaksanakan : alternatif yang tidak dilaksanakan Bola t t t 0 f pdefun f (bentuk fluks) Konveksi=w Konvolusi=K* S1 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,mesh,tmesh,options) S adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,mesh,tmesh) S3 adalah sol=pdepe(m,pdefun,icfun,bcfun,mesh,tmesh,options,p1,p ) s (bentuk source) Integral komposit Simpson R G

14 Lampiran 7 Prosedur penelitian enomena belalang berkelompok Model I Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan ilai eigen Tidak ada solusi TB Model II Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan ilai eigen Tidak ada solusi TB Model III Sistem PDP GB Sistem tak berdimensi Pelinearan ilai eigen Tidak ada solusi TB Model IV Sistem PDB Sistem berdimensi satu Titik tetap Tidak ada solusi TB Keterangan: Model V Sistem PDP GB Solusi numerik Solusi analitik Puncak kelompok tidak sesuai Ada perluasan gangguan ketika difusi bernilai kecil Terjadi TB secara tidak murni Garis = menunjukkan proses pencarian model yang tepat Garis = menunjukkan proses pencarian solusi

15 55 Lampiran 8 Program untuk simulasi model V function pde4 m = 0; left=0; %right=0;%density kecil bergabung density besar right=5;%density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=15 %right=100;%populasi di tanah pada saat t=50 n=40; tmin=0; %tma=10;%density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar tma=15;%populasi di tanah pada saat t=15 %tma=50;%populasi di tanah pada saat t=50 nt=10; =linspace(left,right,n); t=linspace(tmin,tma,nt); sol=pdepe(m,@pde4pde,@pde4ic,@pde4bc,,t); %pdepe dimodifikasi terlebih dahulu agar dapat menerima parameter %tambahan "" dan "" pada fungsi pdepe4pde untuk keperluan %menghitung konvolusi K* u1 = sol(:,:,1); u = sol(:,:,); =u; figure; for k=1:nt subplot(nt,1,k); plot(,k(,,(k,:))); end figure; waterfall(,t,u1) label('') ylabel('t') ais tight; figure; waterfall(,t,u) label('') ylabel('t') ais tight; function [c,f,s] = pde4pde(,t,u,dud,,) %w = 1;%Density kecil bergabung density besar %Density kecil terpisah dari density besar w = 0.75;%Populasi di tanah pada saat t=15 %Populasi di tanah pada saat t=50 c = [1; 1]; f = [0; 0.1].* DuD-[0; (w+k(,,))].*u; R = 0.65; G = 0.5;

16 s=[-r*u(1)+g*u(); R*u(1)-G*u()]; function u0 = pde4ic() u0 = [0; icmasuk()];%density kecil bergabung density besar %Populasi di tanah pada saat t=15 %u0 = [0; ickeluar()];%density kecil terpisah dari density besar %Populasi di tanah pada saat t=50 function [pl,ql,pr,qr] = pde4bc(l,ul,r,ur,t) pl = [ul(1)-0.65; ul()-0.5]; ql = [0; 0]; pr = [ur(1)-0.65; ur()-0.5]; qr = [0; 0]; function y = K() A = 4; a = 1; B = 0; b = 1; %A = 1; %a = 0.; %B = 0.3; %b = 0.1; 0=4.0000e+008; y =.*(((A/a^)*ep(-(/a).^)-(B/b^)*ep(-(/b).^))/0); function q=k(,z,) =size(z,); h=z()-z(1); q1=k(-z(1))*(1); qn=k(-z())*(); qodd=0; for k=:(-1)/ qodd=qodd+k(-z(*k+1)).*(*k+1); end qeven=0; for k=:/ qeven=qeven+k(-z(*k)).*(*k); end q=h*[q1+qn+4*qodd+*qeven]/3; function y = ic(); mean1 = 7.5; varian1 = 13; param1 = 1/(sqrt(*pi)*sqrt(varian1)); 56

17 p1 = 1e9 * param1 * ma(0,ep(-((-mean1).^)/(*varian1))-ep(- ((mean1)^)/(*varian1))); mean = 0.8; varian =.; param = 1/(sqrt(*pi)*sqrt(varian)); p = 1e9 * param * ma(0,ep(-((-mean).^)/(*varian))-ep(- ((mean)^)/(*varian))); y=ma(p1,p); function y = ic(); mean1 = 16.5; varian1 = 13; 57 param1 = 1/(sqrt(*pi)*sqrt(varian1)); p1 = 1e9 * param1 * ma(0,ep(-((-mean1).^)/(*varian1))-ep(- ((mean1)^)/(*varian1))); mean = 0.5; varian =.; param = 1/(sqrt(*pi)*sqrt(varian)); p = 1e9 * param * ma(0,ep(-((-mean).^)/(*varian))-ep(- ((mean)^)/(*varian))); y=ma(p1,p);